2023版高中数学新同步精讲精炼（必修第二册） 8.6 空间直线、平面的垂直（精练）（教师版含解析）.docx

1、8.6 空间直线、平面的垂直(精练)【题组一 线面垂直】1(2021全国高一课时练习)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点当_时，D1E平面AB1F【答案】1【解析】连接A1B，则A1B是D1E在面ABB1A内的射影，AB1A1B，D1EAB1，于是D1E平面AB1F，又平面AB1F，所以D1EAF连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影D1EAF，因为，所以平面，又平面，所以DEAFABCD是正方形，E是BC的中点当且仅当F是CD的中点时，DEAF，即当点F是CD的中点时，D1E平面AB1F1时，D1E平面AB1F故答案为：1.2(2021

2、全国高一课时练习)如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，F为的中点.求证：平面.【答案】证明见解析.【解析】证明：平面，平面，.四边形是正方形，又，平面，平面，平面，.，又，平面，平面.3(2021全国高一单元测试)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，点D，E分别是BC，AB1的中点(1)证明：DE平面ACC1A1；(2)若BB11，证明：C1D平面ADE【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)连接A1B，A1C，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，因为点E是AB1的中点，所以点E是A1B的中点，又因为点D是BC的中点，所以DEA

3、1C，因为DE平面ACC1A1，A1C平面ACC1A1，所以DE平面ACC1A1(2)连接B1D，在直三棱柱ABCA1B1C1中，因为BB1平面ABC，AD平面ABC，所以 BB1AD，又因为底面ABC是等边三角形，D为BC的中点，所以BCAD，又BCBB1B，所以AD平面B1BCC1，又C1D平面B1BCC1，所以ADC1D，由BC2，得BD1，又BB1CC11，所以，所以，所以C1DDB1，DB1ADD，所以C1D平面ADB1，即C1D平面ADE4(2021全国高一课时练习)如图1，在直角梯形中，E是的中点，O是与的交点将沿折起到图2中的位置，得到四棱锥求证：平面【答案】证明见解析【解析】

4、证明：在题图1中，因为，E是的中点，所以所以在题图2中，又，所以平面，又，所以平面5(2021广西桂平市麻垌中学高一月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，ABC=60，PA平面ABCD，点M、N分别为BC、PA中点，且PA=AB=2.(1)证明：BC平面AMN；(2)求三棱锥N-AMC的体积；(3)在线段PD上是否存在一点E，使得MN平面ACE；若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由.【答案】(1)详解见解析；(2)；(3)存在点E为PD的中点，PE=【解析】(1)证明：因为ABCD为菱形，所以AB=BC，又ABC=60，所以AB=BC=AC，又M为BC中点，所以BCAM

5、，又PA平面ABCD，BC平面ABCD，故PABC又PAAM=A，所以BC平面AMN.(2)由(1)知为等边三角形，AB=BC=AC=2又M为BC中点，则BM=CM=1，故因此，又PA平面ABCD，PA=2，N为PA的中点，故AN=1所以.(3)存在点E，取PD中点E，连接NE，EC，AE，如图所示：因为N，E分别为PA，PD中点，所以，且，又在菱形ABCD中，且，所以，且，即MCEN是平行四边形，故，又平面ACE，NM平面ACE，故平面ACE，即在PD上存在一点E，使得MN平面ACE，此时PE=PD=【题组二 面面垂直】1(2021全国高一单元测试)如图，四棱锥的底面是边长为a的菱形，平面平

6、面，为的中点.求证：平面平面.【答案】证明见解析【解析】如图所示，设，连接，则.，.平面平面，平面平面，平面平面.又平面，故平面平面.2(2021山西省长治市第二中学校高一月考)如图，在三棱锥中，平面(1)求证：平面平面(2)若，求二面角的正切值【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】(1)平面，平面 平面平面平面，平面平面.(2)设是的中点，过于，连接在中平面平面平面，平面又平面是二面角的平面角设，则在中，所以.3(2021内蒙古包头高一期末)如图，在四棱锥中，已知底面是菱形，且对角线与相交于点.(1)若，求证：平面平面；(2)设点为的中点，在棱上是否存在点，使得平面？请说明理由.【答案】(

7、1)证明见解析；(2)存在，理由见解析.【解析】证明：(1)连接，底面为菱形，. 又又平面. 平面，平面平面. (2)棱上存在点，且为的中点，使得平面，证明如下：连接. 是的中点， 平面，平面,平面4(2021广东白云高一期末)如图，垂直于所在的平面，为的直径，点为线段上一动点.(1)证明：平面平面；(2)当点移动到点时，求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)证明：因为垂直于所在的平面，即平面，平面，所以，又为的直径，所以，因为，所以平面，又平面，所以，因为，所以平面，又平面，所以平面平面.(2)解：因为，所以，又，所以，由，可得，如图，过点作交于点，则，可得

