2024高考数学 基础知识综合复习 优化集训5 幂函数.docx

1、优化集训5幂函数基础巩固1.已知y=x2,y=12x,y=4x2,y=x5+1,y=(x-1)2,y=x,y=ax(a1),上述函数是幂函数的个数是()A.0B.1C.2D.32.(2023浙江诸暨期末)已知幂函数f(x)=x的图象过点(2,4),若f(m)=4,则实数m的值为()A.2B.2C.4D.43.(2023浙江温州期末)已知幂函数f(x)=x,则“0”是“此幂函数图象过点(1,1)”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.函数y=ax2+a与y=ax(a0)在同一坐标系中的图象可能是()5.(2021浙江杭州期末测试)已知函数f(x)=

2、x-2,若f(2a2-5a+4)x2的解集为(0,1)8.若函数y=x的图象经过点(2,16)与(3,m),则m的值为.9.已知函数f(x)=x2-ax+2,若函数在1,+)上有两个零点,则a的取值范围是.10.若幂函数f(x)=(m2-3m-3)xm在(0,+)上为增函数,则实数m=.11.若(a+1)-1f(a-1),则实数a的取值范围是.13.给出封闭函数的定义:若对于定义域D内的任意一个自变量x0,都有函数值f(x0)D,则称函数y=f(x)在D上封闭.若定义域D=(0,1),则函数f1(x)=3x-1;f2(x)=-12x2-12x+1;f3(x)=1-x;f4(x)=x12,其中在

3、D上封闭的是(填序号).14.已知幂函数f(x)=(m-1)2xm2-4m+2在(0,+)内单调递增.(1)求m的值;(2)当x1,2时,记f(x)的值域为集合A,若集合B=2-k,4-k,且AB=,求实数k的取值范围.15.已知函数f(x)=x+ax(a0),具有如下性质:在(0,a上单调递减,在a,+)上单调递增.(1)若函数y=x+2bx(x0)的值域为6,+),求b的值;(2)已知函数f(x)=4x2-12x-32x+1,x0,1,求函数f(x)的单调区间和值域.16.已知函数f(x)=(a2-a-1)xa(a是常数)为幂函数,且f(x)在(0,+)上单调递增.(1)求f(x)的表达式

4、;(2)判断函数g(x)=f(x)+4x在(2,+)上的单调性,并用定义证明.17.已知幂函数f(x)=(k2-4k+5)x-m2+4m(mZ)的图象关于y轴对称,且在(0,+)上单调递增.(1)求m和k的值;(2)求满足不等式(2a-1)-3(a+2)-3m2的a的取值范围.能力提升18.已知a=243,b=425,c=2513,则()A.bacB.abcC.bcaD.ca0,函数f(x)=(2-a)x,x1,xa,x1,则以下说法正确的是()A.若f(x)有最小值,则a2B.存在正实数a,使得f(x)是R上的减函数C.存在实数a,使得f(x)的值域为RD.若a2,则存在x0(1,+),使得

5、f(x0)=f(2-x0)21.已知函数f(x)=x2+(1-2a)x-2a.(1)讨论关于x的不等式f(x)0的解集;(2)若f(1)=6,求函数y=f(x)x-1在x(1,+)内的最小值.22.集合A是由具备下列性质的函数f(x)组成的:函数f(x)的定义域是0,+);函数f(x)的值域是-2,4);函数f(x)在0,+)上是增函数.试分别探究下列两小题:(1)判断函数f1(x)=x-2(x0)及f2(x)=4-6(12)x(x0)是否属于集合A?并简要说明理由.(2)对于(1)中你认为属于集合A的函数f(x),不等式f(x)+f(x+2)0时,幂函数图象过点(1,1),幂函数图象过点(1

6、,1)时,0,也可以0时,二次函数y=ax2+a的图象开口向上,且对称轴为直线x=0,顶点坐标为(0,a),排除A,C;当a0时,二次函数y=ax2+a的图象开口向下,且对称轴为直线x=0,顶点坐标为(0,a),函数y=ax的图象在第二、四象限.故选D.5.C解析 由题意,f(x)在2,+)上单调递增,f(2a2-5a+4)f(a2+a+4),即22a2-5a+4a2+a+4,a2-6a0且2a2-5a+20,可得2a6或0x2xx2x0,xx4x0,1x30x0,3-2a0,a+13-2a或a+10,3-2a3-2a或3-2a0,a+10,解得23a32或af(a-1)得2-a0,a-10,

7、2-aa-1,解得1a32.a的取值范围为1,32).13.解析 函数f1(x)=3x-1在(0,1)内单调递增,则f1(x)(-1,2),则f1(x)不是封闭函数;f2(x)=-12x2-12x+1在(0,1)内单调递减,则f2(x)(0,1),则f2(x)是封闭函数;f3(x)=1-x在(0,1)内单调递减,则f3(x)(0,1),则f3(x)是封闭函数;f4(x)=x12在(0,1)内单调递增,则f4(x)(0,1),则f4(x)是封闭函数.14.解 (1)由题意得(m-1)2=1,m=0或2.当m=0时,f(x)=x2在(0,+)上单调递增,满足题意.当m=2时,f(x)=x-2在(0

