21.6一元二次方程中的动点问题专项训练（30道）（人教版）（教师版）.docx

1、专题21.6 一元二次方程中的动点问题专项训练（30道）【人教版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了一元二次方程中的动点问题所有类型！一填空题（共7小题）1（2022峨边县模拟）在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，AOC的平分线交AB于点D点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动设移动时间为t秒，当t为2或5+5或5-5时，PQB为直角三角形【分析】要使PQB为直角三角形，显然只有PQB90或PBQ90，进而利用勾股定理分别分析得出

2、PB2（6t）2+（2t）2，QB2（62t）2+22，PQ2（2tt）2+t22t2，再分别就PQB90和PBQ90讨论，求出符合题意的t值即可；【解答】解：作PGOC于点G，在RtPOG中，POQ45，OPG45，OP=2t，OGPGt，点P（t，t），又Q（2t，0），B（6，2），根据勾股定理可得：PB2（6t）2+（2t）2，QB2（62t）2+22，PQ2（2tt）2+t22t2，若PQB90，则有PQ2+BQ2PB2，即：2t2+（62t）2+22（6t）2+（2t）2，整理得：4t28t0，解得：t10（舍去），t22，t2，若PBQ90，则有PB2+QB2PQ2，（6t）2+

3、（2t）2+（62t）2+222t2，整理得：t210t+200，解得：t55当t2或t5+5或t5-5时，PQB为直角三角形故答案为：2或5+5或5-52（2022春衢江区校级期末）如图，B是AC上一点，且BC6cm，AB4cm，射线BDAC，垂足为B，动点M从A出发以2cm/s的速度沿着AC向C运动，同时动点N从B出发以3cm/s的速度沿着射线BD向下运动，连接MN当BMN的面积为32cm2，两动点运动了t（s），则t的值为 2-22或2+22或2+62【分析】分0t2及2t5两种情况考虑，当0t2时，BM（42t）cm，BN3tcm，根据BMN的面积为32cm2，即可得出关于t的一元二次

4、方程，解之即可得出t值；当2t5时，BM（2t4）cm，BN3tcm，根据BMN的面积为32cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论【解答】解：当0t2时，BM（42t）cm，BN3tcm，12（42t）3t=32，整理得：2t24t+10，解得：t1=2-22，t2=2+22；当2t5时，BM（2t4）cm，BN3tcm，12（2t4）3t=32，整理得：2t24t10，解得：t3=2-62（不合题意，舍去），t4=2+62综上所述，t的值为2-22或2+22或2+62故答案为：2-22或2+22或2+623（2022临清市一模）在RtABC中，BAC90，AB

5、AC16cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿AD方向以2cm/s的速度向点D运动设ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒，则t6秒时，S12S2【分析】利用三角形的面积公式以及矩形的面积公式，表示出S1和S2，然后根据S12S2，即可列方程求解【解答】解：RtABC中，BAC90，ABAC16cm，AD为BC边上的高，ADBDCD82cm，又AP=2t，则S1=12APBD=12822t8t，PD82-2t，PEBC，AEPC45，APEADC90，PAEPEA45PEAP=2t，S2PDPE（82-2t）2t，S12S2，8t2（82-2t）2t，解得：t6或

6、0（舍弃）故答案是：64（2022于洪区校级模拟）如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B90，AD6cm，AB8cm，BC14cm动点P、Q都从点C同时出发，点P沿CB方向做匀速运动，点Q沿CDA方向做匀速运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动若点P以1cm/s速度运动，点Q以22cm/s的速度运动，连接BQ、PQ当时间t为 2秒时，BQP的面积为24cm2【分析】由于点P在线段CB上运动，而点Q沿CDA方向做匀速运动，所以分两种情况讨论：点Q在CD上；点Q在DA上针对每一种情况，都可以过Q点作QGBC于G由于点P、Q运动的时间为t（s），可用含t的代数式分别表示BP、QG的

7、长度，然后根据三角形的面积公式列出S与t的函数关系式，并写出t的取值范围，根据面积为24cm2，列出方程，解方程并结合t的范围取舍【解答】解：如图1，过D点作DHBC，垂足为点H，则有DHAB8cm，BHAD6cmCHBCBH1468cm在RtDCH中，DHC90，CD=DH2+CH2=82cm当点P、Q运动的时间为t（s），则PCt如图1，当点Q在CD上时，过Q点作QGBC，垂足为点G，则QC22t又DHHC，DHBC，C45在RtQCG中，QGQCsinC22tsin452t又BPBCPC14t，SBPQ=12BPQG=12（14t）2t14tt2当Q运动到D点时所需要的时间t=CD22=

