2024年高考数学：立体几何（7大题型汇编）（学生版）.pdf

1、1立体几何立体几何是高考数学的必考内容，在大题中一般分两问，第一问考查空间直线与平面的位置关系证明；第二问考查空间角、空间距离等的求解。考题难度中等，常结合空间向量知识进行考查。2024 年高考有很大可能延续往年的出题方式。题型一：空间异面直线夹角的求解1(2023上海长宁统考一模)如图，在三棱锥 A-BCD 中，平面 ABD 平面 BCD,AB=AD,O 为 BD 的中点.(1)求证：AO CD；(2)若 BD DC,BD=DC,AO=BO，求异面直线 BC 与 AD 所成的角的大小.21、求异面直线所成角一般步骤：(1)平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相

2、交直线(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角(3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之(4)取舍：因为异面直线所成角 的取值范围是 0,2，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角2、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：(1)直接平移法(可利用图中已有的平行线)；(2)中位线平移法；(3)补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)3、异面直线所成角：若 n1,n2 分别为直线 l1,l2 的方向向量，为直线 l1,l2 的夹角，则 cos=cos=n1 n2n1n2.1(2023江西萍乡高三统考期中)如图，在正四棱台 ABCD-A1

3、B1C1D1中，E,F 分别是 BB1,CD 的中点.(1)证明：EF 平面 AB1C1D；(2)若 AB=2A1B1，且正四棱台的侧面积为 9，其内切球半径为22，O 为 ABCD 的中心，求异面直线 OB1与 CC1所成角的余弦值.32(2023辽宁丹东统考二模)如图，平行六面体 ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，平面 CDD1C1 平面 ABCD，AD DC，二面角 D1-AD-C 的大小为 120，E 为棱 C1D1的中点(1)证明：CD AE；(2)点 F 在棱 CC1上，AE 平面 BDF，求直线 AE 与 DF 所成角的余弦值题型二：空间直线与平面夹角的求解2(2024

4、安徽合肥统考一模)如图，三棱柱 ABC-A1B1C1中，四边形 ACC1A1,BCC1B1均为正方形，D,E分别是棱 AB,A1B1的中点，N 为 C1E 上一点.(1)证明：BN 平面 A1DC；(2)若 AB=AC,C1E=3C1N，求直线 DN 与平面 A1DC 所成角的正弦值.41、垂线法求线面角(也称直接法)：(1)先确定斜线与平面，找到线面的交点 B 为斜足；找线在面外的一点 A，过点 A 向平面 做垂线，确定垂足O；(2)连结斜足与垂足为斜线 AB 在面 上的投影；投影 BO 与斜线 AB 之间的夹角为线面角；(3)把投影 BO 与斜线 AB 归到一个三角形中进行求解(可能利用余

5、弦定理或者直角三角形)。3、公式法求线面角(也称等体积法)：用等体积法，求出斜线 PA 在面外的一点 P 到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。公式为：sin=hl，其中 是斜线与平面所成的角，h 是垂线段的长，l 是斜线段的长。方法：已知平面 内一个多边形的面积为 S，它在平面 内的射影图形的面积为 S射影，平面 和平面 所成的二面角的大小为，则 COS=S射影S.这个方法对于无棱二面角的求解很简便。4、直线与平面所成角：设 n1 是直线 l 的方向向量，n2 是平面 的法向量，直线与平面的夹角为.则 sin=cos=n1 n2n1n2.1(2024内蒙古赤峰高三校考开学考试)如图，在三

6、棱台 ABC-A1B1C1中，AB=AC=2A1B1=2AA1=4 2，A1AB=A1AC=3，BAC=2(1)证明：A1A B1C1；(2)求直线 BB1与平面 A1ACC1所成角的正弦值52(2024浙江温州高三统考期末)如图，以 AD 所在直线为轴将直角梯形 ABCD 旋转得到三棱台ABE-DCF，其中 AB BC，AB=2BC=2CD(1)求证：AD BE；(2)若 EAB=3，求直线 AD 与平面 CDF 所成角的正弦值题型三：空间平面与平面夹角的求解1(2024江苏扬州高三统考开学考试)如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，EF AD，AF=3

