21.2 期中期末专项复习之一元二次方程十六大必考点（举一反三）（沪科版）（教师版）.docx

1、专题21.2 一元二次方程十六大考点【沪科版】【考点1 一元二次方程的概念】1【考点2 一元二次方程的一般形式】3【考点3 根据一元二次方程的解求值】5【考点4 一元二次方程的解的估算】7【考点5 一元二次方程的常见解法】9【考点6 配方法的应用】12【考点7 根据判别式判断一元二次方程根的情况】15【考点8 根据一元二次方程根的情况求参数】18【考点9 换元法解一元二次方程】21【考点10 根与系数关系的综合】26【考点11 一元二次方程中的规律探究】30【考点12 一元二次方程中的新定义问题】36【考点13 一元二次方程中的阅读理解类问题】41【考点14 一元二次方程的实际应用】48【考点

2、15 一元二次方程中的动点问题】52【考点16 一元二次方程与几何综合】57【考点1 一元二次方程的概念】【例1】（2022秋江西吉安八年级统考期末）下列方程中，一元二次方程共有（）个x22x10；ax2bxc0；2x2+3x-5=0；x20；（x1）2y22；（x1）（x3）x2A1B2C3D4【答案】B【分析】根据一元二次方程根的定义一一判定即可【详解】解：x22x10，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；ax2+bx+c0，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；2x2+3x-5=0不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；x20，符

3、合一元二次方程的定义，是一元二次方程；（x1）2+y22，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；（x1）（x3）x2，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程综上所述，一元二次方程共有2个故选：B【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2【变式1-1】（2022秋山西晋城八年级统考期末）若关于x的方程（m1）x2+mx10是一元二次方程，则m的取值范围是（）Am1Bm1Cm1Dm0【答案】A【分析】根据一元二次方

4、程的定义可得m10，再解即可【详解】解：由题意得：m10，解得：m1，故选：A【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，注意掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程【变式1-2】（2022秋湖南长沙八年级统考期末）若关于x的方程m-2xm2-2+4x-7=0是一元二次方程，则m的值为（）Am2Bm=2Cm=-2Dm=2【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义求解即可【详解】解：关于x的方程m-2xm2-2+4x-7=0是一元二次方程，m-20m2-22，解得：m=-2故选：C【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫

5、一元二次方程判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”【变式1-3】（2022秋全国八年级期中）两个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0和cx2+bx+a=0，其中a，b，c是常数，且a+c=0如果x=2是方程ax2+bx+c=0的一个根，那么下列各数中，一定是方程cx2+bx+a=0的根的是（）A12B-12C2D-2【答案】AD【分析】利用方程根的定义去验证判断即可【详解】a0，c0，ca=-1，x2+bax+ca=0，cax2+bax+1=0，x2+bax-1=0，x2-bax-1=0

6、，x=2是方程ax2+bx+c=0的一个根，x=2是方程x2+bax-1=0的一个根，x=-2是方程x2-bax-1=0的一个根，即x=-2时方程cx2+bx+a=0的一个根.x=2是方程ax2+bx+c=0的一个根，4a+2b+c=0，当x=12时，c4+b2+a=4a+2b+c4=0，12是方程的根故选：A，D【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义即使得方程两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键【考点2 一元二次方程的一般形式】【例2】（2022秋山东潍坊八年级统考期中）关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的常数项是0，则m的值()A1B1或2C2D1【答案

7、】C【分析】根据一元二次方程的一般形式，可得答案【详解】解：由题意，得m2-3m+2=0且m-10，解得m=2，故选：C【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式，利用常数项等于零且二次项不等于零是解题关键【变式2-1】（2022秋西藏拉萨八年级校考期中）方程x22x30的二次项系数是_；一次项是_；常数项是_【答案】 -1 -2x 3【分析】根据一元二次方程的一般形式即可得二次项系数，一次项，常数项【详解】解：方程x22x30的二次项系数是-1；一次项是-2x；常数项是3故答案为：-1，-2x，3【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成

8、如下形式ax2+bx+c=0（a0）这种形式叫一元二次方程的一般形式其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项【变式2-2】（2022秋天津西青八年级校考期中）将一元二次方程xx-1=-1化成ax2+bx+c=0a0的形式则a+b+c=_【答案】1【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案【详解】解：将一元二次方程xx-1=-1化成一般形式ax2+bx+c=0(a0)之后，变为x2-x+1=0，故a=1,b=-1,c=1，a+b+c=1-1+1=1，故答案为：1【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键【变式2-3】（2022秋河南驻

9、马店八年级校考期中）若关于x的一元二次方程2x2+(2k+1)x-(4k-1)=0的二次项系数、一次项系数、常数项的和是0，则k=_【答案】2【分析】根据ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a0)，a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，利用二次项系数、一次项系数、常数项的和是0列关于k的方程即可得答案【详解】关于x的一元二次方程2x2+(2k+1)x-(4k-1)=0的二次项系数、一次项系数、常数项的和是0，2+2k+1+-(4k-1)=0，解得：k=2故答案为2【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a0)，特

10、别要注意a0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项【考点3 根据一元二次方程的解求值】【例3】（2022秋福建泉州八年级校联考期末）已知实数a是一元二次方程x2+x80的根，则a4+a3+8a1的值为（）A62B63C64D65【答案】B【分析】把方程的解代入方程得到关于a的等式，然后利用等式对代数式进行化简求值【详解】a是一元二次方程x2+x-8=0的一个根，a2+a-8=0a2+a=8a4+a3+8a-1=a2a2+a+8a-1=8a2+8a-1=8a2+a-1=64-1=63故选：

11、B【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于a的等式，利用等式对代数式进行化简并求出代数式的值【变式3-1】（2022春浙江金华八年级统考期末）已知关于x的方程x2+5x-6=0的解是x1=1,x2=-6，则方程x+12+5x+1=6的解是_【答案】x1=0，x2=-7【分析】把方程（x+1）2+5（x+1）=6看作关于（x+1）的一元二次方程，然后根据题意得到x+1=1或x+1=-6，再解两个一次方程即可【详解】解：（x+1）2+5（x+1）=6，（x+1）2+5（x+1）-6=0关于x的方程x2+5x-6=0的解是x1=1，x2=-6，方程（x+1）2+5（x+1）

12、-6=0化为x+1=1或x+1=-6，解得x1=0，x2=-7故答案为：x1=0，x2=-7【点睛】本题考查了利用换元法解一元二次方程：把（x+1）看作一个整体，利用已知方程的解得到所解方程的解【变式3-2】（2022秋湖南岳阳八年级统考期末）已知a是方程x2-2021x+1=0的一个根，则a3-2021a2-2021a2+1=_【答案】-2021【分析】由方程根的定义可得a2-2021a+1=0，变形为a2+1=2021a再将a2-2021a+1=0等号两边同时乘a并变形得a3-2021a2=-a，代入a3-2021a2-2021a2+1逐步化简即可【详解】a是方程x2-2021x+1=0的

13、一个根a2-2021a+1=0，即a2+1=2021a将a2-2021a+1=0等号两边同时乘a得：a(a2-2021a+1)=0，即a3-2021a2=-aa3-2021a2-2021a2+1=-a-20212021a=-a-1a=-a2+1a=-2021aa=-2021故答案为：-2021【点睛】本题考查一元二次方程解的定义以及代数式求值熟练掌握整体代入的思想是解答本题的关键【变式3-3】（2022秋北京大兴八年级统考期末）已知m是方程x2+3x-5=0的一个根，求代数式m+12+mm+4的值【答案】11【分析】由题意易得m2+3m=5，然后把代数式进行化简，最后整体代入求解即可【详解】解

14、：m是方程x2+3x-5=0的一个根，m2+3m-5=0，m2+3m=5，m+12+mm+4=m2+2m+1+m2+4m=2m2+6m+1=2m2+3m+1=25+1=11【点睛】本题主要考查一元二次方程的解、乘法公式及代数式的值，熟练掌握一元二次方程的解、乘法公式及代数式的值是解题的关键【考点4 一元二次方程的解的估算】【例4】（2022秋辽宁沈阳八年级统考期末）观察下表，估计一元二次方程x2+2x-4=0的正数解在（）x-101234x2+2x-4-5-4-141120A-1和0之间B0和1之间C1和2之间D2和3之间【答案】C【分析】由表格可发现x2+2x-4=0的值-1和4最接近0，再

15、看对应的x的值即可得到答案【详解】解：由表可以看出，当x取1与2之间的某个数时，x2+2x-4=0，即这个数是x2+2x-4=0的一个根x2+2x-4=0的一个解x的取值范围为1和2之间故选：C【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的【变式4-1】（2022秋重庆潼南八年级统考期末）对于方程37(x-2)2=42的两根，下列判断正确的是（）A一根小于1，另一根大于3B一根小于-2，另一根大于2C两根都小于0D两根都大于2【答案】A【分析】本题需先根据一元二次方程的解法，对方程进行计算，分别解出x1和x2的值，再进行估算即可得