8、8222=4S14tt2（0t4），当S24时，14tt224，解得：t12，t212（舍）如图2，当点Q在DA上时，过Q点作QGBC，垂足为点G，则：QGAB8cm，BPBCPC14t，SBPQ=12BPQG=12（14t）8564t当Q运动到A点时所需要的时间t=CD+AD22=82+622=4+322S564t（4t4+322），当S24时，564t24，解得：t84+322，舍去，综上，当t2时，S24，故答案为：25（2022秋惠来县月考）如图，已知ABBC，AB12cm，BC8cm一动点N从C点出发沿CB方向以1cm/s的速度向B点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的

9、速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当MNB的面积为24cm2时运动的时间t为2秒【分析】根据题意可知CNtcm，AM2tcm，进而可得出BN（8t）cm，BM（122t）cm，根据MNB的面积为24cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论【解答】解：根据题意可知CNtcm，AM2tcm，BN（8t）cm，BM（122t）cm，MNB的面积为24cm2，12（122t）（8t）24，整理得：t214t+240，解得：t12，t212（不合题意，舍去）故答案为：26（2022秋兰山区期末）如图，在RtACB中，C90，AC30cm，BC25cm，动

10、点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过 10s后，P，Q两点之间相距25cm【分析】设x秒后P、Q两点相距25cm，用x表示出CP、CQ，根据勾股定理列出方程，解方程即可【解答】解：设x秒后P、Q两点相距25cm，则CP2xcm，CQ（25x）cm，由题意得，（2x）2+（25x）2252，解得，x110，x20（舍去），则10秒后P、Q两点相距25cm故答案是：107（2022秋渭滨区期中）如图，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB16cm，BC6cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点B运动，直到点B为止；动

11、点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动，当时间为85s或245s时，点P和点Q之间的距离是10cm【分析】设当t秒时PQ10cm，利用勾股定理得出即可【解答】解：设当时间为t时，点P和点Q之间的距离是10cm，过点Q作ONAB于点N，则QC2tcm，PN（165t）cm，故62+（165t）2100，解得：t1=85，t2=245，即当时间为85s或245s时，点P和点Q之间的距离是10cm，故答案为：85s或245s二解答题（共23小题）8（2022秋方城县期末）如图，已知等边三角形ABC的边长为6cm，点P从点A出发，沿ACB的方向以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出

12、发，沿BA的方向以1cm/s的速度向终点A运动当点P运动到点B时，两点均停止运动运动时间记为ts，请解决下列问题：（1）若点P在边AC上，当t为何值时，APQ为直角三角形？（2）是否存在这样的t值，使APQ的面积为23cm2？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由【分析】（1）当点P在边AC上时，由题意知AP2t，AQ6t，再分APQ90和AQP90两种情况分别求解即可；（2）分点P在边AC上和点P在边AC上两种情况，表示出SAPQ，再根据APQ的面积为23cm2列出关于t的方程，解之即可【解答】解：（1）ABC是等边三角形ABBCCA6，ABC60，当点P在边AC上时，由题意知，AP2t

13、，AQ6t，当APQ90时，AP=12AQ，即2t=12（6t），解得t1.2，当AQP90时，AQ=12AP，即6t=122t，解得t3，所以，点P在边AC上，当t为1.2s或3s时，APQ为直角三角形；（2）存在，当点P在边AC上时，此时0t3，过点P作PDAB于点D，在RtAPD中，A60，AP2t，sinA=PDAP，即sin60=PD2t=32，PD=3t，SAPQ=12AQPD=12（6t）3t，由12（6t）3t=23得t1=3+5(不合题意，舍去)，t2=3-5；当点P在边BC上时，此时3t6，如图，过点P作PFAB于点F，在RtBPF中，B60，BP122t，sinB=PFB

14、P，即sin60=PF12-2t=32，PF=3(6-t)，SAPQ=12AQPF=12（6t）3(6-t)，由12（6t）3(6-t)=23得t14，t28（不合题意，舍去），因此，当t的值是(3-5)s或4s时，APQ的面积为23cm29（2022秋泗阳县期末）如图，在ABC中，B90，AB12cm，BC24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts（1）BP（122t）cm；BQ4tcm；（用t的代数式表示）（2）D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时P

