利用二级结论秒杀椭圆双曲线中的选填题（原卷版）.pdf

1、利用二级结论秒杀椭圆双曲线中的选填题【考点目录】考点一：椭圆焦点三角形的面积秒杀公式考点二：中点弦问题（点差法）秒杀公式考点三：双曲线焦点到渐近线的距离为b考点四：双曲线中，焦点三角形的内心 I 的轨迹方程为)0,(ybybax.考点五：椭圆与双曲线共焦点的离心率关系秒杀公式考点六：圆锥曲线定比分焦点弦求离心率秒杀公式考点七：双曲线中定比分渐近线求离心率秒杀公式【考点分类】考点一：椭圆焦点三角形的面积为2 tan 2Sb（为焦距对应的张角）证明：设12,PFm PFn 122222221222cos2121cos1sin32F PFmnabcmnmnmnSmn，：V1222222sincoss

2、in22tan1cos22cos 2F PFSbbbV双曲线中焦点三角形的面积为2tan2bS（为焦距对应的张角）【精选例题】【例 1】（2021 年全国高考甲卷数学（理）试题）已知12,F F 为椭圆 C：221164xy的两个焦点，P，Q为 C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQF F，则四边形12PFQF 的面积为_【例 2】设1F，2F 是双曲线22:13yC x 的两个焦点，O 为坐标原点，点 P 在 C 上且|2OP，则12PF F的面积为（）A 72B3C 52D2【跟踪训练】1.设 P 为椭圆221259xy上一点，1,F2F 为左右焦点，若1260F PF，则 P 点的纵坐

3、标为（）A 3 34B3 34C 9 34D9 342.设双曲线2222:1(00)xyCabab，的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为5 P 是 C 上一点，且12F PF P若12PF F 的面积为 4，则 a （）A1B2C4D8考点二：中点弦问题（点差法）秒杀公式若椭圆与直线 l 交于 AB 两点，M 为 AB 中点，且ABk与OMk斜率存在时，则22abKkOMAB；（焦点在 x轴上时），当焦点在 y 轴上时，22baKkOMAB若 AB 过椭圆的中心，P 为椭圆上异于 AB 任意一点，22abKkPBPA（焦点在 x 轴上时），当焦点在 y 轴上时，22baKkPBPA下述证明均

4、选择焦点在 x 轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似直径问题证明：设00()P xy，11()A xy，因为 AB 过原点，由对称性可知，点11()Bxy，所以2120212010101010 xxyyxxyyxxyykkPBPA又因为点00()P xy，11()A xy，在椭圆上，所以有)2(1)1(1221221220220byaxbyax两式相减得2221202120abxxyy，所以PBPAkk22ab中点弦问题证明：设11A xy，22B xy，00M xy，则椭圆 2211222222221 11 2xyabxyab两式相减得2222122221yybxxa 122220212121

5、222122122021112=2ABOMyyyyyyyyybkkxxxxxxexxxa 双曲线中焦点在 x 轴上为22abkkABOM，焦点在 y 轴上为22bakkABOM，【精选例题】【例 1】已知椭圆2222:1(0)xyGabab的右焦点为 F(3，0)，过点 F 的直线交椭圆于 A，B 两点若 AB的中点坐标为（1，1），则 G 的方程为A2214536xyB2213627xyC2212718xyD221189xy【例 2】过双曲线C：22221xyab（0a，0b）的焦点且斜率不为 0 的直线交C 于 A，B 两点，D 为 AB中点，若12ABODkk，则C 的离心率为（）A 6

6、B2C3D62【例 3】（多选题）已知椭圆C：22221(0)xyabab的左、右顶点分别为1A，2A，上、下顶点分别为1B，2B 点 M 为C 上不在坐标轴上的任意一点，且1MA，2MA，1MB，2MB 四条直线的斜率之积大于 19，则C 的离心率可以是A33B63C 23D73【跟踪训练】1.已知 M 为双曲线22221(0,0)xyabab的右顶点，A 为双曲线右支上一点，若点 A 关于双曲线中心O的对称点为 B，设直线 MA、MB 的倾斜角分别为、，且1tantan4，则双曲线的离心率为（）A 5B3C62D522.已知 A，B，P 是双曲线22221xyab（0a，0b）上不同的三点