16、出结果【详解】解：37(x-2)2=42(x-2)2=4237x-2=4237x1=2+4237373，x2=2-4237371故选：A【点睛】本题主要考查了对一元二次方程的近似解的估算，解题时要注意在开方的时候不要漏掉方程根，这是解题的关键【变式4-2】（2022春山东烟台八年级统考期末）观察表格中数据，一元二次方程x2-3x-4.6=0的一个近似解为（）x-1.13-1.12-1.11-1.10-1.09-1.08-1.07x2-3x4.674.614.564.514.464.414.35A-1.073B-1.089C-1.117D-1.123【答案】C【分析】根据表格中的数据，可判断代数

17、式x2-3x的值为4.61和4.56时，对应x的值为1.12和1.11，观察原方程可理解为求代数式x2-3x的值为4.6时，对应的x的值，由此判断即可【详解】解：x=1.12时，x2-3x=4.61；x=1.11时，x2-3x=4.56；x2-3x=4.6时，对应x应满足1.12x0方程有两个不等的实数根x=-bb2-4ac2a=6606，解得x1=3-153，x2=3+153【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键【考点6 配方法的应用】【例6】（2022秋湖北武汉八年级武汉市第一初级中学校考期末）已知a，b，c满足a2+6b=7，b2-2c=-1，c2-2

18、a=-17，则a-b+c的值为（）A-1B5C6D-7【答案】B【分析】首先把a2+6b=7，b2-2c=-1，c2-2a=-17，两边相加整理成a2+6b+b2-2c+c2-2a+11=0，分解因式，利用非负数的性质得出a、b、c的数值，代入求得答案即可【详解】解：a2+6b=7，b2-2c=-1，c2-2a=-17，a2+6b+b2-2c+c2-2a=-11，a2+6b+b2-2c+c2-2a+11=0(a-1)2+(b+3)2+(c-1)2=0，a=1，b=-3，c=1，a-b+c=1+3+1=5故选：B【点睛】此题考查了配方法，解题的关键是掌握完全平方公式是解决问题的关键【变式6-1】

19、（2022重庆合川八年级重庆市合川中学校考期末）关于x，y的二次三项式x2+mxy-4x,y2+mxy-4y（m为常数），下列结论正确的有（）当m=1时，若x2+mxy-4x=0，则x+y=4无论x取任何实数，等式x2+mxy-4x=3x都恒成立，则x+my=7若x2+xy-4x=5,y2+xy-4y=7，则x+y=6满足x2+xy-4x+y2-xy-4y0的正整数解(x,y)共有25个A1个B2个C3个D4个【答案】A【分析】将m=1代入代数式，计算即可；又x2+mxy-4x=3x可得(x+my)x=7x，再根据题意求解即可；两方程相加，令t=x+y，可化为t2-4t-12=0，求解即可；根

20、据题意可得(x-2)2+(y-2)28，列出正整数解(x,y)，即可【详解】解：将m=1代入x2+mxy-4x=0可得，x2+xy-4x=0，即x(x+y-4)=0解得x=0或x+y-4=0，即x=0或x+y=4，错误；由x2+mxy-4x=3x可得(x+my)x=7x，无论x取任何实数，等式x2+mxy-4x=3x都恒成立，x+my=7，正确；x2+xy-4x=5,y2+xy-4y=7两式相加可得：x2+2xy+y2-4x-4y=12即(x+y)2-4(x+y)=12令t=x+y，则t2-4t-12=0，解得t1=6，t2=-2即x+y=-2或x+y=6，错误；由x2+xy-4x+y2-xy

21、-4y0可得(x-2)2+(y-2)28正整数解为：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)，总共有16个，错误正确的个数为1，故选：A【点睛】本题主要考查了整式加减，二元一次不等式的解，完全平方公式，一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握相关运算法则以及灵活运用完全平方公式【变式6-2】（2022秋江苏扬州八年级统考期中）新定义，若关于x的一元二次方程：m(x-a)2+b=0与n(x-a)2+b=0，称为“同类方程”如2(x-1)2+3=0与6

22、(x-1)2+3=0是“同类方程”现有关于x的一元二次方程：2(x-1)2+1=0与(a+6)x2-(b+8)x+6=0是“同类方程”那么代数式ax2+bx+2022能取的最大值是_【答案】2023【分析】根据“同类方程”的定义，可得出a，b的值，从而解得代数式的最大值【详解】2(x-1)2+1=0与(a+6)x2-(b+8)x+6=0是“同类方程”，(a+6)x2-(b+8)x+6=(a+6)(x-1)2+1，(a+6)x2-(b+8)x+6=(a+6)x2-2(a+6)x+a+7，b+8=2a+66=a+7，解得：a=-1b=2，ax2+bx+2022=-x2+2x+2022=-x-12+

23、2023当x=1时，ax2+bx+2022取得最大值为2023故答案为：2023【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组，理解“同类方程”的定义是解答本题的关键【变式6-3】（2022秋四川达州八年级校联考期末）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”例如，5是“完美数”，理由：因为5=12+22，所以5是“完美数”解决问题：(1)已知29是“完美数”，请

24、将它写成a2+b2（a，b为整数）的形式；(2)若x2-4x+5可配方成x-m2+n（m，n为常数），求mn的值；(3)已知S=x2+4y2+4x-12y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出k值【答案】(1)29=52+22(2)2(3)13【分析】（1）根据“完美数”的定义，进行求解即可；（2）利用配方法将x2-4x+5转化为：x-22+1，进而得到：m,n的值，再进行计算即可；（3）将S转化为：a2+b2的形式，进而求出k值即可【详解】（1）解：29=25+4=52+22；（2）解：x2-4x+5=x2-4x+4+1=x-22+1，m=2,n=1，mn=2；（3）解：

25、S=x2+4y2+4x-12y+k=x2+4x+4+4y2-12y+9+k-4-9=x+22+2y-32+k-13；S为“完美数”，k-13=0，k=13【点睛】本题考查配方法的应用理解并掌握“完美数”的定义，是解题的关键【考点7 根据判别式判断一元二次方程根的情况】【例7】（2022春湖南长沙八年级校考期末）对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，有下列说法：若a-b+c=0，则方程ax2+bx+c=0(a0)必有一个根为1；若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0(a0)必有两个不相等的实根；若c是方程ax2+bx+c=0(a0)的一个根，则一定有ac+b+

26、1=0成立其中正确的有（）A0个B1个C2个D3个【答案】B【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、因式分解法解一元二次方程等知识对各选项分别讨论，可得答案【详解】解：当x=-1时，a(-1)2+b(-1)+c=a-b+c=0，所以方程ax2+bx+c=0(a0)必有一个根为-1，故错误方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac0，那么b2-4ac0，故方程ax2+bx+c=0(a0)必有两个不相等的实根，故正确由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0当c0，则ac+b+1=0；当c=0，则ac+b+1不一定等于0，故不一定正确故

27、选：B【点睛】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、因式分解法解一元二次方程、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键【变式7-1】（2022秋上海奉贤八年级校考期末）已知关于x的方程x2+2x-a+1=0没有实数根，试判断关于x的方程x2+ax+a=0的根的情况.【答案】有两个不相等的实数根.【分析】根据关于x的方程x2+2x-a+1=0没有实数根，求出a的求值范围；再表示关于x的方程x2+ax+a=0，=a2-4a=a(a-4)，即可判断该方程根的情况.【详解】解：方程x2+2x-a+1=0没有实数根=b2-4ac022-

28、41(-a+1)0解得：a0关于x的方程x2+ax+a=0，=a2-4a=a(a-4)a0关于x的方程x2+ax+a=0有两个不相等的实数根.【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系是解题关键.【变式7-2】（2022秋重庆开州八年级统考期中）使得关于x的不等式组6x-a-10-1+12x-18x+32有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方程(a-5)x2+4x+1=0有实数根的所有整数a的值之和为（）A35B30C26D21【答案】B【分析】先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定a的取值范围，再通过根的判别式确定a的取值范围，最

29、后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可【详解】解：整理不等式组得：6x-a-10-8+4x-x+12由得：xa-106，由得：x4不等式组有且只有4个整数解，不等式组的4个整数解是：3，2，1，0，-1a-1060，解得：4a10，(a-5)x2+4x+1=0有实数根，=b2-4ac=16-4(a-5)1=36-4a0,解得：a9，方程(a-5)x2+4x+1=0是一元二次方程，a54a9，且a5，满足条件的整数有：6、7、8、9；6+7+8+9=30，故选：B【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组和一元二次方程根的判别式，熟练掌握解不等式的性质和不等式解集的写法是解题发关键【变式7-