15、DQ的面积为40cm2？【分析】（1）根据速度时间路程列出代数式即可；（2）如图，过点D作DHBC于H，利用三角形中位线定理求得DH的长度；然后根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可【解答】解：（1）根据题意得：AP2tcm，BQ4tcm，所以BP（122t）cm，故答案是：（122t）；4t；（2）如图，过点D作DHBC于H，B90，即ABBCABDH又D是AC的中点，BH=12BC12cm，DH是ABC的中位线DH=12AB6cm根据题意，得121224-124t（122t）-12（244t）6-122t1240，整理，得t26t+80解得：t12，t24，即当t2或4时，PBQ

16、的面积是40cm210（2022春淄川区期中）如图，在梯形ABCD中，ADBC，CD90，BC16，CD12，AD21动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动设运动时间为t（s），当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形？【分析】以B，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形有三种情况：当PBPQ时，当PQBQ时，当BPBQ时，由等腰三角形的性质就可以得出结论【解答】解：如图1，当PBPQ时，作PEBC于E，EQ=12BQ，CQt，

17、BQ16t，EQ8-12t，EC8-12t+t8+12t2t8+12t解得：t=163如图2，当PQBQ时，作QEAD于E，PEQDEQ90，CD90，CDDEQ90，四边形DEQC是矩形，DEQCt，PEt，QECD12在RtPEQ中，由勾股定理，得PQ=t2+14416t=t2+144，解得：t=72；如图3，当BPBQ时，作PEBC于E，CQt，BPBQBCCQ16t，PD2t，CE2t，BE162t，在RtBEP中，（162t）2+122（16t）2，3t232t+1440，（32）2431447040，故方程无解综上所述，t=163或72时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形

18、11（2022红谷滩区校级模拟）如图所示，ABC中，B90，AB6cm，BC8cm（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P，Q之间的距离为6cm？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使PBQ的面积等于8cm2？（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，PBQ的面积为1cm2？【

19、分析】（1）设经过x秒，点P，Q之间的距离为6cm，根据勾股定理列式求解即可；（2）设经过y秒，使PBQ的面积等于8cm2，由三角形的面积公式列式并求解即可；（3）分三种情况列方程求解即可：点P在线段AB上，点Q在射线CB上；点P在线段AB上，点Q在射线CB上；点P在射线AB上，点Q在射线CB上【解答】解：（1）设经过x秒，点P，Q之间的距离为6cm，则APx（cm），QB2x（cm），AB6cm，BC8cmPB（6x）（cm），在ABC中，B90由勾股定理得：（6x）2+（2x）26化简得：5x212x+300（12）245301446000点P，Q之间的距离不可能为6cm（2）设经过x秒，

20、使PBQ的面积等于8cm2，由题意得：12（6x）2x8解得：x12，x24检验发现x1，x2均符合题意经过2秒或4秒，PBQ的面积等于8cm2（3）点P在线段AB上，点Q在线段CB上设经过m秒，0m4，依题意有12（6m）（82m）1m210m+230解得；m15+2（舍），m25-2m5-2符合题意；点P在线段AB上，点Q在射线CB上设经过n秒，4n6，依题意有12（6n）（2n8）1n210n+250解得n1n25n5符合题意；点P在射线AB上，点Q在射线CB上设经过k秒，k6，依题意有12（k6）（2k8）1解得k15+2，k25-2（舍）k5+2符合题意；经过（5-2）秒，5秒，（5

21、+2）秒后，PBQ的面积为1cm212（2022秋射阳县期末）如图，在矩形ABCD中，AB6cm，BC4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B移动，同时，点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D移动（点P到达点B停止时，点Q也随之停止运动），设点P运动时间为t秒（1）试求当t为何值时四边形APQD为矩形；（2）P、Q两点出发多长时间，线段PQ的长度为5cm【分析】（1）根据矩形的对边相等得到APPQ，由时间速度路程求得线段AP、PQ的长度，然后等量关系APPQ列出方程并解答；（2）过点P作PECD于点E，利用勾股定理列出关于t的方程，通过解方程求得答案【解答】解：（1）四

22、边形APQD为矩形，APPQ，2t6t，3t6，t2（2）过点P作PECD于点E，ADDEP90，四边形APED是矩形APDE2t，EQCDDECQ63t，在RtPQE中，PE2+EQ2PQ2，即（63t）29，解得t11，t23，答：当出发1s或3s时，线段PQ的长度为5cm13（2022春铜山区期末）如图，在矩形ABCD中，AB6cm，BC12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动问：（1）几秒时PBQ的面积等于8cm2；（2）几秒时PDQ的面积等于28cm2；（3）几秒时PQDQ【分析】（1）表示出PB，QB的长，利用P

