2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题40数列的综合应用（Word版附解析）.docx

1、专题40数列的综合应用知识梳理考纲要求方法技巧题型归类题型一：数学文化与数列的实际应用题型二：等差、等比数列的综合题型三：数列与其他知识的交汇培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.了解数列是一种特殊的函数，会解决等差、等比数列的综合问题.2.能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题【方法技巧】1.数列应用问题常见模型(1)等差模型：后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值(2)等比模型：后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数(3)递推数列模型：如果题目

2、中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，那么应考虑an与an1(或者相邻三项)之间的递推关系，或者Sn与Sn1(或者相邻三项)之间的递推关系2.对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系数列的求和主要是等差、等比数列的求和及裂项相消法求和与错位相减法求和，本题中利用裂项相消法求数列的和，然后利用b11，d0证明不等式成立另外本题在探求an与cn的通项公式时，考查累加、累乘两种基本方法3.数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项或前n项和，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明二、【题型归

3、类】【题型一】数学文化与数列的实际应用【典例1】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A3 699块 B3 474块C3 402块 D3 339块【解析】设每一层有n环，由题意可知，从内到外每环之间构成公差为d9，首项为a19的等差数列由等差数列的性质知Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列，且(S3nS2n)(S2nSn)n2d，则9n272

4、9，解得n9，则三层共有扇面形石板S3nS2727993 402(块)故选C.【典例2】某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折规格为20 dm12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm12 dm,20 dm6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S1240 dm2，对折2次共可以得到5 dm12 dm，10 dm6 dm，20 dm3 dm三种规格的图形，它们的面积之和S2180 dm2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为_；如果对折n次，那么k_ dm2. 【解析】依题意得，S11202240；S2603180；当n3时，共可以得到5 d

5、m6 dm， dm12 dm，10 dm3 dm,20 dm dm四种规格的图形，且5630，1230,10330，2030，所以S3304120；当n4时，共可以得到5 dm3 dm， dm6 dm， dm12 dm,10 dm dm,20 dm dm五种规格的图形，所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5，且5315，615，1215,1015,2015，所以S415575；所以可归纳Sk(k1).所以k240，所以k240，由得，k240240240，所以k240dm2.【典例3】周髀算经中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个

6、节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，今年3月20日为春分时节，其日影长为()A4.5尺 B3.5尺C2.5尺 D1.5尺【解析】冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构成等差数列an，设公差为d，由题意得，解得所以ana1(n1)d11.5n，所以a711.574.5，即春分时节的日影长为4.5尺故选A.【题型二】等差、等比数列的综合【典例1】设an是等差数列，且a1ln 2，a2a35ln 2.(1)求an的通项公式；(2)求ea1ea2ean.【解析】(1)设an的公

7、差为d.因为a2a35ln 2，所以2a13d5ln 2.又a1ln 2，所以dln 2.所以ana1(n1)dnln 2.(2)因为ea1eln 22，eanan1eln 22，所以ean是首项为2，公比为2的等比数列所以ea1ea2ean22(2n1)2n12.【典例2】设Sn为数列an的前n项和，已知a23，an12an1.(1)证明：an1为等比数列；(2)求an的通项公式，并判断n，an，Sn是否成等差数列？说明理由【解析】(1)证明：因为a23，a22a11，所以a11，因为an12an1，所以an112(an1)，所以an1是首项为2，公比为2的等比数列(2)由(1)知，an12

8、n，所以an2n1，所以Snn2n1n2，所以nSn2ann2n1n22(2n1)0，所以nSn2an，即n，an，Sn成等差数列【典例3】已知等差数列an和等比数列bn满足a12，b24，an2log2bn，nN*.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设数列an中不在数列bn中的项按从小到大的顺序构成数列cn，记数列cn的前n项和为Sn，求S100.【解析】(1)设等差数列an的公差为d，因为b24，所以a22log2b24，所以da2a12，所以an2(n1)22n.又an2log2bn，即2n2log2bn，所以nlog2bn，所以bn2n.(2)由(1)得bn2n22n1a2n1，