30、3】（2022秋河南郑州八年级校考期末）已知关于x的方程x2(k+3)x+3k0(1)若该方程的一个根为1，求k的值；(2)求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根【答案】(1)k1；(2)证明见解析.【分析】（1）把x1代入方程，即可求得k的值；（2）求出根的判别式是非负数即可.【详解】(1)把x1代入方程x2(k+3)x+3k0得1(k+3)+3k0，1k3+3k0解得k1；(2)证明：a=1,b=-(k+3),c=3k =b2-4ac (k+3)243k (k3)20，所以不论k取何实数，该方程总有两个实数根【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键

31、.【考点8 根据一元二次方程根的情况求参数】【例8】（2022春山东烟台八年级山东省烟台第十中学校考期中）若关于x的方程(m2-5m+6)x2-(3-m)x+14=0无解，则m的取值范围是_【答案】m3【分析】根据题意，可分为两种情况进行分析：m2-5m+6=0时，有-(3-m)=0此时方程无解，可求出m的值；m2-5m+60时，由根的判别式0，即可求出m的取值范围【详解】解：根据题意，关于x的方程(m2-5m+6)x2-(3-m)x+14=0无解，当m2-5m+6=0时，则原方程是一元一次方程，即-(3-m)x+14=0；则有：m2-5m+6=0-(3-m)=0，解得：m=3；当m2-5m+

32、60时，则原方程为一元二次方程，m3，m2，=-(3-m)2-4(m2-5m+6)143；综合上述，m的取值范围是m3；故答案为：m3【点睛】本题考查了方程无解问题，根的判别式求参数的取值范围，以及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握方程无解问题，注意运用分类讨论的思想进行解题【变式8-1】（2022秋广东广州八年级广州六中校考期中）已知关于x的一元二次方程x24x+2k=0，（1）若方程有实数根，求k的取值范围（2）如果k是满足条件的最大的整数，且方程x24x+2k=0的根是一元二次方程x22mx+3m1=0的一个根，求m的值及这个方程的另一个根【答案】（1）k2；（2）4【分析】（1）由题

33、意0，构建不等式即可解决问题；（2）先求出第一个方程的根，再求出m的值即可解决问题【详解】（1）由题意0，168k0，k2（2）由题意k=2，方程x24x+2k=0的根，x1=x2=2，方程x22mx+3m1=0的一个根为2，44m+3m1=0，m=3，方程为x26x+8=0，x=2或4，方程x22mx+3m1=0的另一个根为4【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式及解一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型【变式8-2】（2022秋福建厦门八年级厦门市莲花中学校考期中）已知关于x的方程x2（a+2b）x+10有两个相等实数根若在直角坐标系中，点P在直线l

34、：yx+12上，点Q(12a，b)在直线l下方，则PQ的最小值为（）A342B24C12D64【答案】A【分析】先利用根判别式得到（a+2b）240，则a+2b=2或a+2b=-2，即点Q的坐标为（1-b，b）或（-1-b，b），如图：当点Q在直线y=-x-1上， EF为两直线的距离，最后求出EF得到PQ的最小值即可【详解】解：关于x的方程x2（a+2b）x+10有两个相等实数根，（a+2b）240，a+2b2或a+2b2，点Q（12a，b），即Q（1b，b）或（1b，b），点Q所在的直线为yx+1或yx1，点Q（12a，b）在直线yx+12的下方，点Q在直线yx1上，如图，EF为两直线的距离

35、，OE24，OF22，EF324，PQ的最小值为324故选：A【点睛】本题主要考查了根的判别式和垂线段最短，掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当kbB若kakb，则0a1C若1a1，则kakbD若kakb；当0a1时，a10，a（a1）0，此时ka-kb0，即kakb时，即ka-kb0，1a(a-1)0，解得：a1或a0，故B错误；当ka0，y=x2+3x=10，x1=2，x2=-50（舍去），这四个整数为2，3，4，5【点睛】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的应用，理解“换元法”是解题的关键【变式9-1】（202

36、2秋河南驻马店八年级统考期中）请阅读下列材料：问题：解方程(x2-1)2-5x2-1+4=0明明的做法是：将x2-1视为一个整体，然后设x2-1=y，则(x2-1)2=y2，原方程可化为y2-5y+4=0，解得y1=1，y2=4（1）当y=1时，x2-1=1，解得x=2；（2）当y=4时，x2-1=4，解得x=5综合（1）（2），可得原方程的解为x1=2,x2=-2,x3=5,x4=-5请你参考明明同学的思路，解方程x4-x2-6=0【答案】x1=3,x2=-3【分析】设x2=y，则原方程化为一元二次方程：y2-y-6=0，先解出y的值，再进一步解出x的值【详解】解：设x2=y，则原方程可化为

37、：y2-y-6=0，解得：y1=3，y2=-2，（1）当y=3时，x2=3，解得x1=3，x2=-3，（2）当y=-2时，x2=-2，此方程无实数根，综合（1）（2），可得原方程的解是：x1=3,x2=-3【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，理解整体代入思想是解题的关键【变式9-2】（2022秋江苏八年级统考期中）阅读理解以下内容，解决问题：解方程：x2+x-2=0解：x2=|x|2，方程即为：|x|2+x-2=0，设x=t，原方程转化为：t2+t-2=0解得，t1=1，t2=-2，当t1=1时，即x=1，x1=1，x2=-1；当t2=-2时，即x=-2，不成立综上所述，原方程的解是x1=1

38、，x2=-1以上解方程的过程中，将其中x作为一个整体设成一个新未知数t，从而将原方程化为关于t的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）(1)已知方程：x2+1x2-2x-2x-1=0，若设x+1x=m，则利用“换元法”可将原方程化为关于m的方程是_；(2)仿照上述方法，解方程：1x-1x+1-5=0【答案】(1)m2-2m-3=0(2)x=18【分析】（1）根据完全平方公式由x+1x=m，得x2+1x2=m2-2，再变形原方程便可；（2）设1x+1=m，则1x=m2-1，得m2-m-6=0，再解一元二次方程，最后代入所设代数式解方程便可【详解】（1）设x+1x=m，

39、则x2+1x2=(x+1x)2-2=m2-2，x2+1x2-2x-2x-1=0可化为：m2-2-2m-1=0，即m2-2m-3=0，故答案为：m2-2m-3=0；（2）设1x+1=m，则1x=m2-1，原方程可化为：m2-1-m-5=0，整理得m2-m-6=0，m-3m+2=0，m-3=0或m+2=0，m=3或m=-2，当m=3时，1x+1=3，解得x=18，当m=-2时，1x+1=-2(无解)，检验，当x=18时，左边=8-3-5=0=右边，x=18是原方程的解，故原方程的解为：x=18【点睛】本题主要考查了换元法，无理方程，关键掌握换元法的思想方法【变式9-3】（2022秋江苏扬州八年级统

40、考期中）阅读下面材料，回答下列问题：构造法是依据问题的条件和结论给出的信息，把问题做适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而疏通解题思路的方法构造方程是常用的一种构造方法，它能使得问题被简化，得以迅速解决材料：已知x=5+212，求代数式x2x-1-1+1x2-x的值；分析：这道题如果将代数式化简，再直接将x代入求值比较困难，观察x的值，发现x=5+212=-(-5)+(-5)2-41121，对比一元二次方程求根公式x=-bb2-4ac2a，不难发现x是方程x2-5x+1=0的根，所以x2=5x-1，x2+1=5x，所以原式=5x-1x-1-x2-x+1x(x-1)=5x

41、-1x-1-4xx(x-1)=5x-1x-1-4x-1=5(x-1)x-1=5(1)以2，-3为根的方程可以是_；(2)已知x=-6+22，请用材料中的方法求代数式-x3-6x2-x-6的值；(3)求代数式1+1-4a23-1+1-4a22+a1+1-4a2-2的值【答案】(1)x-2x+3=0(2)-6(3)-2【分析】（1）写一个满足条件的方程即可；（2）x是方程x2+6x+1=0的根，可得x2+6x=-1，把所求式子变形再整体代入即可；（3）设x=1+1-4a2，知x是方程x2-x+a=0的根，可得x2-x=-a，再代入可得答案【详解】（1）以2，-3为根的方程可以是：x-2x+3=0故

42、答案为：x-2x+3=0（2）x=-6+(6)2-41121，x是方程x2+6x+1=0的根，x2+6x=-1，-x3-6x2-x-6=-xx2+6x-x-6=-x-1-x-6=-6；（3）设x=1+1-4a2，1+1-4a23-1+1-4a22+a1+1-4a2-2=x3-x2+ax-2，x=1+1-4a2=-(-1)+(-1)2-41a21，x是方程x2-x+a=0的根，x2-x=-a，x3-x2+ax-2=xx2-x+ax-2=-ax+ax-2=-2【点睛】本题考查二次根式的混合运算，涉及分式，一元二次方程等知识，解题的关键是读懂题意，仿照阅读材料的方法解决问题【考点10 根与系数关系的

