2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题16利用导数研究函数的单调性（Word版附解析）.docx

1、专题16利用导数研究函数的单调性知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一：不含参数的函数的单调性题型二：含参数的函数的单调性题型三：比较大小或解不等式题型四：根据函数的单调性求参数的范围培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).【考点预测】1.函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数yf(x)在区间(a，b)上可导f(x)0f(x)在(a

2、，b)上单调递增f(x)0f(x)在(a，b)上单调递减f(x)0f(x)在(a，b)上是常数函数2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导函数f(x)的零点；第3步，用f(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f(x)在各区间上的正负，由此得出函数yf(x)在定义域内的单调性.【常用结论】1.若函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f(x)0，所以“f(x)0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数f(x)，“f(x0)0”是“函数f(x)在xx0处有极值”的必要不充分条件.【方法技巧】1.确定函

3、数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f(x)；(3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f(x)0)，令f(x)0，得x1，当x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增故选A.【典例2】若函数f(x)，则函数f(x)的单调递减区间为_【解析】f(x)的定义域为(0，)，f(x)，令(x)ln x1(x0)，(x)0，当x(1，)时，(x)0，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减【典例3】已知定义在区间(0，)上的函数f(x)x2cos x，则f(x)的单调递增区间为_【解析】f(x)12sin x，x(0，)令f(x)0

4、，得x或x，当0x0，当x时，f(x)0，当x0，f(x)在和上单调递增，在上单调递减【题型二】含参数的函数的单调性【典例1】已知函数f(x)x2eax1(a是常数)，求函数yf(x)的单调区间【解析】根据题意可得，当a0时，f(x)x21，函数在(0，)上单调递增，在(，0)上单调递减当a0时，f(x)2xeaxx2(a)eaxeax(ax22x)因为eax0，所以令g(x)ax22x0，解得x0或x.当a0时，函数g(x)ax22x在(，0)和上有g(x)0，即f(x)0，函数yf(x)单调递减；函数g(x)ax22x在上有g(x)0，即f(x)0，函数yf(x)单调递增当a0，即f(x)

5、0，函数yf(x)单调递增；函数g(x)ax22x在上有g(x)0，即f(x)0，函数yf(x)单调递减综上所述，当a0时，函数yf(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，0)；当a0时，函数yf(x)的单调递减区间为(，0)，单调递增区间为；当af(1)fBf(1)ffCff(1)fDfff(1)【解析】因为f(x)xsin x，所以f(x)(x)sin(x)xsin xf(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以ff.又当x时，f(x)sin xxcos x0，所以函数f(x)在上单调递增，所以ff(1)f(1)f.故选A.【典例2】已知函数f(x)exex2x1，则不等式f(2x3

6、)1的解集为_【解析】f(x)exex2x1，定义域为R，f(x)exex2220，当且仅当x0时取“”，f(x)在R上单调递增，又f(0)1，原不等式可化为f(2x3)f(0)，即2x30，解得x，原不等式的解集为.【典例3】设函数f(x)exx2，g(x)ln xx23，若实数a，b满足f(a)0，g(b)0，则()Ag(a)0f(b) Bf(b)0g(a)C0g(a)f(b) Df(b)g(a)0【解析】因为函数f(x)exx2在R上单调递增，且f(0)120，所以f(a)0时，a(0,1)又g(x)ln xx23在(0，)上单调递增，且g(1)20，所以g(a)0，g(b)0得b(1,

7、2)，又f(1)e10，所以f(b)0.综上可知，g(a)00，sina0在上恒成立，当x时，x，sin，sina(1a，a，1a0，解得a1，即a1，)故选C.【典例3】已知函数f(x)ln x，g(x)ax22x(a0)(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，求a的取值范围【解析】(1)h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2，由于h(x)在(0，)上存在单调递减区间，所以当x(0，)时，ax2有解设G(x)，所以只要aG(x)min即可而G(x)21，所以G(x)min1.所以a1.又

8、因为a0，所以a的取值范围为(1,0)(0，)(2)因为h(x)在1,4上单调递减，所以当x1,4时，h(x)ax20恒成立，即a恒成立由(1)知G(x)，所以aG(x)max，而G(x)21，因为x1,4，所以，所以G(x)max(此时x4)，所以a，又因为a0，所以a的取值范围是(0，)三、【培优训练】【训练一】设函数f(x)sin xexexx，则满足f(x)f(53x)0，所以f(x)在R上单调递增，所以由f(x)f(53x)0，得f(x)f(53x)f(3x5)，因为f(x)在R上单调递增，所以x，所以满足f(x)f(53x)0)，讨论函数f(x)的单调性【解析】f(x)ax(a1)