23、BQ的面积等于8cm2列式求值即可；（2）设出发秒x时DPQ的面积等于28平方厘米，根据三角形的面积公式列出方程，再解方程即可；（3）如果PQDQ，则DQP为直角，得出BPQCQD，即可得出BPCQ=BQCD，再设APx，QB2x，得出6-x12-2x=2x6，求出x即可【解答】解：（1）设x秒后PBQ的面积等于8cm2则APx，QB2xPB6x12（6x）2x8，解得x12，x24，答：2秒或4秒后PBQ的面积等于8cm2；（2）设出发秒x时DPQ的面积等于28cm2S矩形ABCDSAPDSBPQSCDQSDPQ126-1212x-122x（6x）-126（122x）28，化简整理得 x26

24、x+80，解得x12，x24，答：2秒或4秒后PDQ的面积等于28cm2；（3）设x秒后PQDQ时，则DQP为直角，BPQCQD，BPCQ=BQCD，设APx，QB2x6-x12-2x=2x6，2x215x+180，解得：x=32或6，经检验x=32是原分式方程的根，x6不是原分式方程的根，当x6时，P点到达B点、Q点到达C点，此时PQDQ答：32秒或6秒后PQDQ14（2022宿迁三模）如图，在矩形ABCD中，AB6cm，BC12cm，点P从点B出发沿线段BC、CD以2cm/s的速度向终点D运动；同时，点Q从点C出发沿线段CD、DA以1cm/s的速度向终点A运动（P、Q两点中，只要有一点到达

25、终点，则另一点运动立即停止）（1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？（2）在运动过程中，APQ的面积能否等于22cm2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由【分析】（1）根据题意可以分别计算出两个点运动到终点的时间，从而可以解答本题；（2）先判断，然后计算出相应的时间即可解答本题【解答】解：（1）点P从开始到运动停止用的时间为：（12+6）29s，点Q从开始到运动停止用的时间为：（6+12）118s，918，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止，点P先到终点，此时点Q离终点的距离是：（6+12）199cm，答：点P先到终点，此时点Q离终点的距离是9cm；（2）在运动过程

26、中，APQ的面积能等于22cm2，当P从点B运动到点C的过程中，设点P运动时间为as，APQ的面积能否等于22cm2，126-2a62-(12-2a)a2-(6-a)122=22，解得，此方程无解；当点P从C到D的过程中，设点P运动的时间为（b+6）s，APQ的面积能否等于22cm2，126-(6+2b)122-b(6-2b)2=22，解得，b11，b214（舍去），即需运动6+17s，APQ的面积能等于22cm215（2022春嘉兴期末）如图，长方形ABCD（长方形的对边相等，每个角都是90），AB6cm，AD2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q

27、以1厘米/秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动设运动的时间为t，问：（1）当t1秒时，四边形BCQP面积是多少？（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？（3）当t3+72，3-72，65，-6+2333以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形（直接写出答案）【分析】（1）如图1，当t1时，就可以得出CQ1cm，AP2cm，就有PB624cm，由梯形的面积就可以得出四边形BCQP的面积；（2）如图1，作QEAB于E，在RtPEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2，作PECD于E，在RtPEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可；（3）分情况讨论，如图3，当PQDQ时，

28、如图4，当PDPQ时，如图5，当PDQD时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论【解答】解：（1）如图1，四边形ABCD是矩形，ABCD6，ADBC2，ABCD90CQ1cm，AP2cm，AB624cmS=2(1+4)2=5cm2答：四边形BCQP面积是5cm2；（2）如图1，作QEAB于E，PEQ90，BC90，四边形BCQE是矩形，QEBC2cm，BECQtAP2t，PE62tt63t在RtPQE中，由勾股定理，得（63t）2+49，解得：t=653如图2，作PECD于E，PEQ90BC90，四边形BCQE是矩形，PEBC2cm，BPCE62tCQt，QEt（62t）3t6在

