2024届一轮复习之圆锥曲线 学生版.pdf

1、2024 届一轮复习之圆锥曲线（学生版）目录专题 01 圆锥曲线中的弦长问题专题 02 圆锥曲线中的面积问题专题 03 圆锥曲线中的中点弦问题专题 04 圆锥曲线中的范围问题专题 05 圆锥曲线中的定点问题专题 06 圆锥曲线中的定值问题专题 07 圆锥曲线中的向量共线问题专题 01 圆锥曲线中的弦长问题一、单选题1.设椭圆长半轴长为 a，短半轴长为 b，半焦距为 c，则过焦点且垂直于长轴的弦长是()A.b2aB.2c2aC.c2aD.2b2a2.已知椭圆 C:x22+y2=1，直线 l 过椭圆 C 的左焦点 F 且交椭圆于 A，B 两点，AB 的中垂线交 x 轴于 M 点，则|FM|AB|2

2、 的取值范围为()A.116,14B.18,14C.116,12D.18,123.过椭圆 9x2+25y2=225 的右焦点且倾斜角为 45 的弦长 AB 的长为()A.5B.6C.9017D.74.椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0的左、右焦点分别是 F1、F2，斜率为 12 的直线 l 过左焦点 F1且交 C 于 A，B两点，且 ABF2的内切圆的周长是 2，若椭圆 C 的离心率为 e 12,34，则线段 AB 的长度的取值范围是()A.4 53,2 5B.8 53,4 5C.54,3 58D.58,3 5161二、多选题5.已知抛物线 y2=2px p 0的焦点为 F，过点 F

3、 的直线 l 交抛物线于 A、B 两点，以线段 AB 为直径的圆交 y 轴于 M、N 两点，则()A.若抛物线上存在一点 E 2,t到焦点 F 的距离等于 3，则抛物线的方程为 y2=4xB.若 AF=2 BF，则直线 l 的斜率为 2 2C.若直线 l 的斜率为3，则 AB=4p3D.设线段 AB 的中点为 P，若点 F 到抛物线准线的距离为 2，则 sinPMN 的最小值为 12三、解答题6.如图，P 是直线 l:y=x+3 上一动点，过点 P 且与 l 垂直的直线 l 交抛物线 C:y2=x 于 A，B 两点，点 A 在P，B 之间(1)若 l 过抛物线 C 的焦点 F，求 AB；(2)

4、求 PAPB的最小值27.已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)长轴长为短轴长的两倍，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4，直线 l 过点 A(-a,0)，且与椭圆相交于另一点 B(1)求椭圆的方程；(2)若线段 AB 长为 4 25，求直线 l 的倾斜角8.已知直线 l 经过抛物线 y2=6x 的焦点 F，且与抛物线交于 A、B 两点.(1)若直线 l 的倾斜角为 60，求线段 AB 的长；(2)若 AF=2，求 BF的长.39.已知圆上 x2+y2=4 上任取一点 P，过点 P 作 y 轴的垂线段 PQ，垂足为 Q，当 P 在圆上运动时，线段 PQ 中点为 M.(1)求点 M

5、的轨迹方程；(2)若直线 l 的方程为 y=x-1，与点 M 的轨迹交于 A，B 两点，求弦 AB的长.10.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的右焦点为 F，左、右顶点为 A、B，FA=3，FB=1.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)求直线 y=x+12 被椭圆 C 截得的弦长.411.已知直线 l:4x-3y-8=0 与圆 M:x+12+y-12=m 相交.(1)求 m 的取值范围；(2)若 l 与 M 相交所得弦长为 8，求直线 l:x+y-4=0 与 M 相交所得弦长.12.已知双曲线 C 的标准方程为 x23-y26=1，F1,F2分别为双曲线 C 的左、右焦点.(

6、1)若点 P 在双曲线的右支上，且 F1PF2的面积为 3，求点 P 的坐标；(2)若斜率为 1 且经过右焦点 F2的直线 l 与双曲线交于 M,N 两点，求线段 MN 的长度.513.设抛物线 C：y2=4x，F 为 C 的焦点，过 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点.(1)设 l 的斜率为 2，求 AB的值；(2)求证：OA OB为定值.14.已知椭圆 M：x2a2+y23=1 a 0的一个焦点为 F-1,0，左右顶点分别为 A，B经过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C，D 两点()求椭圆 M 方程；()当直线 l 的倾斜角为 45 时，求线段 CD 的长；()记 ABD 与

7、 ABC 的面积分别为 S1和 S2，求 S1-S2的最大值615.已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1 a b 0的离心率为 12，点 A 1,32在椭圆 C 上，直线 l1过椭圆 C 的右焦点与上顶点，动直线 l2：y=kx 与椭圆 C 交于 M，N 两点，交 l1于 P 点.(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知 O 为坐标原点，若点 P 满足 OP=14 MN，求此时 MN 的长度.16.已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1 a b 0，O 为坐标原点，P 为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且 b2=a，其离心率为22，过点 M 0,1的动直线 l 与椭圆相交于 A，B

8、 两点.(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)当 AB=4 53时，求直线 l 的方程717.如图，椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为 12，过椭圆右焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB 与 CD当直线 AB 的斜率为 0 时，AB=4()求椭圆的方程；()求使 AB+CD取最小值时直线 AB 的方程18.已知抛物线 C:y2=2px(p 0)的焦点 F 到准线的距离为 2，且过点 F 的直线 l 被抛物线 C 所截得的弦长MN 为 8(1)求直线 l 的方程；(2)当直线 l 的斜率大于零时，求过点 M,N 且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程819.椭圆 C：x22m2+

9、y2m2=1 m 2，直线 l 过点 P 1,1，交椭圆于 A B 两点，且 P 为 AB 的中点.(1)求直线 l 的方程；(2)若 AB=5 OP，求 m 的值.20.如图所示，已知圆 F1:x+12+y2=16 上有一动点 Q，点 F2的坐标为 1,0，四边形 QF1F2R 为平行四边形，线段 F1R 的垂直平分线交 F2R 于点 P，设点 P 的轨迹为曲线 C.(1)求曲线 C 的方程；(2)过点 F2的直线 l 与曲线 C 有两个不同的交点 A、B，问是否存在实数，使得 AF2+BF2=AF2BF2成立，若存在求出 的值；若不存在，请说明理由.(1)x24+y23=1 y 0；(2)

10、存在，实数 =43.921.已知椭圆 W:x24+y2=1，直线 l 过点(0,-2)与椭圆 W 交于两点 A,B，O 为坐标原点.(1)设 C 为 AB 的中点，当直线 l 的斜率为 32 时，求线段 OC 的长；(2)当 OAB 面积等于 1 时，求直线 l 的斜率.22.已知抛物线 W：y2=4x 的焦点为 F，直线 y=2x+t 与抛物线 W 相交于 A,B 两点.(1)将|AB|表示为 t 的函数；(2)若|AB|=3 5，求 AFB 的周长.1023.如图，过点 F(1,0)的直线 l 与抛物线 C:y2=4x 交于 A,B 两点.(1)若|AB|=8，求直线 l 的方程;(2)记

11、抛物线 C 的准线为 l，设直线 OA,OB 分别交 l 于点 N,M，求 ON OM的值.24.设椭圆 E：x2a2+y2b2=1(a，b 0)过 M(2，2)，N(6，1)两点，O 为坐标原点，(1)求椭圆 E 的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A，B，且 OA OB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由.1125.折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸(如下图)，步骤 1：设圆心是 O，在圆内不是圆心处

12、取一点，标记为 F；步骤 2：把纸片对折，使圆周正好通过 F；步骤 3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；步骤 4：不停重复步骤 2 和 3，能得到越来越多条的折痕所有这些折痕围成的图形是一个椭圆.若取半径为 4 的圆形纸片，设定点 F 到圆心 O 的距离为 2，按上述方法折纸.(1)建立适当的坐标系，求折痕围成椭圆的标准方程；(2)求经过 F，且与直线 FO 夹角为 4 的直线被椭圆截得的弦长.12四、填空题26.在平面直角坐标系 xOy 中，过抛物线 C:y2=mx 的焦点 F 作斜率为 1 的直线，与抛物线 C 交于 A，B 两点若弦 AB 的长为 6，则实数 m 的值为.27.已知抛物线