9、(x0)，当0a1，由f(x)0，解得x或0x1，由f(x)0，解得1x1时，00，解得x1或0x，由f(x)0，解得x1.综上，当0a1时，f(x)在(1，)和上单调递增，在上单调递减【训练六】已知函数f(x).(1)若a0，求f(x)的单调区间；(2)若对x1，x21,3，x1x2都有0，当x(，0)(0,1)时，f(x)0，f(x)的单调递减区间为(，0)，(0,1)，单调递增区间为(1，)(2)x1，x21,3，x1x2，都有2恒成立，即20恒成立，即0恒成立，令g(x)f(x)2x，则0在x1,3上恒成立，即函数g(x)f(x)2x在区间1,3上单调递减，又g(x)f(x)22，20

10、在1,3上恒成立，当x1时，不等式可化为20显然成立；当x(1,3时，不等式20可化为a，令h(x)，则h(x)0的解集对应yf(x)的增区间，f(x)0时，h(x)0，h(x)在(0，)上单调递增故选C.3. 已知函数f(x)x2，若函数f(x)在2，)上单调递增，则实数a的取值范围为()A(，8) B(，16C(，8)(8，) D(，1616，)【解析】f(x)2x，当x2，)时，f(x)2x0恒成立，即a2x3恒成立，x2，(2x3)min16，故a16.故选B.4.已知函数f(x)sin xcos x2x，af()，bf(2e)，cf(ln 2)，则a，b，c的大小关系是()Aacb

11、BabcCbac Dcba【解析】f(x)的定义域为R，f(x)cos xsin x2cos21,0ln 21，ln 2f(ln 2)f(2e)，即acb.故选A.5. 已知f(x)，则()Af(2)f(e)f(3) Bf(3)f(e)f(2)Cf(3)f(2)f(e) Df(e)f(3)f(2)【解析】f(x)的定义域是(0，)，f(x)，令f(x)0，得xe.所以当x(0，e)时，f(x)0，f(x)单调递增，当x(e，)时，f(x)f(3)f(2)，故选D6. 若函数f(x)2x33mx26x在区间(1，)上为增函数，则实数m的取值范围是()A(，1 B(，1)C(，2 D(，2)【解析

12、】因为f(x)6(x2mx1)，且函数f(x)在区间(1，)上是增函数，所以f(x)6(x2mx1)0在(1，)上恒成立，即x2mx10在(1，)上恒成立，所以mx在(1，)上恒成立，即m(x(1，)，因为当x(1，)时，x2，所以m2.故选C7. 函数f(x)的定义域为R.f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为()A(1，1) B(1，)C(，1) D(，)【解析】由f(x)2x4，得f(x)2x40.设F(x)f(x)2x4，则F(x)f(x)2.因为f(x)2，所以F(x)0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增，而F(1)f(1)2(1)42240，故不等式f(

13、x)2x40等价于F(x)F(1)，所以x1，选B8. 设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f(x)g(x)f(x)g(x)0，则当axf(b)g(b) Bf(x)g(a)f(a)g(x)Cf(x)g(b)f(b)g(x) Df(x)g(x)f(a)g(a)【解析】令F(x)，则F(x)0，所以F(x)在R上单调递减又ax.又f(x)0，g(x)0，所以f(x)g(b)f(b)g(x)故选C.【多选题】9. 若函数f(x)ax33x2x1恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是()A3 B1 C0 D【解析】依题意知，f(x)3ax26x1有两个不相等的零点，故解得a3且a

14、0.故选BD.10. 若函数 g(x)exf(x)(e2.718，e为自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质下列函数不具有M性质的为()Af(x) Bf(x)x21Cf(x)sin x Df(x)x【解析】对于A，f(x)，则g(x)，g(x)，当x1且x0时，g(x)1时，g(x)0，g(x)在(，0)，(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增；对于B，f(x)x21，则g(x)exf(x)ex(x21)，g(x)ex(x21)2xexex(x1)20在实数集R上恒成立，g(x)exf(x)在定义域R上是增函数；对于C，f(x)sin x，则g(x)exs