43、综合】【例10】（2022秋重庆黔江八年级统考期末）已知实数m，n(mn) 满足等式m2-2m-1=0，n2-2n-1=0，则2m+2n的值是_【答案】-4【分析】根据已知判断出m，n是方程x2-2x-1=0的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解【详解】解：实数m，n(mn) 满足等式m2-2m-1=0，n2-2n-1=0，m，n是方程x2-2x-1=0的两实数根，m+n=2，mn=-1，2m+2n=21m+1n=2m+nmn=22-1=-4，故答案为：-4【点睛】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义得到m，n是方程x2-2x-1=0的两实数根是解题的关键

44、【变式10-1】（2022春安徽安庆八年级统考期末）如果关于x的一元二次方程x2+2(k+3)x+k2+3=0有两个实数根、，且-12+-12=18，求k的值【答案】k=-1【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得+=-2(k+3)=k2+3，再由-12+-12=18可得关于k的方程，求解该方程即可【详解】解：关于x的一元二次方程x2+2(k+3)x+k2+3=0有两个实数根、，+=-2(k+3)=k2+3，-12+-12=18，(-1)2+(-1)2=2-2+1+2-2+1=2+2-2(+)+2=(+)2-2-2(+)+2=4(k+3)2-2k2+3+4(k+3)+2=2(k+7)2-54

45、=18解方程得：k1=-1，k2=-13=4(k+3)2-4(k2+3)0k-1，k1=-1【点睛】本题主要考查了根与系数的关系以及求解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键【变式10-2】（2022秋浙江杭州八年级杭州外国语学校校考期末）设m是不小于1的实数，使得关于x的方程x22（m2）xm23m30有两个实数根x1，x2(1)若x12+x22=2，求m的值；(2)令Tmx11-x1mx21-x2，求T的取值范围【答案】(1)1(2)0T4且T2【分析】首先根据方程有两个实数根及m是不小于-1的实数，确定m的取值范围，根据根与系数的关系，用含m的代数式表示出两根的和、两根的积（1

46、）变形x12+x22为（x1+x2）2-2x1x2，代入用含m表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m的取值范围得到m的值；（2）化简T，用含m的式子表示出T，根据m的取值范围，得到T的取值范围(1)关于x的方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0有两个实数根，=4（m-2）2-4（m2-3m+3）0，解得m1，m是不小于-1的实数，-1m1，方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0的两个实数根为x1，x2，x1+x2=-2（m-2）=4-2m，x1x2=m2-3m+3x12+x22=2，（x1+x2）2-2x1x2=2，4（m-2）2-2（m2-3m+3）=2，整理得m2-5m+

47、4=0，解得m1=1，m2=4（舍去），m的值为1；(2)Tmx11-x1mx21-x2，=mx1(1-x2)+mx2(1-x1)(1-x1)(1-x2)=m(x1+x2)-2x1x21-(x1+x2)+x1x2=m(4-2m-2m2+6m-6)1-4+2m+m2-3m+3=-2m(m-1)2m2-m=-2m(m-1)2m(m-1)=2-2m当x=1时，方程为12（m2）m23m30，解得m=1或m=0当m=1或m=0时，T没有意义-1m1且m002-2m4且T2即0是一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根，设s1=+，s2=2+2，sn=n+n根据根的定义，有2-1=0，2-1=0，将两式

48、相加，得2+2-+-2=0，于是，得s2-s1-2=0根据以上信息，解答下列问题：直接写出s1，s2的值经计算可得：s3=4，s4=7，s5=11，当n3时，请猜想sn，sn-1，sn-2之间满足的数量关系，并给出证明【答案】（1）1；（2）s1=1，s2=3；sn=sn-1+sn-2，证明见解析【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可得出x1+x2=2k+1，x1x2=k2+2由x1+1x2+1=8，可得x1x2+x1+x2+1=8，即得出关于k的一元二次方程，解出k的值，再根据一元二次方程根的判别式验证，舍去不合题意的值即可；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得出+=-ba=1，

49、=ca=-1，进而可求出s1=+=1，s2=2+2=(+)2-2=3；由一元二次方程的解的定义可得出2-1=0，两边都乘以n-2，得：n-n-1-n-2=0，同理可得：n-n-1-n-2=0，再由+，得：n+n-n-1+n-1-n-2+n-2=0最后结合题意即可得出sn-sn-1-sn-2=n+n-n-1+n-1-n-2+n-2=0，即sn=sn-1+sn-2【详解】解：（1）x1，x2是关于x的一元二次方程x2-2k+1x+k2+2=0的两实根，x1+x2=-ba=-2k+11=2k+1，x1x2=ca=k2+21=k2+2，x1+1x2+1=x1x2+x1+x2+1=k2+2+2k+1+1

50、=8，整理，得：k2+2k-3=0，解得：k1=-3，k2=1当k=-3时，=b2-4ac=-2k+12-4k2+2=-2-3+12-4-32+2=-280，此时原方程有两个不相等的实数根，k=1符合题意，k的值为1； （2）x2-x-1=0，a=1，b=-1，c=-1，是一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根，+=-ba=1，=ca=-1，s1=+=1，s2=2+2=(+)2-2=12-2(-1)=3；猜想：sn=sn-1+sn-2 证明：根据一元二次方程根的定义可得出2-1=0，两边都乘以n-2，得：n-n-1-n-2=0，同理可得：n-n-1-n-2=0，由+，得：n+n-n-1+n-

51、1-n-2+n-2=0，sn=n+n，sn-1=n-1+n-1，sn-2=n-2+n-2，sn-sn-1-sn-2=n+n-n-1+n-1-n-2+n-2=0，即sn=sn-1+sn-2【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式为=b2-4ac，且当0时，该方程有两个不相等的实数根；当=0时，该方程有两个相等的实数根；当0n=-140012n不是正整数，所以第n个图中的棋子个数不能是1004个【点睛】本题考查图形变换规律探究，解一元二次方程，这类题型在中考中经常出现对于找规律的题目首先应找出

52、哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，找出图形变化规律是解题的关键【变式11-3】（2022秋山东青岛八年级统考期末）方法介绍：同学们，生活中的很多实际问题，我们往往抽象成数学问题，然后通过数形结合建立数学模型的方式来解决.例如：学校举办足球赛，共有五个球队参加比赛，每个队都要和其他各队比赛一场，问该学校一共要安排多少场比赛？这是一个实际问题，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），如图所示，其中每个点各代表一个足球队，两个队之间比赛一场就用一条线段把他们连起来，其中连接线段的条数就是安排比赛的场数.这样模型就建立起来了，如何解决这个模型呢？由于每个队都要与其他各队比赛

53、一场，即每个点都要与另外4点连接一条线段，这样5个点应该有54=20条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有10条线段，所以学校一共要安排10场比赛.学以致用：（1）根据图回答：如果有6个班级的足球队参加比赛，学校一共要安排 场比赛；（2）根据规律，如果有n个班级的足球队参加比赛，学校一共要安排 场比赛.问题解决：（1）小明今年参加了学校新组建的合唱队，老师让所有人每两人相互握手，认识彼此（每两人之间不重复握手）.小明发现所有人握手次数总和为91次，那么合唱队有多少人？（2）A、B、C、D、E、F六人参加一次会议，见面时他们相互握手问好，每两人之间不重复握手，如图，已知A已经握了

54、5次，B已经握了4次，C已经握了3次，D已经握了2次，E已经握了1次，请利用图分析F已经和哪些人握手了.问题拓展：根据上述模型的建立和问题的解决，请你提出一个问题，并进行解答.【答案】学以致用：（1）15 （2） n(n-1)2问题解决：（1）14人（2）F和ABC握手了 问题拓展：问题提出合理9分问题解决合理10分用类似的方法来解决下面的问题：姣姣、林林、可可、飞飞、红红和娜娜六人参加一次会议，见面时他们相互握手问好已知姣姣已握了5次手，林林已握了4次手，可可已握了3次手，飞飞已握了2次手，红红握手1次，请推算出娜娜目前已和哪几个人握了手【详解】试题分析：学以致用：根据所给例题可得（1）65

55、2=15（2）n(n-1)2；问题解决：（1）设合唱队有x人，则，解方程即可，（2）F和ABC握手了；问题拓展：问题提出合理 、问题解决合理即可.试题解析：学以致用：（1）151分（2） n(n-1)2 3分问题解决：（1）设合唱队有x人，则解方程得：（不合题意舍去）合唱队有14人6分（2）F和ABC握手了8分问题拓展：问题提出合理9分问题解决合理10分用类似的方法来解决下面的问题：姣姣、林林、可可、飞飞、红红和娜娜六人参加一次会议，见面时他们相互握手问好已知姣姣已握了5次手，林林已握了4次手，可可已握了3次手，飞飞已握了2次手，红红握手1次，请推算出娜娜目前已和哪几个人握了手解：先画出6个点

