2024高考数学 基础知识综合复习 优化集训2 基本不等式.docx

1、优化集训2基本不等式基础巩固1.(2022浙江温州新力量联盟)已知正实数x,y满足1x+1y=2,则xy的最小值为()A.2B.2C.12D.12.下列各式中,对任何实数x都成立的一个式子是()A.x+12xB.x2+12xC.1x2+11D.x+1x23.已知0x0,y0”是“x+y2x2+y22”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.下列不等式恒成立的是()A.a2+b22abB.a2+b2-2abC.a+b2abD.a+b-2ab6.(2023浙江嘉兴期末)若正数a,b满足a+b=ab,则a+4b的最小值是()A.7B.9C.13D.257.(

2、2022浙江杭州学军中学)若m+n=1(m0,n0),则1m+1n的最小值为()A.4B.6C.9D.128.已知第一象限内的点P(a,b)在一次函数y=-8x+5的图象上,则2a+1b的最小值为()A.25B.5C.4D.529.(2023浙江绍兴)已知a0,b0,且a+b=4,则下列取值有可能的是()A.ba+ab=2B.a+ba=2C.1a2+1b2=14D.a2+b2=4210.(多选)(2023浙江温州)已知正实数x,y满足2x+y=xy,则()A.xy8B.x+y6C.1x-1+8y4D.2x2y+y24811.(多选)(2023浙江丽水)已知正数a,b满足a+b=1,则下列结论正

3、确的是()A.0ab14B.1a+9b20C.a+b2D.2a+2b2212.已知xy0且log2x+log2y=1,则x2+y2x-y的最小值为.14.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值为.15.对任意的正数x,不等式axx2+4恒成立,则实数a的最大值为.16.已知x0,y0,且2x+8y-xy=0.求:(1)xy的最小值;(2)x+y的最小值.17.(1)当x0时,求函数y=x2+3x+42x的最小值;(2)当x2ab恒成立B.存在实数a,使得不等式a+1a2成立C.若a,b为正实数,则ba+ab2D.若正实数x,y满足x+2y=1,则2x+1y819.已知正数x,y

4、满足x2+2xy-1=0,则3x2+4y2的最小值为()A.1B.2C.3D.420.(2023浙江镇海中学)已知实数x,y满足x2+xy-2y2=1,则3x2-2xy的最小值是.21.(2023浙江宁波期末)炎炎夏日,古代人们乘凉时用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图,扇形纸叠扇完全展开后,得到的扇形ABC面积为1002cm2,则当该纸叠扇的周长最小时,AB的长度为cm.22.已知实数a,b,cR,且a+b+c=1,求证:a2+b2+c213.23.为了加强“平安校园”建设,保障师生安全,某校决定在学校门口利用一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面为24平方米,且背面靠

5、墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙,无需建造费用,甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米300元,屋顶和地面以及其他报价共计14 400元.设屋子的左右两面墙的长度均为x米(3x6).(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?并求出最低报价.(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标,其给出的整体报价为1800a(1+x)x元(a0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围.优化集训2基本不等式基础巩固1.D解析 x0,y0,2=1x+1y2xy,xy1,当且仅当x=y=1时,等

6、号成立.2.C解析 对于选项A,当x0时不成立;对于选项B,当x=1时不成立;对于选项D,当x0时不成立;对于选项C,因为x2+11,所以1x2+11成立.故选C.3.B解析 因为0x0,y0时,由x+y22-x2+y22=-x2+2xy-y24=-(x-y)240可知x+y2x2+y22成立,所以充分性成立;当x+y2x2+y22成立时,若x0,y0,b-10,a+4b=(a-1)+4(b-1)+55+2(a-1)4(b-1)=9,当且仅当a=3,b=32时,等号成立.(方法2)由a+b=ab,得1a+1b=1,a+4b=(a+4b)(1a+1b)=5+4ba+ab5+24baab=9,当且

7、仅当a=3,b=32时,等号成立.7.A解析 因为m+n=1(m0,n0),则1m+1n=m+nm+m+nn=2+nm+mn2+2=4,当且仅当m=n=12时,等号成立.故选A.8.B解析 由题意知b=-8a+5,且a0,b0,故8a+b5=1,从而2a+1b=(2a+1b)8a+b5=15(17+2ba+8ab)15(17+22ba8ab)=5,当且仅当b=1,a=12时,等号成立.故选B.9.A解析 对于A,已知a0,b0,所以ba+ab2baab=2,当且仅当a=b=2时,等号成立,故A正确;对于B,已知a0,b0,所以a+ba=a+4-aa=a+4a-124-1=3,当且仅当a=4a,