15、in x，g(x)ex(sin xcos x)exsin，显然g(x)不单调；对于D，f(x)x，则g(x)xex，则g(x)(x1)ex.当x1时，g(x)0，所以g(x)在R上先减后增；具有M性质的函数的选项为B，不具有M性质的函数的选项为A，C，D.故选ACD.11. 定义在区间上的函数f(x)的导函数f(x)的图象如图，则下列结论正确的是()A函数f(x)在区间(0，4)上单调递增B函数f(x)在区间上单调递减C函数f(x)在x1处取得极大值D函数f(x)在x0处取得极小值【解析】根据导函数的图象可知，在区间上，f(x)0，此时函数f(x)单调递增，所以f(x)在x0处取得极小值，没有

16、极大值所以A，B，D项均正确，C项错误故选ABD.12. 已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2R(x1x2)，下列结论正确的是()Af(x)0恒成立B(x1x2)f(x1)f(x2)Df【解析】由导函数的图象可知，导函数f(x)的图象在x轴下方，即f(x)0，故原函数为减函数，并且递减的速度是先快后慢所以f(x)的图象如图所示f(x)0)令f(x)0(x0)，解得x2或0x0，所以4x23x10，x(12x)20.所以当x0时，f(x)0.所以f(x)在(0，)上是增函数答案：增15. 若函数f(x)x3x22ax在上存在单调递增区间，则a的取值范

17、围是_【解析】对f(x)求导，得f(x)x2x2a2a.由题意知，f(x)0在上有解，当x时，f(x)的最大值为f2a.令2a0，解得a，所以a的取值范围是.答案：16. 已知函数f(x)x23x4ln x在(t，t1)上不单调，则实数t的取值范围是_【解析】因为函数f(x)x23x4ln x(x0)，所以f(x)x3，因为函数f(x)x23x4ln x在(t，t1)上不单调，所以f(x)x3在(t，t1)上有变号零点，所以0在(t，t1)上有解，所以x23x40在(t，t1)上有解，由x23x40得x1或x4(舍去)，所以1(t，t1)，所以t(0，1)，故实数t的取值范围是(0，1)答案：

18、(0，1)【解答题】17. 已知函数f(x)x3ax2xc，且af.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间【解析】(1)由f(x)x3ax2xc，得f(x)3x22ax1.当x时，得af32a1，解得a1.(2)由(1)可知f(x)x3x2xc，则f(x)3x22x13(x1)，令f(x)0，解得x1或x；令f(x)0，解得x1.所以f(x)的单调递增区间是和(1，)；f(x)的单调递减区间是.18. 已知函数f(x)1(bR，e为自然对数的底数)在点(0，f(0)处的切线经过点(2，2)讨论函数F(x)f(x)ax(aR)的单调性【解析】因为f(0)b1，所以过点(0，b1)，(2，

19、2)的直线的斜率为k，而f(x)，由导数的几何意义可知，f(0)b，所以b1，所以f(x)1.则F(x)ax1，F(x)a，当a0时，F(x)0时，由F(x)0，得x0，得xln a.故当a0时，函数F(x)在R上单调递减；当a0时，函数F(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增19. 函数f(x)(x2axb)ex，若f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为6xy50.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间.【解析】(1)f(x)(2xa)ex(x2axb)exx2(2a)xabex，f(0)ab，又f(0)b，f(x)在(0，f(0)处的切线方程为yb(ab

20、)x，即(ab)xyb0，解得(2)f(x)(x2x5)ex，xR，f(x)(x2x6)ex(x2)(x3)ex，当x2或x3时，f(x)0；当2x3时，f(x)0，故f(x)的单调递增区间是(2，3)，单调递减区间是(，2)，(3，).20. 讨论函数f(x)(a1)ln xax21的单调性.【解析】f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax.当a1时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减；当0a1时，令f(x)0，解得x，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0，故f(x)在上单调递减，在上单调递增.综上，当a1时，f(x)在(0

21、，)上单调递增；当a0时，f(x)在(0，)上单调递减；当0a1时，f(x)在上单调递减，在上单调递增.21. 已知函数f(x)x22aln x(a2)x.(1)当a1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)f(x)ax在(0，)上单调递增，求实数a的取值范围【解析】(1)当a1时，f(x)x22ln x3x，则f(x)x3(x0)当0x2时，f(x)0，f(x)单调递增；当1x2时，f(x)0，即a2，当x(，0)(2a，)时，f(x)0；若2a0，即a2，f(x)0；若2a2，当x(，2a)(0，)时，f(x)0.综上有当a2时，f(x)在(，2a)，(0，)上单调递减，在(2a,0)上单调递增；当a2时，f(x)在R上单调递减；当a2时，f(x)在(，0)，(2a，)上单调递减，在(0,2a)上单调递增