13、 C:y2=2px(p 0)，直线 l：y=2x+b 经过抛物线 C 的焦点，且与 C 相交于 A、B 两点若|AB|=5，则 p=28.已知抛物线 C:x2=4y,AB 为过焦点 F 的弦，过 A,B 分别作抛物线的切线，两切线交于点 P，设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0)，则下列结论正确的有若直线 AB 的斜率为-1，则弦 AB=8；若直线 AB 的斜率为-1，则 x0=2；点 P 恒在平行于 x 轴的直线 y=-1 上；若点 M(xM,yM)是弦 AB 的中点，则 xM=x0五、双空题29.已知抛物线 C:x2=2py p 0的焦点为 F，直线 l:y=kx+b k

14、 0与抛物线 C 交于 A，B 两点，且 AF+BF=6，线段 AB 的垂直平分线过点 M 0,4，则抛物线 C 的方程是；若直线 l 过点 F，则 k=.1314专题 02 圆锥曲线中的面积问题一、单选题1.直线 l 经过抛物线 y2=4x 的焦点 F 且与抛物线交于 A、B 两点，过 A、B 两点分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 P、Q，则 PQF 的面积的最小值是()A.2 3B.4C.4 2D.62.已知 F1，F2为椭圆 x2100+y264=1 的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，若 F1PF2=3，则 F1PF2的面积为()A.643B.64 33C.1283D.128 333

15、.已知双曲线 x29-y27=1 的左右焦点分别为 F1,F2，若双曲线上一点 P 使得 F1PF2=60，求 F1PF2的面积()A.7 33B.14 33C.7 3D.14 34.已知椭圆 x225+y216=1 两焦点 F1,F2，P 为椭圆上一点，若 F1PF2=3，则 F1PF2的的内切圆半径为()A.33B.2 33C.3D.2 35.过抛物线 y2=8x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A,B 两点，线段 AB 的中点 M 在直线 y=2 上，O 为坐标原点，则 AOB 的面积为()1A.3 102B.4 5C.9 22D.9二、多选题6.在平面直角坐标系 xOy 中，已知

16、双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a 0,b 0的焦点在圆 O:x2+y2=20 上，圆 O 与双曲线 C 的渐近线在第一、二象限分别交于 M、N 两点，若点 E 0,3满足 ME ON(O 为坐标原点)，下列说法正确的有()A.双曲线 C 的虚轴长为 4B.双曲线的离心率为5C.双曲线 C 的一条渐近线方程为 y=32 xD.三角形 OMN 的面积为 87.已知曲线 C 的方程为 x2+y29=1(0 0)的一个焦点为 F(-1,0)，左、右顶点分别为 A，B经过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C，D 两点(1)当直线 l 的倾斜角为 45 时，求线段 CD 的长；(2)记 ABD

17、与 ABC 的面积分别为 S1和 S2，求|S1-S2|的最大值312.已知直线 l:y=kx+b(b 0)与抛物线 C:y2=4x 交于 A、B 两点，P 是抛物线 C 上异于 A、B 的一点，若PAB 重心的纵坐标为 13，且直线 PA、PB 的倾斜角互补()求 k 的值()求 PAB 面积的取值范围13.已知椭圆 C:x22+y2=1 的右焦点为 F，直线 l:x=2 被称作为椭圆 C 的一条准线，点 P 在椭圆 C 上(异于椭圆左、右顶点)，过点 P 作直线 m:y=kx+t 与椭圆 C 相切，且与直线 l 相交于点 Q.(1)求证：PF QF；(2)若点 P 在 x 轴的上方，当 P

18、QF 的面积最小时，求直线 m 的斜率 k 的平方.414.设 F1，F2分别是椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右焦点，且椭圆的离心率为22，过 F2的直线 l1与椭圆交于 A、B 两点，且 ABF1的周长为 8 2，(1)求椭圆 C 的方程；(2)过 F2点且垂直于 l1的直线 l2与椭圆交于 C、D 两点，求四边形 ACBD 面积的最小值.15.已知抛物线 y2=2px p 0的焦点 F 恰为椭圆 y2a2+x2=1 a 1的一个顶点，且抛物线的通径(过抛物线的焦点 F 且与其对称轴垂直的弦)的长等于椭圆的两准线间的距离.(1)求抛物线及椭圆的标准方程；(2)过点 F

19、作两条直线 l1，l2，且 l1，l2的斜率之积为-1.设直线 l1交抛物线于 A，B 两点，l2交抛物线于 C，D 两点，求1AB+1CD的值；设直线 l1，l2与椭圆的另一个交点分别为 M，N.求 FMN 面积的最大值.516.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)经过点-1,32，且短轴长为 2.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点，且 OP OQ，求 OPQ 面积的取值范围.17.在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 到直线 y=2 的距离与到点 F(0,-1)的距离之差为 1.(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2)过点 M

20、(0,-2)的直线 l 与 C 交于 A、B 两点，若 AOB 的面积为 4 3，求直线 l 的方程.618.如图，A 为椭圆 x22+y2=1 的下顶点，过点 A 的直线 l 交抛物线 x2=2py(p 0)于 B,C 两点，C 是 AB 的中点.(1)求证:点 C 的纵坐标是定值；(2)过点 C 作与直线 l 倾斜角互补的直线 l 交椭圆于 M,N 两点.问：p 为何值时，BMN 的面积最大？并求面积的最大值.719.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右顶点分别为 A,B，|AB|=4.过右焦点 F 且垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 D,E 两点，且|DE|=1.

21、(1)求椭圆 C 的方程；(2)斜率大于 0 的直线 l 经过点 P(-4,0)，且交椭圆 C 于不同的两点 M,N(M 在点 P,N 之间).记 PNA 与PMB 的面积之比为，求实数 的取值范围.20.已知双曲线 C 的标准方程为 x23-y26=1，F1,F2分别为双曲线 C 的左、右焦点.(1)若点 P 在双曲线的右支上，且 F1PF2的面积为 3，求点 P 的坐标；(2)若斜率为 1 且经过右焦点 F2的直线 l 与双曲线交于 M,N 两点，求线段 MN 的长度.821.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0的左、右焦点分别为 F1,F2，离心率为 12，直线 y=1 与

22、C 的两个交点间的距离为 4 63.()求椭圆 C 的方程；()分别过 F1,F2作 l1、l2满足 l1 l2，设 l1、l2与 C 的上半部分分别交于 A,B 两点，求四边形 ABF2F1面积的最大值.22.在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2a2+y2b2=1 a b 0的离心率为 e=22，且点 P 2，1在椭圆 C上.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若点 A,B 都在椭圆 C 上，且 AB 的中点 M 在线段 OP(不包括端点)上.求直线 AB 的斜率；求 AOB 面积的最大值.923.已知椭圆 M：x2a2+y23=1 a 0的一个焦点为 F-1,0，左右顶点分别为 A，B

23、经过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C，D 两点()求椭圆 M 方程；()当直线 l 的倾斜角为 45 时，求线段 CD 的长；()记 ABD 与 ABC 的面积分别为 S1和 S2，求 S1-S2的最大值24.已知圆 M：x2+y2+2 2y-10=0 和点 N(0,2)，Q 是圆 M 上任意一点，线段 NQ 的垂直平分线和 QM 相交于点 P，P 的轨迹为曲线 E.(1)求曲线 E 的方程；(2)点 A 是曲线 E 与 x 轴正半轴的交点，直线 x=ty+m 交 E 于 B C 两点，直线 AB，AC 的斜率分别是k1，k2，若 k1 k2=9，求 ABC 面积的最大值.1025.如

24、图，在平面直标 xOy 中，椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)过点2,-62,-3,-32.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)点 A 为椭圆 C 的左顶点，过点 A 的直线与椭圆 C 交于 x 轴上方一点 B，以 AB 为边作平行四边形ABCD，其中直线 CD 过原点 O，求平行四边形 ABCD 面积 S 的最大值；(3)在(2)的条件下，是否存在如下的平行四边形 ABCD：“原点 O 到直线 AB 的距离与线段 AB 的长度相等”，请说明理由.四、填空题26.已知椭圆 C:x24+y23=1 的左、右焦点分别为 F1、F2，过 F2且倾斜角为 4 的直线 l 交椭圆 C 于 A

