利用二级结论秒杀抛物线（解析版）.pdf

1、1利用二级结论秒杀抛物线 考点目录考点一：抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式考点二：过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式考点三：过焦点的两条相互垂直的弦的和及构成四边形面积最小值秒杀公式考点四：抛物线中点弦求斜率秒杀公式考点五：抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题考点六：抛物线中阿基米德三角形相关秒杀结论考点分类考点一：抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式已知倾斜角为 直线的 l 经过抛物线 y2=2px 的焦点 F，且与抛物线交于 A,B 两点，则|AF|=p1 cos,|BF|=P1+cos，1|FA|+1|FB|=2p.|AB|=2psin2，SOAB=p22sin，

2、|AB|=2p 1+1k2.|AF|=xA+p2，|BF|=xB+p2,|AB|=xA+xB+p.【精选例题】1 倾斜角为 45 的直线 l 经过抛物线 y2=4x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A，B 两点，则|AB|=()A.43B.4C.6D.8【答案】D【分析】根据已知条件，先求出直线 l 的方程，联立直线 l 与抛物线方程可得，x2-6x+1=0，再结合抛物线的定义，以及韦达定理，即可求解.【详解】直线 l 的倾斜角为 45，直线 l 的斜率为 1，抛物线 y2=4x，焦点 F(1,0)，直线 l 的方程为 y=x-1，设 A x1,y1,B x2,y2，联立直线与抛物线方程 y2=

3、4xy=x-1，化简整理可得，x2-6x+1=0，=62-4=32 0，由韦达定理可得，x1+x2=6，故|AB|=x1+x2+p=6+2=8.故选：D.22 已知 A x1,y1,B x2,y2是抛物线 C:x2=8y 上的两点，且直线 AB 经过 C 的焦点，若 y1+y2=12，则 AB=()A.12B.14C.16D.18【答案】C【分析】结合抛物线的弦长公式计算即可.【详解】AB=y1+p2+y2+p2=y1+y2+p=12+82=16.故选：C.3 已知抛物线 y2=6x，弦 AB 过抛物线的焦点 F 且满足 AF=3FB，则弦 AB 的中点到 y 轴的距离为()A.32B.3C.

4、52D.4【答案】C【分析】根据 AF=3FB可得 y1=-3y2，再根据韦达定理即可求出 A,B 的坐标，进而可求解.【详解】抛物线的焦点 F32,0，设 A(x1,y1),B(x2,y2)，假设 y2 0，显然弦 AB 所在的直线的斜率存在且不等于零，设弦 AB 所在的直线方程为 y=k x-32，联立 y=k x-32y2=6x，消去 x 可得，ky2-6y-9k=0，所以 y1y2=-9，因为 AF=3FB，所以32-x1,-y1=3 x2-32,y2，则 y1=-3y2，所以 y1y2=-3y22=-9，解得 y2=3，所以 y1=-3 3，所以 x2=y226=12,x1=y216

5、=92，所以弦 AB 的中点的坐标为52,-3，所以弦 AB 的中点 y 轴的距离为 52，故选:C.4 已知抛物线 E:y2=2px(p 0)的焦点为 F，过点 F 的直线 l 与抛物线 E 交于 A,B 两点(A 在第一象限)，O 为坐标原点，若 AF=2 BF=6，则()A.p=4B.直线 l 的斜率是 2 23C.线段 AB 的中点到 y 轴的距离是 52D.OAB 的面积是 6 2【答案】ACD【分析】设直线 l:x=my+p2,A x1,y1,B x2,y2，与抛物线方程联立，根据、韦达定理得出 m2=18，再由 AB=m2+1 y1-y2=9 求出 p 可判断 A；求出 m 可得

6、直线 l 的斜率，再由点 A 在第一象限可判断 B；设线段 AB 的中点为 M x0,y0，根据 x0=x1+x22=52 求出线段 AB 的中点到 y 轴的距离可判断C；利用 S=12 OF y1-y2求出 OAB 的面积可判断 D.【详解】由题意可得直线 l 的斜率不为 0，则可设直线 l:x=my+p2,A x1,y1,B x2,y2，联立y2=2px,x=my+p2,整理得 y2-2pmy-p2=0，则 y1+y2=2pm,y1y2=-p2，因为 AF=2 BF，所以 AF=2FB，所以 y1=-2y2，所以-2y2+y2=2pm，所以 y2=-2pm，则 y1y2=-2y22=-p2

7、，即-2 (-2pm)2=-p2，解得 m2=18，因为 AF=2 BF=6，所以 AB=m2+1 y1-y2=2p m2+1=94 p=9，解得 p=4，则 A 正确；对于 B，因为 m2=18，所以 m=24，则直线 l 的斜率是 2 2，因为点 A 在第一象限，所以直线 l 的斜率大于 0，所以直线 l 的斜率是 2 2，则 B 错误；对于 C，设线段 AB 的中点为 M x0,y0，则 x0=x1+x22=52，即线段 AB 的中点到 y 轴的距离是 52，则 C 正确；对于 D，因为 p=4,m2=18，所以 OF=2,y1-y2=y1+y22-4y1y2=2p m2+1=6 2，则

8、 OAB 的面积 S=12 OF y1-y2=6 2，故 D 正确.故选：ACD.【跟踪训练】1 已知抛物线 y2=2px(p 0)的焦点为 F，过焦点 F 的直线 l 交抛物线于两点 A，B若弦长|AB|=4p，则直线 l 的斜率为4【答案】1【分析】设直线 l 的方程为 x=my+p2，A x1,y1，B x2,y2，联立方程，利用韦达定理求出 y1+y2,y1y2，再根据抛物线的弦长公式即可得解.【详解】由题意，直线 l 的斜率不等于零，Fp2,0，设直线 l 的方程为 x=my+p2，A x1,y1，B x2,y2，联立 x=my+p2y2=2px，消 x 得 y2-2mpy-p2=0

9、，=4m2p2+4p2 0 恒成立，则 y1+y2=2mp,y1y2=-p2，所以|AB|=1+m2 y1+y22-4y1y2=1+m2 4m2p2+4p2=2p 1+m2=4p，解得 m=1，所以直线 l 的斜率为 1.故答案为：1.2 在直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C：y2=2px p 0的焦点为 F，过点 F 的倾斜角为 4 的直线 l与 C 相交于 A，B 两点，且点 A 在第一象限，OAB 的面积是 8 2，则()A.AB=8B.p=4C.1AF+1BF=12D.AF=8+4 2【答案】BCD【分析】联立直线与抛物线方程，利用根与系数的关系和焦半径公式求出弦长，由点到直线的距

10、离公式结合OAB 的面积求解 p，从而利用焦半径公式求解 AF,BF，逐项判断即可.【详解】抛物线 y2=2px p 0的焦点为 Fp2,0，准线为 x=-p2，设过焦点的直线方程为设直线 l：y=x-p2，A x1,y1，B x2,y2，联立直线与抛物线方程得y2=2pxy=x-p2消元得 x2-3px+p24=0，由韦达定理可得 x1x2=p24，x1+x2=3p，所以 AB=x1+x2+p=4p，又点 O 到直线 AB 的距离是-p212+-12=24 p，所以 SOAB=12 4p 24 p=8 2，得 p=4，所以 AB=16，故选项 A 错误，B 正确；由 p=4 知 x2-12x

11、+4=0，解得 x1=6+4 2,x2=6-4 2，5所以1AF+1BF=1x1+p2+1x2+p2=18+4 2+18-4 2=12，故选项 C 正确；AF=x1+P2=8+4 2，故选项 D 正确；故选：BCD.3 已知直线 l：y=x+m 过抛物线 C：y2=4x 的焦点 F，且与抛物线交于 A，B 两点，则()A.m=1B.AB=8C.AF=2 BFD.抛物线 C 上的动点到直线 y=x+2 距离的最小值为22【答案】BD【分析】求得抛物线 C 的焦点代入直线 l 的方程，求得 m=-1，可判定 A 错误；联立方程组，根据韦达定理和抛物线的焦点弦的性质，求得 AB=8，可判定 B 正确