9、即bn是数列an中的第2n1项设数列an的前n项和为Pn，数列bn的前n项和为Qn，因为b7a64，b8a128，所以数列cn的前100项是由数列an的前107项去掉数列bn的前7项后构成的，所以S100P107Q711 302.【题型三】数列与其他知识的交汇【典例1】已知数列an是公比不等于1的正项等比数列，且lg a1lg a2 0210，若函数f(x)，则f(a1)f(a2)f(a2 021)()A2 020 B4 040C2 021 D4 042【解析】因为数列an是公比不等于1的正项等比数列，且lg a1lg a2 0210，所以lg(a1a2 021)0，即a1a2 0211. 因

10、为函数f(x)，所以f(x)f2，所以f(a1)f(a2 021)2. 令Tf(a1)f(a2)f(a2 021)则Tf(a2 021)f(a2 020)f(a1)所以2Tf(a1)f(a2 021)f(a2)f(a2 020)f(a2 021)f(a1)22 021，所以T2 021.故选C.【典例2】已知Sn是数列an的前n项和，a11，且nN*，2Sn(n1)an，bnSn，则数列bn的前2 020项之和T2 020_【解析】因为2Sn(n1)an，所以当n2时，2Sn1nan1，得，2an(n1)annan1，即(n1)annan1(n2)，两边同时除以n(n1)，得(n2)，即数列为

11、常数列，故1，ann，于是Sn，于是bn，令cnb4n3b4n2b4n1b4n(nN*)，则cn(01)(10)(01)(10)2，于是T2 020c1c2c50525051 010.【典例3】设数列an的通项公式为an2n1，记数列的前n项和为Tn，若对任意的nN*，不等式4Tna2a恒成立，则实数a的取值范围为_【解析】因为an2n1，所以，所以Tn，又4Tna2a，所以2a2a，解得a1或a2，即实数a的取值范围为(，12，)三、【培优训练】【训练一】已知数列an满足anamamn(m，nN*)且a11，若x表示不超过x的最大整数，则数列的前10项和为()A12 B.C24 D40【解析

12、】数列an满足anamamn(m，nN*)且a11，所以令m1，可得ana1an1，可得an1an1，所以数列an为等差数列，公差为1，首项为1.所以an1n1n，所以a2n32n3.令f(n)，则当1n3时，f(n)1；4n5时，f(n)2；6n8时，f(n)3，n9，10时，f(n)4.所以数列的前10项和为1322334224.故选C.【训练二】(多选)已知在ABC中，A1，B1分别是边BA，CB的中点，A2，B2分别是线段A1A，B1B的中点，An，Bn分别是线段An1A，Bn1B(nN*，n1)的中点，设数列an，bn满足anbn(nN*)，给出下列四个结论，其中正确的是()A数列a

13、n是递增数列，数列bn是递减数列B数列anbn是等比数列C数列(nN*，n1)既有最小值，又有最大值D若在ABC中，C90，CACB，则|最小时，anbn【解析】由()，得，得()，所以an1，bn1，则数列an是递增数列，数列bn是递减数列，故A正确；数列anbn中，anbn，a1b1，即数列anbn是首项为，公比为的等比数列，故B正确；当n1时，在数列中，1，所以数列递增，有最小值，无最大值，故C错误；若在ABC中，C90，CACB，则|2(ab)CA22anbn(ab)2，ab5625，当n1时，ab取得最小值，故当|最小时，anbn，故D正确故选ABD.【训练三】某地区2018年人口总

14、数为45万实施“二孩”政策后，专家估计人口总数将发生如下变化：从2019年开始到2028年，每年人口总数比上一年增加0.5万人，从2029年开始到2038年，每年人口总数为上一年的99%.(1)求实施“二孩”政策后第n年的人口总数an(单位：万人)的表达式(注：2019年为第一年)；(2)若“二孩”政策实施后的2019年到2038年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施，问到2038年结束后是否需要调整政策？(参考数据：0.99100.9)【解析】(1)由题意知，当1n10时，数列an是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，可得an45.50.5(n1)0.5n45，则a1050；