25、、B 两点，则 F1AB 的内切圆半径为1127.椭圆 x24+y23=1 的左焦点为 F，直线 y=kx-1 与椭圆相交于 A、B 两点，当 FAB 的周长最大时，FAB 的面积为.28.已知椭圆 C:x22+y2=1，过右焦点的直线 l:y=x-1 与椭圆交与 A,B 两点，O 为坐标原点，则 OAB 的面积为.29.直线 l 与抛物线 y=x2交于 A，C 两点，B 为抛物线上一点，A，B，C 三点的横坐标依次成等差数列.若ABC 中，AC 边上的中线 BP 的长为 3，则 ABC 的面积为.30.已知点 A(0,2)，抛物线 y2=2px(p 0)的焦点为 F，准线为 l，线段 FA

26、交抛物线于点 B过 B 作 l 的垂线，垂足为 M，若 AM MF，则三角形 AFM 的面积 S=31.已知经过点(1，0)的直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于 A，B 两点，点 C(-1，-1)，且 CA CB，则 ABC 的面积为1232.已知经过点 1,0的直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于 A，B 两点，点 C-1,-1，且 CA CB，则 ABC 的面积为.五、双空题33.设抛物线 y2=2px p 0的焦点为 F 1,0，准线为 l，过焦点的直线交抛物线于 A,B 两点，分别过 A,B 作l 的垂线，垂足为 C,D，若 AF=4 BF，则 AB=.CDF 的面积为.13专题

27、 03 圆锥曲线中的中点弦问题一、单选题1.已知椭圆 x23+y24=1 的弦被点(1,1)平分，那么这条弦所在的直线方程为()A.4x+3y-7=0B.4x-3y-7=0C.3x+4y-1=0D.3x-4y-1=02.已知椭圆 C:x24+y23=1，过点 P 1，1的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点，若点 P 恰为弦 AB 中点，则直线l 斜率是()A.-3B.-13C.-34D.-433.直线 y=kx+1 与椭圆 x24+y2=1 相交于 A,B 两点，若 AB 中点的横坐标为 1，则 k=()A.-2B.-1C.-12D.14.已知抛物线 C:y2=4x，以 1,1为中点作

28、C 的弦，则这条弦所在直线的方程为()A.2x-y-1=0B.x-2y+1=0C.2x+y-3=0D.2x+y+3=05.已知椭圆 G：x2a2+y2b2=1(a b 0)的右焦点为 F 3,0，过点 F 的直线交椭圆于 A，B 两点.若 AB 的中点坐标为 1,-1，则 G 的方程为()A.x245+y236=1B.x236+y227=1C.x227+y218=1D.x218+y29=116.在平面直角坐标系 xOy 中，F 是抛物线 y2=6x 的焦点，A、B 是抛物线上两个不同的点若 AF+BF=5，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为()A.12B.1C.32D.27.过椭圆 C:x

29、2a2+y2b2=1(a b 0)的右焦点 F(2,0)的直线与 C 交于 A，B 两点，若线段 AB 的中点 M 的坐标为97,-57，则 C 的方程为()A.x29+y25=1B.x25+y2=1C.x26+y22=1D.x210+y26=18.已知椭圆 G:x2a2+y2b2=1(a b 0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交椭圆于 A,B 两点.若 AB 的中点坐标为(1，-1)，则 G 的方程为()A.x245+y236=1B.x236+y227=1C.x227+y218=1D.x218+y29=19.直线 l 过点 P(1,1)与抛物线 y2=4x 交于 A,B 两点，若

30、 P 恰为线段 AB 的中点，则直线 l 的斜率为()A.2B.-2C.12D.-1210.已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的右焦点为 F，离心率22，过点 F 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点，若 AB中点为(1,1)，则直线 l 的斜率为()A.2B.-2C.-12D.12211.已知椭圆 M:x2a2+y2b2=1(a b 0)，过 M 的右焦点 F(3,0)作直线交椭圆于 A，B 两点，若 AB 中点坐标为(2,1)，则椭圆 M 的方程为()A.x29+y26=1B.x24+y2=1C.x212+y23=1D.x218+y29=112.已知椭圆 y275+x225=1

31、的一条弦的斜率为 3，它与直线 x=12 的交点恰为这条弦的中点 M，则 M 的坐标为()A.1,12B.12,12C.12,-12D.-12,1213.已知椭圆 E：x2a2+y2b2=1 a b 0，过点 4,0的直线交椭圆 E 于 A，B 两点.若 AB 中点坐标为2,-1，则椭圆 E 的离心率为()A.12B.32C.13D.2 3314.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为32，直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点，且线段 AB 的中点为 M-2,1，则直线 l 的斜率为()A.13B.32C.12D.13二、多选题15.已知椭圆 C：x24+y28=1

32、内一点 M(1，2)，直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且 M 为线段 AB 的中点，则下列结论正确的是()A.椭圆的焦点坐标为(2，0)、(-2，0)B.椭圆 C 的长轴长为 2 2C.直线 l 的方程为 x+y-3=0D.AB=4 33三、填空题16.ABC 的三个顶点都在抛物线 E：y2=2x 上，其中 A(2，2)，ABC 的重心 G 是抛物线 E 的焦点，则 BC 边所在直线的方程为17.设 A B 是椭圆 3x2+y2=36 上的两点，点 N(1,3)是线段 AB 的中点，直线 AB 的的方程为.18.已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a b 0)，过点(4，0)的直线

33、交椭圆 E 于 A,B 两点.若 AB 中点坐标为(2，-1)，则椭圆 E 的离心率为19.已知双曲线方程是 x 2-y22=1，过定点 P(2,1)作直线交双曲线于 P1,P2两点，并使 P 为 P1P2的中点，则此直线方程是420.已知椭圆 E：x218+y29=1 过椭圆内部点 C 1,-1的直线交椭圆于 M，N 两点，且 MC=CN则直线 MN的方程为.21.已知双曲线 x24-y2=1 和点 P 3,-1，直线 l 经过点 P 且与双曲线相交于 A、B 两点，当 P 恰好为线段AB 的中点时，l 的方程为22.已知抛物线 C:x2=4y,AB 为过焦点 F 的弦，过 A,B 分别作抛

34、物线的切线，两切线交于点 P，设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0)，则下列结论正确的有若直线 AB 的斜率为-1，则弦 AB=8；若直线 AB 的斜率为-1，则 x0=2；点 P 恒在平行于 x 轴的直线 y=-1 上；若点 M(xM,yM)是弦 AB 的中点，则 xM=x023.已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a b 0)的半焦距为 c，且 c=3b，若椭圆 E 经过 A,B 两点，且 AB 是圆 M:(x+2)2+(y-1)2=r2的一条直径，则直线 AB 的方程为.24.椭圆 x216+y24=1 的弦 AB 中点为 M(1,1)，则直线 AB 的方程525.已

35、知点 P(1，2)是直线 l 被椭圆 x24+y28=1 所截得的线段的中点，则直线 l 的方程是.四、解答题26.已知椭圆 C:x24+y23=1 的左、右顶点分别为 A、B，直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点(1)点 P 的坐标为 1,13，若 MP=PN，求直线 l 的方程；(2)若直线 l 过椭圆 C 的右焦点 F，且点 M 在第一象限，求 3k2MA-kNB(kMA、kNB分别为直线 MA、NB 的斜率)的取值范围27.已知动圆 M 过点 F(2,0)，且与直线 x=-2 相切()求圆心 M 的轨迹 E 的方程；()斜率为 1 的直线 l 经过点 F，且直线 l 与轨迹 E 交

36、于点 A,B，求线段 AB 的垂直平分线方程628.已知椭圆 E:x2a2+y2=1(a 1)的离心率为22.(1)求椭圆 E 的方程；(2)若直线 l:x-y+m=0 与椭圆交于 E、F 两点，且线段 EF 的中点在圆 x2+y2=1，求 m 的值.29.已知直线 l 与抛物线 C:y2=5x 交于 A,B 两点(1)若 l 的方程为 y=2x-1，求 AB；(2)若弦 AB 的中点为 6,-1，求 l 的方程730.坐标平面内的动圆 M 与圆 C1:(x+4)2+y2=1 外切，与圆 C2:(x-4)2+y2=81 内切，设动圆 M 的圆心 M 的轨迹是曲线，直线 l0:4x-5y+40=

