2023版高中数学新同步精讲精炼（必修第一册） 3.2.2 奇偶性（精讲）（教师版含解析）.docx

1、3.2.2 奇偶性(精讲)思维导图常见考法考点一 奇偶性的判断【例1】(2021全国高一专题练习)判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3)；【答案】(1)非奇非偶函数；(2)奇函数；(3)偶函数【解析】(1)有意义，则，即，解得，所以函数的定义域为，不关于原点对称，因此函数是非奇非偶函数；(2)当时，；当时，.所以函数为奇函数；(3)由题意可得，所以且，所以函数的定义域为关于原点对称，又，所以函数为偶函数；【一隅三反】1(2021江苏高一期末)(多选)下列说法正确的是( )A若定义在上的函数满足，则是偶函数B若定义在上的函数满足，则不是偶函数C若定义在上的函数满足，则在上是增函数D若定义在

2、上的函数满足，则在上不是减函数【答案】BD【解析】对于A选项，取函数，则，函数的定义域为，此时，函数为奇函数，A选项错误；对于B选项，若函数为定义在上的偶函数，对任意的，必有，因为，所以，不是偶函数，B选项正确；对于C选项，取函数，则，但函数在上不单调，C选项错误；对于D选项，假设函数是定义在上的减函数，则，这与题设矛盾，假设不成立，所以，函数在上不是减函数，D选项正确.故选：BD.2(2021全国高一课时练习)判断下列函数的奇偶性：(1)； (2)(3)； (4).【答案】(1)偶函数；(2)非奇非偶函数.(3)偶函数；(4)奇函数【解析】(1)函数的定义域为，所以，函数为偶函数；(2)函数

3、的定义域为，则且，所以，函数为非奇非偶函数.(3)定义域为R，为偶函数.(4)定义域为R，为奇函数.考点二 利用奇偶性求值【例2】(1)(2021吉林长春外国语学校高一开学考试)已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，则等于( )ABCD(2)(2021云南弥勒市一中高一月考)已知，其中为常数，若，则()A10B2C10D2(3)(2021辽宁高一期末)已知函数，若，则_【答案】(1)D(2)A(3)【解析】(1)故选：D(2)因为，所以，若，则故选: A(3)令，故故答案为：【一隅三反】1(2021安徽高一期末)已知是定义在上的奇函数，且当时，则的值为( )A-2B-6C2D6【答案】B【解析

4、】是定义在上的奇函数，则，解得，当时，所以.故选：B2(2021上海市川沙中学高一期末)若函数为偶函数，则_.【答案】2【解析】因为函数为偶函数，所以m-2=0，解得m=2.也可用，解出m=2.故答案为：23(2021内蒙古赤峰学院附属中学高一期末)若函数在上是奇函数，则的解析式为_【答案】【解析】在上是奇函数，又，即，4(2021浙江高一期末)已知是定义在上的奇函数，且当时，则_【答案】【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，解得，因为当时，所以，故答案为：-2考点三 利用奇偶性求解析式【例3】(1)(2021辽宁高一月考)为定义在上的奇函数，当时，则时，( )ABCD(2)(2021新疆乌市

5、八中高一月考)已知)是R上的奇函数，且当时，则的解析式_【答案】(1)A(2)【解析】(1)设，则，因为函数为定义在上的奇函数，且时，可得，即当时，.故选：A.(2)由题得，设，则，又是奇函数，故答案为： 【一隅三反】1(2020宁夏大学附属中学高一期中)已知是定义在R上的奇函数，时，则在，上的表达式是( )ABCD【答案】A【解析】因为时，设，则，所以，又因为是定义在R上的奇函数，所以，故选： A.2(2021上海华师大二附中高一月考)已知是定义在上的奇函数，若时，则时，_.【答案】【解析】当时，则，又因为是定义在上的奇函数，所以，故答案为：.3(2021湖南省长沙县第九中学高一期末)已知函

6、数是定义在R上的奇函数，当0时，则函数的解析式为_【答案】【解析】设，所以，因为函数是定义在R上的奇函数，所以，所以.所以函数的解析式为.故答案为：4(2021上海高一期末)已知函数是定义域为R的偶函数，当时，则当时_【答案】【解析】设，则，由时，所以，又函数为偶函数，即，所以.故答案为：考点四 奇偶性与单调性的综合运用【例4】(1)(2021江西)下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是( )ABCD(2)(2021吉林高一期末)设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，的大小关系是( )A BC D(3)(2021揭阳第一中学高一期末)已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，则，的大小关系为(

