2023版高中数学新同步精讲精炼（选择性必修第二册） 4.1 数列的概念（精练）（教师版含解析）.docx

1、4.1 数列的概念(精练)【题组一 数列的定义辨析】1(2021全国高二专题练习)下列说法正确的是( )A数列1，3，5，7与数集1，3，5，7是一样的B数列1，2，3与数列3，2，1是相同的C数列是递增数列D数列是摆动数列【答案】D【解析】数列是有序的，而数集是无序的，所以A，B不正确；数列中各项依次变小，它是递减数列，C不正确；数列中的奇数项都比1小，偶数项都比1大，它是摆动数列，D正确.故选：D2(2021全国高二课时练习)下列说法错误的是( )A递推公式也是数列的一种表示方法Ban=an-1，a1=1(n2)是递推公式C给出数列的方法只有图象法、列表法、通项公式法Dan=2an-1，a

2、1=2(n2)是递推公式【答案】C【解析】根据递推公式和数列的第一项，我们也可以确定数列，故A正确；an=an-1(n2)与an=2an-1(n2)，这两个关系式虽然比较特殊，但都表示的是数列中的任意项与它的前后项间的关系，且都已知a1，所以都是递推公式.故B,D正确；通过图象、列表、通项公式我们可以确定一个数列，但是还可以有其他形式，比如列举法，故C错误；故选：C.3(2021全国)(多选)下列说法中正确的是( )A数列，与数列，是同一数列B数列，与数列，是同一数列C，能构成一个数列D数列，存在通项公式【答案】CD【解析】对于A，两数列中的数排列次序不相同，所以两数列不是同一数列，故A错误；

3、对于B，数列，是有穷数列，而数列，是无穷数列，所以两数列不是同一数列，故B错误；对于C，由数列的定义，可知，能构成一个常数列，故C正确；对于D，该数列的一个通项公式为，所以数列，存在通项公式，故D正确故选：CD【题组二 根据通项公式写出项】1(2021千阳县中学高二月考)已知数列1，1，2，3，5，8，13，21，( )，55括号中应填( )A23B33C34D44【答案】C【解析】根据题意，数列1，1，2，3，5，8，13，21满足，又由，故括号中应填34，故选：C2(2021安徽屯溪一中高二期中(理)已知数列1，则是数列中的( )A第29项B第30项C第36项D第37项【答案】A【解析】由

4、题意，此数列分母与分子之和为2的有一个，为3的两个，为4的有三个，按此规律，知出现在和为9那一组中，又每一组的数都是以分子为1开始，故是分子分母和为9的那一组的第一个数，由于和为9的那一组是第八组，前七组共有个数，故是第29个数，即第29项故选：A3(2021全国)观察数列21，24，27，则该数列的第20项等于( )A230B20CD【答案】C【解析】观察数列得出规律，数列中的项中，指数、真数、弧度数是按正整数顺序排列，且指数、对数、余弦值以3为循环，可得第20项为.故选：C.4(2021全国高二单元测试)已知数列，则是这个数列的( )A第10项B第11项C第12项D第21项【答案】B【解析

5、】令，解得n=11，故是这个数列的第11项.故选：B.5(2021全国高二课时练习)南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，6l，95，则该数列的第8项为A99B131C139D141【答案】D【解析】所给数列为高阶等差数列设该数列的第8项为根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列即得到了一个等差数

6、列，如图：根据图象可得：，解得解得：故选：D6(2021全国高二课时练习)由1，3，5，2n-1，构成数列an，数列bn满足b1=2，当n2时，则b6的值是( )A9B17C33D65【答案】C【解析】因an的通项公式为，而n2时，又b1=2，则.故选：C7(2021永寿县中学(文)已知是数列的前项和，通过计算得，根据通项的规律可以归纳得出( )A981B979C980D978【答案】A【解析】由可以猜想，的通项公式均为关于的多项式，且中的次数最高次为4次，则中的次数最高次为3次，则，根据通项的规律可以归纳得出.故.故选：A.8(2021全国高二单元测试)数列满足，则等于AB-1C2D3【答案

7、】C【解析】由，可推得，所以数列是以为周期的一个周期数列，所以9(2021云南玉溪(理)如下图至图，作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的每一个小三角形中又挖去一个“中心三角形”，以此类推，如果我们用着色三角形代表挖去的部分，那么剩下的白三角形则称为谢尔宾斯基三角形，该概念由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.下列4个图形中，若着色三角形的个数依次构成数列的前4项，则_.【答案】【解析】依题意可知，且所以，故答案为：10(2021全国高二课时练习)天干地支纪看法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛

8、、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推，已知2020年为庚子年，那么到建国100年时，即2049年以天干地支纪年法为_.【答案】已巳【解析】由题意可知数列天干是10个为一个循环的循环数列，地支是以12个一个循环的循环数列，从2020年到2049年一共有30年，且2020年为庚子年