56、，A、B、C、D、E、F各个点依次代表姣姣、林林、可可、飞飞、红红和娜娜，凡是两人之间握过手，就把代表他们的这两点用1条线段连接起来（如图所示）.先看姣姣（A）和红红（E）姣姣已握手5次，说明姣姣与另外5人都握了手，因此代表姣姣的A点与B、C、D、E、F这5点都有一条线段连接；红红握手1次，他只能是与姣姣握的手了，所以E点只能与A点之间有线段连接，与其它各点再也不能有线段连接了其次分析林林（B）林林已握手4次，由于他没有可能与红红握过手，所以只能是与剩下的四个人姣姣、可可、飞飞和娜娜握过手了，因此，点B与A、C、D、F四点之间有线段连接再看飞飞（D）飞飞已握手2次，而代表飞飞的D点已与A、B两

57、点有线段连接了，所以D点与其它的点不能再有线段连接了最后考察可可（C）可可与3人握了手，但已不能是与飞飞和红红握的手了，所以代表可可的点C只能与A、B、F三点有线段连接现在观察图形，与代表娜娜的点连接的线段有3条（AF、BF和CF），这说明姣姣、林林和可可三人已与娜娜握过手考点：1.列代数式及求值；2.一元二次方程的应用；3. 数形结合模型的建立和问题的解决.【考点12 一元二次方程中的新定义问题】【例12】（2022秋山东临沂八年级统考期中）定义：如果一元二次方程ax2+bx-c=0（a0）满足a-b-c0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程已知ax2+bx-c=0（a0）是“凤凰”方程，且有

58、两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）AacBabCa+c=0Dabc【答案】C【分析】根据题意得a-b-c0，再根据=0，即可求出a、b、c之间的关系.【详解】ax2+bx-c=0（a0）是“凤凰”方程a-b-c0又一元二次方程ax2+bx-c=0（a0）有两个相等的实数根=b2-4a(-c)=b2+4ac=0由式得b=a-c把式代入式得(a-c)2+4ac=0a2-2ac+c2+4ac=0a2+2ac+c2=0(a+c)2=0a+c=0故选：C【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式.读懂题意并且熟记一元二次方程根的判别式，会根据根的判别式求字母的值是解题的关键.【变式12-1】（2

59、022秋江苏八年级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”（1）请根据上述结论解决问题：方程2x2-3x+1=0；方程x2-2x-8=0；方程x2+x=-29这几个方程中，是倍根方程的是 （填序号即可）；（2）一般规律探究：我们知道，若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则有x1+x2=-ba，x1x2=ca，请你根据以上关系探究：若一元二次方程ax2+bx+c=0是“倍根方程”，则a，b，c满足什么数量关系？（3）若(x-1)(mx-n)=0是倍根方程，求2nm的值【答案】（1）；（2）b2-9

60、2ac=0；（3）2nm=4或2nm=1【分析】（1）根据“倍根方程”的定义，求出方程、中的根的值，根据定义判断即可；（2）利用根与系数的关系建立等式进行整理即可；（3）将方程(x-1)(mx+n)=0整理成一般式，再根据“倍根方程”的定义，借助（2）中的结论，整理后即可得出mx2-(m+n)x+n=0，即可求得2m-n=0或m-2n=0，进而求得2nm的值为4或1【详解】解：（1）在方程2x2-3x+1=0中，解得：x1=12,x2=1，2x1=x2=1，方程为“倍根方程”，在方程x2-2x-8=0中，解得：x1=-2,x2=4，2x1x2=4，方程不为“倍根方程”，在方程x2+x=-29中

61、，解得：x1=-13,x2=-23，2x1=x2=-23，方程为“倍根方程”，是倍根方程的是故答案为：（2）方程ax2+bx+c=0是“倍根方程”，可设方程的两根为x1和2x1，则x1+2x1=-ba，x12x1=ca，(3x1)2=(-ba)2，x12=c2a，(-ba)219=c2a，b2-92ac=0；（3）整理(x-1)(mx-n)=0得：mx2-(m+n)x+n=0，(x-1)(mx-n)=0是倍根方程，b2-92ac=-(m+n)2-92mn=0，m2-52mn+n2=0，即2m2-5mn+2n2=0，(2m-n)(m-2n)=0，2m-n=0或m-2n=0，m=12n或m=2n，

62、 2nm的值为4或1，故答案为：4或1【点睛】本题考查了根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握“倍根方程”的定义【变式12-2】（2022秋江苏盐城八年级校联考期中）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根为x1，x2(x1x2)，则把分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到的点P(x1，x2)称为该一元二次方程的“友好点”(1)若方程为x2-3x+2=0，则该方程的“友好点”P的坐标为_(2)若关于x的一元二次方程x2-(5m+1)x+5m=0的“友好点”为P，过点P向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值(3)是否存

63、在b，c，使得不论k(k0)为何值，关于x的方程x2+bx+c=0的“友好点”P始终在函数y=kx+2k+3的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由【答案】(1)(1,2)(2)15或-15(3)存在，b=-1，c=-6【分析】（1）解方程x2-3x+2=0后，根据定义即可求P点坐标；（2）求出方程的解为x=1或x=5m，再分情况讨论：当5m1时，此时P(1,5m)；当05m1时，此时P(5m,1)，当5m0时，P(5m,1)；再由题意分别求出m的值即可；（3）由直线经过定点(-2,3)，则方程x2+bx+c=0的衍生点P为(-2,6)，即可求b=-1，c=-6【详解】（1）解：解

64、方程x2-3x+2=0得，x1=1，x2=2，该方程的“友好点”P的坐标为(1,2)，故答案为：(1,2)；（2）x2-(5m+1)x+5m=0的解为x=1或x=5m，当5m1时，m15，此时M(1,5m)，由题意可得1=5m，解得m=15；当05m1时，0m15，此时M(5m,1)，5m=1，m=15；当5m0时，M(5m,1)，此时1=-5m，解得m=-15；综上所述：m的值为15或-15；（3）存在b，c满足条件，理由如下：y=kx+2k+3=k(x+2)+3，直线经过定点(-2,3)，方程x2+bx+c=0的衍生点为P(-2,3)，方程为x2-x-6=0b=-1，c=-6【点睛】本题属

65、于一次函数综合题，考查一次函数的图象及性质，点P为该一元二次方程的“友好点”的定义，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的图象及性质，学会用分类讨论的思想解决问题【变式12-3】（2022秋江苏南京八年级统考期中）定义：若x1、x2是方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根，若满足x1-x2=x1x2，则称此类方程为“差积方程”例如：x-12x-1=0是差积方程(1)下列方程是“差积方程”的是_；6x2-5x+1=0x2-4x=03x2+8x+4=0(2)若方程x2-(m+2)x+2m=0是“差积方程”，求m的值；(3)当方程ax2+bx+c=0(a0)为“差积方程”时，请直接写出a、b

66、、c满足的数量关系【答案】(1)(2)23或-2(3)b2-4ac=c2【分析】（1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解；（2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解；（3）根据求根公式求得x1,x2根据新定义列出方程即可求解【详解】（1）解：6x2-5x+1=0，即2x-13x-1=0，解得：x1=12,x2=13，12-13=1213，6x2-5x+1=0是差积方程；x2-4x=0，即xx-4=0，解得：x1=0,x2=4，0没有倒数，故不是差积方程；3x2+8x+4=0，即3x+2x+2=0，解得x1=-23,x2=-2，-2+

67、23=43=-23-2，3x2+8x+4=0是差积方程；故答案为：；（2）解：x2-(m+2)x+2m=0，即x-2x-m=0，解得：x1=2,x2=m，x2-(m+2)x+2m=0是差积方程，2-m=2m，即2-m=2m或2-m=-2m解得：m= 23或-2，（3）解：ax2+bx+c=0(a0)，解得：x=-bb2-4ac2a，x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a，ax2+bx+c=0(a0)是差积方程，x1-x2=x1x2，即b2-4aca=ca，即b2-4ac=c2【点睛】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键【考点13 一元二次方程中的阅读

68、理解类问题】【例13】（2022秋山西忻州八年级期末）阅读材料并回答问题：(1)方程x2+2x+1=0的根为x1=-1，x2=-1，x1+x2=-2，x1x2=1方程3x2+4x-7=0的根为x1=1，x2=-73，x1+x2=-43，x1x2=-73程ax2+bx+c=0(b2-4ac0)的根为x1=-b+b2-4ac2a，x2=-b-b2-4ac2a，x1+x2=_，x1x2=_(2)从（1）中你一定发现了一定的规律，这个规律是_(3)用你发现的规律解答下列问题：不解方程，直接计算：方程x2-2x-1=0的两根分别是x1、x2，则x1+x2=_，x1x2=_；方程x2-3x+1=0的两根分