29、RtPEQ中，由勾股定理，得（3t6）2+49，解得：t=653综上所述：t=6-53或6+53；（3）如图3，当PQDQ时，作QEAB于E，PEQ90，BC90，四边形BCQE是矩形，QEBC2cm，BECQtAP2t，PE62tt63tDQ6tPQDQ，PQ6t在RtPQE中，由勾股定理，得（63t）2+4（6t）2，解得：t=372如图4，当PDPQ时，作PEDQ于E，DEQE=12DQ，PED90BC90，四边形BCQE是矩形，PEBC2cmDQ6t，DE=6-t22t=6-t2，解得：t=65；如图5，当PDQD时，AP2t，CQt，DQ6t，PD6t在RtAPD中，由勾股定理，得4

30、+4t2（6t）2，解得t1=-6+2333，t2=-6-2333（舍去）综上所述：t=3+72，3-72，65，-6+2333故答案为：3+72，3-72，65，-6+233316（2022秋皇姑区校级月考）（1）求x2+6x+1的最小值；（2）求2x2+6x+1的最大值；（3）如图，已知AB8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，DAP60，M，N分别是对角线AC，BE的中点，当点P在线段AB上移动时，设APx，直接用含有x的代数式表示MN2，并直接写出MN2的最小值【分析】（1）将代数式配方，由于二次项系数大于

31、0，代数式有最小值，根据配方式可得最小值；（2）将代数式配方，由于二次项系数小于0，代数式有最大值，根据配方式可得最大值；（3）连接PM、PN首先证明MPN90，设PAx，则PB8x，PM=12x，PN=3（4-12x），构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题【解答】解：（1）x2+6x+1（x+3）28，当x3时，x2+6x+1有最小值，最小值是8；（2）2x2+6x+12（x-32）2+112，当x=32时，2x2+6x+1有最大值，最大值是112；（3）连接PM、PN四边形APCD，四边形PBFE是菱形，DAP60，APC120，EPB60，M，N分别是对角线AC，BE的中点，CP

32、M=12APC60，EPN=12EPB30，MPN60+3090，设PAx，则PB8x，PM=12x，PN=3（4-12x），MN2（12x）2+3（4-12x）2x212x+48（x6）2+12，x6时，MN2有最小值，最小值为12，故答案为：1217（2022秋宽城区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB8，AD4点P从点A出发，沿ADCD运动，速度为每秒2个单位长度；点Q从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度P、Q两点同时出发，点Q运动到点B时，两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t（秒）连接PQ、AC、CP、CQ（1）点P到点C时，t6；当点Q到终点时，PC的长度为4；（2）用含

33、t的代数式表示PD的长；（3）当三角形CPQ的面积为9时，求t的值【分析】（1）点P到点C时，所走路程为AD+CD，除以速度求出t的值，当点Q到终点时，P点回到CD中点，可直接求出PC；（2）分点P在AD上时，DC时，CD时进行讨论；（3）同第2问三种情况进行讨论【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AB8，AD4，CDAB8点P到点C时，所走路程为AD+CD12，t=122=6s当点Q到终点时，t8s，P点回到CD中点，CP4；（2）当0t2时，PD42t；当2t6时，PD2t4；当6t8时，PD8（2t12）202t；（3）当0t2时，AP2t PD42t AQt BQ8tSCPQ48-12

34、t2t-12（8t）4-12（42t ）8t2+10t9，t11，t29（舍去） 当2t6时，PC122tSCPQ=12（122t）4244t9，t=154当6t8时，PC2t12SCPQ=12（2t12）44t249，t=334（舍弃），综上所述，当三角形CPQ的面积为9时t1或t=15418（2022春大庆期中）如图，菱形ABCD中，AC，BD交于O，AC8cm，BD6cm，动点M从A出发沿AC方向以每秒2cm匀速直线运动到C，动点N从B出发沿BD方向以每秒1cm匀速直线运动到D，若M，N同时出发，问出发后几秒钟时，MON的面积为菱形ABCD面积的112？【分析】根据点M、N运动过程中与O

35、点的位置关系，分当x2时，点M在线段AO上，点N在线段BO上、当2x3时，点M在线段OC上，点N在线段BO上和当x3时，点M在线段OC上，点N在线段OD上三种情况分别讨论【解答】解：设出发后x秒时，SMON=112S菱形ABCDS菱形ABCD=12ACBD=1286=24，SMON=112S菱形ABCD=2，（1）当x2时，点M在线段AO上，点N在线段BO上由12（42x）（3x）2；解得x11，x24（舍去）x2，x1；（2）当2x3时，点M在线段OC上，点N在线段BO上，由12（2x4）（3x）2；化简为x25x+80，此时方程0，原方程无实数解；（3）当x3时，点M在线段OC上，点N在线