12、；结合抛物线的定义，求得 AF,BF的值，可判定 C错误；设设 M(x1,y1)是抛物线 C 上的任意一点，利用点到直线的距离公式，结合二次函数的性质，可判定 D正确.【详解】由抛物线 C:y2=4x，可得焦点为 F(1,0)，因为 l:y=x+m 过抛物线 C 的焦点 F，可得 m+1=0，解得 m=-1，所以 A 错误；联立方程组 y=x-1y2=4x，整理得 x2-6x+1=0，设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则 =36-4=32 0，x1+x2=6,x1x2=1，由抛物线的焦点弦的性质，可得 AB=x1+x2+p=6+2=8，所以 B 正确；又由 x2-6x+1=0，解得 x1

13、=3+2 2,x2=3-2 2，根据抛物线的定义，可得 AF=x1+p2=4+2 2,2 BF=2 x2+p2=8-4 2，所以 AF 2 BF，所以 C 错误；设 M(x1,y1)是抛物线 C 上的任意一点，可得 y21=4x1，则点 M 到直线 y=x+2 的距离为 d=x1-y1+22=14 y21-y1+22=(y1-2)2+44 2，当 y1=2 时，dmin=22，所以 D 正确.故选：BD.4 已知直线 l 过抛物线 C:y2=4x 的焦点 F，且与抛物线 C 交于 A x1,y1,B x2,y2两点，点 M 为 C 的准线与 x 轴的交点，则下列结论正确的是()A.若 x1+x

14、2=5，则 AB=7B.过 C 的焦点的最短弦长为 46C.当 AF=2FB时，直线 l 的倾斜角为 3D.存在 2 条直线 l，使得 AF BM=BF AM成立【答案】AB【分析】由拋物线的定义,可判定 A 正确；根据抛物线的几何性质，可判定 B 正确；设直线 l 的方程为 x=my+1，联立方程组，得到 y1+y2=4m,y1y2=-4，结合 AF=2FB时，求得 k=2 2，可判定 C 错误；分别求得AF,BF,AM,BM，结合 AF BM=BF AM，化简代入，得到-4m+4m=0 恒成立，可判定 D错误.【详解】由拋物线的定义可得 AB=AF+BF=x1+x2+p=5+2=7，所以

15、A 正确；当过抛物线 C 的焦点且与 x 轴垂直时弦长最短，此时弦长为 4，所以 B 正确；设直线 l 的方程为 x=my+1，联立方程组 x=my+1y2=4x，整理得 y2-4my-4=0，可得 y1+y2=4m,y1y2=-4，当 AF=2FB时，y1=-2y2，则 y1+y2=4m，y1y2=-4，解得 y2=2,B 12,2,k=2 2，所以倾斜角不是 3，所以 C 错误；由 F 1,0,M-1,0，则 AF=x1-12+y21=my1+1-12+y21=1+m2y21，BF=x2-12+y22=my2+1-12+y22=1+m2y22，AM=x1+12+y21=my1+1+12+y

16、21=1+m2y21+4my1+4，BM=x2+12+y22=my2+1+12+y22=1+m2y22+4my2+4，由 AF BM=BF AM，则AFBF2=AMBM2，可得 y21y22=1+m2y21+4my1+41+m2y22+4my2+4，化简可得(my1y2+y1+y2)(y1-y2)=0，由 y1 y2，则 my1y2+y1+y2=0，将 y1+y2=4m，y1y2=-4 代入，则-4m+4m=0 恒成立，所以 D 错误.故选：AB.考点二：过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式抛物线 y2=2px 的焦点为 F，A(x1,y1),B(x2,y2)是过 F 的直线与抛物线

17、的两个交点，求证：x1x2=p24,y1y2=p2.一般地，如果直线 l 恒过定点 M(m,0)与抛物线 y2=2px(p 0)交于 A,B 两点，那么xAxB=m2,yAyB=2pm.若 OA OB AB 恒过定点(2p,0).【精选例题】1 已知抛物线 C：y=2x2 的的焦点为 F，M x1,y1、N x2,y2是抛物线上两点，则下列结论正确的是()7A.点 F 的坐标为18,0B.若直线 MN 过点 F，则 x1 x2=-116C.若 MF=NF，则 MN的最小值为 14D.若|MF|+|NF|=32，则线段 MN 的中点 P 到 x 轴的距离为 58【答案】BCD【分析】由抛物线方程

18、确定焦点坐标知 A 错误；直线 MN 与抛物线方程联立，利用韦达定理可知 B 正确；根据 MN 过焦点可知最小值为通径长，知 C 错误；利用抛物线焦半径公式，结合中点坐标公式可求得 P 点纵坐标，知 D 正确.【详解】抛物线 y=2x2，即 x2=12 y，对于 A，由抛物线方程知其焦点在 y 轴上，焦点为 F 0,18，故 A 错误；对于 B，依题意，直线 MN 斜率存在，设其方程为 y=kx+18，由x2=12 yy=kx+18，消去 y 整理得 x2-12 kx-116=0，则 =14 k2+14 0，x1+x2=12 k，x1x2=-116，故 B 正确；对于 C，若 MF=NF，则直

19、线 MN 过焦点，所以 MN=MF+NF=y1+18+y2+18=kx1+18+kx2+18+14=12 k2+12，所以当 k=0 时，MNmin=12，所以 MN的最小值为 12，故 C 正确；对于 D，因为 MF+NF=y1+18+y2+18=32，则 y1+y2=54，即 P 点纵坐标为 y1+y22=58，所以 P 到 x 轴的距离为 58，故 D 正确.故选：BCD.2 已知抛物线 y2=8x 的焦点为 F，过 F 且倾斜角为 45 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点()A.直线 l 的方程为 x-y-2=0B.原点到直线 l 的距离为2C.AB=16D.y1y2=-8【答案】A

20、BC【分析】先求得抛物线的焦点坐标，根据点斜式、点到直线的距离公式、弦长公式、根与系数关系等知识确定正确答案.【详解】抛物线 y2=8x 的焦点为 F 2,0，8所以过 F 且倾斜角为 45 的直线 l 的斜率为 1，所以直线 l 的方程为 y-0=1 x-2,x-y-2=0，A 选项正确，原点到直线 l 的距离为 0-0-22=2，B 选项正确.由 y2=8xx-y-2=0消去 y 并化简得 x2-12x+4=0,=144-4 4=128 0，设 A x1,y1,B x2,y2，则 x1+x2=12,x1x2=4，所以 AB=x1+x2+p=12+4=16，C 选项正确.y1y2=x1-2x

21、2-2=x1x2-2 x1+x2+4=4-24+4=-16，所以 D 选项错误.故选：ABC3 已知抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，点 A，B 是抛物线 C 上不同两点，下列说法正确的是()A.若 AB 中点 M 的横坐标为 3，则 AB的最大值为 8B.若 AB 中点 M 的纵坐标为 2，则直线 AB 的倾斜角为 4C.设 N 4,0，则 AN的最小值为 4 2D.若 OA OB，则直线 AB 过定点 4,0【答案】ABD【分析】对于 A：利用 A，B，F 三点的位置与 AF,BF,AB的关系及抛物线的定义求 AB的最大值；对于 B：利用点 A，B 在抛物线上及直线的斜率公式，将斜率转

22、化为 A，B 两点纵坐标间的关系；对于 C：利用点 A 在抛物线上及两点间的距离公式，将 AN转化为点 A 纵坐标的代数式，结合二次函数的性质求AN的最小值；对于 D：设直线 AB 的方程，与抛物线方程联立，转化为关于点 A，B 纵坐标的一元二次方程，结合 OA OB 及一元二次方程根与系数的关系求解直线 AB 方程中的参数，确定直线 AB 所过的定点【详解】设 A xA,yA,B xB,yB对于选项 A：若 AB 中点 M 的横坐标为 3，则 xA+xB=6，可得 AB AF+BF=xA+xB+2=8，当且仅当 A，B，F 三点共线时，等号成立，所以 AB的最大值为 8，故 A 正确；对于选

23、项 B：若 AB 中点 M 的纵坐标为 2，则 yA+yB=4，由题意可知直线 AB 的斜率存在，则 kAB=yA-yBxA-xB=yA-yBy2A4-y2B4=4yA+yB=1，所以直线 AB 的倾斜角为 4，故 B 正确；对于选项 C：设 A t24,t，9则 AN=t24-42+t2=t416-t2+16=t24-22+12 2 3，当且仅当 t=2 2 时，等号成立，所以 AN的最小值为 2 3，故 C 错误；对于选项 D：设直线 AB 的方程 x=my+n n 0，代入抛物线 y2=4x，得 y2-4my-4n=0，则 =16m2+16n 0，可得 yA+yB=4myAyB=-4n，