37、0.(1)求曲线 的方程；(2)当点 M 在曲线 上运动时，它到直线 l0的距离最小？最小值距离是多少？(3)一组平行于直线 l0的直线，当它们与曲线 E 相交时，试判断这些直线被椭圆所截得的线段的中点是否在同一条直线上，若在同一条直线上，求出该直线的方程；若不在同一条直线上，请说明理由？31.已知椭圆 C1:x2a2+y2b2=1(a b 0)的长轴长为 8，一条准线方程为 x=16 77,与椭圆 C1共焦点的双曲线 C2,其离心率是椭圆 C1的离心率的 2 倍.(1)分别求椭圆 C1和双曲线 C2的标准方程；(2)过点 M(4，1)的直线 l 与双曲线 C2,交于 P，Q 两点，且 M 为

38、线段 PQ 的中点，求直线 l 的方程.832.椭圆 C：x22m2+y2m2=1 m 2，直线 l 过点 P 1,1，交椭圆于 A B 两点，且 P 为 AB 的中点.(1)求直线 l 的方程；(2)若 AB=5 OP，求 m 的值.33.在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C 的焦点为(0,-3)、(0,3)，实轴长为 2 2.(1)求双曲线 C 的标准方程；(2)过点 Q(1,1)的直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，且恰好为线段 MN 的中点，求线段 MN 长度.934.已知双曲线 x2-y22=1.(1)倾斜角 45 且过双曲线右焦点的直线与此双曲线交于 M，N 两点，求

39、 MN.(2)过点 A(2,1)的直线 l 与此双曲线交于 P1，P2两点，求线段 P1P2中点 P 的轨迹方程；(3)过点 B(1,1)能否作直线 m，使 m 与此双曲线交于 Q1，Q2两点，且点 B 是线段 Q1Q2的中点?这样的直线 m 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.10专题 04 圆锥曲线中的范围问题一、单选题1.已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F，A(-1,0)，点 P 是抛物线上的动点，则当 PFPA的值最小时，PF=()A.1B.2C.2 2D.42.已知椭圆 C:x22+y2=1，直线 l 过椭圆 C 的左焦点 F 且交椭圆于 A，B 两点，AB 的中垂线交

40、x 轴于 M 点，则|FM|AB|2 的取值范围为()A.116,14B.18,14C.116,12D.18,123.已知点 P，Q 分别为圆 x2+y-32=1 和椭圆 y225+x216=1 上的点，则 P，Q 两点间的最大距离是()A.6B.7C.8D.914.已知直线 l：y=kx+m 与椭圆 C：x25+y24=1 至多有一个公共点，则 z=102k+m 的取值范围是()A.-2,2B.-,-2 2,+C.-2,2D.-,-22,+二、多选题5.已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴交于点 M.点 P,Q 是抛物线上不同的两点.下面说法中正确的是()A.若直线

41、 PQ 过焦点 F，则以线段 PQ 为直径的圆与准线 l 相切；B.过点 M 与抛物线 C 有且仅有一个公共点的直线至多两条；C.对于抛物线内的一点 T(1,1)，则|PT|+|PF|3；D.若直线 PQ 垂直于 x 轴，则直线 PM 与直线 QF 的交点在抛物线 C 上.6.已知曲线 C 的方程为 x2+y29=1(0 0)的焦点 F 到准线的距离为 2，过点 F 的直线与抛物线交于 P,Q 两点，M 为线段 PQ 的中点，O 为坐标原点，则()A.C 的准线方程为 y=-1B.线段 PQ 长度的最小值为 4C.SOPQ 2D.OP OQ=-38.已知 O 为坐标原点，椭圆 C:x2a2+y

42、2b2=1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1、F2，长轴长为 2 2，焦距为 2c，点 P 在椭圆 C 上且满足 OP=OF1=OF2=c，直线 PF2与椭圆 C 交于另一个点 Q，若 cosF1QF2=45，点 M 在圆 G:x2+y2=89 上，则下列说法正确的是()A.椭圆 C 的焦距为 2B.三角形 MF1F2面积的最大值为 2 23C.圆 G 在椭圆 C 的内部D.过点 F2的圆 G 的切线斜率为 2三、解答题9.已知椭圆 C：x24+y22=1.(1)求椭圆的离心率.(2)已知点 A 是椭圆 C 的左顶点，过点 A 作斜率为 1 的直线 m，求直线 m 与椭圆 C 的另一个交点

43、 B 的坐标.(3)已知点 M 0,2 2，P 是椭圆 C 上的动点，求 PM的最大值及相应点 P 的坐标.310.已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)上的点到右焦点 F(c,0)的最大距离是2+1，且 1、2a、4c 成等比数列(1)求椭圆的方程；(2)过点 F 且与 x 轴不垂直的直线 l 与椭圆交于 A、B 两点，线段 AB 的中垂线交 x 轴于点 M(m,0)，求实数 m 的取值范围11.已知椭圆 C:x24+y23=1 的左、右顶点分别为 A、B，直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点(1)点 P 的坐标为 1,13，若 MP=PN，求直线 l 的方程；(2)若直线 l

44、过椭圆 C 的右焦点 F，且点 M 在第一象限，求 3k2MA-kNB(kMA、kNB分别为直线 MA、NB 的斜率)的取值范围412.已知圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为32，过 A(n,0)(0 n b 0经过点 P 2,2，一个焦点 F 的坐标为 2,0.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设直线 l：y=kx+m 与椭圆 C 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若 kOA kOB=13，求 OA OB的取值范围.514.已知点 P 到 A(-2,0)的距离是点 P 到 B 1,0的距离的 2 倍.(1)求点 P 的轨迹方程；(2)若点 P 与点 Q 关于点 B 对称，

45、点 C(5,8)，求 QB2+QC2的最大值；(3)若过 B 的直线与第二问中 Q 的轨迹交于 E，F 两点，试问在 x 轴上是否存在点 M(m,0)，使 ME MF恒为定值?若存在，求出点 M 的坐标和定值；若不存在，请说明理由.15.已知椭圆 C:x22+y2=1 的右焦点为 F，直线 l:x=2 被称作为椭圆 C 的一条准线，点 P 在椭圆 C 上(异于椭圆左、右顶点)，过点 P 作直线 m:y=kx+t 与椭圆 C 相切，且与直线 l 相交于点 Q.(1)求证：PF QF；(2)若点 P 在 x 轴的上方，当 PQF 的面积最小时，求直线 m 的斜率 k 的平方.616.已知椭圆 C:

46、x2a2+y2b2=1(a b 0)经过点-1,32，且短轴长为 2.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点，且 OP OQ，求 OPQ 面积的取值范围.17.已知椭圆 E：x2a2+y2b2=1(a b 0)的左右焦点分别是 F1和 F2，离心率为 13，以 P 在椭圆 E 上，且 PF1F2的面积的最大值为 2 2.(1)求椭圆 E 的方程；(2)已知直线 l:y=kx+2(k 0)与椭圆 E 交于不同的两点 M,N，若 x 轴上存在点 G，使得 GM=GN，求点 G 的横坐标的取值范围.718.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)经过

47、点(2,0)，一个焦点为(3,0)()求椭圆 C 的方程；()若直线 y=k(x-1)(k 0)与 x 轴交于点 P，与椭圆 C 交于 A,B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 Q，求|AB|PQ|的取值范围19.坐标平面内的动圆 M 与圆 C1:(x+4)2+y2=1 外切，与圆 C2:(x-4)2+y2=81 内切，设动圆 M 的圆心 M 的轨迹是曲线，直线 l0:4x-5y+40=0.(1)求曲线 的方程；(2)当点 M 在曲线 上运动时，它到直线 l0的距离最小？最小值距离是多少？(3)一组平行于直线 l0的直线，当它们与曲线 E 相交时，试判断这些直线被椭圆所截得的线段