36、段OD上，由12（2x4）（x3）2；解得x11（舍去），x24x3，x4，综上所述，出发后1s或4s时，SMON=112S菱形ABCD19（2022秋海州区校级月考）如图，在正方形ABCD中，AB5cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动时间为ts（0t5）在P、Q两点移动的过程中，PQ的长度能否等于10cm？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由【分析】在正方形ABCD中求出对角线AC的长度，过点P作PHBC于点H，用含t的代数式表示出HQ、PH的长度，然后在RtPHQ中利用勾股定理得出PH2+

37、HQ2PQ2，根据PQ的长度等于10cm列方程求解【解答】解：在正方形ABCD中，AB5cm，AC52cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动时间为ts（0t5），AP=2tcm，CQtcm，PC（52-2t）cm，BQ（5t）cm过点P作PHBC于点H，则PHHC=PC2=（5t）cm，HQ|HCCQ|52t|cm在RtPHQ中，PHQ90，PH2+HQ2PQ2，PQ的长度等于10cm，（5t）2+（52t）2（10）2，解得：t12，t24故在P、Q两点移动的过程中，PQ的长度能等于10cm，此时

38、t的值为2或420（2022曹县二模）如图，四边形ABCD中，ADBC，A90，AD1cm，AB3cm，BC5cm，动点P从点B出发以1cm/s的速度沿BC的方向运动，动点Q从点C出发以2cm/s的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动的时间为ts（t0）（1）求线段CD的长；（2）t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分？【分析】（1）作DEBC于E，根据勾股定理即可求解；（2）线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分，分两种情况进行求解【解答】解：（1）如图1，作DEBC于E，则四边形ADEB是矩形BEAD1，DEAB

39、3，ECBCBE4，在RtDEC中，DE2+EC2DC2，DC=DE2+CE2=5厘米；（2）点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒，运动时间为t秒，BPt厘米，PC（5t）厘米，CQ2t厘米，QD（52t）厘米，且0t2.5，作QHBC于点H，DEQH，DECQHC，CC，DECQHC，DEQH=DCQC，即3QH=52t，QH=65t，SPQC=12PCQH=12（5t）65t=-35t2+3t，S四边形ABCD=12（AD+BC）AB=12（1+5）39，分两种情况讨论：当SPQC：S四边形ABCD1：3时，-35t2+3t=139，即t25t+50，解得t1=5-52，t2=5

40、+52（舍去）；SPQC：S四边形ABCD2：3时，-35t2+3t=239，即t25t+100，0，方程无解，当t为5-52秒时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分21（2022秋天宁区月考）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒（1）求点Q的坐标；（2）当t为何值时，APQ的面积为245个平方单位？【分析】（1）过点Q作QHAO于H，如图所示，易证AHQAOB，根据相似三角形的性质可用t的代数式表示

41、出QH，进而表示出HO的长，进而得出答案；（2）利用（1）中所求，从而得到APQ的面积与t的关系，根据条件就可求出t的值【解答】解：（1）过点Q作QHAO于H，如图所示，则有AHQAOB90又HAQOAB，AHQAOB，QHOB=AQAB，QH8=10-2t10，QH=40-8t5，设HOx，则AH6x，AHQAOB，AH6=HQ8，故6-x6=40-8t58解得：x=65t，则Q（40-8t5，65t）；（2）由（1）得：SAPQ=12APQH=12t40-8t5=20t-4t25当SAPQ=245时，20t-4t25=245，解得：t12，t23当t为2秒或3秒时，APQ的面积为245个平

42、方单位22（2022秋镇江期中）在矩形ABCD中，AB12cm，BC6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C移动，点P运动到点B时，点Q也停止运动，几秒钟后PQC的面积等于16cm2？【分析】设t秒钟后PQC的面积等于16cm2根据SPQCSPBCSPBQ列出方程并解答即可【解答】解：设t秒钟后PQC的面积等于16cm2依题意得：126（122t）-12（122t）t16，整理，得（t10）（t2）0，解得t10（舍去）或t2答：2秒钟后PQC的面积等于16cm223（2022秋丹阳市校级月考）如图，在ABC中，B90，ABB

43、C10cm，点P从点A出发沿射线AB以1cm/s的速度做直线运动，点Q从点C出发沿射线BC以2cm/s的速度做直线运动如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，SPCQ=1225SABC？【分析】分两种情况：P在线段AB上；P在线段AB的延长线上；进行讨论即可求得P运动的时间【解答】解：设当点P运动x秒时，SPCQ=1225SABC，当P在线段AB上，此时CQ2x，PB10x，SPCQ=122x（10x）=1225121010，化简得 x210 x+240解得x6或4；P在线段AB的延长线上，此时CQ2x，PBx10SPCQ=122x（x10）=1225121010，化简得 x210 x240