8、，又，所以，所以，设点到平面的距离为，由，可得，解得，所以当点移动到点时，与平面所成角的正弦值为.5(2021江苏吴江汾湖高级中学高一月考)如图，在四棱锥中，四边形为矩形，分别为，的中点(1)求证：平面；(2)若，求证：平面平面【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)连结，由已知，为和的中点，又为的中点，平面，平面，平面(2)，平面平面，平面平面，平面平面6(2021山西太原市第五十六中学校高一月考)在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，以BD的中点O为球心，BD为直径的球面交PD于点M.(1)求直线BD与平面PAD所成的角的正切值；(2)求证：平面平面PCD.【答案

9、】(1)；(2)证明见解析.【解析】(1) 平面ABCD，平面ABCD， PABA，又底面ABCD是矩形，BAAD，又PA，AD平面PAD，, BA平面PAD， 直线BD与平面PAD内的投影为AD， 即为直线BD与平面PAD所成的角，又 AB=2，AD=4， ； 直线BD与平面PAD所成的角的正切值为，(2)证明：依题设，M在以BD为直径的球面上，则，由(1)得平面PAD，又平面 ，AB，BM平面ABM， 平面ABM，又平面 平面平面PCD.7(2021江苏如皋高一月考)如图，在四棱锥中，经过AB的平面与PDPC分别交于点E与点F，且平面平面PCD，平面ABFE.(1)求证：；(2)求证：平面

10、平面PCD.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)平面ABFE，平面PCD，平面平面同理.(2)由(1)知，平面平面PCD，平面平面，平面ABFE平面PCD，又平面PAD中，平面平面.8(2021江苏滨海县八滩中学高一期中)如图，在三棱锥中，分别为棱的中点，已知，且(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】(1)证明：分别为中点，为的中位线，且，又F为中点，为的中位线，又，又，平面又平面，所以平面平面(2)由(1)知平面，又平面，平面平面因为为中点，又平面平面，所以平面为直线与平面所成角，在直角中，所以9(2021江苏如皋

11、高一月考)在直三棱柱中，是的中点，是上一点，线段与相交于点，且平面.(1)证明：点为线段的中点；(2)若，证明：平面平面.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)设，连接，因为平面，平面，平面平面所以，在直三棱柱中，四边形为平行四边形所以因为，所以，即点为线段的中点.(2)在直三棱柱中，因为为线段的中点，所以又因为，是的中点，所以，因为，所以在直三棱柱中，平面，平面所以，因为，平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.【题组三 线线垂直】1(2021安徽六安市裕安区新安中学高一期末)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有( )A2条B4条C6条D

12、8条【答案】D【解析】在长方体ABCDA1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条故选：D.2(2021全国高一课时练习)如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=求证：ADBC【答案】证明见解析【解析】证明：如图所示，取BD的中点H，连接EH，FH因为E是AB的中点，且AD=2，所以EHAD，EH=1同理FHBC，FH=1所以EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角因为EF=，所以EH2+FH2=EF2，所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜边，所以EHF=90，即AD与BC所

13、成的角是90，所以ADBC3(2021全国高一单元测试)如图，已知矩形CDEF和直角梯形ABCD，ABCD，ADC90，DEDA，M为AE的中点.(1)求证：AC平面DMF；(2)求证：BEDM.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)如图，连结EC交DF于点N，连结MN.因为CDEF为矩形，所以EC，DF相互平分，所以N为EC的中点.又因为M为EA的中点，所以MNAC.又因为AC平面DMF，且MN平面DMF.所以AC平面DMF.(2)因为矩形CDEF，所以CDDE.又因为ADC90，所以CDAD.因为DEADD，DE，AD平面ADE，所以CD平面ADE.又因为DM平面ADE

14、，所以CDDM.又因为ABCD，所以ABDM.因为ADDE，M为AE的中点，所以AEDM.又因为ABAEA，AB，AE平面ABE，所以MD平面ABE.因为BE平面ABE，所以BEMD.4(2021天津红桥高一学业考试)如图，在三棱锥P- ABC中，PA底面ABC，BCAC，M、N分别是BC、PC的中点.(1)求证：MN/平面PAB；(2)求证：BCPC.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)因为M、N分别是BC、PC 的中点，所以，又平面，平面，则平面(2)因为PA底面ABC，且 平面ABC，所以，又，且，平面所以平面，又平面，所以BCPC.5(2021全国高一课时练习)如

15、图，在三棱锥中，底面分别是的中点(1)求证：；(2)求证：平面；(3)求证：【答案】(1) 证明见解析；(2)证明见解析 ；(3) 证明见解析【解析】(1)在三棱锥中，因为分别是的中点，根据三角形的中位线定理，可得(2)由(1)知，因为平面，且平面，根据线面垂直的判定定理，可得平面(3)因为平面，且平面，所以，又因为，且，所以平面，又由平面，所以6(2021广西桂平市麻垌中学高一月考)如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点求证：(1)ACPB；(2)PB/平面AEC.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)四