24、因为 OA OB，所以 OA OB=xAxB+yAyB=myA+nmyB+n+yAyB=m2+1yAyB+mn yA+yB+n2=-4n m2+1+4m2n+n2=n2-4n=0，因为 n 0，解得 n=4，满足 0，则直线 AB 的方程为 x=my+4，所以直线 AB 过定点 4,0，故 D 正确故选：ABD【跟踪训练】1 过抛物线 y2=2px(p 0)焦点 F 的直线与抛物线交于 A x1,y1，B x2,y2两点，则说法正确的是()A.AB=x1+x2+pB.y1+y2=p2C.1AF+1BF=2pD.OA OB=-34 p2【答案】ACD【分析】根据抛物线的定义求解判断 A；当直线

25、AB 垂直于 x 轴时可判断 B；联立直线与抛物线方程，结合韦达定理计算判断 CD.【详解】抛物线 y2=2px 的焦点 Fp2,0，准线为 x=-p2，根据抛物线的定义，点 A x1,y1，B x2,y2到焦点的距离分别等于其到准线的距离，|AF|=x1+p2,|BF|=x2+p2,所以 AB=|AF|+|BF|=x1+x2+p，故 A 正确；当直线 AB 垂直于 x 轴时，不妨设 A p2,p,B p2,-p，故 y1+y2=p-p=0，故 B 错误；当直线 AB 垂直于 x 轴时，不妨设 A p2,p,B p2,-p，故 AF=BF=p，所以1|AF|+1|BF|=1p+1p=2p.当直

26、线 AB 不垂直于 x 轴时，设直线 AB:y=k x-p2，k 0，10联立方程 y=k x-p2y2=2px，可得 k2x2-p(k2+2)x+k2p24=0，所以 =p2(k2+2)2-4k2 k2p24=4p2(k2+1)0 恒成立，x1+x2=p(k2+2)k2,x1x2=p24，1|AF|+1|BF|=1x1+p2+1x2+p2=x1+p2+x2+p2x1+p2x2+p2=-x1+x2+px1x2+p2(x1+x2)+p24=p(k2+2)k2+pp24+p2 p(k2+2)k2+p24=2p(2k2+2)p2(2k2+2)=2p.综上，1|AF|+1|BF|=2p，故 C 正确；

27、当直线 AB 垂直于 x 轴时，不妨设 A p2,p,B p2,-p，OA OB=x1x2+y1y2=p2 p2-p2=-3p24，当直线 AB 不垂直于 x 轴时，OA OB=x1x2+y1y2=x1x2+k2 x1-p2x2-p2=(1+k2)x1x2-pk22(x1+x2)+p2k24=(1+k2)p24-pk22 p(k2+2)k2+p2k24=-3p24，综上，OA OB=-3p24，故 D 正确.故选：ACD.2 已知点 M(-1,0)在抛物线 C:y2=2px p 0的准线上，过抛物线 C 的焦点 F 作直线 l 交 C 于A x1,y1、B x2,y2两点，则()A.抛物线 C

28、 的方程是 y2=4xB.x1x2=1C.当 AF=3FB时，AB=323D.AMF=BMF【答案】ABD【分析】求出 p 的值，可得出抛物线 C 的方程，可判断 A 选项；设直线 l 的方程为 x=my+2，将该直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可判断 B 选项；根据平面向量的线性运算，结合韦达定理求出 m2的值，再结合抛物线的焦点弦长公式可判断 C 选项；计算出直线 AM、BM 的斜率之和，可判断 D 选项.【详解】对于 A 选项，抛物线 C 的准线方程为 x=-p2，因为点 M-1,0在抛物线 C:y2=2px p 0的准线上，则-p2=-1，可得 p=2，所以抛物线 C 的方程

29、为 y2=4x，A 对；11对于 B 选项，抛物线 C 的焦点为 F 1,0，若直线 l 与 x 轴重合，此时，直线 l 与抛物线 C 只有一个公共点，不合乎题意，所以直线 l 不与 x 轴重合，设直线 l 的方程为 x=my+1，联立 x=my+1y2=4x，可得 y2-4my-4=0，=16m2+16 0，则 y1y2=-4，所以 x1x2=y214 y224=-4216=1，B 对；对于 C 选项，因为 AF=3FB，即 1-x1,-y1=3 x2-1,y2，则-y1=3y2，因为 y1+y2=-2y2=4m，可得 y2=-2m，则 y1y2=-3y22=-3 -2m2=-12m2=-4

30、，则 m2=13，此时，AB=x1+x2+2=my1+1+my2+1+2=m y1+y2+4=4 m2+1=4 13+1=163，C 错；对于 D 选项，kAM=y1x1+1=y1my1+2，同理可得 kBM=y2my2+2，所以 kAM+kBM=y1my1+2+y2my2+2=y1 my2+2+y2 my1+2my1+2my2+2=2my1y2+2 y1+y2my1+2my2+2=-8m+8mmy1+4my2+4=0，所以 AMF=BMF，D 对.故选：ABD.3 已知 A x1,y1,B x2,y2是抛物线 C:y2=x 上不同于原点 O 的两点，点 F 是抛物线 C 的焦点，下列说法正确

31、的是()A.点 F 的坐标为14,0,B.AB=x1+x2+12C.若 OA OB，则直线 AB 经过定点 1,0D.若点 P-2,1,PA PB 为抛物线 C 的两条切线，则直线 AB 的方程为 x-2y-2=0【答案】ACD【分析】根据抛物线的方程可得焦点坐标可判断 A，根据焦点弦的性质可判断 B，根据垂直关系得 y1y2=-1，由两点坐标求解直线方程即可判断 C，根据切线方程求出切点坐标，进而根据两点求解直线方程即可求解D.【详解】因为拋物线 C:y2=x，故 F 的坐标为14,0,故 A 正确；由于当直线 AB 过焦点时，由抛物线定义可得 AB=x1+x2+12，但直线 AB 不一定过

32、焦点，故 B 错误；若 OA OB，故 x1x2+y1y2=y1y22+y1y2=0，即 y1y2=-1 或 y1y2=0(舍去)，12因为直线 AB:y=y1-y2x1-x2x-x1+y1，即 y=y1-y2y12-y22 x-y21+y1=1y1+y2x+y1y2y1+y2，得 y=1y1+y2x-1，故直线 AB 经过定点 1,0，故 C 正确；设过点 P-2,1的切线方程为 x=m y-1-2，联立 x=m y-1-2y2=x y2-my+m+2=0，所以 =m2-4m-8=0，故 m=2+2 3 或 m=2-2 3，所以方程的根为 y=m2，故切线 PA,PB 方程中 m 分别为 m

33、1=2+2 3 和 m2=2-2 3，故 y1+y2=m1+m22=2，y1y2=m1m24=-2，可得直线 AB:y=y1-y2y21-y22x-y21+y1=1y1+y2x+y1y2y1+y2=12 x-1，即 x-2y-2=0，故 D 正确.故选：ACD.考点三：过焦点的两条相互垂直的弦的和及构成四边形面积最小值秒杀公式已知 AB,CD 是抛物线 E:y2=2px(p 0)中过焦点 F 的两条相互垂直的弦，AB+CD存在最小值，且最小值为 8p.已知 AB,CD 是抛物线 E:y2=2px(p 0)中过焦点 F 的两条相互垂直的弦，则四边形 ABCD 的面积的最小值为 8p2.【精选例题

34、】1 过抛物线 C：y2=4x 的焦点 F 作两条互相垂直的直线 l1和 l2，设直线 l1交抛物线 C 于 A，B 两点，直线 l2交抛物线 C 于 D，E 两点，则 AB+DE可能的取值为()A.18B.16C.14D.12【答案】AB【分析】由题意可知直线 l1，l2的斜率均存在且均不为 0，所以不妨设 l1的斜率为 k，则 l1：y=k x-1，l2：y=-1k x-1，然后将两直线方程分别代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系，结合弦长公式表示出AB,DE，再利用基本不等式可求得结果.【详解】由题意可知直线 l1，l2的斜率均存在且均不为 0因为抛物线 C 的焦点为 F 1,0，所以