48、的中点是否在同一条直线上，若在同一条直线上，求出该直线的方程；若不在同一条直线上，请说明理由？820.已知 F1，F2分别是椭圆 C:x24+y2=1 的左、右焦点.(1)若 P 是第一象限内该椭圆上的一点，PF1 PF2=-54，求点 P 的坐标；(2)设过定点 M 0,2的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A，B，且 AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点)，求直线 l 的斜率 k 的取值范围.21.已知椭圆方程为 x26+y23=1(1)设椭圆的左右焦点分别为 F1、F2，点 P 在椭圆上运动，求 PF1 PF2的取值范围；(2)设直线 l 和圆 x2+y2=2 相切，和椭圆交于 A、B 两

49、点，O 为原点，线段 OA、OB 分别和圆 x2+y2=2 交于 C、D 两点，设 AOB、COD 的面积分别为 S1、S2，求 S1S2的取值范围922.已知 F 为椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的右焦点，点 P 1,m在 C 上，且 PF x 轴，椭圆 C 的离心率为12.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 l:y=kx+2 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且 OA OB 2(O 为坐标原点)，求 k 的取值范围.23.设椭圆 E：x2a2+y2b2=1(a，b 0)过 M(2，2)，N(6，1)两点，O 为坐标原点，(1)求椭圆 E 的方程；(2)是否存在圆心在原点

50、的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A，B，且 OA OB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由.1024.如图，已知双曲线 C 的方程为 x2a2-y2b2=1(a b 0)，两条渐近线的夹角为 arccos 35，焦点到渐近线的距离为 1 M、N 两动点在双曲线 C 的两条渐近线上，且分别位于第一象限和第四象限，P 是直线 MN 与双曲线右支的一个公共点，MP=PN.(1)求双曲线 C 的方程；(2)当 =1 时，求 PM PN的取值范围；(3)试用 表示 MON 的面积 S，设双曲线 C 上的点到其焦点的距离的取值范围为集合，若 5 ，求 S

51、的取值范围.1125.在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1、F2，左顶点为 A，上顶点为 B，离心率为 e椭圆上一点 C 满足：C 在 x 轴上方，且 CF2 x 轴(1)如图 1，若 OC AB，求 e 的值；(2)如图 2，连结 CF1并延长交椭圆于另一点 D若 12 e 32，求 CF1F1D的取值范围四、填空题26.若点 O 和点 F 分别为双曲线 x23-y2=1 的中心和左焦点，点 P 为双曲线右支上的任意一点，则 OP FP的取值范围为.1227.设点 M x0,1，若在圆 O:x2+y2=1 上存在点 N，使得 OM

52、N=45，则 x0的取值范围是28.已知 P 为椭圆 x24+y2=1 上的一点，过 P 作直线 l 交圆 x2+y2=4 于 A，B 两点，则 PA PB的最大值是.29.已知过抛物线 C：y2=8x 的焦点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A、B 两点，若 P 为线段 AB 的中点，O 为坐标原点，连接 OP 并延长，交抛物线 C 于点 Q，则 OPOQ的取值范围为五、双空题30.(1)方程 kx2+4y2=4k 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是(2)设点 A，B 的坐标为-2，0，2，0，点 P 是曲线 C 上任意一点，且直线 PA 与 PB 的斜率之积为-14，则

53、曲线 C 的方程是13专题 05 圆锥曲线中的定点问题一、多选题1.设 A，B 是抛物线 y=x2上的两点，O 是坐标原点，下列结论成立的是()A.若 OA OB，则 OAOB 2B.若 OA OB，直线 AB 过定点(1,0)C.若 OA OB，O 到直线 AB 的距离不大于 1D.若直线 AB 过抛物线的焦点 F，且 AF=13，则|BF|=12.设 A x1,y1,B x2,y2是抛物线 y2=4x 上两点，O 是坐标原点，若 OA OB，下列结论正确的为()A.y1y2为定值B.直线 AB 过抛物线 y2=4x 的焦点C.SAOB最小值为 16D.O 到直线 AB 的距离最大值为 4二

54、、单选题3.已知直线 y=kx+2 与椭圆 x29+y2m=1 总有公共点，则 m 的取值范围是()A.m 4B.0 m 9C.4 m 0)的焦点为 F，点 M(2，m)(m 0)在抛物线上，且|MF|=2.(1)求抛物线 C 的方程；(2)若点 P(x0，y0)为抛物线上任意一点，过该点的切线为 l0，证明：过点 F 作切线 l0的垂线，垂足必在 x 轴上.15.已知抛物线 E：x2=2py(p 0)的焦点为 F，A(2，y0)是 E 上一点，且|AF|=2.(1)求 E 的方程；(2)设点 B 是 E 上异于点 A 的一点，直线 AB 与直线 y=x-3 交于点 P，过点 P 作 x 轴的

55、垂线交 E 于点M，证明：直线 BM 过定点.6.已知点 A(-1，0)，B(1，-1)和抛物线.C:y2=4x，O 为坐标原点，过点 A 的动直线 l 交抛物线 C 于 M、P，直线 MB 交抛物线 C 于另一点 Q，如图:(1)若 POM 的面积为 52，求向量 OM与 OP的夹角；(2)证明:直线 PQ 恒过一个定点.27.设 O 为坐标原点，椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的焦距为 4 5，离心率为 2 55，直线 l:y=kx+m(m 0)与 C 交于 A,B 两点.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设点 P(0,1)，PA PB=-4，求证：直线 l 过定点，并求出定点

56、的坐标.8.已知抛物线 C:y2=2px(p 0)经过点(2,-2 2).(1)求抛物线 C 的方程及其相应准线方程；(2)过点 E(2,0)作斜率为 k1,k2的两条直线分别交抛物线于 M,N 和 P,Q 四点，其中 k1+k2=1.设线段 MN和 PQ 的中点分别为 A,B,过点 E 作 ED AB,垂足为 D.证明：存在定点 T,使得线段 TD 长度为定值.39.设 F1、F2分别是椭圆 C：x2a2+y2b2=1 a b 0的左、右焦点，F1F2=2，直线 l 过 F1且垂直于 x 轴，交椭圆 C 于 A、B 两点，连接 A、B、F2，所组成的三角形为等边三角形.(1)求椭圆 C 的方

57、程；(2)过右焦点 F2的直线 m 与椭圆 C 相交于 M、N 两点，试问：椭圆 C 上是否存在点 P，使 OP=OM+ON成立？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由.10.设椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0)，F2(c,0)，离心率为 12，短轴长为 2 3.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设左、右顶点分别为 A、B，点 M 在椭圆上(异于点 A、B)，求 kMAkMB的值；(3)过点 F2作一条直线与椭圆 C 交于 P,Q 两点，过 P,Q 作直线 x=a2c 的垂线，垂足为 S,T.试问：直线PT 与 QS 是否交于定点？若是

58、，求出该定点的坐标，否则说明理由.411.在平面直角坐标系中，动点 M 到点 F(2,0)的距离和它到直线 x=52 的距离的比是常数 2 55.(1)求动点 M 的轨迹方程；(2)若过点 F 作与坐标轴不垂直的直线 l 交动点 M 的轨迹于 A,B 两点，设点 A 关于 x 轴的对称点为 P，当直线 l 绕着点 F 转动时，试探究：是否存在定点 Q，使得 B,P,Q 三点共线？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由12.在平面直角坐标系 xOy 中，有三条曲线：x24+y2m=1(0 m 0)；y2=2px(p 0).请从中选择合适的一条作为曲线 C，使得曲线 C 满足：点 F(1

59、，0)为曲线 C 的焦点，直线 y=x-1 被曲线 C 截得的弦长为 8.(1)请求出曲线 C 的方程；(2)设 A，B 为曲线 C 上两个异于原点的不同动点，且 OA 与 OB 的斜率之和为 1，过点 F 作直线 AB 的垂线，垂足为 H，问是否存在定点 M，使得线段 MH 的长度为定值?若存在，请求出点 M 的坐标和线段 MH的长度；若不存在，请说明理由.513.已知圆 M:x2+y-22=1，点 P 是直线 l:x+2y=0 上的一动点，过点 P 作圆 M 的切线 PA，PB，切点为A，B(1)当切线 PA 的长度为3 时，求点 P 的坐标；(2)若 PAM 的外接圆为圆 N，试问：当

