2024届重庆一中高三下学期3月月考数学试题 答案.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司【考试时间：3 月 16 日 08:0010:00】2024 年重庆一中高 2024 届 3 月月考数学试题卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上 2作答时，务必将答案写在答题卡上写在本试卷及草稿纸上无效 3考试结束后，将答题卡交回一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合()()1 50AxNxx=+，1,3,5,7,8B=，则图中阴影部分所表示的集合为（）A0,2,4 B2,4 C0,4 D2,4,5 2已知复数1 iz=，z 是 z 的共轭复数，则1

2、zz+的虚部为（）A3 i2 B 32 C32 D 3 i2 3已知()1,2a=，(),3bx=，若()aab+，则 x=（）A1 B 1 C32 D12 4要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（）A某城市居民 3 月份人均网上购物的次数 B某品牌新能源汽车最大续航里程 C检测一批灯泡的使用寿命 D调查一个班级学生每周的体育锻炼时间 5已知命题:2sincosp=，命题3:cos25qa=，则命题 p 是命题q 的（）A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 6已知圆()()22:122Cxy+=，直线:1l ykx=与圆C 相离，点 M 是直线l 上的

3、动点，过点 M 作圆C 的两条切线，切点分别为 A，B，若四边形 ACBM 的面积最小值为2 3，则（）学科网（北京）股份有限公司A1k=B2k=C1k=或17k=D2k=或12k=7已知双曲线()2222:10,0 xzCabab=的左、右焦点分别为1F，2F，O 为坐标原点，过1F 作渐近线byxa=的垂线，垂足为 M，若24F MO=，则双曲线的离心率e 为（）A 5 B52 C 3 D2 8已知 x 表示不超过 x 的最大整数，例如1.11=，22=，2.13=，定义：若()f xn=在(),a b上恒成立，则称()Sn ba=为函数()f x 在),a b 上的“面积”函数()2f

4、x=在)0,3 上的“面积”之和与下面哪个数最接近？（注：“面积不重复计算”；2.36.302）A7.3 B7.7 C8.7 D9.3 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）9已知某地区十二月份的昼夜温差()2,XN ，()182P X=，该地区某班级十二月份感冒的学生有10 人，其中有 6 位男生，4 位女生，则下列结论正确的是（）A()8E X=B若()17810PX=C从这 10 人中随机抽取 2 人，其中至少抽到一位女生的概率为 45 D从这

5、10 人中随机抽取 2 人，其中女生人数 的期望为 45 10函数()f x 的定义域为 R，且满足()()()()2f xyfxyf x fy+=，()41f=，则下列结论正确的有（）A()00f=B()20f=C()f x 为偶函数 D()f x 的图象关于()1,0 对称 学科网（北京）股份有限公司11设数列na满足112nnnaaa+=+（2n 且*nN），nS 是数列na的前n 项和，且744742SS=，11a=，数列nb的前n 项和为nT，且501nnTnSn=则下列结论正确的有（）A53a=B数列()114nnn nS S+的前 2024 项和为 5061013 C当4n=时，

6、nT 取得最小值 D当5n=时，nnTb取得最小值 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）12若()()532xmx的展开式中的3x 的系数为 200，则实数m=_ 13已知函数()()2xf xxmxn c=+，若函数()f x 有两个不同零点，则()f x 极值点的个数为_ 14已知在正三棱台111ABCA B C中，6AB=，112A B=，侧棱长为 4，点 P 在侧面11BCC B 内运动（包含边界），且 AP 与平面11BCC B 所成角的正切值为2 2，则CP 长度的最小值为_ 四、解答题（共 77 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（本小题满分

7、 13 分）在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，ABC的面积为 S，且()222430Sbac+=（1）求角 B 的大小；（2）若ABC外接圆的半径为 1，边 AC 上的高为1BE=，求ac+的值 16（本小题满分 15 分）已知直三棱柱111ABCA B C的体积为 8，二面角1CABC的大小为 4，且 ACBC=，12CC=（1）求点1A 到平面1ABC 的距离；学科网（北京）股份有限公司（2）若点 M 在棱11A B 上，直线 BM 与平面1ABC 所成角的正弦值为 13，求线段1B M 的长 17（本小题满分 15 分）已知椭圆()222:11xMyaa+=与双曲线2

8、22:1yN xa=的离心率的平方和为 234（1）求a 的值；（2）过点1,02Q的直线l 与椭圆 M 和双曲线 N 分别交于点 A，B，C，D，在 x 轴上是否存在一点T，直线TA，TB，TC，TD 的斜率分别为TAk，TBk，TCk，TDk，使得 1111TATBTCTDkkkk+为定值？若存在，请求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由 18（本小题满分 17 分）一个质点在一条直线上“随机游走”，向左走一步和向右走一步的概率均为 12，试探讨下列问题：（1）若质点进行了 4 次“随机游走”，在其中恰有 2 次向右游走的情况下，求第二次向左游走的概率；（2）记()P i 为()2,3,4