7、，且 A，B 连线经过坐标原点，若直线PA，PB 的斜率乘积为 43，则该双曲线的离心率为（）A52B62C2D2133.已知双曲线2221(0)4xybb的左、右焦点分别为1F、2F，过左焦点1F 作斜率为 2 的直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是 AB 的中点，O 为坐标原点，若直线 OP 的斜率为 14，则双曲线的离心率是（）A62B2C 32D2考点三：双曲线焦点到渐近线的距离为b【精选例题】【例 1】若双曲线22221xyab 的焦点2,0F到其渐近线的距离为3，则双曲线的渐近线方程为（）A3yx B3yx C13yx D33yx【例 2】已知 F 是双曲线C：223(0)xmy

8、m m的一个焦点，则点 F 到C 的一条渐近线的距离为A3B3C3mD3m【跟踪训练】1.已知双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B两点设 A，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d，且126dd，则双曲线的方程为（）A221412xyB221124xyC22139xyD22193xy2已知双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线均和圆C：22xy 650 x 相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为A22154xyB22145xyC22136xyD22163xy【精选例题】【例 1】已知双曲

9、线2222:10,0 xyCabab的左右焦点分别为12,F F，离心率为 2，焦点到渐近线的距离为 6.过2F 作直线l 交双曲线C 的右支于,A B 两点，若,H G 分别为12AF F与12BF F的内心，则 HG 的取值范围为（）A 2 2,4B3,2C4 32,3D4 62 2,3【例 2】（多选题）双曲线22221xyab 的左、右焦点分别12FF、，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为 P，双曲线和椭圆的离心率分别为1212,e ePF F的内切圆的圆心为 I，过2F 作直线 PI 的垂线，垂足为 D，则（）A I 到 y 轴的距离为 aB点 D 的轨迹是双曲线C若12O

10、PF F，则2212115eeD若121 212IPFIPFIF FSSS，则112e【例 3】（多选题）已知12,F F 分别为双曲线2213yx 的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线的右支交于,A B两点，记12AF F的内切圆1O 的面积为1S，12BF F的内切圆2O 的面积为2S，则（）A圆1O 和圆2O 外切B圆心1O 在直线 AO 上C212SSD12SS的取值范围是2,3【跟踪训练】1.已知双曲线方程是2213yx ，过2F 的直线与双曲线右支交于C，D 两点（其中C 点在第一象限），设点M、N 分别为12CF F、12DF F的内心，则 MN 的范围是_.2（多选题）已知双曲

11、线2222:10,0 xyCabab的左、右焦点分别为1F、2F，离心率为2，焦点到渐近线的距离为6.过2F 作直线l 交双曲线C 的右支于 A、B 两点，若 H、G 分别为12AF F与12BF F的内心，则（）AC 的渐近线方程为3yx B点 H 与点G 均在同一条定直线上C直线 HG 不可能与l 平行D HG 的取值范围为4 62 2,3考点五：已知具有公共焦点21,FF的椭圆与双曲线的离心率分别为Pee,21是它们的一个交点，且221PFF，则有1)cos()sin(2221ee.【精选例题】【例 1】已知1F，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF，

12、则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为（）A 43B 4 33C 4D 4 63【例 2】（多选题）已知椭圆221112211:1(0)xyCabab与双曲线22222222:1(0 xyCaab，20)b 有公共焦点1F（左焦点），2F（右焦点），且两条曲线在第一象限的交点为 P，若12PFF 是以1PF 为底边的等腰三角形，1C，2C 的离心率分别为1e 和2e，且22e，则（）A22221122ababB12112eeC125e D123cos4F PF【跟踪训练】1已知 F 是椭圆1C：22221xyab（0ab）的右焦点，A 为椭圆1C 的下顶点，双曲线2C：22221xymn（0m

13、，0n）与椭圆1C 共焦点，若直线 AF 与双曲线2C 的一条渐近线平行，1C，2C 的离心率分别为1e，2e，则1212ee的最小值为_考点六：设圆锥曲线 C 的焦点 F 在 x 轴上，过点 F 且斜率为 k 的直线 l 交曲线BAC,于两点，若)0(FBAF，则11cos1112eke，即【精选例题】【例 1】已知椭圆22:143xyC过焦点 F 的直线l 与椭圆C交于A，B两点（点A位于 x 轴上方），若2AFFB，则直线l 的斜率 k 的值为【例 2】已知 F 是双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点，直线l 经过点 F 且与双曲线相交于,A B 两点，记该双曲线的离心率为 e