35、不妨设 l1的斜率为 k，则 l1：y=k x-1，l2：y=-1k x-1由 y2=4x,y=k x-1,消去 y 得 k2x2-2k2+4x+k2=0设 A x1,y1，B x2,y2，则 x1+x2=2k2+4k2=2+4k2 由抛物线的定义，知 AB=x1+x2+2=4+4k2 同理可得 DE=4+4k2，13所以 AB+DE=8+41k2+k2 8+8=16，当且仅当 1k2=k2，即 k=1 时，等号成立，所以 AB+DE 16,+，故选：AB 2 在平面直角坐标系 xOy 中，已知动圆 M 与圆 x2+y2-2x=0 内切，且与直线 x=-2 相切，设动圆圆心 M的轨迹为曲线 E

36、.(1)求曲线 E 的方程；(2)过点 F 1,0作两条互相垂直的直线与曲线 E 相交于 A，B 两点和 C，D 两点，求四边形 ACBD 的面积S 的最小值.【答案】(1)y2=4x；(2)32【分析】(1)利用圆和圆，圆和直线的位置关系的性质和抛物线的定义即可求解.(2)设直线 AB 的方程为 x=my+1，m 0,联立方程组得 y1+y2=4m,y1y2=-4,，再利用抛物线的的性质求AB，同理求 CD，最后利用基本不等式求解即可.【详解】(1)设圆 M 的半径为 r，圆 x2+y2-2x=0 的圆心 F 1,0，半径为 1，因为圆 M 与圆 F 内切，且与直线 x=-2 相切，所以圆心

37、 M 到直线 x=-2 的距离为 r，因此圆心 M 到直线 x=-1 的距离为r-1，且 MF=r-1，故圆心 M 到点 F 的距离与到直线 x=-1 的距离相等，据抛物线的定义，曲线 E 是以 F 1,0为焦点，直线 x=-1 为准线的抛物线，所以曲线 E 的方程为 y2=4x.(2)设直线 AB 的方程为 x=my+1，m 0，A x1,y1，B x2,y2.联立方程组 x=my+1,y2=4x,整理得 y2-4my-4=0，故 y1+y2=4m,y1y2=-4,所以 AB=AF+BF=x1+1+x2+1=my1+1+1+my2+1+1=m y1+y2+4=4m2+4.因为 AB CD，直

38、线 CD 的方程为 x=-1m y+1，同理可得 CD=4m2+4.所以 S=12 AB CD=12 4m2+44m2+4=8 2+m2+1m2 8 2+2m2 1m2=32，14当且仅当 m2=1m2，即 m=1 时，取等号.所以四边形 ABCD 面积 S 的最小值为 32.【跟踪训练】1 已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1与 C 交于 A，B 两点，直线 l2与 C 交于 D，E 两点，则 AB+DE的最小值为【答案】16【分析】设直线 l1方程，由两直线垂直可得 l2方程，联立 l1与抛物线方程可得根与系数关系式，利用弦长公式

39、可得 AB表达式，同理可得 DE的表达式，结合基本不等式即可求得答案.【详解】由题意知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F(1,0)，焦准距 p=2，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1与 C 交于 A，B 两点，直线 l2与 C 交于 D，E 两点，则 l1，l2的斜率都存在且不为 0，故设 l1:y=k x-1，则直线 l2:y=-1k x-1，设 A x1,y1,B x2,y2,D x3,y3,E x4,y4，联立 y2=4xy=k x-1，则 k2x2-2k2+4x+k2=0，=16(k2+1)0，则 x1+x2=2k2+4k2，同理 x3+x4=2k2+41k2，故|

40、AB|=x1+x2+p=2k2+4k2+2=4+4k2，同理可得|CD|=x3+x4+p=2k2+41k2+2=4+4k2,故 AB+DE=8+4 k2+1k2 8+4 2k2 1k2=16，当且仅当 k2=1k2，即 k=1 时等号成立，故 AB+DE的最小值为 16.2 已知抛物线 y2=4x.其焦点为 F，若互相垂直的直线 m，n 都经过抛物线 y2=4x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A，B 两点和 C，D 两点，则四边形 ABCD 面积的最小值为【答案】32【详解】依题意知,直线 m,n 的斜率存在且不为 0,设直线 m 的方程为 y=k(x-1),与抛物线方程联立,得 y=k(x-

41、1)y2=4x，15消去 y,整理得 k2x2-2k2+4x+k2=0,设其两根为 x3,x4,则 x3+x4=4k2+2.由抛物线的定义可知，|AB|=2+x3+x4=4k2+4,同理可得|CD|=4k2+4,四边形 ABCD 的面积 S=12 4k2+44k2+4=8 2+k2+1k2 32.当且仅当 k=1 时等号成立,此时所求四边形 ABCD 面积的最小值为 32.考点四：抛物线中点弦求斜率秒杀公式设直线 l 与抛物线 y2=2px 相交所得的弦 AB 的中点坐标为 x0,y0，则 kAB=py0【精选例题】1 已知抛物线 y2=2px 的一条弦 AB 恰好以点 P(1,1)为中点，弦

42、 AB 的长为15，则抛物线的准线方程为()A.x=-12B.x=-1C.x=-32D.x=-2【答案】B【分析】设 A x1,y1，B x2,y2，得到 x1+x2=2，y1+y2=2，结合“点差法”求得 k=p，得到直线 AB 的方程为y=p(x-1)+1，联立方程组，利用弦长公式，列出方程，求得 p=2，进而求得抛物线的准线方程【详解】设 A x1,y1，B x2,y2，弦 AB 所在直线方程为 y=k(x-1)+1，则 x1+x2=2，y1+y2=2，也点 A，B 在抛物线 y2=2px 上，可得 y21=2px1y22=2px2，两式相减可得 y1+y2y1-y2=2p x1-x2，

43、所以 y1-y2x1-x2=p，即 k=p，所以弦 AB 所在直线的方程为 y=p(x-1)+1，联立方程组 y=p x-1+1y2=2px，整理得 p2x2-2p2x+(1-p)2=0，可得 x1+x2=2，x1x2=(1-p)2p2，所以 AB=1+p2x1+x22-4x1x2=1+p2 22-4 (1-p)2p2=15，所以 4p2 1+p2(2p-1)=15，即 8p3-19p2+8p-4=0，可得(p-2)8p2-3p+2=0，解得 p=2，所以抛物线的准线方程为 x=-1故选：B162 直线 y=kx-2 与抛物线 y2=8x 交于 A,B 两点，AB 中点的横坐标为 2，则 k

44、为()A.-1B.2C.-1 或 2D.以上都不是【答案】B【分析】设 A(x1,y1),B(x2,y2)，得到 x1+x2=4，求得 y1+yy=4k-4，再由 y21=8x1y22=8x2，两式相减，得到 y2-y1x2-x1=8y1+y2，得出方程 k=84k-4，即可求解.【详解】设 A(x1,y1),B(x2,y2)，因为 AB 中点的横坐标为 2，则 x1+x2=4，可得 y1+yy=k(x1+x2)-4=4k-4，又由 y21=8x1y22=8x2，两式相减得到(y2-y1)(y1+y2)=8(x2-x1)，可得 y2-y1x2-x1=8y1+y2，可得 k=84k-4，解得 k

45、=-1 或 k=2，联立方程组 y=kx-2y2=8x，整理得 k2x2-(4k+8)x+4=0，由 =(4k+8)2-16k2=64k+64 0，解得 k-1，所以 k=2.故选：B.3 直线 l 过抛物线 y2=4x 的焦点 F，且与抛物线交于 A,B 两点，线段 AB 中点的纵坐标为 1，O 为坐标原点，则 O 到直线 AB 的距离为()A.2 55B.3 55C.5D.25【答案】A【分析】设 A x1,y1，B x2,y2，代入抛物线方程，两式相减后结合线段 AB 中点的纵坐标得出 kAB，再结合焦点 F 的坐标得出直线 AB 的方程，由点到直线距离公式计算即可【详解】由抛物线 y2