9、,2i in=+次游走中恰有 2 次向右游走的概率，令()()()232YPPP n=+记()2,3,n =为不超过n 次游走的情况下，向右游走 2 次后停止游走（若向右游走一直不足 2 次，在游走到n 次时也停止游走），此时一共游走的次数，的数学期望为()E 请比较()E 与 2Y 的大小，并说明理由 19（本小题满分 17 分）帕德近似（Pade approximation）是有理函数逼近的一种方法已知函数()()ln1h xx=+在0 x=处的1,1 阶帕德近似定义为：()1cbxC xmx+=+，且满足：()()00hG=，()()00hG=，()()00hG=，又函数()()lne2

10、0f xaxb xa=+，其中 e2.71828=（1）求实数b，c，m 的值；（2）若函数()f x 的图象与 x 轴交于()1,0 x，()2,0 x两点，12xx，且21122axmx xx+恒成立，求实数 m的取值范围 学科网（北京）股份有限公司2024 年重庆一中高 2024 届 3 月月考数学参考答案一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B A D B C A C【解析】1由题意，可得0,1,2,3,4,5A=，所以阴影部分所表示的集合为0,2,4UAB=，

11、故选 A 21 iz=+，133 i22zz+=+，所以虚部为 32，故选 B 3()1,1abx+=+，由()aab+得120 x+=，1x=，故选 A 4A，B 选项中要调查的总体数量和工作量都较大，适合采用抽查；C 选项的检测具有毁损性，适合抽查；D 选项要调查的总体数量较小，工作量较小，适合采用普查，故选 D 5已知1:tan2p=，222222cossin1tan3:cos2cossin1tan5q=+，1tan2=，故选 B 6122222CBMACMSSAMAM=，AM的最小值为6，CM的最小值为2 2，即圆心到直线的距离为2 2，计算可得1k=或17k=，故选 C 7易知1F

12、Mb=，OMa=，设1FOM=，sinbc=，cosac=，则在2F OM中，sinsin44ac=，得2ba=，5e=，故选 A 8易知()()2*221,0,1;2,1,log 3;2;,log,log1,xxxf xn xnnn=+N面积之和为：()()()()22222221 12log 3 13log 4log 34log 5log 45log 6log 5x+()()()222222226log 7log 673log 718log 3log 5log 6log 718log 6308.7+=+=，故选 C 学科网（北京）股份有限公司二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6

13、分，共 18 分在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）题号 9 10 11 答案 ABD BC BCD【解析】9易知8=，A 对：()17810PX=，B 对；对于 C，26216C21C3P=，C错；对于 D，服从超几何分布，其中10N=，4M=，2n=，()45nMEN=，故选 ABD 10令4x=，0y=，可得()01f=，A 错；2xy=，可得()20f=，B 正确；0 x=，可得()()fyfy=，C 正确；令2x=，可得()()()()22220fyfyffy+=，()f x的图象关于()2,0 对称，D

14、 错，故选 BC 11易知 na为等差数列，设其公差为d，则nSn也为等差数列，则公差为 2d，由744742SS=，得743742SS=，则1d=，nan=，A 错；12nSnn+=，则()()()1111141212nnn nS Snnnn+=+，故2024 项和为 11506220261013=，B 对；()325051501502nnnSnnTnSnnnn=，当1n=时，150b=，当2n 时，233502nnnb=，易知2n 时，nb单增，且222b=，123450bbbbb，C 对；当5n 时，nT单增，且7320T=，所以4n 或8n 时，0nnTb，当5,6,7n=时，0nnT

15、b 即240mn；()()22exfxxxmxmn=+，令()0fx=，则220 xxmxmn+=，即22440mn=+，有 2 个极值点 14延长正三棱台交于O，则OABC为正四面体，H 为OBC的中心，则2 6AH=，且tan2 2APH=，3HP=，P点轨迹是以 H 为圆心，3 为半往的圆，CP的最小值为33CH=四、解答题（共 77 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（本小题满分 13 分）解：（1）()222430Sbac+=，即()22214sin32 3cos2 acBacbacB=+=，tan3B=，3B=（2）由ABC外接圆的半径为 1，得2sinsinsinac

16、bACB=，3b=，边 AC 上的高为1BE=，1sin2acBEaC=，2ac=，2222cosbacacB=+，()233acac+=，故3ac+=16（本小题满分 15 分）解：（1）取 AB 中点为 D，连接CD 和1C D，ACBC=，CDAB，又1CC 平而 ABC，1C DAB，则14C DC=，12CCCD=，令 ACBCx=，则11211sin82ABC A BCVxACB CC=，学科网（北京）股份有限公司即2 sin8xACB=，()12CDCACB=+，平方得()2222122cos4 xxxACB=+，叫()2 1cos8xACB+=，sin1cosACBACB=+，