15、当11n20时，数列an是公比为0.99的等比数列，则an500.99n10.故实施“二孩”政策后第n年的人口总数an(单位：万人)的表达式为an(2)设Sn为数列an的前n项和从2019年到2038年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得S20S10(a11a12a20)477.54 950(10.9910)972.5.所以“二孩”政策实施后的2019年到2038年人口平均值为48.63，则49，故到2038年结束后不需要调整政策【训练四】已知在等差数列an中，a25，a4a622，在数列bn中，b13，bn2bn11(n2)(1)分别求数列an，bn的通项公式；(2)定义xx(x)，x

16、是x的整数部分，(x)是x的小数部分，且0(x)1.记数列cn满足cn，求数列cn的前n项和【解析】(1)设等差数列an的公差为d，因为a25，a4a622，所以a511，所以d2，所以ana22(n2)52(n2)2n1.又b13，bn12(bn11)(n2)，所以bn1是首项为4，公比为2的等比数列，所以bn12n1(n2)，所以bn2n11(n2)易知b13满足上式，所以bn2n11(nN*)(2)由二项式定理知，当n1时，2n12(11)n2(CC)2(1n)2n1，所以cn，所以Sn，Sn，得Sn，故Sn.【训练五】由整数构成的等差数列an满足a35，a1a22a4.(1)求数列an

17、的通项公式；(2)若数列bn的通项公式为bn2n，将数列an，bn的所有项按照“当n为奇数时，bn放在前面；当n为偶数时，an放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列cn，b1，a1，a2，b2，b3，a3，a4，b4，求数列cn的前(4n3)项和T4n3.【解析】(1)由题意，设数列an的公差为d，因为a35，a1a22a4，可得整理得(52d)(5d)2(5d)，即2d217d150，解得d或d1，因为an为整数数列，所以d1，又由a12d5，可得a13，所以数列an的通项公式为ann2.(2)由(1)知，数列an的通项公式为ann2，又由数列bn的通项公式为bn2n，根据题意，得

18、新数列cn，b1，a1，a2，b2，b3，a3，a4，b4，则T4n3b1a1a2b2b3a3a4b4b2n1a2n1a2nb2nb2n1a2n1a2n2(b1b2b3b4b2n1)(a1a2a3a4a2n2)4n12n29n5.【训练六】已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(1)n1，求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列，Snna1n(n1)，(2a12)2a1(4a112)，解得a11，an2n1.(2)由(1)可得bn(1)n1(1)n1，当

19、n为偶数时，Tn1；当n为奇数时，Tn1.Tn四、【强化测试】【单选题】1. 等比数列an中，a5，a7是函数f(x)x24x3的两个零点，则a3a9等于()A3 B3 C4 D4【解析】a5，a7是函数f(x)x24x3的两个零点，a5，a7是方程x24x30的两个根，a5a73，由等比数列的性质可得a3a9a5a73.故选B.2. 已知等差数列an的前n项和为Sn，公差为2，且a7是a3与a9的等比中项，则S10的值为()A110 B90 C90 D110【解析】a7是a3与a9的等比中项，aa3a9，又数列an的公差为2，(a112)2(a14)(a116)，解得a120，an20(n1

20、)(2)222n，S105(202)110.故选D.3. 若等差数列an的公差d0且a1，a3，a7成等比数列，则等于()A. B. C. D2【解析】设等差数列的首项为a1，公差为d，则a3a12d，a7a16d.因为a1，a3，a7成等比数列，所以(a12d)2a1(a16d)，解得a12d.所以.故选A.4. 某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建

21、费用不能超过1 700万元则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要()A3 233万元 B4 706万元C4 709万元 D4 808万元【解析】设每个实验室的装修费用为x万元，设备费为an万元(n1,2,3，10)，则所以解得故a10a1q91 536.依题意x1 5361 700，即x164.所以总费用为10xa1a2a1010x10x3 0694 709.故选C.5. 某食品加工厂2019年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从2020年开始每年比上一年获利增加20%，则从()年开始这家加工厂年获利超过60万元，已知lg 20.301 0，lg 30.477 1()A20