16、棱锥P-ABCD中，因PA平面ABCD，AC平面ABCD，于是得ACPA，而ABAC，平面PAB，从而得AC平面PAB，又PB平面PAB，所以ACPB；(2)连接BD交AC于点O，连接EO，如图， 因底面ABCD为平行四边形，则有O是BD中点，又E是PD中点，于是得EO/PB，而EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB/平面AEC.【题组四 线线角】1(2021黑龙江嫩江市第一中学校高一期末)如图，空间四边形ABCD的对角线AC8，BD6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90，则MN( )A3B4C5D6【答案】C【解析】取AD的中点P，连接PM，PN，则BDPM

17、，ACPN，MPN或其补角即异面直线AC与BD所成的角，MPN90，PNAC4，PMBD3，MN5故选：C.2(2021全国高一课时练习)已知正四棱锥P-ABCD，PA2，AB，M是侧棱PC的中点，且BM，则异面直线PA与BM所成角为_【答案】45【解析】如图，连接AC，BD交于点O，连接OM，则OMB为异面直线PA与BM所成角由O，M分别为AC，PC中点，得OMPA1在RtAOB中，易得OBABtan451又BM，即OB2OM2BM2，所以OMB为直角三角形，且OMB45故答案为：45.3(2021全国高一课时练习)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AB，AA1AC若ABACAA11

18、，BC，则异面直线A1C与B1C1所成的角为_【答案】60【解析】依题意，得BCB1C1，故异面直线A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角连接A1B，在A1BC中，BCA1CA1B，故A1CB60，即异面直线A1C与B1C1所成的角为60故答案为：60.4(2021全国高一课时练习)在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有_【答案】AB，A1B1【解析】由正三棱柱的性质可知与直线CD和AA1都垂直的直线有AB，A1B1故答案为：AB，A1B1.5(2021全国高一课时练习)若AOB135，直线aOA，a与OB为异面直线，则a和OB所

19、成的角的大小为_.【答案】45【解析】因为直线OA，a与OB为异面直线，所以的补角为a与OB所成角，又,所以a与OB所成角的大小为.故答案为：6(2021全国高一课时练习)如图，在四面体中，与所成的角为，、分别为、的中点，则线段的长为_【答案】或【解析】取的中点，连接、，、分别为、的中点，且，同理可得且，为异面直线与所成的角或其补角，则或.在中，.若，则为等边三角形，此时，；若，由余弦定理可得.综上所述，或.故答案为：或.7(2021全国高一课时练习)如图所示，空间四边形中，两条对边，分别是另外两条对边上的点，且，则异面直线和所成角的大小为_.【答案】【解析】如图，过点作，交于点，连接则 异面

20、直线和所成角即为或其补角在中，又 异面直线和所成角的大小为故答案为：8(2021全国高一课时练习)如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E分别是VB、VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角.【答案】45.【解析】因为D、E分别是VB、VC的中点，所以BCDE，因此ABC是异面直线DE与AB所成的角，又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，所以ABC是以ACB为直角的等腰直角三角形，于是ABC45，故异面直线DE与AB所成的角为45.【题组五 线面角】1(2021黑龙江鸡西实验中学高一期中)如图，四棱锥的底面是平行四边形，底面，(1)证明：ACCD；(2)若E是棱PC的中点，

21、求直线AD与平面PCD所成的角【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)证明：因为底面，底面，所以，因为，所以，平面，所以平面，因为平面，所以(2)由(1)平面，平面，所以，因为，为的中点，所以，因为，平面，所以平面，所以即为直线与平面所成的角，因为，所以，所以，所以，因为，所以，即直线与平面所成的角为；2(2021全国高一课时练习)如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点.(1)求证:AD平面BCC1B1;(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1平面ABC，BB1AD

22、，AB=AC，D是BC的中点，ADBC.又BCBB1=B，AD平面BCC1B1.(2)连接C1D.由(1)AD平面BCC1B1，则AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成角.在中，AD=，AC1=，sinAC1D=，即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为.3(2021全国高一课时练习)如图在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设分别为的中点(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)求直线与平面所成角的大小【答案】(1)证明见解析 ；(2) 证明见解析；(3) 【解析】(1)因为四边形为正方形，连接，则为中点，为中点，所以在中，且平面，平面，所以平面(2)因为平面平面，