8、即a=2,b=2时,等号成立,所以a+ba=2不成立,故B错误;对于C,已知a0,b0,且a+b=4,所以(a+b)2=16,16a2+16b2=(a+b)2a2+(a+b)2b2=a2+b2+2aba2+a2+b2+2abb2=1+b2a2+a2b2+1+2ba+2ab2+2b2a2a2b2+22ba2ab=8,当且仅当a=b=2时,等号成立,所以16(1a2+1b2)8,即得1a2+1b212,所以1a2+1b2=14不成立,故C错误;对于D,因为a2+b22ab,当且仅当a=b=2时,等号成立,所以2(a2+b2)(a+b)2=16,所以a2+b28,a2+b2=42不成立,故D错误.故

9、选A.10.AD解析 由题知,正实数x,y满足2x+y=xy,所以2y+1x=1,对于A,因为2x+y22xy,当且仅当2x=y时,等号成立,所以xy22xy,所以x2y28xy,即xy8,故A正确;对于B,x+y=(x+y)(2y+1x)=2xy+yx+322xyyx+3=22+3,当且仅当2xy=yx,且2y+1x=1,即x=2+1,y=2+2时,等号成立,故B错误;对于C,因为2x+y=xy,所以x=yy-2,所以1x-1=1yy-2-1=12y-2=y-22=y2-1,所以1x-1+8y=y2+8y-12y28y-1=3,当且仅当y2=8y,且x=yy-2,即x=2,y=4时,等号成立

10、,故C错误;对于D,由选项A得xy8,所以2x2y+y2=2xxy+y2=2x(2x+y)+y2=4x2+2xy+y2=4x2+4x+2y+y2=(2x+1)2+(y+1)2-22(2x+1)(y+1)-2=4xy+4x+2y=6xy48,当且仅当2x+1=y+1,且2y+1x=1,即x=2,y=4时,等号成立,故D正确.故选AD.11.CD12.1解析 因为x54,所以4x-50,所以不等式axx2+4恒成立即为ax+4x恒成立.因为x+4x2x4x=4,当且仅当x=4x,x=2时等号成立.所以a4,所以实数a的最大值为4.16.解 (1)因为x0,y0,2x+8y-xy=0216xy-xy

11、,所以有xy8,解得xy64.当且仅当2x=8y,即x=16,y=4时,等号成立.所以xy的最小值为64.(2)因为2x+8y-xy=0,所以有8x+2y=1,所以x+y=(x+y)(8x+2y)=8+2+8yx+2xy10+28yx2xy=18.当且仅当8yx=2xy,即x=12,y=6时,等号成立.所以x+y的最小值为18.17.解 (1)因为x0,所以y=x2+3x+42x=x2+2x+322x22x+32=72,当且仅当x2=2x,即x=2时,等号成立.所以函数的最小值为72.(2)因为x0.所以y=x2+2x-1=(1-t)2+2-t=-t2-2t+3t=-(t+3t)+22-23.

12、当且仅当t=3t,t=1-x=3,即x=1-3时,等号成立.所以函数的最大值为2-23.能力提升18.BCD解析 对于A选项,当a0,b0时不成立,故错误;对于B选项,当a0,ab0,所以ba+ab2baab=2,当且仅当a=b时等号成立,故正确;对于D选项,x0,y0,2x+1y=(2x+1y)(x+2y) =4+4yx+xy4+24yxxy=8,当且仅当x=2y时,等号成立,故正确.故选BCD.19.B解析 (方法1)3x2+4y2=2x2+x2+4y22x2+2x24y2=2x2+4xy=2(x2+2xy)=2,当且仅当x=2y,x2+2xy-1=0,即x=22,y=24时,等号成立.(方法2)根据题意可得2xy=1-x2,由x0,所以y=1-x22x=12x-x2,由y=12x-x20,可得x21,即0x1800a(1+x)x对任意的x3,6恒成立,即(x+4)2xa(1+x)x,从而(x+4)2x+1a恒成立,令x+1=t,(x+4)2x+1=(t+3)2t=t+9t+6,t4,7,又y=t+9t+6在4,7上单调递增,故ymin=12.25.所以0a12.25.