9、，则，2049年的天干为已，余6，2049年的地支为巳，故2049年为已巳年，故答案为：已巳.【题组三 根据项写出通项公式】1(2021全国高二专题练习)已知数列an的前四项为1，0，1，0，则下列可作为数列an的通项公式的有( )an1(1)n1；an1(1)n1(n1)(n2)；ansin2；an；A1个B2个C3个D4个【答案】C【解析】当n1，2，3，4分别代入的通项公式中，可知符合，对于当n3时不符合，对于显然n1时就不符合，故可作为an通项公式的有3个2(2021全国高二课时练习)(多选)已知，给出4个表达式，其中能作为数列：0，1，0，1，0，1，0，1，的通项公式的是( )AB

10、CD【答案】ABC【解析】对于A，为奇数时，；为偶数时，满足条件；对于B，为奇数时，；为偶数时，满足条件；对于C，为奇数时，；为偶数时，满足条件；对于D，时，；时，依次类推，不满足条件.故选ABC.3(2021全国高二课时练习)写出下列数列的一个通项公式.(1)，；(2)2，3，5，9，17，33，；(3)，；(4)1，2，；(5)，.【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5).【解析】(1)第项的符号为，分子都是1，分母是，.(2)，.(3)，.(4)，.(5)，.4(2021全国)观察下列数列的特点，用适当的数填空，并写出数列的一个通项公式：(1)( )，( )，( )，；(2)，(

11、)，( )，；(3)，( )，( )，；(4)，( )，( ).【答案】详见解析【解析】(1)中依次填写、，通项公式为；(2)中依次填写、，通项公式为；(3)中依次填写、，通项公式为；(4)中依次填写、，通项公式为.5(2021全国高二专题练习)已知数列.(1)求这个数列的第10项；(2)是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0，1)内；(4)在区间内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由.【答案】(1)；(2)不是该数列中的项，理由见解析；(3)证明见解析；(4)只有一项，第二项.【解析】(1)设an=f(n)=.令n=10，得第10项a10=f(10)=.

12、(2)令=，得9n=300.此方程无正整数解，所以不是该数列中的项.(3)证明：an=，且nN*，0an1.数列中的各项都在区间(0，1)内.(4)令an=，当且仅当n=2时，上式成立，故在区间内有数列中的项，且只有一项为a2=.【题组四 数列的单调性】1(2021全国高二课时练习)已知数列的通项公式是，那么这个数列是( )A递增数列B递减数列C摆动数列D常数列【答案】A【解析】，因此，数列是递增数列.故选：A.2(2021全国高二课时练习)已知数列满足，对一切，则数列是( )A递增数列B递减数列C摆动数列D不确定【答案】B【解析】因为，所以数列为等比数列，又，则，所以得，故数列是递减数列.故

13、选：B.3(2021全国高二课时练习)若数列an为递减数列，则它的通项公式可以为()Aan2n3Bann23n1CanDan(1)n【答案】C【解析】若数列为递减数列，则.对于，是递增的数列，不合题意；对于，是先增后减，不合题意；对于，是递减的数列，符合题意；对于，是摆动的数列，不具有单调性.故选C.4(2021全国高二课时练习)数列是一个单调递增数列，则实数的取值范围是ABCD【答案】A【解析】因为数列是一个递增数列，则，即恒成立，即恒成立，因为，所以，故选A考点：数列的单调性5(2021全国高二课时练习)已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是ABCD【答案】D【解析】根据题

14、意，anf(n)，nN*，要使an是递增数列，必有，据此有：，综上可得2a3.本题选择D选项.6(2021全国高二课时练习)(多选)已知等差数列的公差，则下列数列递增的是( )ABCD【答案】AD【解析】对于A，数列是递增数列，A正确；对于B，不一定是正实数，即数列不一定是递增数列，B错误；对于C，不一定是正实数，即数列不一定是递增数列，C错误；对于D，故数列是递增数列，D正确故选：AD【题组五 数列的分类】1(2021全国高二专题练习)下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )A1，Bsin ，sin，sin，C1，D1，【答案】C【解析】D是有穷数列，A是递减数列，B是摆动数列，C

15、是无穷数列又是递增数列，故选：C.2(2021全国高二期末)已知，则数列是( )A递增数列B递减数列C先递增后递减数列D常数列【答案】A【解析】因为，所以，所以数列是递增数列.故选：A3(2021全国)下列数列既是递增数列，又是无穷数列的是( )A1，2，3，20B-1，-2，-3，-n，C1，2，3，2，5，6，D-1，0，1，2，100，【答案】D【解析】由递增数列和无穷数列的定义知D项正确.答案：D4(2021全国)对于无穷数列，给出下列命题：若数列既是等差数列，又是等比数列，则数列是常数列若等差数列满足，则数列是常数列若等比数列满足，则数列是常数列若各项为正数的等比数列满足，则数列是常

16、数列其中正确的命题个数是( )A1B2C3D4【答案】C【解析】：若数列既是等差数列又是等比数列，若，则，故，而，所以数列为常数列且，正确；：等差数列为无穷数列，若公差不为0，则要么递增要么递减，即无上界，要使等差数列满足，则数列是常数列，正确；：若等比数列满足，如，所以数列不一定是常数列，错误；：若各项为正数的等比数列满足，即，可得，若，则无上界，故，进而数列是常数列，正确故选：C5(2021全国高二专题练习)已知下列数列：2 013，2 014，2 015，2 016，2 017，2 018，2019，2 020；1，；1，；1，0，1，sin，；2，4，8，16，32，；1，1，1，1.