23、平面平面，且四边形为正方形，所以平面，所以平面，所以，又，所以是等腰直角三角形，且，即，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面(3)因为，所以直线与平面所成角的大小等于直线与平面所成角的大小，因为侧面底面，所以就是直线与平面所成角，在中，所以，所以直线与平面所成角的大小为4(2021浙江镇海中学高一期中)如图，在直三棱柱中，(1)求证：；(2)若与的所成角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析；(2)或【解析】(1)将棱分别向下延长，使得，连接，如图：，与的交点为的中点，又，平面，取的中点，连接，,平面，,又，平面，又为的中点，(2)由(1)知与的所成角即与的所成角，取的中

24、点，连接，与平面所成的角即为与平面所成的角，当时，设，则，由(1)知，为的中点，故，令，则，又，则，又为等腰三角形，所以，又，易得为与平面所成的角，；当时，设，则，则，；故与平面所成角的正弦值为或5(2021河北邢台高一月考)如图，在直三棱柱中，底面是的等腰直角三角形，是边的中点(1)证明：平面(2)求直线与平面所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】(1)证明：因为，为的中点，所以又平面，平面，则因为，平面，所以平面；(2)解：由(1)知，平面，平面，所以可求出，所以，设点到平面的距离为，由，得，即，解得，即点到平面的距离为设与平面所成角为，则，即与平面所成角的正弦值为【题组六

25、 二面角】1(2021全国高一课时练习)如图所示，在中，平面垂直平分，且分别交于点D，E，求二面角的大小【答案】【解析】E为的中点，且，又，面，又面，面，面，又，面，面，即，即为二面角的平面角设由，得在中，即，在中，故，即二面角的大小为2(2021广东揭东高一期末)如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面(1)证明：平面平面；(2)若点是的中点，在上找一点使得直线平面，并说明理由(3)设，求二面角的余弦值【答案】(1)证明见解析；(2)点为的中点，证明见解析；(3)【解析】(1)证明：是圆的直径，又平面，平面，且，平面，平面，又平面，平面平面；(2)为的中点，证明如下：证明：取的中点，由

26、于点为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；(3)平面，平面，过作于，连结，且，平面，平面，从而得，为二面角的平面角，在中，则，二面角的余弦值为3(2021河北衡水市第十四中学高一期末)在四棱锥中，平面，分别为，的中点，(1)求证：平面平面；(2)求二面角的余弦值【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)由题意，设，则，又平面，面，则在中，在中，则，又面，有，又，故有面，又，分别为，的中点，即，面，又面，则平面平面；(2)过作，易知为中点，若是中点，连接，故面，即是二面角的平面角，由图知：二面角为，易知，则面，面，所以，在中，则，则二面角的余弦值为.4(2021湖南武冈市第二中学高一月

27、考)如图，在四棱锥中，为锐角，平面平面.(1)证明：平面；(2)若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)证明：在平面内过作于，因为平面平面，又平面平面，所以平面，平面，所以，过分别作于，取中点为，则，且，所以四边形是平行四边形，所以，所以， ，且平面，所以平面，平面所以，因为，平面.(2)二面角的平面角与二面角的平面角互补，由(1)可得，平面，因为平面，所以，所以为二面角的平面角，连接，在中，为与平面所成的角，由其正弦值为，可得，因为，所以，所以，所以二面角的余弦值为.5(2021浙江衢州高一期末)如图，平行四边形ABCD中，BAD=60，

28、AB=2，AD=4，将ACBD沿BD翻折到EBD的位置(1)当平面EBD平面ABD时，求证：ABDE；(2)若点F为BE的中点，二面角E-BD-C的大小为60，求直线DF与平面BCE所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)证明：在，BAD=60， AB=2，AD=4，所以由余弦定理得所以，所以所以ABBD， 因为平面EBD平面ABD，平面EBD平面ABD=BD，平面所以.AB平面EBD，因为平面EBD，所以ABDE；(2)因为四边形ABCD为平行四边形，所以， 因为ABBD，所以CDBD，EDBD，所以二面角E- BD- C的平面角为CDE=60，因为DC= DE，所以

29、CDE为正三角形，连接CE，取CE中点G，连接DG，则DGCE，在BCE中，BC=BE，所以BGCE，BGDG=G，所以CE平面DBG， 因为平面BCE，所以平面BCE平面DBG， . 因为平面BCE平面DBG=BG，作DHBG，则DH平面BCE，连接FH，则DFH是直线DF与平面BCE所成的角在DFH中，DF= 2，DH =sinDFH=6(2021江苏连云港高一期末)在三棱柱中，(1)求二面角的余弦值；(2)求证：平面平面【答案】(1)；(2)证明见解析【解析】(1)连接，在中，则，故，得，则，在中，则，中，所以，取的中点为，连接，则，所以为平面与平面所成的二面角，在中，得，所以二面角的余弦值为(2)由(1)知，所以平面与平面所成的二面角为，在中，所以，故，所以平面与平面所成的二面角为，所以平面平面