7、EF=3，EAD=120，平面 ADFE 平面 ABCD(1)求证：BD CF；(2)求平面 BDF 与平面 BCF 所成角的余弦值61、几何法(1)定义法(棱上一点双垂线法)：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线(2)三垂线法(面上一点双垂线法)：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点(即斜足)，斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角(3)垂面法(空间一点垂面法)：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。(4)射影面积法求二面角 cos=s射影S2、向量

8、法：若 n1,n2 分别为平面,的法向量，为平面,的夹角，则 cos=cos=n1 n2n1n2.1(2024河南郑州高三校联考阶段练习)如图，在长方 ABCD-A1B1C1D1中，AB=2BC=4，E 为AA1的中点，DE BD1.(1)求 AA1的长；(2)求二面角 B-DE-A 的余弦值.72(2024山东济南高三济南一中校联考开学考试)如图，在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，底面 ABCD和侧面 ABB1A1均是边长为 2 的正方形.(1)证明：BD1 B1C.(2)若 B1BC=120，求二面角 A-BC-D1的余弦值.题型四：空间点、线、面间的距离求解1(2024四川校联考一

9、模)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AD BC，AD PD，平面 PAD 平面 PCD(1)证明：BC 平面 PCD；(2)已知 AD=PD=DC=12 BC=2，且 DPC=30，求点 D 到平面 PAB 的距离81、几何法求点面距1、定义法(直接法)：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度；2、等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离；3、转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离2、向量法求空间距离：(1)点面距：已知平面 的法向量为 n,A 是平面 内的任一点，P 是平面 外一点,过点 P 作则平面 的垂线

10、 l，交平面 于点 Q，则点 P 到平面 的距离为 PQ=AP nn(2)直线 a 与平面 之间的距离：d=AB n|n|，其中 A a,B ，n 是平面 的法向量。(3)两平行平面,之间的距离：d=AB n|n|，其中 A ,B ，n 是平面 的法向量。1(2024陕西西安高三统考期末)如图，在圆锥 PO 中，AB 是圆 O 的直径，且 PAB 是边长为 4 的等边三角形，C,D 为圆弧 AB 的两个三等分点，E 是 PB 的中点.(1)证明：DE 平面 PAC.(2)求点 E 到平面 PAC 的距离.92(2023河南校联考二模)如图所示，正六棱柱 ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的

11、底面边长为 1，高为3.(1)证明：平面 ADF1 平面 A1BC；(2)求平面 ADF1与平面 A1BC 间的距离.题型五：空间几何体的体积求解1(2024内蒙古锡林郭勒盟高三统考开学考试)如图，在四面体 ABCD 中，ACB=ACD=60,BC CD,BC=CD.(1)证明：AC BD(2)若 AB=7,BC=2，求四面体 ABCD 的体积101、处理空间几何体体积的基本思路(1)转：转换底面与高，将原本不容易求面积的底面转换为容易求面积的底面，或将原来不容易看出的高转换为容易看出并容易求解的高；(2)拆：将一个不规则的几何体拆成几个规则的几何体，便于计算；(3)拼：将小几何体嵌入一个大几

12、何体中，如有时将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原乘一个四棱柱，还台位锥，这些都是拼补的方法。2、求体积的常用方法(1)直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算；(2)割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算；(3)等体积法：选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面作为三棱锥的底面进行等体积变换1(2023四川校联考三模)如图所示，直角梯形 ABDE 和三角形 ABC 所在平面互相垂直，DB AB，ED AB，AB=2DE=2BD=2，AC=B

13、C，异面直线 DE 与 AC 所成角为 45.(1)求证：平面 ACE 平面 BCD；(2)若点 F 在 CE 上，当 AFB 面积最小时，求三棱锥 F-ABE 的体积.112(2023天津西青西青区杨柳青第一中学校考模拟预测)如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形，ACD=90，AB=1，AD=2，四边形 ABEF 为正方形，平面 ABEF 平面 ABCD，P 为 DF 的中点，AN CF，垂足为 N(1)求证：AN 平面 CDF；(2)求异面直线 BF 与 PC 所成角的正切值；(3)求三棱锥 B-CEF 的体积题型六：空间几何体的翻折问题1(2024河北张家口高三河北省尚义县