17、2ACB=，2 2x=.连接1AC 交1AC 于点 E，由四边形11AAC C 是矩形，得点 E 为1AC 的中点，则点1A 和点C 到平面1ABC 的距离相等 作1CHC D于点 H，CDAB，1C DAB，又1C DCDD=，1,C D CD 平面1CDC，AB 平而1CC D，又CH 平而1CC D，ABCH CD 平面1ABC，AB 平面1ABC，ABCDD=，CH 平面1ABC，在1CC D中，12CCCD=，则2CH=，即点C 到平面1ABC 的距离为2 所以，点1A 到平面1ABC 的距离为2 （2）11A BAB，11A B 平面1ABC，AB 平面1ABC，11A B平面1A

18、BC，11MA B，则点 M 到平面1ABC 的距离为2d=，设直线 BM 与平面1ABC 所成角为 则222211121sin32ddBMBBB MB M=+，学科网（北京）股份有限公司114B M=注明：本题建立空间直角坐标系求解同样给分 17（本小题满分 15 分）解：（1）由已知得222112314aaa+=，即4241540aa=，24a=，2a=（2）由（1）得椭圆22:14xMy+=与双曲线22:14yN x=，由已知得直线l 的斜率不为零，设直线l 的方程为12xmy=+，()11,A x y，()22,B xy，()34,C xy，()44,D xy，(),0T t，则221

19、,41,2xyxmy+=+得()2215404mymy+=，0，1224myym+=+，1221544y ym=+，2112121212111122TATBymytymytxtxtkkyyy y+=+=()()1212121214422821515my ytyymmmtty y+=+=.221,41,2yxxmy=+得()2241430mymy+=，由0得2316m，342441myym+=，342341y ym=，()()3434341211144222233TCTDmy ytyymmmttkky y+=+=学科网（北京）股份有限公司()()()11114448218615315TATBTC

20、TDmmmtttkkkk+=+=当3t=时，11110TATBTCTDkkkk+=为定值 故在 x 轴上是存在一点()3,0T，使得 1111TATBTCTDkkkk+为定值 0 18（本小题满分 17 分）解：（1）设事件nA 表示共有()0,1,2,3,4n n=次向右游走，事件 B 表示第二次向左游走，则2BA 表示一共向右游走 2 次，且第二次向左游走，则从剩余的三次选择两次向右游走，故()22321113C22216P BA=，2A 表示一共向右游走 2 次，故()22422113C 228P A=，则()()()2223116328P BAP B AP A=（2）根据题意可知()(

21、)21111C22tii iP i+=，()()()()()22122112222322222nniiiii ii iYPPP n+=+=若2,3,1kn=，最后一次必然向右游走，故()2111111C2222kkkkPk=，()2311221222nnPn=+，记231122222nnnS=+3411222222nnnS=+两式相减得2311111112214212222222212nnnnnnnnnS=+=，学科网（北京）股份有限公司112nnnS=，()111 122nnnnPn=+=所以()()()()211122122nnknkkk knEkPknP Xn=+=+；()()()()(

22、)()()221211122211112122222222nnininnnnkik ki in nnnnnnnEY+=+=+=()()()()()()()()()1222121212112022222nnnnn nnnn nnnnnn+=，故()2EY 19（本小题满分 17 分）解：（1）()()00hG=，0c=，则()1bxG xmx=+，所以()()21bGxmx=+，()()321mbGxmx=+，()()ln1h xx=+，则()11h xx=+，()()211hxx=+，由题意知，()()00hG=，()()00hG=，所以1,21,bmb=解得，1b=，12m=，故1b=，12

23、m=，0c=（2）函数()f x 的定义域为()0,+，()eafxx=，0a，0,eax 时，()0fx：,eax+时，()0fx，()f x 在 0,ea上单调递增，在,ea+上单调递减 函数()f x 的图像与 x 种交于两点()1,0 x，()2,0 x，12xx，即2ln20aa+，学科网（北京）股份有限公司令()()2ln20g aaaa=+，则()0g a，()()220agaaa=，即()g a 在()0,2 ，()2,+，又()10g=，()222e0eg=，()202,ea，使()00g a=，即()()00,1,aa+，()max0eaf xf=，当0 x+时，()f x

24、 ，当 x +时，()f x 10 e,ax，2,eax+，12xx 11lne20axxx+=，22lne20axxx+=，()2211lnexaxxx=，()2121elnxxaxx=，21122axmx xx+=，令211xtx=，则1e 1lntmtt 恒成立 令()()1e 11lnttt tt=，则()mt，()()()()22222e11lne 1elneeln1lnlntttttttttttt+=，令()()()22elneeln1T tttttt=+，则()()2ee2ln2 lnTtttttt=在()1,+，()()10TtT=，()T x在()1,+，则()()10T tT=，学科网（北京）股份有限公司即()0t，()t在()1,+，当1t 时()2e1e 11ttt ()e 1t，故e 1m