7、 )ABCD【答案】(1)C(2)A(3)A【解析】(1)对于A：的定义域为R，关于原点对称，因为，所以为奇函数，故A错误；对于B：的定义域为，关于原点对称，因为，所以为奇函数，故B错误；对于C：的定义域为R，关于原点对称，因为，所以为偶函数；当时，为增函数，故C正确；对于D：的定义域为R，关于原点对称，但是，而，所以，所以为非奇非偶函数，故D错误.故选：C(2)因为函数是偶函数，所以因为时，是增函数，所以，所以.故选：A(3)当时，则，所以，函数为上的增函数，由于函数是偶函数，可得，因此，.故选：A.【一隅三反】1(2021浙江高一期末)下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是( )ABCD【

8、答案】D【解析】因为，是奇函数，是偶函数，故排除ABC，的定义域为，故既不是奇函数也不是偶函数，故选：D2(2021年广东)已知偶函数在区间上单调递增，则下列关系式成立的是( )ABCD【答案】B【解析】因为为偶函数，所以，又因为且在上单调递增，所以，所以，故选：B.3(2021年广西)是定义在上的偶函数，且，则下列各式一定成立的是( )ABCD【答案】A【解析】由是定义在上的偶函数，所以， 由，则，其它的不能确定，故选：A4(2021辽宁高一期末)奇函数在内单调递减且，则不等式的解集为( )A BCD【答案】A【解析】因为函数在上单调递减，所以当时，当，又因为是奇函数，图象关于原点对称，所以

9、在上单调递减，所以当时，当时，大致图象如下，由得或，解得，或，或，故选：A.5(2021福建高一期末)若定义在的奇函数在单调递减，则不等式的解集为( )ABCD【答案】B【解析】是奇函数，在上递减，则在上递减，在上是减函数，又由是奇函数，则不等式可化为，故选：B考点五 抽象函数的性质【例5】(2021河北高一期中)已知函数对于任意实数总有,当时, .(1)求在上的最大值和最小值.(2)若有成立,求的取值范围.【答案】(1)在上的最大值和最小值分别为和(2)【解析】(1)任取且,则,由时,得,由,得,所以在上是减函数；令可得,令可得,令得,解得,令可得,由单调性可得在上的最大值和最小值分别为和.

10、(2)令可得,等价于,由函数的单调性可得,解得.即的取值范围是【一隅三反】1(2021北京)已知函数对任意，总有，且当时， ，()求证：函数是奇函数；()利用函数的单调性定义证明，在上的单调递减；()若不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】() 见解析；()见解析；()【解析】()令，得，所以，令，得，即，所以，所以函数是上的奇函数.()任取,且，则，因为当时， ，而，即，所以，所以，所以在上的单调递减.()由()知是上的奇函数，所以，所以，所以，所以不等式可化为，即，所以，由()知，在上的单调递减，所以，故问题转化为对于任意的恒成立，即对于任意的恒成立，令，故问题可转化为对任意的

11、恒成立，令，其对称轴为， 所以，所以.2(2021全国高一)已知函数在上单调递增，对于任意，都有(1)求；(2)判断奇偶性并证明；(3)解不等式【答案】(1)；(2)为奇函数，证明见解析；(3)或【解析】(1)任意，都有，可令，则，即；(2)为奇函数，证明如下：定义城为，可令，则，即，则为奇函数；(3)，即为，由于任意，都有，则， 即，即，由函数在上单调递增，可得，解得或，则不等式的解集为或3(2021吉林省)已知函数的定义域是(，0)(0，)，对定义域内的任意x1，x2都有，且当x 1时， 0.(1)求证：是偶函数；(2)求证：在(0，)上是增函数；(3)试比较的大小.【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解；(3).【解析】(1)证明：函数的定义域是(，0)(0，)令x1x21，得，又，又，即有是偶函数(2)证明：设0 x1 1时， 0知：即有在(0，)上是增函数(3)由(1)知是偶函数，则有由(2)知在(0，)上是增函数，则有.