14、，直线l 的斜率为 k，若2AFFB，则（）A2281ekB2281ekC2291ekD2291ke【例 3】已知1F，2F 是双曲线C：222210,0 xyabab的左，右焦点，过点1F 倾斜角为 30的直线与双曲线的左，右两支分别交于点 A，B.若22AFBF，则双曲线C 的离心率为（）A2B3C2D 5【跟踪训练】1.斜率为 12 的直线l 过椭圆2222:10yxCabab的焦点 F，交椭圆于,A B 两点，若23AFAB，则该椭圆的离心率为2.已知双曲线22221,0 xya bab的左右焦点分别为1F，2F，过点1F 且倾斜角为 6 的直线l 与双曲线的左右支分别交于点 A，B，

15、且22AFBF，则该双曲线的离心率为（）A2B3C2 2D 2 3考点七：已知双曲线方程为的右焦点为 F，过点 F 且与渐近线xaby 垂直的直线分别交两条渐近线于QP,两点.情形 1.如图 1.若,则(*)122 e图 1图 2如图 2.若)10(FPQF，则122 e【精选例题】【例 1】过双曲线)0,0(12222babyax的右焦点做一条渐近线的垂线，垂足为 A，与双曲线的另一条渐近线交于点 B，若FAFB2，则此双曲线的离心率为_【例 2】已知双曲线2222:1xyC ab，(0,0)ab过C 的右焦点 F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于 A、B 两点 A、B 两点分别在一、四

16、象限，若12AFBF，则双曲线C 的离心率为（）A 2 33B 2C3D 5【跟踪训练】1.已知双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线分别为直线 1l，2l，经过右焦点 F 且垂直于 1l 的直线l 分别交 1l，2l 于,A B 两点，且2FBAF，则该双曲线的离心率为（）A 2 33B3C 43D 4 332 12,F F 是双曲线22221(0,0)xyabab的左右焦点，过1F 且斜率为 1 的直线与两条渐近线分别交于,A B 两点，若12ABBF，则双曲线的离心率为A52B 5C 103D 101已知点 P 在椭圆222210 xyabab上，1F，2F 是椭圆的左、右焦

17、点，若123PF PF，且12PF F的面积为 2，则2b （）A2B3C4D52椭圆221mxny 与直线1yx 交于 M，N 两点，连接原点与线段 MN 中点所得直线的斜率为22，则 mn的值是（）A22B 2 33C 9 22D 2 3273已知双曲线2222:1(,0)xyCa bab的离心率为2，焦点到渐近线距离为3，则双曲线C 实轴长（）A3B3C2 3D64（多选题）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左右焦点分别为12,F F，离心率为 12，且经过点33,2P在椭圆上，则（）A1PF 的最大值为 3B21PF F的周长为 4C若2160F PF，则21PF F的面积为3

18、D若124PF PF，则2160F PF5（多选题）设椭圆的方程为22124xy，斜率为 k 的直线不经过原点 O，而且与椭圆相交于 A，B 两点，M 为线段 AB 的中点，下列结论不正确的是（）A直线 AB 与 OM 垂直B若点 M 坐标为(1,1)，则直线方程为230 xyC若直线方程为1yx，则点 M 坐标为 1 4,3 3D若直线方程为22yx，则4|23AB 6（多选题）设 A，B 是双曲线2214yx 上的两点，下列四个点中可以为线段 AB 中点的是（）A0,2B()1,2-C1,1D1,47（多选题）若 P 是椭圆22122:10 xyCabab与双曲线2222210,0:xyC

19、mnmn在第一象限的交点，且1C，2C 共焦点1F，2F，12F PF，1C，2C 的离心率分别为1e，2e，则下列结论中正确的是（）A1PFma，2PFmaB2222cosbnbnC若120=，则2212314eeD若90 ，则2212ee的最小值为 28（多选题）如图，P 是椭圆22122:1(0)xyCabab与双曲线22222:1(0,0)xyCmnmn在第一象限的交点，且12,C C 共焦点121212,F FF PFC C的离心率分别为12,e e，则下列结论正确的是（）A12,PFam PFam=+=-B若60，则2221314eeC若90，则2212ee的最小值为 2D tan 2nb 9己知椭圆222:16xyC m 的焦点分别为1 0,2F，2 0,2F，设直线l 与椭圆C 交于 M，N 两点，且点1 1,2 2P为线段 MN 的中点，则直线l 的方程为10已知点,A B C 是离心率为2 的双曲线2222:10,0 xyabab上的三点,直线,AB AC BC 的斜率分别是 123,k k k 点,D E F 分别是线段,AB AC BC 的中点,O为坐标原点，直线,OD OE OF 的斜率分别是123,k kk.若1231113,kkk则123kkk