60、P 运动时，圆 N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；14.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的一个焦点与抛物线 y2=4 3x 的焦点重合，且椭圆 C 的离心率为32.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)直线 l 交椭圆 C 于 A B 两点，线段 AB 的中点为 M(1,t)，直线 m 是线段 AB 的垂直平分线，求证：直线 m 过定点，并求出该定点的坐标.615.已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1 a b 0的离心率为 12，且经过点-1,-32，(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过点 1,0作直线 l 与椭圆相较于 A，B 两点，试问在

61、 x 轴上是否存在定点 Q，使得两条不同直线 QA，QB 恰好关于 x 轴对称，若存在，求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由16.已知椭圆 E：x24+y23=1 的左、右焦点分别为 F1、F2，点 P 在直线 m：x+y=4 上且不在 x 轴上，直线 PF1与椭圆 E 的交点分别为 A、B，直线 PF2与椭圆 E 的交点分别为 C、D(1)设直线 PF1、PF2的斜率分别为 k1、k2，求 3k1-5k2的值；(2)问直线 m 上是否点 P，使得直线 OA，OB，OC，OD 的斜率 kOA，kOB，kOC，kOD满足 kOA+kOB+kOC+kOD=0？若存在，求出所有满足条件的点 P

62、的坐标；若不存在，请说明理由.717.已知直线 l：x=my+1 过椭圆 C：b2x2+a2y2=a2b2(a b 0)的右焦点 F，且交椭圆 C 于 A B 两点，点A B 在直线 G：x=a2上的射影依次为点 D E.(1)若1|OF|+1OA2=3eFA2，其中 O 为原点，A2为右顶点，e 为离心率，求椭圆 C 的方程；(2)连接 AF，BD，试探索当 m 变化时，直线 AE，BD 是否相交于一定点 N？若交于定点 N，请求出 N 点的坐标，并给予证明；否则说明理由.18.已知抛物线 C:y2=2px p 0的焦点为 F，过点 A-p2,0的直线与抛物线在第一象限相切于点 B，点 B到

63、坐标原点 O 的距离为 2 5.(1)求抛物线 C 的标准方程；(2)过点 M 8,0任作直线 l 与抛物线 C 相交于 P，Q 两点，请判断 x 轴上是否存点 T，使得点 M 到直线PT，QT 的距离都相等.若存在，请求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由.819.已知椭圆 E：x2a2+y2b2=1 a b 0的离心率为 12，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为 4(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)已知 Q(4，0)，斜率为 k 的直线 l(不过点 Q)与椭圆 E 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若 OQA=OQB，则直线 l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明

64、理由20.设 A,B 两点的坐标分别为(-2,0),(2,0)直线 AE,BE 相交于点 E，且它们的斜率之积为-14，直线 l 方程：x=4，直线 AE,BE 与直线 l 分别相交于 M,N 两点，AN 交轨迹 E 与点 F(1)求点 E 的轨迹方程.(2)求证：M,B,F 三点共线(3)求证：以 MN 为直径的圆过定点.921.已知椭圆 E:x3a2+y2b2=1 a b 0，以抛物线 y2=4 2x 的焦点为椭圆 E 的一个顶点，且离心率为22.(1)求椭圆 E 的方程；(2)若直线 l:y=kx+m k 0与椭圆 E 相交于 A、B 两点，与直线 x=-4 相交于 Q 点，P 是椭圆

65、E 上一点，且满足 OP=OA+OB(其中 O 为坐标原点)，试问在 x 轴上是否存在一点 T，使得 OP TQ为定值？若存在，求出点 T 的坐标及 OP TQ的值；若不存在，请说明理由.22.已知点 P 是抛物线 C1:y2=4x 的准线上任意一点，过点 P 作抛物线 C1的两条切线 PA、PB，其中 A、B 为切点.(1)证明：直线 AB 过定点，并求出定点的坐标；(2)若直线 AB 交椭圆 C2:x24+y23=1 于 C、D 两点，S1、S2分别是 PAB、PCD 的面积，求 S1S2的最小值.1023.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0的离心率为 12，其短轴长为 2

66、3(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)已知直线 l:x=4，过椭圆右焦点 F 的直线(不与 x 轴重合)与椭圆 C 相交于 A，B 两点，过点 A 作 AD l，垂足为 D求证：直线 BD 过定点 E，并求出定点 E 的坐标；点 O 为坐标原点，求 OBD 面积的最大值24.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1，F2，M 1,32为椭圆上一点，且 MF1+MF2=4.(1)求椭圆 C 的方程(2)过点 M 作互相垂直的两条直线分别交椭圆 C 于另一点 A，B，求证：直线 AB 过定点，并求出定点的坐标1125.已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b

67、0)的左焦点 F(-3,0)，椭圆的两顶点分别为 A(-a,0)，B(a,0)，M 为椭圆上除 A，B 之外的任意一点，直线 MA，BM 的斜率之积为-14.(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)若 P 为椭圆 C 短轴的上顶点，斜率为 k 的直线 l 不经过 P 点且与椭圆 C 交于 E，F 两点，设直线 PE，PF 的斜率分别为 k1,k2，且 k1+k2=-1，试问直线 l 是否过定点，若是，求出这定点；若不存在，请说明理由.四、填空题26.设抛物线 y2=2x 上两点 A，B 位于 x 轴的同侧，且 A，B 两点的横坐标之积为 4，则直线 AB 经过的定点坐标是.12专题 06 圆锥曲线

68、中的定值问题一、单选题1.过原点的直线 l 与双曲线 x2-y2=6 交于 A,B 两点，点 P 为双曲线上一点，若直线 PA 的斜率为 2，则直线PB 的斜率为()A.4B.1C.12D.14二、多选题2.已知椭圆:x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为22，ABC 的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边 AB，BC，AC 的中点分别为 D，E，F，且三条边所在直线的斜率分别 k1，k2，k3，且 k1，k2，k3均不为 0 O 为坐标原点，则()A.a2:b2=1:2B.直线 AB 与直线 OD 的斜率之积为-2C.直线 BC 与直线 OE 的斜率之积为-12D.若直线 OD，OE，O

69、F 的斜率之和为 1，则 1k1+1k2+1k3的值为-23.设 A x1,y1,B x2,y2是抛物线 y2=4x 上两点，O 是坐标原点，若 OA OB，下列结论正确的为()A.y1y2为定值B.直线 AB 过抛物线 y2=4x 的焦点C.SAOB最小值为 16D.O 到直线 AB 的距离最大值为 41三、解答题4.已知点 P 到 A(-2,0)的距离是点 P 到 B 1,0的距离的 2 倍.(1)求点 P 的轨迹方程；(2)若点 P 与点 Q 关于点 B 对称，点 C(5,8)，求 QB2+QC2的最大值；(3)若过 B 的直线与第二问中 Q 的轨迹交于 E，F 两点，试问在 x 轴上是

70、否存在点 M(m,0)，使 ME MF恒为定值?若存在，求出点 M 的坐标和定值；若不存在，请说明理由.5.已知 F1，F2为椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左右焦点，点 P 1,2 33在椭圆上，且过点 F2的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，AF1B 的周长为 4 3.(1)求椭圆 E 的方程；(2)对于椭圆 E，问否存在实数，使得 AF2+BF2=AF2 BF2成立，若存在求出 的值；若不存在，请说明理由.26.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为33，A(a,0),B(0,b),O(0,0),OAB 的面积为62(1)求椭圆 C 的方程；(2)设

71、 P 为椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N，求证：|AN|BM|为定值.7.已知椭圆 x24+y23=1 的左、右焦点分别为 F1、F2，直线 y=kx 交椭圆于 P，Q 两点，M 是椭圆上不同于P，Q 的任意一点，直线 MP 和直线 MQ 的斜率分别为 k1，k2(1)证明：k1k2为定值；(2)过 F2的直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，且 AF2=2F2B，求|AB|38.已知双曲线的方程 C:2x2-y2=1.(1)求点 P 0,1到双曲线 C 上点的距离的最小值；(2)已知圆 M:x2+y2=1 的切线 l(直线 l 的斜率存在)与

72、双曲线 C 交于 A，B 两点，那么 AOB 是否为定值?如果是，求出定值；如果不是，请说明理由.9.已知抛物线 y2=2px p 0的焦点 F 恰为椭圆 y2a2+x2=1 a 1的一个顶点，且抛物线的通径(过抛物线的焦点 F 且与其对称轴垂直的弦)的长等于椭圆的两准线间的距离.(1)求抛物线及椭圆的标准方程；(2)过点 F 作两条直线 l1，l2，且 l1，l2的斜率之积为-1.设直线 l1交抛物线于 A，B 两点，l2交抛物线于 C，D 两点，求1AB+1CD的值；设直线 l1，l2与椭圆的另一个交点分别为 M，N.求 FMN 面积的最大值.410.设抛物线 C：y2=4x，F 为 C