44、解得x12或2，负根不符合题意，舍去所以当点P运动4秒、6秒或12秒时PCQ的面积SPCQ=1225SABC24（2022春萧山区期中）如图，在RtABC中，BCA90，AC6cm，BC8cm有一动点P从B点出发，在射线BC方向移动，速度是2cm/s，在P点出发后2秒后另一个动点Q从A点出发，在射线AC方向移动，速度是1cm/s若设P出发后时间为t秒（1）用含t的代数式分别表示线段AQ、PC的长度，并写出相应的t的取值范围（2）连接AP、PQ，求使APQ面积为3cm2时相应的t的值（3）问是否存在这样的时间t，使AP平分BAC或者BAC的外角？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由【分

45、析】（1）PC的长度分两种情况讨论：0t4，t4；AQ的长度分两种情况讨论：0t2，t2；（2）分两种情况讨论：2t4，t4；根据APQ面积为3cm2，列出方程即可求解；（3）过P点作PDAB于D，根据勾股定理可求AB的长，再根据角平分线的性质可知PCPD，在RtPBC中，可求BP的长，可求t的一个解；根据一个角的内角平分线和外角平分线互相垂直，可求t的另外一个解【解答】解：（1）PC=8-2t(0t4)2t-8(t4)，AQ=0(0t2)t-2(t2)；（2）当2t4时，12（82t）（t2）3，化简为t26t+110，364480，故方程无解；当t4时，12（2t8）（t2）3，化简为t2

46、6t+50，解得t11（不合题意舍去），t25故使APQ面积为3cm2时相应的t的值为5（3）过P点作PDAB于D在RtABC中，AB=62+82=10，AP平分BAC，PCPD，ACAD，BD1064，在RtPBC中，BP242+（8BP）2，解得BP5，则t522.5s，一个角的内角平分线和外角平分线互相垂直，3：66：（2t8），解得t10故使AP平分BAC或者BAC的外角时t的值为2.5或1025（2022秋营山县校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB6cm，BC12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动如果P、Q分

47、别从A、B同时出发，问几秒钟时PBQ的面积等于8cm2？【分析】设t秒钟后，SPBQ8，则APt，PBABAP6t，QB2t，而SPBQ=12PBQB，由此可以列出方程求解【解答】解：设t秒钟后，SPBQ8，则122t（6t）8，t26t+80，t12，t24，答：2s或4s时PBQ的面积等于8cm226（2022秋淮安校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB6cm，BC12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，问几秒后PBQ的面积等于8cm2？【分析】表示出PB，QB的长，利用PBQ的面积等于8列式求值即可【解答】解：设x秒

48、后PBQ的面积等于8cm2则APx，QB2xPB6x12（6x）2x8，解得x12，x24，答：2秒或4秒后PBQ的面积等于8cm227（2022秋武侯区期末）如图，AB200cm，O为AB的中点，OEAB，P从A点以2cm/s的速度向B运动，点Q从O点以3cm/s的速度运动向E运动，当P、Q两点运动多少时间时，POQ的面积为1800cm2？【分析】关键是用未知数x表示出POQ的面积，AP2x，OP（1002x），OQ3x，POQ的面积为12OQOP，即再解一元二次方程即可【解答】解：当点P在AO上运动时，设P、Q两点运动x秒时，POQ的面积为1800cm2，AP2x，OP（1002x），OQ

49、3x123x（1002x）1800，x120，x230当P点在OB上时，123x（2x100）1800，x250x6000x160，x210（舍去）答：设P、Q两点运动20、30、60秒时，POQ的面积为1800cm228（2022春永嘉县期中）附加题（1）试用一元二次方程的求根公式，探索方程ax2+bx+c0（a0）的两根互为相反数的条件是b0，且a，c异号（2）已知x、y为实数，3x-2+y2-4y+4=0，则xy=13（3）在直角梯形ABCD中，ADBC，C90度，BC16，AD21，DC12，动点P从点D出发，沿线段DA方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB以每

