Matlab讲义-第二章matlab02数值运算功能1-10.pdf

1、第二章 MATLAB的数值计算功能 Matlab 具有出色的数值计算能力，占据世界上数值计算软件的主导地位数值计算功能 矩阵运算 多项式运算 线性方程组 数值统计 线性插值 函数优化 微分方程的数值解 主要内容2.5矩阵的运算2.5.1矩阵的数学运算2.5.2矩阵的点(数组)运算2.5.3矩阵的关系和逻辑运算2.1 MATALB中的数值2.2变量及其赋值2.3矩阵的表示2.3.1矩阵的输入2.3.2向量的构造2.4矩阵的操作2.6矩阵函数2.6数据处理函数MATLAB既可用传统的十进制表示数值，也可以用科学计数法表示数值，用e代表10的指数形式，用i和j来代表虚数。1.数值的表示1e33+3j

2、2.1 MATLAB中的数值 3+3*j1000 1e-30.001 MATLAB数据存储格式只有一种，是IEEE浮点标准的双精度格式（8个字节，64位），其MATLAB表示为double()MATLAB作运算和存储时都用双精度格式，这对绝大多数工程计算是足够的，许多情况下甚至过于“浪费”。运算精度为16位有效数字，数值范围为：10-308 103082.数据存储格式 虽然它的数据存储格式只有一种，但MATLAB为了人机交互的友好性，数据输出显示格式可有10种，常用6种。在缺省的情况下，整数的显示格式为整数；而实数在屏幕显示时默认的小数点后4位；对于大于1000的实数，用5位有效数字的科学记数

3、形式显示。3.数据显示格式 271.82显示为271.82002718.2显示为2.7182e+003 若要改变实数的显示格式，有两种方式可改变显示格式：（1）使用format命令:format 格式”可直接在命令窗口中键入对以上各个数字显示格式,如 format long（2）使用file菜单Numeric formatNumeric displayFile-Preference-Command window-Text display-3.数据显示格式 MATLAB命令含 义范 例format short（默认4 位有效小数位数短格式3.1416format short e5位科学记数表示短

4、格式科学计数法3.1416e+000format long小数点后15位数字表示长格式3.141592653589793format long e小数点后15位科学记数表示长格式科学计数法3.141592653589793e+000format rat分数近似近似有理数表示355/113format bank两位小数银行格式,元角分表示3.14 使用format命令能将计算结果以不同的精确度的数字格式显示，如下表的圆周率值:MATLAB命令含 义范 例format hex十六进制表示40921fb54442d18format +显示大矩阵用；正数、负数，零分别用、空格表示 注意1：format

5、只是影响结果的显示，不影响其计算与存储；MATLAB总是以双精度（double,8字节）来执行所有的运算。注意2：当调试程序时，产生的数值变化量很小或者数值变化范围很大的情况下，采用format long e选项尤为重要。要恢复系统默认设置，可输入：format short说明：2.2MTLAB中的变量 在MATLAB的命令窗口可以直接输入变量名并且立即赋值。变量不需要事先声明它的类型和维数，每个变量的类型根据所赋的值来确定。MATLAB会自动为一个新变量开辟存储空间，并随变量的内容变化而变化。例如对于变量：num_students=25 MATLAB将创建一个11的矩阵变量存储单元，变量名称

6、为num_students，存储的数值为25。1.变量的赋值MATLAB变量的命名遵守如下规则：（1）变量名由字母、数字和下划线组成，变量名中不允许使用标点符号和空格，而且第一个字符必须为字母。（2）变量名中的英文字母大小写是有区别的（如A1B,a1b,A1b，a1B是四个不同的变量）。（3）变量名的长度上限为 31个字符。例如：6x、yr、0p为非法变量ui_y、y9oi、yu都是合法变量2.变量的命名3.变量的类型 MATLAB的基本操作为矩阵运算，并且支持复数，同时也支持字符，MATLAB的基本变量为复数矩阵和字符矩阵。向量是一维的矩阵（亦可称为数组），向量又有行向量和列向量之分；通常所