46、=4x 得焦点 F(1,0)，设 A x1,y1，B x2,y2，则 y21=4x1y22=4x2，两式相减得 y21-y22=4(x1-x2)，即 y1-y2x1-x2=4y1+y2，因为线段 AB 中点的纵坐标为 1，即 y1+y2=2，所以 y1-y2x1-x2=2，即 kAB=2，所以直线 AB 的方程为 y=2(x-1)，即 2x-y-2=0，显然此时直线与抛物线有两交点，所以 O 到直线 AB 的距离 d=-25=2 55，故选：A【跟踪训练】171 已知直线 l 与抛物线 C:y=2x2相交于 A,B 两点，若线段 AB 的中点坐标为 1,4，则直线 l 的方程为()A.4x-y

47、=0B.2x-y=0C.8x-y-6=0D.x-2y+3=0【答案】A【分析】利用点差法可求得直线斜率，由直线点斜式方程可整理得到结果.【详解】设 A x1,y1,B x2,y2，由 y1=2x21y2=2x22得：y1-y2=2 x21-x22=2 x1+x2x1-x2，线段 AB 的中点为 1,4，x1-x2 0，x1+x2=2，y1-y2x1-x2=2 x1+x2=4，即直线 l 的斜率为 4，直线 l 的方程为：y-4=4 x-1，即 4x-y=0.故选：A.2 已知抛物线 y2=2px p 0的焦点为 F，第一象限的 A、B 两点在抛物线上，且满足 BF-AF=4，AB=4 2.若线

48、段 AB 中点的纵坐标为 4，则抛物线的方程为.【答案】y2=8x【分析】先根据焦半径公式得到 x1,x2的关系，然后根据弦长公式求解出 kAB，结合两点间斜率公式以及点在抛物线上求解出 p 的值，则抛物线方程可求.【详解】设 A x1,y1,B x2,y2，因为 BF-AF=4，所以 x2+p2-x1+p2=4，所以 x2-x1=4，又因为 AB=1+k2AB x1-x2=4 2，所以 k2AB=1，因为 A,B 都在第一象限，所以 kAB=1，又因为 kAB=y2-y1x2-x1=y2-y1y222p-y212p=2py1+y2=1 且 y1+y2=4 2=8，所以 2p=8，所以 p=4

49、，所以抛物线方程为 y2=8x，故答案为：y2=8x.3 已知抛物线 C:y2=4x，过点 P 1,1的直线交抛物线 C 于 A、B 两点，若 P 为 AB 的中点，则直线 AB的方程为.【答案】y=2x-1【分析】设出 A，B 的坐标，代入抛物线方程，利用作差法，结合中点坐标公式代入先求出直线的斜率，再利用点斜式方程即可得到结论.【详解】设 A x1,y1，B x2,y2，由题意 x1 x2，18因为 A，B 在抛物线上，所以 y12=4x1，y22=4x2，两式相减得，y12-y22=4 x1-x2，整理得，y1-y2x1-x2=4y1+y2，即直线 AB 的斜率 k=4y1+y2，直线

50、AB 的中点为 P 1,1，y1+y22=1，k=2，所以直线 AB 的方程为 y-1=2 x-1，化简得 y=2x-1.故答案为：y=2x-1.考点五：抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题设 AB 是过抛物线 y2=2px(p 0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以弦 AB 为直径的圆与准线相切以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切.【精选例题】1 已知 A,B 是抛物线 C:y2=6x 上的两动点，F 是抛物线的焦点，下列说法正确的是()A.直线 AB 过焦点 F 时，以 AB 为直径的圆与 C 的准线相切B.直线 AB 过焦点 F 时，AB的最小值为

51、6C.若坐标原点为 O，且 OA OB，则直线 AB 过定点 3,0D.与抛物线 C 分别相切于 A,B 两点的两条切线交于点 N，若直线 AB 过定点32,0，则点 N 在抛物线 C 的准线上【答案】ABD【分析】对于 A：根据抛物线的定义分析判断；对于 B：设 AB 方程为 x=my+32，联立方程，根据抛物线的定义结合韦达定理分析求解；对于 C：设 AB 方程为 x=my+a，设 A y216,y1，B y226,y2，联立方程，根据垂直关系可得 y1y2=-36，结合韦达定理分析求解；对于 D：可知抛物线 C 在点y206,y0处的切线方程为 x=y03 y-y206，根据切线方程求交

52、点坐标，结合选项 B 分析判断.【详解】对于选项 A：如图 1，设 AB 中点为 M，分别过点 A,B,M 向准线作垂线，垂足为 A1,B1,M1，则由抛物线的定义可得，AF=AA1，BF=BB1.19因为 AB 中点为 M，所以有 MM1=AA1+BB12=AF+BF2=AB2，所以以 AB 为直径的圆与 C 的准线相切，故 A 正确；对于选项 B：由抛物线 C:y2=6x，可得 F32,0，由题意可知直线 AB 斜率不为 0，设 AB 方程为 x=my+32，设 A x1,y1，B x2,y2，联立直线与抛物线的方程 x=my+32y2=6x，消去 x 可得 y2-6my-9=0，则 =-

53、6m2+36=36m2+36 0 恒成立。可得 y1+y2=6m，y1y2=-9，则 x1+x2=my1+32+my2+32=6m2+3，所以 AB=x1+x2+p=6m2+6当且仅当 m=0 时，AB取到最小值 6，故 B 正确；对于选项 D：先证抛物线 C 在点y206,y0处的切线方程为 x=y03 y-y206，联立方程 x=y03 y-y206y2=6x，消去 x 得 y2-2y0y+y20=y-y02=0，可知方程组只有一个解，即直线 x=y03 y-y206 与抛物线 C 相切，可知抛物线 C 在点 A,B 处的切线方程分别为 x=y13 y-y216，x=y23 y-y226，

54、联立方程x=y13 y-y216x=y23 y-y226，解得x=y1y26y=y1+y22，即点 Ny1y26,y1+y22，结合选项 B 可得：y1y26=-96=-32，所以点 N 在抛物线 C 的准线 x=-32 上，故 D 正确；对于选项 C：由题意可知直线 AB 斜率不为 0，设 AB 方程为 x=my+a，设 A y216,y1，B y226,y2，y1y2 0，则 OA=y216,y1，OB=y226,y2，若 OA OB，则 OA OB=y21y2236+y1y2=0，解得 y1y2=-36 或 y1y2=0(舍去)，联立直线与抛物线的方程 x=my+ay2=6x，消去 x

55、可得 y2-6my-6a=0，则 y1y2=-6a=-36，解得 a=6，20此时 =-6m2+4 36=36m2+144 0，符合题意，所以 OA OB，则直线 AB 过定点 6,0，故 C 错误；故选：ABD.2 已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F，过焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点(其中点 A 在 x 轴上方)，则()A.1AF+1BF=1B.弦 AB 的长度最小值为 lC.以 AF 为直径的圆与 y 轴相切D.以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切【答案】ACD【分析】由弦长公式计算可得选项 A、B；C、D 选项，可以利用圆的性质，圆心到直线的距离等于半径判定直线与圆相

56、切.【详解】由题，焦点 F 1,0，设直线 l:x=ty+1,A x1,y1,B x2,y2,y1 0,y2 0，y1+y2=4t,y1y2=-4，|AF|=x1-12+y21=t2y21+y21=|y1|t2+1，同理可得，|BF|=|y2|t2+1，1AF+1BF=|AF|+|BF|AF|BF|=t2+1|y1|+|y2|t2+1|y1y2|=y1-y24 t2+1=(y1+y2)2-4y1y24 t2+1=4 t2+14 t2+1=1，故 A 选项正确；|AB|=|AF|+|BF|=t2+1|y1|+|y2|=t2+1 y1-y2=t2+1y1+y22-4y1y2=4 t2+1 4，故弦

57、 AB 的长度最小值为 4，B 选项错误；记 AF 中点 Mx1+12,y12，则点 M 到 y 轴的距离为 d=x1+12=x1+12，由抛物线的性质，|AF|=x1+1,d=12|AF|，所以以 AF 为直径的圆与 y 轴相切，故 C 选项正确；|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2，记 AB 中点 Nx1+x22,y1+y22，则点 N 到抛物线的准线的距离 d=x1+x22+1=x1+x2+22=|AB|2，故以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，D 选项正确.故选：ACD.【跟踪训练】4 设 O 是坐标原点，直线 y=k x-2k 0经过抛物线 C：y2=2px 的焦点 F，