69、别是x1、x2，则x12+x22=_已知一元二次方程x2-3x-3a=0的一个根为6，求a及方程的另一个根【答案】(1)-ba，ca(2)x1+x2=-ba，x1x2=ca(3)2，-1；7；a=6，另一个根为-3【分析】（1）利用一元二次方程的求根公式，求出两根的和与积，即可得到答案（2）根据（1）得到两根得和与两根的积与系数的关系（3）利用一元二次方程的根与系数的关系，两根的和是3，即可求得另一根，再根据两根的积是3a，即可求得a的值(1)由题意得：x1+x2= -b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2a=-bax1x2=（-b+b2-4ac2a）（-b-b2-4ac2a）=ca故答案

70、为：-ba；ca(2)一元二次方程ax2+bx+c0（a0，且a，b，c是常数）的两个根为x1、x2则x1+x2=-ba，x1x2=ca(3)x1+x2=-ba，x1x2，=cax1+x2=2，x1x2=-1故答案为：2；1x1+x2=-ba，x1x2，=cax12+x22=（x1+x2)2-2x1x2=(-ba)2-2ca =9-2=7故答案为：7一个根为6，x1+x2=-ba另一根为x2363；x1x2=ca6（3）3a，解得a6【点睛】可利用根与系数的关系使问题简化，不必把方程的解代入求值【变式13-1】（2022秋四川宜宾八年级统考期中）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2+

71、bx+c=0（a0）的两个根为x1，x2，则x1+x2=-ba，x1x2=ca材料2：已知一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值解：一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m，n，m+n=1，mn=-1，则m2n+mn2=mn(m+n)=-11=-1根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=x1x2=(2)类比应用：已知一元二次方程2x2-3x-1=0的两根分别为m、n，求nm+mn的值(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2-3s-1=0，2t2-3t-1=0，且

72、st，求1s-1t的值【答案】(1)32，-12(2)-132(3)17【分析】（1）根据材料1中，一元二次方程根与系数关系即可得到答案；（2）根据材料1及材料2，由一元二次方程根与系数关系，得到m+n=32，mn=-12，将nm+mn化为(m+n)2-2mnmn，将m+n=32，mn=-12代入求值即可得到答案；（3）根据题意，确定s与t看作是方程2x2-3x-1=0的两个实数根，由一元二次方程根与系数关系，得到s+t=32，st=-12，先求出s-t=172的值，再由1s-1t变形得到t-sst，将s-t=172，st=-12代入求值即可得到答案【详解】（1）解：一元二次方程2x2-3x-

73、1=0的两个根为x1，x2，x1+x2=-32=32，x1x2=-12=-12，故答案为：32，-12；（2）解：一元二次方程2x2-3x-1=0的两根分别为m、n，m+n=32，mn=-12， nm+mn=n2+m2mn=(m+n)2-2mnmn=(32)2-2(-12)-12=-132；（3）解：实数s、t满足2s2-3s-1=0，2t2-3t-1=0，s与t看作是方程2x2-3x-1=0的两个实数根，s+t=32，st=-12，(s-t)2=(s+t)2-4st，(s-t)2=(32)2-4(-12)，(s-t)2=174，s-t=172， 1s-1t=t-sst=-(s-t)st=17

74、2-12=17【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系，以及利用根与系数关系求代数式的值，根据代数式的结构特征恒等变形为已知代数式的形式是解决问题的关键【变式13-2】（2022秋河北保定八年级统考期中）阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式求解二元一次方程组；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为两个一元一次方程来解求解分式方程，把它转化为整式方程来解，所以解分式方程必须检验各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为

75、xx2+x-2=0，解方程x=0和x2+2x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解(1)问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0，x2= ，x3= ；(2)拓展：用“转化”思想求方程2x+3=x的解【答案】(1)-2；1(2)x=3【分析】（1）解一元二次方程x2+x-2=0，即可得答案；（2）两边同时平分，解一元二次方程并需要检验二次根式是否有解.【详解】（1）解：x3+x2-2x=0，xx2+x-2=0，xx+2x-1=0，x=0或x+2=0或x-1=0，x1=0，x2=-2，x3=1故答案为：-2；1（2）解：方程2x+3=x两边平方，2x+3=x2，x2-2x-3=0，x-3x

76、+1=0，x1=3，x2=-1，经检验，x1=3是原方程的解，x2=-1是原方程的增根，原方程的解为：x=3【点睛】本题主要考查了解方程，解题的关键是将方程进行转化，注意对方程的解进行检验【变式13-3】（2022秋四川资阳八年级统考期末）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a0的两个实数根，若x1x20，且3x1x24，则称这个方程为“限根方程”如：一元二次方程x2+13x+30=0的两根为x1=-10，x2=-3，因-10-30，3-10-34，所以一元二次方程x2+13x+30=0为“限根方程”请阅读以上材料，回答下列问题：(1)判断一元二次方程x2+9x+14

77、=0是否为“限根方程”，并说明理由；(2)若关于x的一元二次方程2x2+k+7x+k2+3=0是“限根方程”，且两根x1、x2满足x1+x2+x1x2=-1，求k的值；(3)若关于x的一元二次方程x2+1-mx-m=0是“限根方程”，求m的取值范围【答案】(1)此方程为“限根方程”，理由见解析(2)k的值为2(3)m的取值范围为-13m-14或-4m0，m0且m-1，可求出m的取值范围最后分类讨论即可求解【详解】（1）解：x2+9x+14=0，x+2x+7=0，x+2=0或x+7=0，x1=-7，x2=-2-7-2，3-7-2=724，此方程为“限根方程”；（2）方程2x2+k+7x+k2+3

78、=0的两个根分比为x1、x2，x1+x2=-k+72，x1x2=k2+32 x1+x2+x1x2=-1，-k+72+k2+32=-1，解得：k1=2，k2=-1分类讨论：当k=2时，原方程为2x2+9x+7=0，x1=-72，x2=-1，x1x20，3x1x2=724，此时方程2x2+k+7x+k2+3=0是“限根方程”，k=2符合题意；当k=-1时，原方程为2x2+6x+4=0，x1=-2，x2=-1，x1x20，x1x2=20，m0，即1+m20，m0且m-1分类讨论：当-1m0时，x1=-1，x2=m，3x1x24，3-1m4，解得：-13m-14；当m-1时，x1=m，x2=-1，3x

79、1x24，3m-14，解得：-4m-3综上所述，m的取值范围为-13m-14或-4m-3【点睛】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式读懂题意，理解“限根方程”的定义是解题关键【考点14 一元二次方程的实际应用】【例14】（2022秋云南八年级云大附中校考期末）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同请解决下列问题(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间

80、后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20%(2)在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解；（2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x依题意，得：2250(1+x)2=3240，解得：x1=0

81、.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%（2）解：设增加x条生产线(900-30x)(x+1)=3900，解得x1=4，x2=25（不符合题意，舍去），答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可【变式14-1】（2022秋重庆江北八年级校考期末）2022年卡塔尔世界杯吉祥物laeeb，中文名是拉伊卜，代表着技艺高超的球员随着世界杯的火热进行，吉祥物拉伊卜玩偶成为畅销商品某经销商售卖大、小两种拉伊卜玩偶，大拉伊卜售价是小拉伊卜售价的2倍且1200元购买小

82、拉伊卜玩偶的数量比购买大拉伊卜玩偶的数量多10个(1)求小、大拉伊卜玩偶售价分别为多少元？(2)世界杯开赛第一周该经销商售出小拉伊卜玩偶400个，大拉伊卜玩偶300个，世界杯开赛第二周，该经销商决定降价出售两种拉伊卜玩偶已知：两种拉伊卜玩偶都降价a元，小拉伊卜玩偶售出数量较世界杯开赛第一周多了10a个：大拉伊卜玩偶售出数量与世界杯开赛第一周相同，该经销商世界杯第二周总销售额为58000元，求a的值【答案】(1)小拉伊卜玩偶售价为60元，大拉伊卜玩偶售价是120元(2)10【分析】（1）设小拉伊卜售价为x元，则大拉伊卜售价是2x元，根据题意，得1200x-12002x=10，解分式方程即可（2）

83、根据题意，第二周大拉伊卜售价是120-a元，销售数量为300个；第二周小拉伊卜售价是60-a元，销售数量为10a+400个，根据题意，得10a+40060-a+300120-a=58000，解方程即可【详解】（1）解：设小拉伊卜售价为x元，则大拉伊卜售价是2x元，根据题意，得1200x-12002x=10，解得x=60，经检验，x=60是原方程的根，所以2x=120，答：小拉伊卜玩偶售价为60元，大拉伊卜玩偶售价是120元（2）解：根据题意，第二周大拉伊卜售价是120-a元，销售数量为300个；第二周小拉伊卜售价是60-a元，销售数量为10a+400个，根据题意，得10a+40060-a+30

84、0120-a=58000，解得a1=10,a2=-20（舍去）故a的值为10【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，熟练掌握两种的方程的应用是解题的关键【变式14-2】（2022秋湖南永州八年级统考期末）“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？（2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应