8、,+)上单调递减,不满足题意,舍去.m=0.(2)由(1)知,f(x)=x2.f(x)在1,2上单调递增,A=1,4.易知B,要满足AB=,只需4-k4,解得k3或k0),因为其值域为6,+),即最小值为6=22b,解得b=log29.(2)令t=2x+1,因为x0,1,所以t1,3.所以y=4x2-12x-32x+1=t2-8t+4t=t+4t-8.由题可知函数y=t+4t-8在1,2上单调递减,在2,3上单调递增,则函数f(x)=4x2-12x-32x+1在0,12上单调递减,在12,1上单调递增.所以函数f(x)的值域为-4,-3.16.解 (1)由题意可得a2-a-1=1,a0,解得a

9、=2,f(x)=x2.(2)g(x)=f(x)+4x=x2+4x=x+4x,g(x)在(2,+)上单调递增.证明如下:任取2x1x2,则g(x1)-g(x2)=(x1+4x1)-(x2+4x2)=(x1-x2)+(4x1-4x2)=(x1-x2)(x1x2-4)x1x2.2x1x2,x1-x20,x1x20,(x1-x2)(x1x2-4)x1x20,g(x1)-g(x2)0,即g(x1)0,解得0m4.mZ,m=1或m=2或m=3.当m=1或m=3时,f(x)=x3,图象关于原点对称,不合题意;当m=2时,f(x)=x4,图象关于y轴对称,符合题意.综上,m=2,k=2.(2)由(1)知m=2

10、,原不等式即为(2a-1)-30时,y=x-30,当x0时,y=x-30,满足不等式的条件为0a+22a-1,或a+22a-10,或2a-10a+2,解得-2a3,故满足不等式(2a-1)-3425=b,c=2513=523423=a,所以cab.故选A.19.B解析 由已知可得m-2=1,f(m)=mn=81,解得m=3,n=4,故g(x)=4-x+x-3,要使函数有意义,有4-x0,x-30,解得3x4,故函数g(x)的定义域为3,4,且g(x)=4-x+x-30.因为g(x)2=(4-x+x-3)2=1+2(4-x)(x-3)=1+2-x2+7x-12=1+2-(x-72)2+141,2

11、,故1g(x)2,即函数g(x)的值域为1,2.故选B.20.AC解析 对于A,当a0时,f(x)在(1,+)上单调递增,若f(x)有最小值,则2-a0,2-a1,解得a2,A符合题意;对于B,当x1时,f(x)=xa,由幂函数性质知,当a0时,f(x)单调递增,B不符合题意;对于C,f(x)在(1,+)上单调递增,当x1时,f(x)a,若f(x)的值域为R,则2-a0,2-a1,解得02,x01时,x0a-(a-2)x0-2(2-a)x0a-(a-2)x0=x0(x0a-1-a+2),x0a-1-a+2a-1-a+2=1,x0(x0a-1-a+2)0,x0a-(a-2)x0-2(2-a)0恒

12、成立,x0a=(a-2)x0+2(2-a)在(1,+)内无解,即不存在x0(1,+),使得f(x0)=f(2-x0),D不符合题意.故选AC.21.解 (1)由f(x)0,得x2+(1-2a)x-2a0,即(x-2a)(x+1)0,当a=-12时,不等式(x+1)20,解得x-1,不等式的解集为x|x-1;当-1-12时,不等式的解集为x|x2a;当-12a,即a-1或x-12时,不等式的解集为x|x2a;当a-1或x1,所以x-10,y=f(x)x-1=x2+3x+2x-1=x-1+6x-1+52(x-1)6x-1+5=26+5,当且仅当x-1=6x-1,即x=6+1时,等号成立.所以当x=

13、6+1时,函数y=f(x)x-1在(1,+)上的最小值为26+5.22.解 (1)函数f1(x)=x-2不属于集合A.因为f1(x)的值域是-2,+),所以函数f1(x)=x-2不属于集合A.函数f2(x)=4-6(12)x(x0)属于集合A.因为函数f2(x)的定义域是0,+);f2(x)的值域是-2,4);函数f2(x)在0,+)上是增函数,所以f2(x)=4-612x(x0)属于集合A.(2)由f(x)+f(x+2)-2f(x+1)=612x(-14)0,所以不等式f(x)+f(x+2)0(nN),故n=0或1,当n=0时,f(x)=x9不是偶函数,故舍去;当n=1时,f(x)=x6是偶函数,故f(x)=x6.(2)因为g(x)=3f(x)+2tx+3,由(1)可得g(x)=x2+2tx+3,函数y=g(x)图象的对称轴为直线x=-t,当-t2,即t-2时,函数y=g(x)在区间2,6上单调递增,所以G(t)=g(2)=4t+7,当2-t6,即-6t-2时,函数y=g(x)在区间2,-t上单调递减,在区间-t,6上单调递增,所以G(t)=g(-t)=-t2+3,当-t6,即t-6时,函数y=g(x)在区间2,6上单调递减,所以G(t)=g(6)=12t+39.综上所述,G(t)=4t+7,t-2,-t2+3,-6t-2,12t+39,t-6.