7、说的字符串在MATLAB中就是字符行向量。标量(一个实数或复数）为一 11的矩阵；而一个字符则是11的字符矩阵。4.系统变量 在Matlab工作内存中,驻留了几个由系统本身在启动时定义的变量（用户不能清除），称为系统变量或固有变量，即有特殊含义的内部常数：ans 用于结果的缺省变量名 pi 圆周率的近似值3.1415926 i，j 虚数单位，或1i，1j inf或Inf 表示正无穷大，如1/0等 NaN 非数，它用来表示0，0/0，/，-等运算的结果。inf和NaN非数变量的设置，是为了避免可能因0，0/0，/等运算而造成程序执行的中断。在测量数据处理中，可以用来标识“野点（非正常点）”4.系

8、统变量eps 系统的浮点数精度，其定义是1.0到下一个比1.0大的双精度数之间的距离，也是系统运算时所确定的极小值在 pc机上=2(-52)或 2.2204e-16realmax-系统所能表示的最大正实数：1.797693134862316e+308realmin-系统所能表示的最小正实数：2.225073858507201e-3085.变量查询和清除函数 在workshop工作空间窗口中，存储着输入的变量和创建的所有变量值，它们可以在任何需要的时候被调用。如要察看变量a的值，只需要在命令窗口中输入变量的名称即可：a who：显示当前工作空间中所有变量的一个简单列表 whos：列出变量的值、维

9、数、字节数、数据类型等详细信息 clear(all):清除工作空间中所有的变量 clear 变量名：清除指定的变量5.变量查询和清除函数（变量操作）6.变量的文件保存与获取MATLAB在每次启动时，工作空间中没有用户定义的变量。一旦关闭MATLAB，工作空间所有的变量就会自动清除。如果一组数据是经过长时间的复杂计算后获得的，那么为避免再次重复计算，常使用save加以保存。此后，每当需要，都可通过load重新获取这组数据。这种处理模式常在实际中被采用。（1）save 文件名如：save data 将工作空间中所有的变量存到data.mat文件中。（2）save 文件名 变量名如：save dat

10、a a b将工作空间中a和b变量存到data.mat（二进制）文件中，不同的变量之间只能用空格来分隔。（3）save data a b -ascii 将工作空间中a和b变量存到data文件中，-ascii（或-ASCII）选项使数据以ASCII格式处理。生成的（不带扩展名的）ASCII文件可以在任何“文字处理器”中被修改。如果数据较多的变量需要进行修改，那么ASCII格式的数据文件很适用。save：变量保存指令load data load data a b即可恢复保存过的所有变量load：恢复保存过的变量 将以前用save命令保存的变量从磁盘文件data中调入MATLAB工作空间。用load

11、命令调入的变量，其名称为用save命令保存时的名称，取值也一样。变量列表中，各个不同的变量之间只能用空格来分隔。未列出变量时，表示将data文件中的所有变量都调入工作空间。（1）变量保存 x=5;y=15;save data1 x y%data1.mat的内容为变量x=5,y=15save 和 load 指令举例 load data1 将data1文件中存储的变量调入内存 x,y%显示x,y的内容(2)从data1.mat向内存装载变量 clear 假如重新启动程序或使用clear命令2.3矩阵的表示 矩阵的输入和创建 向量的构造 例1：实数矩阵A、B 2.3.1矩阵的输入与创建输入矩阵最方便

12、的的方式是直接输入矩阵的元素。1）用中括号 把所有矩阵元素括起来；2）同一行的不同数据元素之间用空格或逗号间隔；3）用分号（；）指定一行结束；4）也可以分成几行进行输入，用回车符代替分号5）矩阵元素可以是任何matlab表达式（系统将自动计算结果），可以是实数，也可以是复数，复数可用特殊函数i，j 输入1.矩阵元素的输入A=1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12;13 14 15 16A=12345678910111213 14 15 16 例1：矩阵元素的输入 B=1,sqrt(25),9,132,6,10,7*23+sin(pi),7,11,154,abs(-8),12,16