22、24年 B2025年C2026年 D2027年【解析】由题意，设从2019年开始，第n年的获利为an(nN*)万元，则数列an为等比数列，其中2019年的获利为首项，即a120.2020年的获利为a220(120%)20(万元)，2021年的获利为a320(120%)2202(万元)，数列an的通项公式为an20n1(nN*)，由题意可得an20n160，即n13，n16.031 66，n8，从2026年开始这家加工厂年获利超过60万元故选C.6. 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即F(1)F(2)1，F(n)F(n1)F(

23、n2)(n3，nN*)此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用若此数列被2除后的余数构成一个新数列an，则数列an的前2 019项的和为()A672 B673C1 346 D2 019【解析】由于an是数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，各项除以2的余数，故an为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，所以an是周期为3的周期数列，且一个周期中的三项之和为1102.因为2 0196733，所以数列an的前2 019项的和为67321 346.故选C7. 已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn.若a2，a3，a4为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120，则Sn的最

24、大值为()A5 B11C20 D25【解析】由等差数列an的公差为2可知该数列为递减数列，则a2，a3，a4中a2最大，a4最小又a2，a3，a4为三角形的三边长，且最大内角为120，由余弦定理得aaaa3a4.设首项为a1，则(a12)2(a14)2(a16)2(a14)(a16)，整理得(a14)(a19)0，所以a14或a19.又a4a160，即a16，故a14舍去，所以a19.数列an的前n项和Sn9n(2)(n5)225.故Sn的最大值为S525.故选D8. 定义：若数列an对任意的正整数n，都有|an1|an|d(d为常数)，则称|an|为“绝对和数列”，d叫做“绝对公和”已知“绝

25、对和数列”an中，a12，绝对公和为3，则其前2 019项的和S2 019的最小值为()A2 019 B3 010C3 025 D3 027【解析】依题意，要使“绝对和数列”an前2 019项的和S2 019的值最小，只需每一项的值都取最小值即可因为a12，绝对公和d3，所以a21或a21(舍)，所以a32或a32(舍)，所以a41或a41(舍)，所以满足条件的数列an的通项公式an所以S2 019a1(a2a3)(a4a5)(a2 018a2 019)2(12)3 025，故选C【多选题】9. 南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有

26、1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，设各层球数构成一个数列an，则() Aa412Ban1ann1Ca1005 050D2an1anan2【解析】由题意知，a11，a23，a36，anan1n，故an，a410，故A错误；an1ann1，故B正确；a1005 050，故C正确；2an1(n1)(n2)，anan2，显然2an1anan2，故D错误故选BC.10. 已知数列an是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a15a3S8，下列选项正确的有()Aa100 BS10最小CS7S12 DS200【解析】根据题意，数列an是等差数列，若a15a3S8，即a15a110d8a128d，变

27、形可得a19d，又由ana1(n1)d(n10)d，则有a100，故A一定正确；不能确定a1和d的符号，不能确定S10最小，故B不正确；又由Snna19nd(n219n)，则有S7S12，故C一定正确；则S2020a1d180d190d10d，d0，S200，则D不正确故选AC.11. 若数列an满足：对任意的nN*且n3，总存在i，jN*，使得anaiaj(ij，in，jn)，则称数列an是“T数列”则下列数列是“T数列”的为()A2n Bn2C3n D【解析】令an2n，则ana1an1(n3)，所以数列2n是“T数列”；令ann2，则a11，a24，a39，所以a3a1a2，所以数列n2

28、不是“T数列”；令an3n，则a13，a29，a327，所以a3a1a2，所以数列3n不是“T数列”；令an，则anan1an2(n3)，所以数列是“T数列”故选AD12. 一个弹性小球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回原来的高度的再落下设它第n次着地时，经过的总路程记为Sn，则当n2时，下面说法正确的是()ASn500 BSn500CSn的最小值为 DSn的最大值为400【解析】第一次着地时，共经过了100 m，第二次着地时，共经过了 m，第三次着地时，共经过了 m，以此类推，第n次着地时，共经过了 m所以Sn100100400.则Sn是关于n的增函数，所以当n2时，Sn的最小值为S