85、对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加110m小时，求m的值【答案】（1）1600；（2）20【分析】（1）利用“从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了l20千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时”，分别得出等式组成方程组求出即可；（2）根据题意得出：(80+120)(1-m%)(8+110m)=1600进而求出即可【详解】（1）设原时速为xkm/h，通车后里程为ykm，则有：8(120+x)=y(8+16)x=320+y，解得：x=80y=1600，答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是1

86、600千米；（2）由题意可得出：(80+120)(1-m%)(8+110m)=1600，解得：m1=20，m2=0（不合题意舍去），答：m的值为20【变式14-3】（2022春浙江八年级期末）如图，一轮船以30km/h的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以20km/h的速度由南向北移动已知距台风中200km的区域（包括边界）都属于受台风影响区当轮船接到台风警报时，测得BC=500km,BA=300km问题：（1）根据题意AC=_，若设经过的时间为t小时，则台风中心与A点的距离是_，轮船与A的距离是_，台风中心与轮船之间的距离是_；（用t表示）（2）若不改变航向，轮船会不会进入台风

87、影响区？若轮船进入台风影响区，那么受台风影响的时间为多少小时？（保留根号）【答案】（1）400km，300-20tkm，400-30tkm，300-20t2+400-30t2km；（2）205113小时【分析】（1）根据勾股定理，路程、速度和时间的关系得到结果；（2）设当轮船接到报警后经过t小时受到台风影响，根据勾股定理列出关于t的方程求出t的值即可得到结果【详解】解：（1）CB=500km，AB=300km，AC=BC2-AB2=400km，若经过的时间为t小时，则台风中心与A点的距离是300-20tkm，轮船与A的距离是400-30tkm，台风中心与轮船之间的距离是300-20t2+400

88、-30t2km；（2）设当轮船接到报警后经过t小时受到台风影响，则（300-20t）2+（400-30t）2=2002，解得：t=180+105113或t=180-105113，轮船会进入台风影响区，受影响的时间为t=180+105113-180-105113=205113小时【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于t的等式是解题关键【考点15 一元二次方程中的动点问题】【例15】（2022四川自贡八年级校考期末）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB16cm，AD8cm，动点P，Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/S的速度向B移动，一直到达B为止；

89、点Q以2cm/s的速度向D移动当P、Q两点从出发开始到_秒时，点P和点Q的距离是10cm【答案】2或225【分析】作PECD，垂足为E，设运动时间为t秒，用t表示各个线段，再用勾股定理列方程求解即可.【详解】设当P、Q两点从出发开始到t秒时，点P和点Q的距离是10cm，如图，作PECD于E，则PE=AD=8cm，DE=AP=3t，CQ=2t，EQ=CDDECQ=16-5t，由勾股定理得：(165t)2+62=102，解得t1=2，t2=225.故答案为2或225.【变式15-1】（2022秋新疆乌鲁木齐八年级校考期中）如图，射线AC与射线CB垂直，C为垂足，且AC=6cm，点P从点A开始沿射线

90、AC方向以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点C开始沿射线CB方向以1cm/s的速度移动如果P、Q分别从A、C同时出发，运动的时间为ts在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得PQC的面积是4cm2，若存在，求t的值；若不存在，说明理由【答案】存在，当t=4时，PQC的面积是4cm2【分析】分两种情况：当0t3时，分别依据PQC的面积是4cm2，列方程求解即可【详解】解：由题意得：AP=2t,CQ=t，当0t3时，PC=2t-6，QC=t，SPCQ=12PCQC=12t2t-6，12t2t-6=4即t2-3t-4=0，解得t=4或t=-1（舍去），综上所述，存在，当t=4时，PQC的面积是4

91、cm2【点睛】本题考查了一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用，解答时利用三角形的面积公式建立一元二次方程是关键【变式15-2】（2022秋江西宜春八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿边AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿边BC以2cm/s的速度向点C移动，当点P运动到点B后，运动停止，设运动时间为x（s）(1)BP=_cm，CQ=_cm（用含x的式子表示）；(2)若PQ=42cm时，求x的值；(3)当x为何值时，DPQ将成为以DP为斜边的直角三角形【答案】(1)(6-x)，(12-2x)(

92、2)x1=0.4或x2=2(3)当x为1.5或6时，DPQ是以DP为斜边的直角三角形【分析】（1）直接根据P、Q点运动方向和运动速度表示出答案；（2）在RtPBQ中，根据勾股定理即可求出答案；（3）表示出PQ2、DQ2和DP2，由勾股定理即可求出答案【详解】（1）由题可得：AP=xcm，BQ=2xcm，BP=AB-AP=6-x(cm)，CQ=BC-BQ=12-2x(cm)，故答案为：(6-x)，(12-2x)；（2）在RtPBQ中，BP2+BQ2=PQ2，即(6-x)2+(2x)2=(42)2，解得：x1=0.4或x2=2；（3）PQ2=(6-x)2+(2x)2，DQ2=62+(12-2x)2

93、，DP2=x2+122，DPQ是以DP为斜边的直角三角形，(6-x)2+(2x)2+62+(12-2x)2=x2+122，解得：x1=1.5或x2=6，当x为1.5或6时，DPQ是以DP为斜边的直角三角形【点睛】本题考查勾股定理的应用以及一元二次方程的应用，正确表示出三角形各边的长度是解题的关键【变式15-3】（2022春浙江八年级期末）如图，在RtABC中，B=90，AB=6cm，BC=8cm点P从点A出发，沿AB向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发，沿BC向点C以2cms的速度移动(1)经过多少秒后，PBQ的面积为8cm2？(2)线段PQ能否将ABC分成面积相等的两部分？若能，

94、求出移动时间；若不能，请说明理由(3)若点P从点A出发，沿射线AB方向以1cm/s的速度移动，同时点Q从点C出发，沿射线CB方向以2cms的速度移动，经过多少秒后PBQ的面积为1cm2？【答案】(1)2或4(2)线段PQ不能将ABC分成面积相等的两部分(3)5+2【分析】（1）根据三角形面积公式列出方程，解方程即可；（2）根据三角形面积公式列出方程，根据一元二次方程根的判别式解答；（3）分点P在线段AB上，点Q在线段CB上、点P在线段AB上，点Q在射线CB上、点P在射线AB上，点Q在射线CB上三种情况，根据三角形面积公式列出方程，解方程得到答案【详解】（1）解：设经过x秒后，PBQ的面积为8c

95、m2根据题意得：AP=xcm,BQ=2xcm，BP=6-xcm，126-x2x=8，解得x1=2，x2=4，故经过2秒或4秒后，PBQ的面积为8cm2；（2）解 设经过t秒后，线段PQ将ABC分成面积相等的两部分SABC=1268=24，SPBQ=126-t2t=1224，即t2-6t+12=0=b2-4ac=-62-412=-120，此方程无实数根，线段PQ不能将ABC分成面积相等的两部分（3）解：设y秒后，PBQ的面积为1cm2；分三种情况：点P在线段AB上，点Q在线段CB上0t4，如图所示，依题意得：126-y8-2y=1 ，即y2-10y+23=0，解得y1=5+2，y2=5-2，经检

96、验，y1=5+2 不符合题意，舍去，y=5-2； 点P在线段AB上，点Q在射线CB上4t6，如图所示，依题意得：12y-62y-8=1，即y2-10y+23=0，解得y1=5+2，y2=5-2，经检验，y2=5-2不符合题意，舍去，y=5+2，综上所述，经过5-2秒或5秒或5+2秒后，PBQ的面积等于1cm2【点睛】本题是三角形的综合题，考查了一元二次方程的应用和几何动点问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用【考点16 一元二次方程与几何综合】【例16】（2022秋广东江门八年级校考期中）代数学中记载，形如x2+10x=3

97、9的方程，求正数解的几何方法是：“如图，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为52x的矩形，得到阴影部分面积x2+452x=x2+10x=39，大正方形的面积为4522+39=64，则大正方形的边长为8，x=8-252=3，所以方程x2+10x=39的正数解为x=3”小聪按此方法解关于x的方程x2+12x+m=0，构造图所示的图形，已知阴影部分的面积为60，则该方程的正数解为_【答案】x=46-6【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为3，先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论【详解】x2+12x

98、+m=0，x2+12x=-m阴影部分的面积为60，x2+12x=60，如图所示的图形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为3x的矩形，得到阴影部分面积x2+43x=x2+12x=60，大正方形的面积为432+60=96，大正方形的边长为96=46，x=46-23=46-6，方程x2+12x+m=0的正数解为x=46-6故答案为：x=46-6【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题目给的材料是解题的关键【变式16-1】（2022秋四川成都八年级四川省成都市七中育才学校校考期中）如图，四边形OABC是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐标系中，使得点O与坐标原点重合，点A、C分别在x轴、y