13、B=15913261014371115481216例2.利用表达式输入矩阵 例3：复数矩阵的生成12233x=435670.5839iiiiii方法一：x=1+2i 2-3i 3;4-3i 5 6+i;7+0.5i 8+3i 9方法二：a=1 2 3;4 5 6;7 8 9;b=2-3 0;-3 0 1;0.5 3 0;x=a+b*i 或 x=complex(a,b)2.利用函数产生特殊的矩阵zeros(m,n)mn全0阵ones(m,n)mn全1阵rand(m,n)mn(0,1)区间均匀分布随机阵matlab函数名必须小写eye(m,n)mn对角线1矩阵randint(m,n):mn0,1等

14、概随机整数矩阵randn(m,n)mn 均值为0，方差为1的高斯分布(正态分布)随机阵2randperm(n):returns a random permutation of the integers 1:n.-MATLAB内部函数ans=1 00 1 data_in=randint(1,10)%产生110 的0,1随机阵 data_in=1 1 1 1 0 0 1 1 0 1%产生长度为 2 的全 1 行矩阵 ones(1,2)ans=1 1 eye(2,2)%产生22 的单位阵 x=0.6+sqrt(0.1)*randn(1,3)x=-0.4326 -1.6656 0.1253t=-1:0

15、.001:1;f=1x=sin(2*pi*f*t);y1=x+sqrt(0.2)*randn(size(t);y2=x+sqrt(5)*randn(size(t);信号加噪方法：%产生均值为0.6，方差为0.1的高斯分布随机矩阵x=randn(1,3)%产生均值为0，方差为1的13的高斯分布随机阵-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-101-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-505-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-10010t=-1:0.001:1;f=1x=sin(2*pi*f*t);y1=x+sqrt

16、(0.2)*randn(size(t);y2=x+sqrt(5)*randn(size(t);subplot(311)plot(t,x)gridsubplot(312)plot(x,y1)gridsubplot(313)plot(x,y2)gridD=magic(3)ans=8 1 6 3 5 7 4 9 2 magic产生魔方矩阵A BA;B3.矩阵的扩充z=0 x 1利用原有矩阵构成新矩阵%由矩阵x的数据元素再加上两个元素组成z=000.5000 1.0000 1.50002.00001.0000 x=0 0.5 1 1.5 2 列上补矩阵用“逗号”或“空格”行上补矩阵用“分号”y=zer

17、os(2,2),z=8*ones(2,2)u=y;zu=0 00 08 88 8ans=1 0 0 1 0 0 1 0 00 1 0 0 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1 0 0 1D=1 0 00 1 00 0 1 D=eye(3)repmat(D,1,3)%在水平方向“铺放”三个 D 阵%已知(33)单位阵 2.3.2向量的构造 向量的构造和矩阵的构造类似，如果数据元素之间均用空格（或逗号）隔开，该向量称为行向量；如果数据元素之间均用分号隔开，该向量称为列向量。1.直接输入数据元素 x=2 3 sqrt(3)5 b=366;804;351y=1:2:9%初值=1，终值=9，步长=2

18、y=1 3 5 7 92.冒号生成法构造向量 初值:步长:终值x=1:5%初值=1，终值=5，默认步长=1 x=0:0.5:2%初值=0，终值=2，步长=0.5 x=0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 x=1 2 3 4 5 linspace函数：产生线性间隔向量3.利用内部函数linspace构造向量（2）x=linspace(a,b,n)产生行向量x，将a,b之间的数平均得到n个元素。（1）x=linspace(a,b)产生行向量x，将a,b之间的数平均得到100个元素。y=linspace(0,10,5)%线性等分函数linspace，初值=0，终值=10，元素数

19、目=5y=0 2.5000 5.0000 7.5000 10.00001.矩阵维数的确定2.矩阵中元素的表示2.4矩阵的操作3.矩阵的修改和子矩阵的提取4.矩阵中元素的数学运算5.矩阵的一些特殊操作（旋转与变形）确定矩阵大小(行列数)的函数:sizeA=1 2 3;3 4 5;m,n=size(A)m=2，n=3确定矩阵元素的个数函数:numel确定向量长度的函数:length1.矩阵维数确定a=1 2 3 4 5;L=length(a)L=5-(elmat函数库)m,n=size(A)%返回矩阵的行数m、列数nL=length(a)%计算向量/矩阵中长向量元素的个数 n=numel(A)%计