17、其中，有穷数列是_，无穷数列是_，递增数列是_，递减数列是_，常数列是_，摆动数列是_(填序号)【答案】 【解析】为有穷数列且为递增数列；为无穷、递减数列；为无穷、摆动数列；是摆动数列，也是无穷数列；为递增数列，也是无穷数列；为有穷数列，也是常数列故答案为：，【题组六 数列的最值】1(2021全国高二专题练习)数列an中，ann211n，则此数列最大项的值是( )A B30C31D32【答案】B【解析】，又nN*，当n5或6时，an取最大值30，故选：B.2(2021北京师范大学实验二龙路中学高二期中)已知数列的通项公式，记为数列的前项和，若使取得最小值，则( )A5B5或6C10D9或10【

18、答案】D【解析】根据二次函数的性质：，当时，当时，当时，所以，故当或10时，Sn取得最小值故选： D3(2021全国高二课时练习)(多选)已知数列满足，下列命题正确的有( )A当时，数列为递减数列B当时，数列一定有最大项C当时，数列为递减数列D当为正整数时，数列必有两项相等的最大项【答案】BCD【解析】当时，知A错误；当时，当，所以可判断一定有最大项，B正确；当时，所以数列为递减数列，C正确；当为正整数时，当时，当时，令，解得，则，当时，结合B，数列必有两项相等的最大项，故D正确；故选：BCD.4(2021全国高二专题练习)设，数列从首项到第m项的和最大，则m的值是_【答案】10或11【解析】

19、，由得，解得，又，所以数列从首项到第10或第11项的和最大，即或.故答案为：或5(2021全国高二课时练习)已知数列an的通项公式为an(nN)，则数列an的最大项是第_项【答案】6【解析】an (1)，当n5时，an0，且单调递减；当n5时，an0，且单调递减，当n6时，an最大故答案为：66(2021新蔡县第一高级中学高二开学考试)已知数列an的通项公式为an，则数列中的最大项为_【答案】【解析】设数列an中的第n项最大，则 即解得8n9.又nN*，则n8或n9.故数列an中的最大项为第8项和第9项，且a8a9.故答案为：7(2021全国高二课时练习)在数列中，(1)讨论数列的单调性；(2

20、)求数列的最大项【答案】(1)数列从第1项到第9项递增，从第10项起递减 ；(2) 【解析】(1)由题意，知，令，即，整理，得，解得，即令，即，整理得，解得，即所以数列从第1项到第9项递增，从第10项起递减(2)由(1)知数列的最大项为8(2021全国)已知数列的通项公式为.(1)问0.25是不是这个数列的项？如果是，为第几项；如果不是，请说明理由(2)计算，并判断其符号；(3)求此数列的最小项，该数列是否存在最大项？【答案】(1)是，第17项；(2)；大于零；(3)，无最大项.【解析】(1)是,令,即,解得,0.25是数列的项,是第17项(2)由题, ,即(3)由(2)可得数列是递增数列,则

21、最小项为首项,即,无最大项【题组七 公式法求通项】1(2021六盘山高级中学高二月考(文)数列满足，则( )ABCD【答案】D【解析】当时，则有；当时，由，可得，可得，所以，满足.故对任意的，.故选：D.2(2021全国高二课时练习)已知为数列的前项和，且，求数列的通项公式【答案】【解析】当时，；当时，因为不满足，所以，数列的通项公式为3(2021全国高二专题练习)已知数列an的前n项和Sn2n2n，则an_.【答案】4n1【解析】当n1时，a1S13，当n2时，anSnSn12n2n2(n1)2(n1)4n1，而a1S13411，也满足上式，故an4n1.故答案为：4n14(2022全国)若

22、数列an的前n项和Sn3n22n1，则数列an的通项公式an_.【答案】【解析】当n1时，a1S13122112；当n2时，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，显然当n1时，不满足上式故数列an的通项公式为an故答案为：5(2021全国高二课时练习)已知数列满足，则_.【答案】【解析】由题意得，当时，由条件知，所以当时，两式相除得.故答案为：.6(2021青海海东平安一中)若数列的前n项和，则的通项公式是=_.【答案】【解析】时，而，也适合上式，所以.故答案为：.7(2021全国高二专题练习)已知数列的前n项和公式，则其通项公式_.【答案】.【解析】由题意，数列an的前n项和公式当时，又由当时，所以数列的通项公式为.故答案为：