58、且与 C 交于 A，B 西21点，OAF 是以 OF 为底边的等腰三角形，l 是抛物线 C 的准线，则()A.以 AB 直径的圆与准线 l 相切B.k=2C.BF=2FAD.OAB 的面积是 6 2【答案】ACD【分析】根据抛物线的定义及直线与圆的位置关系判断 A；由条件求得 A,B 的坐标，利用斜率公式判断 B；根据向量的坐标运算判断 C；根据三角形面积公式求解判断 D.【详解】直线 y=k x-2k 0与 x 轴的交点为 2,0，即焦点 F 2,0，则 p2=2,p=4，故抛物线 C 的方程 y2=8x，设 A x1,y1,B x2,y2，由题意可知 A 点在第四象限，B 点在第一象限，设

59、 AB 的中点 M，过 M 作 MN l，垂足为 N，过 A 作 AA l，垂足为 A，过 B 作 BB l，垂足为 B，则 MN=12AA+BB=12AF+BF=12 AB，则以 AB 直径的圆与准线 l 相切，故 A 正确；OAF 是以 OF 为底边的等腰三角形，x1=1，得 A 1,-2 2，联立 y=k x-2y2=8x，得 k2x2-4k2+8x+4k2=0，易知 0，则 x1x2=4，则 x2=4，得 B 4,4 2，k=kAB=4 2+2 24-1=2 2，故 B 错误；BF=-2,-4 2,FA=-1,-2 2，BF=2FA，故 C 正确；OAB 的面积为 S=12 OFy1-

60、y2=12 2 -2 2-4 2=6 2，故 D 正确.故选：ACD.5 已知抛物线 C:y2=2px(p 0)的焦点 F 在直线 l:y=kx-k 上，直线 l 与抛物线交于点 A,B(O 为坐标原点)，则下列说法中正确的是()A.p=2B.准线方程为 x=-2C.以线段 AB 为直径的圆与 C 的准线相切D.直线 OA OB 的斜率之积为定值【答案】ACD【分析】由直线 l 过定点(1,0)，得到 p2=1，可判定 A 正确；根据抛物线的几何性质，可得判定 B 错误；过 A,B,D 点作准线的垂线，根据抛物线的定义得到 AB=AA1+BB1=2 DD1，可判定 C 正确；联立方程组，结合韦

61、达定理，得到 x1x2=1，求得 y1y2x1x2=-4x1x2，可判定 D 正确.22【详解】对于 A 中，由直线 y=kx-k，可化为 y=k(x-1)，可得直线 l 过定点(1,0)，因为抛物线 C:y2=2px 的焦点 F 在直线 l 上，可得 p2=1，则 p=2，所以 A 正确；对于 B 中，由抛物线 C:y2=4x 的准线方程为 x=-1，所以 B 错误；对于 C 中，过 A,B 点作准线的垂线，垂足分别为 A1,B1，AB 的中点为 D 点，过 D 点作准线的垂线，垂足为 D1，可得 AB=AA1+BB1=2 DD1，所以 C 正确；对于 D 中，设 A x1,y1,B x2,

62、y2，联立方程组 y=kx-ky2=4x，整理得 k2x2-4+2k2x+k2=0，可得 x1x2=1，则 y1y2x1x2=-4 x1x2x1x2=-4x1x2=-4，所以 D 正确.故选：ACD.考点六：抛物线中阿基米德三角形相关秒杀结论知识要点：如图，假设抛物线方程为 x2=2py(p 0)，过抛物线准线 y=p2 上一点 P(x0,y0)向抛物线引两条切线，切点分别记为 A,B，其坐标为(x1,y1),(x2,y2).则以点 P 和两切点 A,B 围成的三角形 PAB 中，有如下的常见结论:结论 1.直线 AB 过抛物线的焦点 F.结论 2.直线 AB 的方程为 x0 x=2p y0+

63、y2=p(y0+y).结论 3.过 F 的直线与抛物线交于 A,B 两点，以 A,B 分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点 P(x0,y0)的轨迹即为抛物线的准线.证明：过 A 点的切线方程为 x1x=p(y1+y)，过 B 点的切线方程为 x2x=p(y2+y)，两式相除可得：x1x2=y+y1y+y2 y=x2y1 x1y2x1 x2 y=x1x22p=p2.这就证明了该结论.结论 4.PF AB.23证明：由结论 3，kAB=x0p，kPF=y0 p2x0.那么 kAB kPF=x0p y0 p2x0=y0p 12=1.结论 5.AP PB.证明：kAP=x1p,kBP=x2p,则

64、kAP kBP=x1p x2p=x1 x2p2.由抛物线焦点弦的性质可知 x1x2=p2，代入上式即可得 kAP kBP=x1 x2p2=1，故 AP PB.结论 6.直线 AB 的中点为 M，则 PM 平行于抛物线的对称轴.证明：由结论 3 的证明可知，过点 A,B 的切线的交点 P 在抛物线准线上.且 P 的坐标为x1+x22,x1x22p，显然 PM 平行于抛物线的对称轴.【精选例题】1 已知抛物线 C：x2=2py，(p 0)的焦点为 F，M x,yx 0为 C 上一动点，若曲线 C 在点 M 处的切线的斜率为3，则直线 FM 的斜率为()A.32B.33C.34D.35【答案】B【详

65、解】x2=2py，y=12p x2，F 0,p2，y=1p x，由题意知，1p xM=3，解得：xM=3p，又 M 在 x2=2py 上，(3p)2=2pyM，解得：yM=32 p，M3p,32 p，kMF=32 p-12 p3p-0=33.故选：B.2 设抛物线 C：y2=6x 的焦点为 F，过 F 的直线交 C 于 A，B 两点，分别以 A，B 为切点作 C 的切线 l1，l2，若 l1与 l2交于点 P，且满足 PF=2 3，则 AB=()A.5B.6C.7D.8【答案】D【详解】y2=6x,2p=6,p2=32,F32,0，设直线 AB 的方程为 x=my+32，显然 m是存在的，设

66、A x1,y1,B x2,y2，显然 y1 0,y2 0，求导：y2=6x,y=3y，在 A 点处的切线方程 l1y-y1=3y1x-x1,y=3y1x-3x1y1+y1,x1=y216,y=3y1x+y12 ，24同理可得在 B 点处的切线方程 l2为：y=3y2x+y12；联立方程y2=6xx=my+32，解得 y2-6my-9=0，=36m2+36 0，y1y2=-9，联立方程y=3y1x+y12y=3y2x+y22解得 3x y2-y1y1y2+12 y1-y2=0，y1 y2,y1-y2 0,x=y1y26=-32，即 P 点在准线 x=-32 上，设 P-32,t，PF=32+t2

67、=2 3,t2=3,t=3，考虑抛物线关于 x 轴对称，不妨取 t=3，代入得：3=3y1-32+y12，解得 y1=3 3 或 y1=-3，由图可知 y1=3 3,y2=-3，再代入抛物线方程得 x1=92,x2=12，AB=x1-x22+y1-y22=8；故选：D.3(多选题)已知抛物线 y=x2 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，B 在第一象限，过 A，B 分别作抛物线的切线 l1，l2，且 l1，l2 相交于点 P，若 BP 交 x 轴于点 Q，则下列说法正确的有()A.点 P 在抛物线的准线上B.APB=3C.FQ BQD.若 k=33，则 A

68、FFB的值为 13【答案】ACD【详解】由题意知 F 0,14，故 l：y=kx+14，与抛物线 y=x2联立，可得 x2-kx-14=0，则 =k2+1 0，设 A x1,x21，B x2,x22，则 x1x2=-14 对于 A，由抛物线 y=x2可得 y=2x，所以直线 l1的斜率 k1=2x1，则直线 l1的方程为 y-x21=2x1 x-x1，同理可得直线 l2的方程为 y-x22=2x2 x-x2，联立解得P x1+x22,x1x2又 x1x2=-14，故点 P 在抛物线的准线 y=-14 上，故 A 正确；对于 B，kAP kBP=x21-x1x2x1-x1+x22 x22-x1x