73、的焦点，过 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点.(1)设 l 的斜率为 2，求 AB的值；(2)求证：OA OB为定值.11.已知圆 M:(x-1)2+y2=14，动圆 N 与圆 M 相外切，且与直线 x=-12 相切.(1)求动圆圆心 N 的轨迹 C 的方程.(2)已知点 P-12,-12,Q(1,2)，过点 P 的直线 l 与曲线 C 交于两个不同的点 A,B(与 Q 点不重合)，直线QA,QB 的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.512.已知椭圆:x2a2+y2b2=1(a b 0)经过点 M(-2,1)，且右焦点 F(3,0).(1)求椭圆 的标准方程；(

74、2)过 N(1,0)且斜率存在的直线 AB 交椭圆 于 A，B 两点，记 t=MA MB，若 t 的最大值和最小值分别为 t1，t2，求 t1+t2的值.13.已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为22，短轴一个端点到右焦点 F 的距离为2.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过点 F 的直线 l 交椭圆于 A B 两点，交 y 轴于 P 点，设 PA=1AF，PB=2BF，试判断 1+2是否为定值？请说明理由.614.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 F1，F2分别是椭圆 E：x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右焦点，A，B分别椭圆 E 的左、右顶点，且

75、 AF2+5BF2=0(1)求椭圆 E 的离心率；(2)已知点 D(1,0)为线段 OF2的中点，M 为椭圆 E 上的动点(异于点 A、B)，连接 MF1并延长交椭圆 E 于点 N，连接 MD、ND 并分别延长交椭圆 E 于点 P、Q，连接 PQ，设直线 MN、PQ 的斜率存在且分别为 k1、k2，试问是否存在常数，使得 k1+k2=0 恒成立？，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由15.设椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0)，F2(c,0)，离心率为 12，短轴长为 2 3.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设左、右顶点分别为 A、B，点 M

76、 在椭圆上(异于点 A、B)，求 kMAkMB的值；(3)过点 F2作一条直线与椭圆 C 交于 P,Q 两点，过 P,Q 作直线 x=a2c 的垂线，垂足为 S,T.试问：直线PT 与 QS 是否交于定点？若是，求出该定点的坐标，否则说明理由.716.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(-2，1)，P 是动点，且 kOP+kOA=kPA.(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2)过 A 作斜率为 1 的直线与轨迹 C 相交于点 B，点 T(0，t)(t 0)，直线 AT 与 BT 分别交轨迹 C 于点 A1B1,设直线 A1B1的斜率为 k，是否存在常数，使得 t=k，若存在，求出 值

77、，若不存在，请说明理由.17.已知 P 为圆 F1：(x+3)2+y2=16 上一动点，点 F2坐标为(3,0)，线段 F2P 的垂直平分线交直线 F1P 于点Q.(1)求点 Q 的轨迹 C 方程；(2)已知 B(0,-1)，过点(0,2)作与 y 轴不重合的直线 l 交轨迹 C 于 E,F 两点，直线 BE,BF 分别与 x 轴交于 M,N 两点.试探究 M,N 的横坐标的乘积是否为定值，并说明理由.818.已知在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O:x2+y2=1 与 y 轴交于 C，D 两点，点 P 在第一象限且为圆 O 外一点，直线 PC，PD 分别交圆 O 于点 A，B，交 x 轴于点

78、 Q，R()若直线 BD 的倾斜角为 60，|AC|=1，求点 P 坐标；()过 P 作圆 O 的两条切线分别交 x 轴于点 M，N，试问|MQ|NR|是否为定值？若是，求出这个定值：若不是，说明理由19.在平面直角坐标系 xOy 中，有三条曲线：x24+y2m=1(0 m 0)；y2=2px(p 0).请从中选择合适的一条作为曲线 C，使得曲线 C 满足：点 F(1，0)为曲线 C 的焦点，直线 y=x-1 被曲线 C 截得的弦长为 8.(1)请求出曲线 C 的方程；(2)设 A，B 为曲线 C 上两个异于原点的不同动点，且 OA 与 OB 的斜率之和为 1，过点 F 作直线 AB 的垂线，

79、垂足为 H，问是否存在定点 M，使得线段 MH 的长度为定值?若存在，请求出点 M 的坐标和线段 MH的长度；若不存在，请说明理由.920.如图，点 A 为椭圆 C1:x2+2y2=1 的左顶点，过 A 的直线 l1交抛物线 C2:y2=2px p 0于 B，C 两点，点 C是 AB 的中点()若点 A 在抛物线 C2的准线上，求抛物线 C2的标准方程：()若直线 l2过点 C，且倾斜角和直线 l1的倾斜角互补，交椭圆 C1于 M，N 两点，(i)证明：点 C 的横坐标是定值，并求出该定值：(ii)当 BMN 的面积最大时，求 p 的值21.已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)的

80、左右焦点分别为 F1,F2，焦距为 2，且经过点 Q-1，22.直线 l 过右焦点且不平行于坐标轴，l 与椭圆 C 有两个不同的交点 A，B，线段 AB 的中点为 M.(1)点 P 在椭圆 C 上，求 PF1 PF2的取值范围；(2)证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值；1022.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为 23，点 A,B,D,E 分别是 C 的左右上下顶点，且四边形ADBE 的面积为 6 5.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)已知 F 是 C 的右焦点，过 F 的直线交椭圆 C 于 P,Q 两点，记直线 AP,BQ 的交点为 T，求证：

81、点 T 在定直线 l 上，并求出直线 l 的方程.23.已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1 a b 0的左、右顶点分别为 A，B，离心率为32，过点 P 1,0作直线交椭圆于点 C，D(与 A，B 均不重合).当点 D 与椭圆 E 的上顶点重合时，AD=5.(1)求椭圆 E 的方程(2)设直线 AD，BC 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1k2为定值.1124.已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为22，过焦点且与 x 轴垂直的直线被椭圆 C 截得的线段长为 2(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知点 A(1,0)，B(4,0)，过点 A 的任意一条直线 l 与椭圆 C

82、 交于 M，N 两点，求证：|MB|NA|=|MA|NB|25.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为22，短轴一个端点到右焦点 F 的距离为2.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点，交 y 轴 于 P 点，设 PA=1AF,PB=2BF，试判断 1+2是否为定值？请说明理由12四、填空题26.已知 A、B 分别是双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的左右顶点，M 是双曲线上异于 A、B 的动点，若直线 MA、MB 的斜率分别为 k1,k2，始终满足 f k1=f k2，其中 f(x)=ln x2，则 C 的离心

83、率为27.在平面直角坐标系 xOy 中，F1，F2分别为椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右焦点，B，C 分别为椭圆的上、下顶点，直线 BF2与椭圆的另一个交点为 D，若 F1BF2的面积为 512 b2，则直线 CD 的斜率为.13专题 07 圆锥曲线中的向量共线问题一、单选题1.已知抛物线 C：y2=2x 的焦点为 F，点 M，N 分别在抛物线 C 上.若 MF=2FN，则点 M 到 y 轴的距离为()A.12B.35C.23D.12.抛物线 C:y2=2px p 0的焦点为 F，准线为 l，点 P 在 l 上，线段 PF 与抛物线 C 交于点 A，若 PF=4AF，点 A

84、到 x 轴的距离为 2，则 p 的值是()A.2 6B.4C.2 2D.23.已知双曲线的标准方程为 x24-y212=1，过其右焦点 F 的直线与双曲线的右支交于 A，B 两点，若 AF=13 FB，则 AB 的垂直平分线与 x 轴交点的横坐标是()A.20B.10C.12D.1814.已知抛物线 C:x2=4y，焦点为 F，圆 M:x2-2x+y2+4y+a2=0 a 0，过 F 的直线 l 与 C 交于 A、B 两点(点 A 在第一象限)，且 FB=4AF，直线 l 与圆 M 相切，则 a=()A.0B.2 115C.115D.35.已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a 0,b 0