14、第一中学校联考开学考试)如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=2沿对角线 BD 折起，形成一个四面体 A-BCD，且 AC=m(1)是否存在 m，使得 AB CD，AD BC 同时成立？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由(2)求当二面角 A-CD-B 的正弦值为多少时，四面体 A-BCD 的体积最大12翻折问题的两个解题策略1、确定翻折前后变与不变的关系：画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理

15、，而对于变化的关系则要在立体图形中解决2、确定翻折后关键点的位置：所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点因为这些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算1(2024湖南长沙一中校联考模拟预测)如图 1，在五边形 ABCDP 中，连接对角线 AD，AD BC，AD DC，PA=PD=2 2,AD=2BC=2DC=4，将三角形 PAD 沿 AD 折起，连接 PC,PB，得四棱锥P-ABCD(如图 2)，且 PB=2 2,E 为 AD 的

16、中点，M 为 BC 的中点，点 N 在线段 PE 上.(1)求证：平面 PAD 平面 ABCD；(2)若平面 AMN 和平面 PAB 的夹角的余弦值为 3 8729，求线段 EN 的长.132(2023河北衡水高三衡水中学校考阶段练习)如图，在 ABC 中，BC=4,AB=13,cosB=1313,E,D 分别为 BC,AC 的中点，以 DE 为折痕，将 DCE 折起，使点 C 到 C1的位置，且 BC1=2，如图.(1)设平面 C1AD 平面 BEC1=l，证明：l 平面 ABC1；(2)若 P 是棱 C1D 上一点(不含端点)，过 P,B,E 三点作该四棱锥的截面与平面 BEC1所成的锐二

17、面角的正切值为32，求该截面将四棱锥分成上下两部分的体积之比.题型七：空间动点存在性问题的探究1(2024上海黄浦高三大同中学校考阶段练习)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面PAD 平面 ABCD，PA PD，PA=PD，E 为 AD 的中点(1)求证：PE BC；(2)在线段 PC 上是否存在点 M，使得 DM 平面 PEB？请说明理由14借助于空间直角坐标系，把几何对象上动态点的坐标用参数(变量)表示，将几何对象坐标化，这样根据所要满足的题设要求得到相应的方程或方程组若方程或方程组在题设范围内有解，则通过参数的值反过来确定几何对象的位置；若方程或方程组在题设范围

18、内无解，则表示满足题设要求的几何对象不存在1(2024广东梅州统考一模)已知三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB=AC=2，BAC=120，且 BC=2BB1，CBB1=60，侧面 BCC1B1 底面 ABC，D 是 BC 的中点.(1)求证：平面 C1AD 平面 B1AD；(2)在棱 AA1上是否存在点 Q，使得 BQ 与平面 ACC1A1的所成角为 60.如果存在，请求出 AQAA1；如果不存在，请说明理由.2(2024湖北荆州高三沙市中学校考阶段练习)设四边形 ABCD 为矩形，点 P 为平面 ABCD 外一点，且 PA 平面 ABCD，若 PA=AB=1,BC=2.(1)求 PC 与平

19、面 PAD 所成角的正切值；(2)在 BC 边上是否存在一点 G，使得点 D 到平面 PAG 的距离为2，若存在，求出 BG 的值，若不存在，请说明理由；151(2024内蒙古赤峰高三校考开学考试)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，四边形 ABCD 是菱形，PA AC,BD PC,PA=AB=4.(1)证明：PA 平面 ABCD.(2)若 PC=4PE,ABC=60，求三棱锥 P-BDE 的体积.2(2024云南昆明昆明一中校考模拟预测)如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA=PD=AD=CD=2，DAB=ABC=90，ADC=60(1)证明：PC BC；(2)若二面角 P-AD-B 的大小为