69、2x2-x1+x22=4x1x2=-1，故 APB=2，故 B 错误；对于 C，直线 l 的方程为 y=kx+14，则 B x2,x22，直线 l2的方程为 y-x22=2x2 x-x2，可得 Q x22,0,所以 kFQ=14-00-x22=-12x2,kBQ=kl2=2x2，故 kFQ kBQ=-1,则 FQ BQ，故 C 正确；对于 D，由 k=33，直线 l 的方程为 y=33 x+14，与抛物线联立可得 x2-33 x-14=0，解得 x1=-36,x2=32，则 A-36,112,B32,34，25则 AF=y1+p2=112+14=13，FB=y2+p2=34+14=1 得 AF

70、FB=13，故 D 正确故选：ACD.4 已知抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F，过 F 的直线 l 倾斜角为 60，交 C 于 A,B 两点，过 A,B 两点分别作 C的切线 l1，l2，其交点为 P，l1，l2与 x 轴的交点分别为 M,N，则四边形 PMFN 的面积为.【答案】4【详解】如图，设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0)，易知过 A,B 两点的抛物线 C 的切线l1，l2斜率均存在，不妨设 l1:y-y1=k1(x-x1)，l2:y-y2=k2(x-x2)，联立y-y1=k1(x-x1)x2=4y，消 y 得到 x24-y1=k1(x-x1)，即 x24-k

71、1x+k1x1-y1=0，所以 =k21-k1x1+y1=0，又 x21=4y1，所以 k21-k1x1+x214=0，得到 k1=x12，所以 l1:y-y1=x12(x-x1)，即 x1x2-y-x212+y1=0，也即 x1x2-y-y1=0，同理可得直线 l2为 x2x2-y-y2=0，又因为直线 l1与 l2交于 P(x0,y0)，所以可得 x1x02-y0-y1=0，x2x02-y0-y2=0，从而得到直线 AB 的方程为 x02 x-y-y0=0，又因为直线 AB 过焦点且倾斜角为 60，所以得到 x0=2 3,y0=-1，即 P(2 3,-1)，且直线直线 AB 的方程为3x-

72、y-1=0 又由 y-y1=x12(x-x1)，令 y=0，得到 x=x12，即 Mx12,0，由 x2x2-y-y2=0，令 y=0，得到 x=x22，即 Nx22,0，又由3x-y-1=0 x2=4y，消 y 得到 x2-4 3x-4=0，由韦达定理得 x1+x2=4 3,x1x2=-4，所以 x1-x2=(x1+x2)2-x1x2=48+16=8，又易知 F(0,1)，所以四边形 PMFN 的面积为 S=SFMN+SPMN=12 MNyF+12 MNyP=12 x1-x2 1=4，故答案为：4.【跟踪训练】1 已知抛物线 x2=4y 的焦点为 F，若抛物线上一点 P 满足 PF=5，则过

73、点 P 的切线方程为()A.2x-y-4=0 或 3x-4y+4=0B.2x-y-4=0 或 2x+y+4=0C.2x+y+4=0 或 3x+4y+4=0D.3x-4y+4=0 或 3x+4y+4=0【答案】B26【详解】由已知得 F 0,1，准线方程为 y=-1.设 P m,n，P 点到准线距离为 d.则由抛物线定义有 PF=d=n+1=5，即 n=4.将 n=4 代入 x2=4y 得，m=4，所以 P 4,4.注意到 y=12 x，则当 P 的坐标为4,4时，过点 P 的切线斜率为 k=12 4=2，所以过点 P 的切线方程为 y=2x-4，即 2x-y-4=0，当 P 的坐标为-4,4时

74、，过点 P 的切线斜率为 k=12 -4=-2，所以过点 P 的切线方程为 y=-2x-4，即 2x+y+4=0，综上，过点 P 的切线方程为 2x-y-4=0 或 2x+y+4=0故选：B2(多选题)设抛物线 C：y=x2的焦点为 F，过抛物线 C 上不同的两点 A，B 分别作 C 的切线，两条切线的交点为 P，AB 的中点为 Q，则()A.PQ x 轴B.PF ABC.PFA=PFBD.AF+BF=2 PF【答案】AC【详解】对于 A 选项：设 A x1,y1,B x2,y2,P x0,y0,Q x1+x22,y1+y22,y=x2,y=2x,过点 A 切线为：y-y1=2x1 x-x1,

75、过点 B 切线为:y-y2=2x2 x-x2,-得 y1-y2=2x1x-2x2x,化简可得 x12-x22=2x x1-x2,x0=x1+x22，PQ x 轴,A 选项正确.设 A 0,0,B 1,1,F 0,14,过 A 点的切线为 y=0,过B 点的切线为 y-1=2 x-1,交点为 P 12,0,AB 的中点为 Q 12,12，所以 kPF=-12,kAB=1,kPFkAB-1,PF 不垂直 AB,B 选项错误；AF+BF=02+142+12+342=32,2 PF=2122+142=52,所 AF+BF 2 PF,D 选项错误;作抛物线准线的垂线 AA,BB,连接 AP,BP,PF,

76、AF,BF,F 0,p2,A x1,-p2,kPA=yx=x1则 kFA=-px1,kPA=x1p,显然 kFA kPA=-1,所以 FA PA,又因为由抛物线定义,得 AA=AF,故知PA 是线段 FA 的中垂线,得到 PA=PF则 PAA=PFA，同理可证：PB=PF,PBB=PFB，所以 PA=PB=PF，即 PAB=PBA,所以 PAA=PAB+90=PBA+90=PBB,即 PFA=PFB.故选:AC.3 已知抛物线 C:x2=2py p 0的焦点为 F，且 F 与圆 M:x2+y+42=1 上的点的距离的最小值 4(1)求 p；27(2)若点 P 在圆 M 上，PA,PB 是 C

77、的两条切线，A,B 是切点，求 PAB 面积的最大值【答案】(1)2；(2)20 5【详解】(1)圆 M:x2+y+42=1 的圆心 M 0,-4，半径 r=1，由点 F 0,p2到圆 M 上的点的距离的最小值为 FM-1=p2+4-1=4，解得 p=2；(2)抛物线 C 的方程为 x2=4y，即 y=x24，对该函数求导得 y=x2，设点 A x1,y1、B x2,y2、P x0,y0，直线 PA 的方程为 y-y1=x12x-x1，即 y=x1x2-y1，即 x1x-2y1-2y=0，同理可知，直线 PB 的方程为x2x-2y2-2y=0，由于点 P 为这两条直线的公共点，则 x1x0-2

78、y1-2y0=0 x2x0-2y2-2y0=0，所以点 A、B 的坐标满足方程x0 x-2y-2y0=0，所以直线 AB 的方程为 x0 x-2y-2y0=0，联立x0 x-2y-2y0=0y=x24，可得 x2-2x0 x+4y0=0，由韦达定理可得 x1+x2=2x0，x1x2=4y0，所以 AB=1+x022 x1+x22-4x1x2=x20+4x20-4y0，点 P 到直线 AB 的距离为 d=x20-4y0 x20+4，所以 SPAB=12 AB d=12x20+4x20-4y0 x20-4y0 x20+4=12 x20-4y032，x20-4y0=1-y0+42-4y0=-y20-

79、12y0-15=-y0+62+21，由已知可得-5 y0-3，所以当 y0=-5 时，PAB 的面积取最大值 12 2032=20 5.1 已知抛物线 C：y2=2px(p 0)，过点 P 3,0且垂直于 x 轴的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，若 OAB 的面积为 9，则 p=()A.32B.2C.52D.3【答案】A【分析】将 x=3 代入抛物线方程，求出线段 AB 长，结合三角形面积求解即得.28【详解】将 x=3 代入 y2=2px，得 y=6p，由对称性不妨设 A 在 x 轴上方，则点 A 3,6p，B 3,-6p，AB=6p-6p=2 6p，OP=3，因此