99、轴的正半轴上，点B的坐标为3,4，D的坐标为2,4，现将纸片沿过D点的直线折叠，使顶点C落在线段AB上的点F处，折痕与y轴的交点记为E(1)求点F的坐标和FDB的大小；(2)在x轴正半轴上是否存在点Q，满足SQDE=SCDE，若存在，求出Q点坐标，若不存在请说明理由；(3)点P在直线DE上，且PEF为等腰三角形，请直接写出点P的坐标【答案】(1)F3,4-3，FDB=60；(2)Q4-433,0；(3)P11,4-3，P23,4+3，P33,7-23，P4-3,1-23【分析】（1）先求解BD=1，CD=2，可得DF=2，BF=3，从而可得F3,4-3，如图，取DF的中点T,连接BT,而ABC

100、=90，再证明DBT为等边三角形，可得答案；（2）先证明SCDE=SFDE，CED=30,可得DE=2CD=4,CE=42-22=23,求解E0,4-23，可得EQ为y=3x+4-23，过F作FQDE交x轴于Q，设lFQ:y=3x+f， 可得y=3x+4-43.，从而可得答案；（3）由ED为y=3x+4-23，设Px,3x+4-23，而E0,4-23,F3,4-3,可得PE2=x2+3x2=4x2,PF2=x-32+3x-32,EF2=32+32=12,再分三种情况讨论即可.【详解】（1）解：点B的坐标为3,4，D的坐标为2,4，BD=1，CD=2，DF=2，BF=22-12=3，F3,4-3

101、，如图，取DF的中点T,连接BT,而ABC=90，BT=12DF=1=DT=BD，DBT为等边三角形，FDB=60.（2）解：折叠，FDB=60，CDEFDE，CDE=FDE=60，SCDE=SFDE，CED=30,DE=2CD=4,CE=42-22=23,E0,4-23，设ED为y=mx+n，n=4-232m+n=4，解得：m=3n=4-23，ED为y=3x+4-23，过F作FQDE交x轴于Q，设lFQ:y=3x+f，代入F3,4-3，33+f=4-3，解得：f=4-43，得y=3x+4-43.令y=0，则x=4-433Q4-433,0（3）解：ED为y=3x+4-23，设Px,3x+4-2

102、3，而E0,4-23,F3,4-3，PE2=x2+3x2=4x2,PF2=x-32+3x-32,EF2=32+32=12，当PE=PF时，4x2=x-32+3x-32，解得：x=1，P11,4-3，当PF=EF时，x-32+3x-32=12，解得：x1=3,x2=0，（x=0舍去），P23,4+3，当PE=EF时，4x2=12，解得：x=3，P33,7-23或P4-3,1-23，综上：P11,4-3，P23,4+3，P33,7-23，P4-3,1-23【点睛】本题考查的是坐标与图形，直角三角形斜边上的中线的性质，轴对称的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数的性质，含30的直角三角

103、形的性质，二次根式的混合运算，勾股定理的应用，利用因式分解的方法解一元二次方程，本题的综合程度高，难度较大，对学生的计算能力要求高.【变式16-2】（2022秋广东深圳八年级深圳市东升学校校考期末）定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”，回答下列问题（1）如图1，四边形ABCD中，A90，AB1，CD2，BCDDBC，判断四边形ABCD是不是“等邻边四边形”，并说明理由；（2）如图2，RtABC中，ABC90，AB2，BC1，现将RtABC沿ABC的平分线BB方向平移得到ABC，连结AA，BC，若平移后的四边形ABCA是“等邻边四边形”，求BB的长【答案】（1）是“等邻边四边形”，

104、理由见详解；（2）-2+142 或2或5 或2 【分析】（1）根据BCDDBC，可得CD=BD=2，由勾股定理可得AD=1，即可求证；（2）延长CB 交AB于点D，根据平移的性质和BB平分ABC，可得BD=BD ，从而BB=2BD，然后分四种情况进行讨论若BC=AB=2 时；若AA=AB=2 时；若AA=AC时；若BC=AC=5 时，即可求解【详解】解：（1）是“等邻边四边形”，理由如下：BCDDBC，CD2，CD=BD=2，A90，AB1，在RtABD 中，由勾股定理得：AD=BD2-AB2=(2)2-12=1 ，AD=AB，四边形ABCD是 “等邻边四边形”；（2）如图2，延长CB 交AB

105、于点D，将RtABC沿ABC的平分线BB方向平移得到ABC，BC1，ABC90，AB/AB ，ABC=ABC=90 ，CB=BC=1 ，AA=BB ，AC=AC ，BDAB ，BB平分ABC，BBD=45 ，BBD=90-45=45 ，BBD=BBD ，BD=BD ，BB=BD2+BD2=2BD ，设BD=BD=x，CD=x+1 ，若BC=AB=2 时，在RtBDC 中，由勾股定理得：x2+(x+1)2=22 ，解得：x1=-1+72 ，x2=-1-72（舍去），BD=-1+72，BB=2BD=-2+142 ；若AA=AB=2 时，BB=AA=2；若AA=AC时，在RtABC 中，由勾股定理得

106、： AC=AB2+BC2=22+12=5 ；AA=AC=AC=5，BB=5；若BC=AC=5 时，在RtBDC 中，由勾股定理得：BD2+CD2=BC2 ，即x2+(x+1)2=(5)2，解得：x1=1 或x2=-2 （舍去），BB=2BD=2 ；综上所述，若平移后的四边形ABCA是“等邻边四边形”， BB的长为-2+142 或2或5 或2 【点睛】本题主要考查了平移的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，理解“等邻边四边形”的定义是解题的关键【变式16-3】（2022春浙江八年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在

107、x轴的正半轴上OAB=90且OA=AB，OB，OC的长分别是一元二次方程x2-11x+30=0的两个根（OBOC）（1）求点A和点B的坐标（2）点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O，B重合），过点P的直线l与y轴平行，直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m已知t=4时，直线l恰好过点C当0t3时，求m关于t的函数关系式（3）当m=3.5时，请直接写出点P的坐标【答案】（1）A（3，3）， B（6，0）；（2）m=74t（0t3）；（3）P（2，0）或（235，0）【分析】（1）先利用因式分解法解方程x2-11x+30=0可得到OB=6，O

108、C=5，则B点坐标为（6，0），作AMx轴于M，如图，利用等腰直角三角形的性质得OM=BM=AM=12OB=3，于是可写出B点坐标；（2）作CNx轴于N，如图，先利用勾股定理计算出CN得到C点坐标为（4，3），再利用待定系数法分别求出直线OC的解析式为y=-34x，直线OA的解析式为y=x，则根据一次函数图象上点的坐标特征得到Q（t，t），R（t，-34t），所以QR=t（-34t），从而得到m关于t的函数关系式（3）利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=x+6，直线BC的解析式为y=32x-9，然后分类讨论：当0t3时，利用74t=3.5可求出t得到P点坐标；当3t4时，则Q（t，t+6）

109、，R（t，-34t），于是得到t+6（-34t）=3.5，解得t=10，不满足t的范围舍去；当4t6时，则Q（t，t+6），R（t，32t-9），所以t+6（32t-9）=3.5，然后解方程求出t得到P点坐标【详解】（1）方程x2-11x+30=0的解为x1=5，x2=6，OB=6，OC=5，B点坐标为（6，0），作AMx轴于M，如图，OAB=90且OA=AB，AOB为等腰直角三角形，OM=BM=AM=12OB=3，A点坐标为（3，3）；（2）作CNx轴于N，如图，t=4时，直线l恰好过点C，ON=4，在RtOCN中，CN=OC2-ON2=52-42=3，C点坐标为（4，3），设直线OC的解析

110、式为y=kx，把C（4，3）代入得4k=3，解得k=-34，直线OC的解析式为y=-34x，设直线OA的解析式为y=ax，把A（3，3）代入得3a=3，解得a=1，直线OA的解析式为y=x，P（t，0）（0t3），Q（t，t），R（t，-34t），QR=t（-34t）=74t，即m=74t（0t3）；（3）设直线AB的解析式为y=px+q，把A（3，3），B（6，0）代入得：3p+q=36p+q=0，解得：p=-1q=6，直线AB的解析式为y=x+6，同理可得直线BC的解析式为y=32x-9；当0t3时，m=74t，若m=3.5，则74t=3.5，解得t=2，此时P点坐标为（2，0）；当3t4时，Q（t，t+6），R（t，-34t），m=t+6（-34t）=-14t+6，若m=3.5，则-14t+6=3.5，解得t=10（不合题意舍去）；当4t6时，Q（t，t+6），R（t，32t-9），m=t+6（32t-9）=-52t+15，若m=3.5，则-52t+15=3.5，解得t=235，此时P点坐标为（235，0），综上所述，满足条件的P点坐标为（2，0）或（235，0）【点睛】此题考查的是一次函数、解一元二次方程和等腰三角形的性质，解决此题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式，利用坐标求距离及分类讨论的数学思想.