20、算矩阵A中元素的个数size(A,1)返回行数size(A,2)返回列数 A(i,j)-表示第i行第j列的元素123A=4567892.矩阵元素的表示和使用方法一：两个下标表示矩阵元素例：A(1,1)=1;A(3,3)=9;41016281.294257.25711100.54556238313010123451 2 3 4 516111621271217223813182349141924510152025A=A(3,1)A(3)A(5,5)A(25)A(end)方法二：利用索引值表示矩阵元素物理存储地址为索引值 矩阵按列进行存储 x=10,20,30,40,50%以向量（数组）方式给x赋值

21、矩阵元素调用 y=(x(3)+x(end)/2*x(4)%调用x中的元素a=1 2 0;3 0 5;7 8 9a=1 2 03 0 57 8 9可以利用下标对矩阵元素进行修改矩阵的修改a(3,3)=009 a=1 2 03 0 57 8 0可以利用索引值 a(9)=0a(end)=03.矩阵中子矩阵的提取和修改 矩阵A的第r行：A（r，：）矩阵A的第r列：A（：，r）取矩阵A的第i1i2行、第j1j2列，构成新矩阵A(i1:i2,j1:j2)A的第i1i2行，构成新矩阵：A(i1:i2，：)删除A的第j1j2列，构成新矩阵:A(：，j1:j2)=提取41016281.294257.257111

22、00.54556238313010123451 2 3 4 516111621271217223813182349141924510152025A=A(:,5)A(:,end)A(4:5,2:3)A(21:25)A(21:end)例:子矩阵的提取 A(9 14;10 15)A=1,2,3,4;5 6 7 8;9,10,11,12A1=zeros(5,5)+zeros(5,4),5 5 5 5 5例：矩阵操作举例121110987654321A%删去第2列%A增补一行1 2 3 4%删去1,3行两行%将第2行第1列元素改为0%提取第2行的1到3列A(1,3,:)=A1=A;1 2 3 4A(:,

23、2)=B=A(2,1:3)A(2,1)=0 已知 t=0:0.1:100思考：t的前5个元素如何表示？t(1:5)t的所有元素如何表示？t(1:length(t)4.矩阵元素的数学运算(一)基本数学函数(二)取整函数(三)元素检索函数(四)逻辑函数基本数学函数库elfun三角、指数、复数、取整与求余函数含义abs(x)求绝对值sqrt(x)求平方根exp(x)指数运算sin(x)正弦值cos(x)余弦值asin(x)反正弦acos(x)反正弦tan(x)正切atan(x)反正切log(x)自然对数使用三角函数时要注意:角度的单位是“弧度”而不是“度”函数名要小写 1）绝对值函数-abs(a)%

24、得到矩阵a中每个实数元素的绝对值，复数元素的模。(一)基本数学函数2）平方根函数-sqrt(a)%求矩阵a中每个元素的平方根，产生与a维数相同的矩阵。例x=1,2,3,4,5%以向量（数组）方式给x赋值 z=sqrt(x)%每个元素开方angle(j)=pi/2=1.57084）求复数的实部-real(a)和虚部-imag(a)%两函数求得矩阵a中每个元素的实部和虚部，产生与a维数相同的矩阵。3）相位角函数-angle(a):%得到矩阵a中每个元素的相位角。得到的相位角用弧度表示，范围在-3.14163.1416之间。5）求复数共轭的函数-conj(a)%求矩阵a每个元素的共轭，产生与a维数相