85、的右焦点为 F，过 F 且斜率为3 的直线交 C 于 A、B 两点，若AF=4FB，则 C 的离心率为()A.58B.65C.75D.956.已知点 Q-2,0与抛物线 y2=2px p 0，过抛物线焦点的直线与抛物线交于 A，B 两点，与 y 轴交于点P，若 AB=3BP，且直线 QA 的斜率为 1，则 p=()A.2B.4C.2 2+2D.4 22二、解答题7.在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1、F2，左顶点为 A，上顶点为 B，离心率为 e椭圆上一点 C 满足：C 在 x 轴上方，且 CF2 x 轴(1)如图 1，若 OC

86、AB，求 e 的值；(2)如图 2，连结 CF1并延长交椭圆于另一点 D若 12 e 32，求 CF1F1D的取值范围8.已知椭圆 C:y2a2+x2b2=1 a b 0经过点 0,3，离心率为63.(1)求曲线 C 的方程；(2)设直线 l:y=x+2 与曲线 C 交于 A,B 两点，点 M 为 OA 中点，BM 与曲线 C 的另一个交点为 N，设BM=mMN，试求出 m 的值.39.已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1 a b 0的两个焦点为 F1，F2，焦距为 2 2，直线 l：y=x-1 与椭圆 C 相交于A，B 两点，P 34,-14为弦 AB 的中点.(1)求椭圆的标准方程；(2)

87、若直线 l：y=kx+m 与椭圆 C 相交于不同的两点 M，N，Q 0,m，若 OM+ON=3OQ(O 为坐标原点)，求 m 的取值范围.10.如图，已知椭圆 x2a2+y2b2=1 a b 0，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线 AF2交椭圆于另一点 B.(1)若 F1AB=90，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为 2，且 AF2=2F2B，求椭圆的方程.411.已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)，O 为坐标原点，长轴长为 4，离心率 e=12(1)求椭圆 C 的方程；(2)设直线 l 的方程为：y=k x-1，点 A 为椭圆 C 在 x 轴正半轴上

88、的顶点，过点 A 作 AB l，垂足为 M，点 B 在椭圆上(不同于点 A)且满足：2MB=5AM，求直线 l 的斜率 k12.已知椭圆 C1：x2a2+y2b2=1 a b 0的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1且与 x 轴垂直的直线被椭圆 C1和圆 x2+y2=a2截得的弦长分别为 2 和 2 2.(1)求 C1的标准方程；(2)已知动直线 l 与抛物线 C2：y2=4x 相切(切点异于原点)，且 l 与椭圆 C1相交于 M，N 两点，问：椭圆 C1上是否存在点 Q，使得 OM+ON=63 OQ，若存在求出满足条件的所有 Q 点的坐标，若不存在，请说明理由.513.已知椭圆 C:x2a

89、2+y2b2=1 a b 0的离心率是 12，且椭圆 C 经过点 P3,32，过椭圆 C 的左焦点 F的直线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若 MF=2FN，求直线 l 的方程.14.已知过点 P 0,2的直线与抛物线 C:x2=4y 相交于 A，B 两点.(1)若 AP=2PB，且点 A 在第一象限，求直线 AB 的方程；(2)若点 A，B 在直线 y=-2 上的射影分别为 A1，B1，线段 A1B 的中点为 Q，求证 BQ PA1.615.已知 E:x2+4y2=m2(m 0)，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 E 有两个交点 A，

90、B，线段 AB 的中点为 M(1)若 m=2，点 K 在椭圆 E 上，F1、F2分别为椭圆的两个焦点，求 KF1 KF2的范围；(2)若 l 过点 m,m2，射线 OM 与椭圆 E 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线l 斜率；若不能，说明理由16.设抛物线 E：y2=2px p 0焦点为 F，准线为 l，A 为 E 上一点，已知以 F 为圆心，FA 为半径的圆 F 交 l于 B、D 点()若 BFD=60，BFD 的面积为 4 33，求 p 的值及圆 F 的方程；()若点 A 在第一象限，且 A、B、F 三点在同一直线 l1上，直线 l1与抛物线 E 的另一个交点

91、记为 C，且CF=FA，求实数 的值717.已知抛物线 C:y2=2px p 0，过抛物线 C 的焦点 F 且垂直于 x 轴的直线交抛物线 C 于 P,Q 两点，PQ=4.(1)求抛物线 C 的方程，并求其焦点 F 的坐标和准线 l 的方程；(2)过抛物线 C 的焦点 F 的直线与抛物线 C 交于不同的两点 A,B，直线 OA 与准线 l 交于点 M.连接 MF，过点 F 作 MF 的垂线与准线 l 交于点 N.求证：O,B,N 三点共线.18.已知抛物线 E 上的焦点为 F(0,1).(1)求抛物线 E 的标准方程；(2)过 F 作斜率为 k 的直线 l 交曲线 E 于 A、B 两点，若 B

92、F=3FA，求直线 l 的方程.819.已知椭圆 C:x2+2y2=4(1)求椭圆 C 的标准方程和离心率；(2)是否存在过点 P 0,3的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且满足 PB=2PA若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由20.设 F1,F2分别为椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右焦点，过 F2的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点，直线 l 的倾斜角为 60,F1到直线 l 的距离为 2 3.(1)求椭圆 C 的焦距；(2)如果 AF2=2F2B，求椭圆 C 的方程.921.设椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)左焦点为 F

93、，过点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点，直线 l 的倾斜角为 45，且 AF=3FB(1)求椭圆 C 的离心率；(2)若|AB|=4 23，求椭圆 C 的方程.22.如图，已知椭圆：x24+y2=1，点 A，B 是它的两个顶点，过原点且斜率为 k 的直线 l 与线段 AB 相交于点D，且与椭圆相交于 E、F 两点()若 ED=6DF，求 k 的值；()求四边形 AEBF 面积的最大值.1023.已知点 F 是抛物线 x2=2py p 0的焦点，过 F 的弦被焦点分成两段的长分别是 2 和 6.(1)求此抛物线的方程；(2)P 是抛物线外一点，过 P 点作抛物线的两条切线 PA，

94、PB(A，B 是切点)，两切线分别交 x 轴于 C，D，直线 AB 交抛物线对称轴于点 Q，求证四边形 PCQD 是平行四边形.24.设抛物线 y2=2px p 0的焦点为 F，过 F 的直线与抛物线交于点 A x1,y1和 B x2,y2，且恒 y1y2=-4.(1)求 p 的值；(2)直线 l1过 B 与 x 轴平行，直线 l2过 F 与 AB 垂直，若 l1与 l2交于点 N，且直线 AN 与 x 轴交于点M 4,0，求直线 AB 的斜率.1125.已知圆 C:x-62+y2=20，直线 l:y=kx 与圆 C 交于不同的两点 A，B(1)求实数 k 的取值范围；(2)若 OB=2OA，

95、求直线 l 的方程三、填空题26.已知抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，直线 l：x-2y-1=0 与 C 交于 P、Q(P 在 x 轴上方)两点，若 PF=FQ，则实数 的值为27.已知点 P 1,2在抛物线 E：y2=2px p 0上，过点 M 1,0的直线 l 交抛物线 E 于 A，B 两点，若 AM=3MB，则直线 l 的倾斜角的正弦值为.1228.设 F1，F2分别是椭圆 E:x2+y2b2=1 0 b 0与抛物线:y2=2px 相交于 A、B 两点，抛物线 的准线与 x 轴的交点为C，且满足 AB+AC=0，则 k 的值是.30.已知点 P(0,1)，椭圆 x24m+y2m=1(m 1)上两点 A，B，存在异于 P，A，B 的点 E，满足 EP=14 EA+34 EB，则点 B 的横坐标的取值范围为.31.已知直线 l 经过抛物线 C:y2=4x 的焦点 F，l 与 C 交于 A，B 两点，其中点 A 在第四象限，若 AF=2FB，则直线 l 的斜率为.13四、双空题32.已知抛物线 C:y2=2px p 0的焦点 F 到双曲线 x2-y23=1 的渐近线的距离为3，则 p=；过点F 作斜率为 k 的直线 l 交抛物线 C 于两个不同点 A，B若 AB=3FB，则实数 k 的值为14