50、秒1个单位长度的速度向点B运动点P、Q分别从点D、C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动，设运动时间为t秒设BPQ的面积为S，求S和t之间的函数关系式；当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？（分类讨论）【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于-ba=0，可求出b0；（2）先将原式变形为3x-2+(y-2)2=0，再根据二次根式与平方都是非负数，即可求得x=23，y2，即可求得xy=13（3）作PMBC，则PMDC，根据三角形的面积公式S=12BMPM即可求解若以B、P、Q三顶为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：第一种：PQBQ；第二种：B

51、PBQ；第三种：若PBPQ根据勾股定理可求得t=72或t=163，B、P、Q三点为顶点三角形是等腰三角形【解答】解：（1）依题意可知：x1+x2=-ba=0，a0b0并且判别式b24ac0，则a，c异号故方程ax2+bx+c0（a0）的两根互为相反数的条件是：b0，且a，c异号（2）3x-2+y2-4y+4=0，即3x-2+(y-2)2=0，3x20，y20，x=23，y2，xy=13（3）作PMBC，垂足为M则四边形PDCM为矩形PMDC12QB16t，S=1212(16-t)=96-6t可知CMPD2t，CQt，若以B、P、Q三顶为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：第一种：PQBQ

52、，在RtPMQ中，PQ2PM2+QM2122+t2，解t=72第二种：BPBQ，在RtPMB中，BP2（162t）2+122，3t232t+1440无实根，PBBQ第三种：若PBPQ，由PB2PQ2得t2+122（162t）2+122，解得t1=163，t216（舍去）综上可知：t=72或t=163，B、P、Q三点为顶点三角形是等腰三角形29（2022秋驻马店期末）如图，在矩形ABCD中，AB8cm，AD6cm，点F是CD延长线上一点，且DF2cm点P、Q分别从A、C同时出发，以1cm/s的速度分别沿边AB、CB向终点B运动，当一点运动到终点B时，另一点也停止运动FP、FQ分别交AD于E、M两

53、点，连接PQ、AC，设运动时间为t （s）（1）用含有t的代数式表示DM的长；（2）设FCQ的面积为y （cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）线段FQ能否经过线段AC的中点？若能，请求出此时t的值；若不能，请说明理由；（4）设FPQ的面积为S （cm2），求S与t之间的函数关系式，并回答：在t的取值范围内，S是如何随t的变化而变化的？【分析】已知FD、DC的长度，CQt，利用相关的相似三角形可以表示出DM的长度与t的关系式和y与t的关系式；s不能直接与t建立联系，可以用图形剪切法，s等于梯形PBCF的面积减去PBQ和FQC的面积，从而建立s与t的关系【解答】解：（1）由图可知FDM与FC

54、Q相似，FDFC=DMCQ，CQt，所以DM=15t；（2）SFCQ=12CQCF=12t105t；（3）当DMBQ时，四边形CMAQ为平行四边形，对角线互相平分，即15t6t，t5；（4）S梯形FCBP=126（10+8t）543tSBPQ=12（8t）（6t）=12t2-7t+24SS梯形FCBPSFCQSBPQ=-12t2-t+30=-12(t+1)2+612S随t的增大而减小即：从t0，S30变化到t6，S630（2022春文登区期中）如图，在RtABC中，C90，AB10cm，AC8cm，点P从A出发向C以1cm/s的速度运动、点Q同时从C出发向B以1cm/s的速度运动，当一个点运动

55、到终点时，该点停止运动，另一个点继续运动，当两个点都到达终点时也停止运动（1）几秒后，CPQ的面积为RtABC的面积的18？（2）填空：点经过254秒，点P在线段AB的垂直平分线上点Q经过83秒，点Q在BAC的平分线上【分析】（1）设经过x秒，首先求得线段BC的长，然后分x6和6x8两种情况列方程求解即可；（2）点P在线段AB的垂直平分线上，即可得到PAPB，从而求得时间；点Q在BAC的平分线上，则Q点到AC和AB的距离相等【解答】解；（1）设经过x秒在RtABC中，BC=AB2-AC2=6(cm)根据题意得；当x6时，12（8x）x=181286解得：x1=4-10，x2=4+10(舍去)当6x8时，12（8x）637解得：x7答：经过7秒或4-10秒（2）当点P在线段AB的垂直平分线上时，PAPB，设经过x秒后点P在线段AB的垂直平分线上，x2（8x）2+62解得：x=254，经过254秒，点P在线段AB的垂直平分线上如图，作QDAB于点D，点Q在BAC的平分线上，QDQC，设经过x秒，则CQx，则QD=54（6x），x=54（6x），解得：x=83，点Q经过83秒，点Q在BAC的平分线上