25、同的数组conj(a)=real(a)-j*imag(a)结果:z=0.1772x=pi/180*(-3.5);y=pi/180*6.7;%将角度单位由度转换为数学函数所能处理的弧度值例2.计算下式的结果，其中x=-3.5,y=6.7z=sin(abs(x)+abs(y)/sqrt(cos(abs(x+y)yxyxzcossin(一)基本数学函数（续）log10(x)常用对数mod(x,y)求余函数 mod(5,2)=1rem(x,y)输出对应元素的余数sign(x)求矩阵中元素的正负号,即返回1 0-1lcm(x,y)gcd(x,y)整数x和y的最大公约数整数x和y的最小公倍数当x和y的正负

26、号一样的时候,mod和rem两个函数结果是等同的;当x和y的符号不同时,rem函数结果的符号和x的一样,而mod和y一样。A1 0.2 -1 -0.3x=sign(A)x=1 1 -1 -1 rem(3,-2)mod(3,-2)ans=1 ans=-11）round(A)：四舍五入取整：%将矩阵A中的元素按最近的整数取整,即四舍五入取整2）fix(A)：按离0近的方向取整%将矩阵A中元素按离0近的方向取整3）floor(A)：向负无穷方向取整,即不足取整4）ceil(A)：向正无穷方向取整,即过剩取整(二)基本数学函数:取整函数 v=-2.6-2.5-2.4 4.2 4.5 4.8;n=rou

27、nd(v);fix(v);floor(v);ceil(v)floor：不足取整ceil：过剩取整n=-3 -3 -2 4 5 5-2 -2 -2 4 4 4-3 -3 -3 4 4 4-2 -2 -2 5 5 5 x=sign(A)x=1 1 -1 -1 0 xnew=(sign(A)+1)/2xnew=1.0000 1.0000 0 0 0.5000 xnew=floor(sign(A)+1)/2)xnew=1 1 0 0 0要求：利用sign和取整函数，完成A矩阵中对应元素，正数返回1，负数及0返回0例：A=1 0.2-1-0.3 0；(三)元素检索函数 i,j=find(a)%产生a中非

28、零元素的行列位置 i,j=find(a=k)产生a中等于k的元素的行列位置，没有则生成空矩阵find x=find(a=k)产生a中等于k的元素的索引值，没有则生成空矩阵 a=2 0 31 0 0;i,j=find(a=1)a(find(a=1)i=2j=1a=1 2 0;3 0 5;7 8 9a=1 2 03 0 57 8 9a(3,3)=0a=1 2 03 0 57 8 0 可用find函数修改可利用下标和索引值对矩阵元素进行修改。例:按要求，修改矩阵a(find(a=9)=0(四)逻辑函数 1）all函数所有向量元素（对于矩阵来说则指列向量）非零时，输出为1；否则输出为0 all(1:9

29、);输出为1 all(1:9 0);输出为0 all(1:3;1:3;2:4);输出为1 1 1 all(1:3;1:3;0:2);输出为0 1 1 2）any函数:向量中有非零元素（对于矩阵来说则指列向量）时，输出为1；否则，输出为0。any(zeros(1,9)1);输出为1any(zeros(1,9);输出为05.矩阵的一些特殊操作b=reshape(a,b,c);%将矩阵a变成b行c列矩阵a-%矩阵的转置a(:)-%所有元素变为一列矩阵的变维diag:抽取矩阵主对角线;或以向量为主对角tril:抽取主下三角;triu:抽取主上三角矩阵的抽取rot90:旋转;fliplr:左右翻;fli

30、pud:上下翻 矩阵的变向a=-4:4%产生一维数组a=-4-3-2-1 0 1 2 3 4A=reshape(a,3,3)%把一维数组 a 重排成33矩阵注意元素个数不能变按索引顺序排 A=-4-1 2-3 0 3-2 1 4【例】reshape的使用演示。A=-4 1 2;-3 0 3;-2 1 4【例2】矩阵转置、对称交换和旋转操作结果的比较。A%转置ans=-4-3-2-1 0 12 3 4 A=-4-1 2-3 0 3-2 1 4 B%复数转置与.的区别ans=-4-j -3 -2-j2+j 3-2j 4 B=-4+j 2-j-3 3+2j-2+j 4 B.%复数转置与.的区别ans