80、 SOAB=12 ABOP=12 2 6p 3=9，所以 p=32.故选：A2 已知 O 为坐标原点，过抛物线 C:y2=8x 焦点 F 的直线与 C 交于 A，B 两点，若|AF|=|AO|，则|AB|=()A.5B.9C.10D.18【答案】B【分析】由|AF|=|AO|及抛物线方程可求出 A 点坐标，从而得直线 AB 的方程，联立抛物线和直线方程，结合韦达定理求出 x1+x2，由抛物线定义可得结果.【详解】如图：由抛物线 C:y2=8x 可知焦点坐标 F 2,0，取线段 OF 中点 D，即 D 1,0，又|AF|=|AO|，所以 AD OF,故设 A 1,y0，因点 A 在抛物线上，得

81、y0=2 2，根据对称性取 y0=2 2，又因直线 AB 过焦点 F，所以直线 AB 的方程为：y=-2 2 x-2，联立 y2=8xy=-2 2 x-2，得 x2-5x+4=0 ，设 A x1,y1,B x2,y2，则 x1,x2为式两根，所以 x1+x2=5，由抛物线定义可知 AB=x1+x2+p=5+4=9，故选：B.3 已知抛物线:y2=2px(p 0)的焦点为 F，过点 F 且斜率为 k 的直线 l 交抛物线于 A,B 两点，若AF=3 BF，则 k=()29A.33B.33C.3D.3【答案】D【分析】根据题意，作出抛物线与直线 AB 的图像，利用抛物线的定义将曲线上的点到焦点的距

82、离转化为曲线上的点到准线的距离，借助几何图形可判断直线 AB 的倾斜角，从而可得答案【详解】如图，当点 A 在第一象限时，过点 A,B 分别向准线作垂线，垂足为 M,N，作 BC AM，垂足为 C，则 BN AM x 轴，设 BF=t(t 0)，则 AF=3t，AB=4t，由抛物线的定义得 BN=BF=t,AM=AF=3t，则有 AC=2t，在 RtABC 中，BAC 等于直线 AB 的倾斜角，其正切值即为 k 值，AC=12 AB，ABC=30，BAC=60，于是直线 l 的倾斜角为 60，斜率 k=3当点 A 在第四象限时，根据抛物线的对称性可得斜率为-3.故选：D4 已知抛物线 y2=4

83、x 与过焦点的一条直线相交于 A，B 两点，若弦 AB 的中点 M 的横坐标为 32，则弦AB 的长|AB|=【答案】5【分析】根据题意设 AB:x=ty+1，联立抛物线及韦达定理，结合弦中点横坐标求参数 t，最后应用弦长公式求|AB|即可.【详解】由题意抛物线焦点 F(1,0)，且直线 AB 斜率不为 0，设 AB:x=ty+1，联立抛物线得 y2-4ty-4=0，0，故 yA+yB=4t，yAyB=-4，所以 xA+xB=t(yA+yB)+2=2 32=3，即 t2=14，则|AB|=1+t2|yA-yB|=1+t2(yA+yB)2-4yAyB=52 4+16=5.故答案为：55 已知抛物

84、线 C 的顶点为坐标原点，准线为 x=-1，直线 l 与抛物线 C 交于 M,N 两点，若线段 MN 的中点为 1,1，则直线 l 的方程为【答案】2x-y-1=030【分析】由题意可求得抛物线的方程，设 M x1,y1,N x2,y2，由“点差法”求出直线 l 的斜率，再由点斜式方程即可得出答案.【详解】因为抛物线 C 的顶点为坐标原点，准线为 x=-1，所以易得抛物线的方程为 y2=4x，设 M x1,y1,N x2,y2，因为线段 MN 的中点为 Q 1,1，故 x1+x2=2,y1+y2=2，则 x1 x2，由 y21=4x1y22=4x2，两式相减得 y21-y22=4 x1-x2，

85、所以 y1-y2x1-x2=4y1+y2=2，故直线 l 的方程为 y-1=2 x-1，即 2x-y-1=0故答案为：2x-y-1=0.6 已知抛物线 C:y2=6x，过 P 3,2的直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点，且 PA=PB，则直线 l 的方程为.【答案】3x-2y-5=0【分析】根据中点坐标以及点差法即可求解斜率，进而由点斜式求直线方程.【详解】因为 P 3,2在抛物线 C 内部，又 PA=PB，所以 P 是 AB 的中点.设 A x1,y1,B x2,y2，所以 y1+y22=2，即 y1+y2=4，又 A x1,y1,B x2,y2在抛物线 C 上，所以 y21=6x1,

86、y22=6x2，两式作差，得 y1-y2x1-x2y1+y2=6，所以 y1-y2x1-x2=32，所以直线 l 的方程为 y-2=32 x-3，即 3x-2y-5=0.故答案为：3x-2y-5=07 已知倾斜角为 3 的直线 l 经过抛物线 C：y2=2px(p 0)的焦点 F，且与抛物线 C 交于 A，B 两点(点 A 在第一象限)，与抛物线 C 的准线 m 交于点 D，则()A.以 AF 为直径的圆与 y 轴相切B.准线 m 上存在唯一点 Q，使得 QA QB=0C.BDBF=2D.AFBF=2【答案】ABC【分析】由抛物线的定义和过焦点的直线确定 A；由过焦点的线段的长度和准线确定 B

87、；由抛物线与直线的关系解三角形确定 CD.31【详解】对于 A：设 A x1，y1，B x2，y2，Fp2，0，AF 的中点为x12+p4，y12，由抛物线的定义，得 AF=x1+p2，AF 的中点到 y 轴的距离为 x12+p4=12 AF，故以 AF 为直径的圆与 y 轴相切，故 A 正确；对于 B：AB=AF+BF=x1+x2+p，AB 的中点到准线的距离为 x1+x22+p2=12 AB，因此以 AB 为直径的圆与准线相切，故准线 m 上存在唯一点 Q，使得 QA QB=0，故 B 正确；对于 C、D：如图所示，过点 A，B 作准线 m 的垂线，垂足分别为点 E，M，由倾斜角为 3，可

88、得 MDB=6，设 BF=s，则 BM=s，因为 sinMDB=BMBD=sin 6，所以 BD=2s，BDBF=2，故 C 正确；设 AF=t，则 AE=t，因为 sinMDB=AEAD=tt+s+2s=sin 6，所以 t=3s，所以 AF=3s，所以 AF|BF =3，故 D 错误故选：ABC8(多选题)已知抛物线 C：x2=2py p 0的焦点为 F，过 F 作直线 l 与抛物线 C 交于 A、B 两点，分别以 A、B 为切点作抛物线 C 的切线，两切线交于点 T，设线段 AB 的中点为 M若点 T 的坐标为 2,-12，则()A.点 M 的横坐标为 2B.点 M 的纵坐标为 3C.直

89、线 l 的斜率等于 2D.TM=5【答案】ACD【详解】抛物线 C：x2=2py p 0，直线 AB：y=kx+b，b=p2，设 A:x1,y1,B:x2,y2显然当 x1=x2时，根据对称性易得 T 点位于 x 轴上，不合题意，故 x1 x2，且均大于 0，y=x22p y=xp，kAT=x1p，AT:y-y1=x1P(x-x)，整理：p(y-y1)=x1x-x12=x1x-2py1，得：AT:p y+y1=x1 x，同理 BT:p y+y2=x2 x，-：p(y1-y2)=x(x1-x2)，xT=p y1-y2x1-x2=pk,32:y+y1y+y2=x1x2 y=y1x2-y2x1x1-

90、x2=kx1+bx2-kx2+bx1x1-x2=b x2-x1x1-x2=-b,又因为直线 y=kx+b，b=p2，由此知：12 p=12，故 x2=2y；因为 x2=2y，所以 y=x 设交点 A(x1,y1),B(x2,y2)，过点 A 的切线斜率为 k1=x1，所以切线方程为 y-y1=x1(x-x1)，整理得 y-y1=x1x-2y1，即 y=x1x-y1，同理，过点 B 的切线的方程为 y=x2x-y2，又点 T 在直线上，代入得 AB 直线方程：y=2x+12,故选项 C 正确；由 y=2x+12x2=2y消去y 整理得 x2-4x-1=0，因为直线与抛物线相交，设 A x1,y1,B x2,y2，则 x1+x2=4,x1x2=-1,，故点 M 的横坐标 x=12 x1+x2=2,故 A 正确，因为点 M 的横坐标 x=12 x1+x2=2,所以 y=2 2+12=92,TM=2-22+92+122=5，故选项 B 错误，D 正确；故选：ACD