20、120，求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值163(2024吉林校联考模拟预测)如图，在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，底面为矩形，AB=3AD=3a，高为 h，O，E 分别为底面的中心和 CD 的中点(1)求证：平面 A1OE 平面 CDD1C1；(2)若平面 A1OE 与平面 D1BC 的夹角的余弦值为 2 23，求 ha 的值4(2024天津南开高三南开中学校考阶段练习)如图，四棱台 ABCD-A1B1C1D1中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，AB=2A1B1=6，E，F 分别为 DC，BC 的中点，上下底面中心的连线 O1O垂直于上下底面，且 O1O 与

21、侧棱所在直线所成的角为 45(1)求证：BD1 平面 C1EF；(2)求点 A1到平面 C1EF 的距离；(3)边 BC 上是否存在点 M，使得直线 A1M 与平面 C1EF 所成的角的正弦值为 2 25，若存在，求出线段 BM的长；若不存在，请说明理由175(2024北京高三北京市第一六一中学校考开学考试)如图，多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为矩形，ADE=60，DE CF，CD DE，AD=2，DE=DC=3，CF=6(1)求证：CD AE；(2)求直线 DE 与平面 AEF 所成角的正弦值；(3)求出 的值，使得 CG=CF，且 G 到平面 ABC 距离为36(2023辽宁

22、大连高三育明高中校考期中)如图，在 RtABO 中，AB BO，CD AB，AB=3CD=3，AD=2 2将 OCD 沿 CD 折起，使点 O 到达点 P 的位置(1)请在答题纸的图中作出平面 PAD 与平面 PBC 的交线，并指出这条直线(不必写出作图过程)；(2)证明：平面 PAB 平面 PBC；(3)若直线 PA 和直线 CD 所成角的大小为 30，求四棱锥 P-ABCD 的体积181(2023北京统考高考真题)如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA 平面 ABC，PA=AB=BC=1，PC=3(1)求证：BC 平面 PAB；(2)求二面角 A-PC-B 的大小2(2023全国统考高考真题

23、)如图，在三棱锥 P-ABC 中，AB BC，AB=2，BC=2 2，PB=PC=6，BP,AP,BC 的中点分别为 D,E,O，点 F 在 AC 上，BF AO(1)求证：EF 平面 ADO；(2)若 POF=120，求三棱锥 P-ABC 的体积193(2023全国统考高考真题)如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，A1C 平面 ABC,ACB=90(1)证明：平面 ACC1A1 平面 BB1C1C；(2)设 AB=A1B,AA1=2，求四棱锥 A1-BB1C1C 的高4(2023全国统考高考真题)如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，A1C 底面 ABC，ACB=90,AA1=2，A1

24、到平面 BCC1B1的距离为 1(1)证明：A1C=AC；(2)已知 AA1与 BB1的距离为 2，求 AB1与平面 BCC1B1所成角的正弦值205(2023全国统考高考真题)如图，在三棱锥 P-ABC 中，AB BC，AB=2，BC=2 2，PB=PC=6，BP，AP，BC 的中点分别为 D，E，O，AD=5DO，点 F 在 AC 上，BF AO.(1)证明：EF 平面 ADO；(2)证明：平面 ADO 平面 BEF；(3)求二面角 D-AO-C 的正弦值.6(2023天津统考高考真题)如图，在三棱台 ABC-A1B1C1中，A1A 平面 ABC,AB AC,AB=AC=AA1=2,A1C

25、1=1，M 为 BC 中点.，N 为 AB 的中点，(1)求证：A1N 平面 AMC1；(2)求平面 AMC1与平面 ACC1A1所成夹角的余弦值；(3)求点 C 到平面 AMC1的距离217(2023全国统考高考真题)如图，在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AA1=4点 A2,B2,C2,D2分别在棱 AA1,BB1,CC1,DD1上，AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3(1)证明：B2C2 A2D2；(2)点 P 在棱 BB1上，当二面角 P-A2C2-D2为 150 时，求 B2P8(2023全国统考高考真题)如图，三棱锥 A-BCD 中，DA=DB=DC，BD CD，ADB=ADC=60，E 为 BC 的中点(1)证明：BC DA；(2)点 F 满足 EF=DA，求二面角 D-AB-F 的正弦值