31、=-4+j -3 -2+j2-j 3+2j 4 rot90(A)%逆时针旋转 90 度A=-4-1 2-3 0 3-2 1 4 rot90(A,3)%逆时针旋转 270 度ans=2 3 4-1 0 1-4-3-2 ans=-2-3-41 0 -14 3 2 ans=-2-3-41 0 -14 3 2rot90(A,-1)%顺时针旋转 90 度矩阵旋转 A=-4-1 2-3 0 3-2 1 4 fliplr(A)%左右对称交换ans=2-1-43 0-34 1-2 矩阵对称交换 D=1 2 34 1 56 7 1 diag(diag(D)%内diag 取 D 的对角元素，外 diag 利用向量

32、生成对角阵ans=111 X=diag(v)%以向量v为主对角线元素，其余元素为0构成矩阵X。diag(D)%取 D 矩阵的主对角元素v=1 1 1【例3】矩阵的抽取 ans=1 0 0 0 1 0 0 0 1 a=1 2 3;4 5 6;7 8 9;c=1 2 30 5 60 0 9【例4】tril与triu的使用演示A=1 2 34 5 67 8 9 b=1 0 04 5 07 8 9 b=tril(a)，c=triu(a)小 结 变量及其赋值：数值表示、存储及显示格式；变量的命名、类型；几个特殊变量；变量查询、清除、保存与获取。矩阵的表示：矩阵的输入特殊矩阵的创建函数（ones、zero

33、s、randn、randint、randperm）矩阵的拼接（，；repmat）向量的冒号生成法（a:c:b），线性向量生成函数(linspace)。矩阵的操作矩阵大小确定函数：size，length；矩阵元素的表示：下标、索引值；矩阵的修改：下标、索引值、find；子矩阵的提取：“，”号前表示行，后表示列，矩阵的收缩：删除行或列；矩阵元素数学运算：基本数学函数abs、sqrt、angle、real、image、conj、mod、rem；取整函数、find函数）；矩阵的特殊操作：变维（reshape、A、A(:)）、变向(flipelr)、抽取。练习题1.每行使用冒号(:)语句，完成矩阵的输入

34、语句?12961383A3.设f=-4:0.001:4;若f(m)表示向量f的每个元素，则m=?4.己知矩阵A，要求A的第1列元素都加5，最后一列元素均乘以5，其他列元素不变，得新矩阵AD，则生成AD的命令为AD？2.以下命令输出的结果是。x=7 6 5 8 1;x(find(x=7)=6.A(2 3 6 5 4 1)=9 8 7 6 5 4结果？A=4 9 8 5 6 7 5.A=2+3j 6-5j;A和A.结果？Gt=1/4;xn=randint(1,8);综合题:己知随机产生的序列xn，要求将xn的后Gt1/4复制到xn的前面，构成新的序列。xn=1 1 0 0 0 0 0 1 xn_c

35、p=0 1 1 1 0 0 0 0 0 1xn_cp=xn(floor(length(xn)*(1-Gt)+1:end),xnxn_cp=1 11 0 0 1 0 0 1 11 01 0 1 0 0 0 1 01 00 0 0 0 1 0 1 0 xn=1 0 0 1 0 0 1 11 0 1 0 0 0 1 00 0 0 0 1 0 1 0 xn_cp=xn(:,(floor(length(xn)*(1-Gt)+1:end),xn%xn多行多列，在列上补 Gt=1/4;xn=randint(3,8);%xn多行多列，在行上补Gt=1/4;xn=randint(8,3)xn=1 0 0 1 0

36、 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1xn_cp=1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 xn_cp=xn(floor(length(xn)*(1-Gt)+1:end,:);xn思考题：按要求表示如图所示信号（纵坐标）。要求：每个1或0码元采样速率为sam=300 data1=ones(1,sam)zeros(1,sam)ones(1,sam);sig=repmat(data1,1,3);clc,clears=0;for i=1:100s=s+i;s1(i)=s;%中间结果值end课后练习：save sumdata s1要求另写一个文件，把中间结果值以图形的方式绘制出来。Thank you for your cooperation