29、2，且S2.又Sn100400100400500.故选AC【填空题】13. 若数列an满足0，则称an为“梦想数列”已知正项数列为“梦想数列”，且b1b2b31，则b6b7b8_【解析】由0可得an1an，故an是公比为的等比数列，故是公比为的等比数列，则bn是公比为2的等比数列，b6b7b8(b1b2b3)2532.14. 已知在数列an中，an12an1，a12，设其前n项和为Sn，若对任意的nN*，(Sn1n)k2n3恒成立，则k的最小值为_【解析】由an12an1，可得an112(an1)又因为a111，所以数列an1是公比为2，首项为1的等比数列，所以an12n1，所以Snn2n1n

30、.因为对任意的nN*，(Sn1n)k2n3恒成立，所以k.令bn，因为bn1bn，所以数列bn的前3项单调递增，从第3项开始单调递减所以n3时，数列bn取得最大值b3，所以k.15. 若数列an满足a2a1a3a2anan10，解得t0，b0，nN*)(1)当a2，b3时，求un；(2)若ab，求数列un的前n项和Sn.【解析】(1)当a2，b3时，un2n2n132n23223n13n(nN*)，两边除以2n，得12n1n2，所以un3n12n1.(2)若ab，则un(n1)an，所以Sn2a3a24a3(n1)an，当a1时，Sn23(n1)；当a0，a1时，在的两边同乘以a，得aSn2a

31、23a34a4(n1)an1，与式作差，得(1a)Sn2aa2a3an(n1)an1a(n1)an1，所以Sn.综上，Sn19. 已知数列an的前n项和Sn满足1(n2，nN)，且a11.(1)求数列an的通项公式an；(2)记bn，Tn为bn的前n项和，求使Tn成立的n的最小值【解析】(1)由已知有1(n2，nN)，所以数列为等差数列，又1，所以n，即Snn2.当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1.又a11也满足上式，所以an2n1.(2)由(1)知，bn，所以Tn.由Tn得n24n2，即(n2)26，所以n5，所以n的最小值为5.20. 定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M数列

32、”(1)已知等比数列an(nN*)满足：a2a4a5，a34a24a10，求证：数列an为“M数列”；(2)已知数列bn(nN*)满足：b11，其中Sn为数列bn的前n项和求数列bn的通项公式【解析】(1)证明：设等比数列an的公比为q，所以a10，q0.由得解得因此数列an为“M数列”(2)因为，所以bn0.由b11，S1b1，得，则b22.由，得Sn，当n2时，由bnSnSn1，得bn，整理得bn1bn12bn.所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列因此，数列bn的通项公式为bnn(nN*)21. 从“Snn；S2a3，a4a1a2；a12，a4是a2，a8的等比中项”三个条件中任选一个

33、，补充到下面的横线处，并解答已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d0，_，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn，数列bn的前n项和为Wn，求Wn.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【解析】(1)选：Snnn2n，令n1，得a11，即a12，所以Snn2n.当n2时，Sn1(n1)2n1，当n2时，anSnSn12n，又a12，满足上式，所以an2n.选：由S2a3，得a1a2a3，得a1d，又由a4a1a2，得a13da1(a1d)，因为d0，则a1d2，所以an2n.选：由a4是a2，a8的等比中项，得aa2a8，则(a13d)2(a1d)(a17d)，因为a12，

34、d0，所以d2，则an2n.(2)Snn2n，bn(2n1)22n1(2n)22n322n2n，所以Wn322232422322n2n4(4n1)2(2n1)4n12n16.22. 已知正项数列an的前n项和为Sn，且a2Snn1，a22.(1)求数列an的通项公式an；(2)若bnan2n，数列bn的前n项和为Tn，求使Tn2 022的最小的正整数n的值【解析】(1)当n2时，由a2Snn1，a22，得a2Sn1n11，两式相减得aa2an1，即aa2an1(an1)2.an是正项数列，an1an1.当n1时，a2a124，a11，a2a11，数列an是以a11为首项，1为公差的等差数列，ann.(2)由(1)知bnan2nn2n，Tn121222323n2n，2Tn122223(n1)2nn2n1，两式相减得Tnn2n1(1n)2n12，Tn(n1)2n12.TnTn1n2n0，Tn单调递增当n7时，T762821 5382 022，使Tn2 022的最小的正整数n的值为8.