22.3 二次函数的性质【六大题型】（人教版）（教师版）.docx

1、专题22.3 二次函数的性质【六大题型】【人教版】【题型1 利用二次函数的性质判断结论】1【题型2 利用二次函数的性质比较函数值】4【题型3 二次函数的对称性的应用】6【题型4 利用二次函数的性质求字母的范围】7【题型5 利用二次函数的性质求最值】9【题型6 二次函数给定范围内的最值问题】12【题型1 利用二次函数的性质判断结论】【例1】（2022新华区校级一模）已知函数y2mx2+（14m）x+2m1，下列结论错误的是（）A当m0时，y随x的增大而增大B当m=12时，函数图象的顶点坐标是（12，-14）C当m1时，若x54，则y随x的增大而减小D无论m取何值，函数图象都经过同一个点【分析】根

2、据题意中的函数解析式和各个选项中的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题【解答】解：当m0时，yx1，则y随x的增大而增大，故选项A正确，当m=12时，yx2x（x-12）2-14，则函数图象的顶点坐标是（12，-14），故选项B正确，当m1时，y2x2+5x32（x-54）2+18，则当x54，则y随x的增大而增大，故选项C错误，y2mx2+（14m）x+2m12mx2+x4mx+2m1（2mx24mx+2m）+（x1）2m（x1）2+（x1）（x1）2m（x1）+1，函数y2mx2+（14m）x+2m1，无论m取何值，函数图象都经过同一个点（1，0），故选项D正确，故选：C【变式1-1】（

3、2022秋遂川县期末）关于抛物线yx2（a+1）x+a2，下列说法错误的是（）A开口向上B当a2时，经过坐标原点OC不论a为何值，都过定点（1，2）Da0时，对称轴在y轴的左侧【分析】根据函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题【解答】解：抛物线yx2（a+1）x+a2，此抛物线开口向上，故选项A正确，当a2时，yx23x过点（0，0），故选项B正确，当x1时，y2，此时解析式中的a正好可以消掉，故选项C正确，抛物线的对称轴是直线x=-(a+1)21=a+12，当a0时，对称轴x12在y轴右侧，故选项D错误，故选：D【变式1-2】（2022秋金牛区期末）对于

4、抛物线y2（x+1）2+3，下列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线x1：顶点坐标为（1，3）；x1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（）A1B2C3D4【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确【解答】解：抛物线y2（x+1）2+3，a20，抛物线的开口向下，故正确，对称轴是直线x1，故错误，顶点坐标为（1，3），故正确，x1时，y随x的增大而减小，故正确，故选：C【变式1-3】（2022赤壁市一模）对于二次函数yx22mx3，有下列结论：它的图象与x轴有两个交点；如果当x1时，y随x的增大而减小，则m1；如果将它的图象向左平移3个单位后过原点

5、，则m1；如果当x2时的函数值与x8时的函数值相等，则m5其中一定正确的结论是（把你认为正确结论的序号都填上）【分析】利用根的判别式0判定即可；根据二次函数的增减性利用对称轴列不等式求解即可；根据向左平移横坐标减求出平移前的点的坐标，然后代入函数解析式计算即可求出m的值；根据二次函数的对称性求出对称轴，再求出m的值，然后把x2012代入函数关系式计算即可得解【解答】解：（2m）241（3）4m2+120，它的图象与x轴有两个公共点，故本小题正确；当x1时y随x的增大而减小，对称轴直线x=-2m2-1，解得m1，故本小题错误；将它的图象向左平移3个单位后过原点，平移前的图象经过点（3，0），代入

6、函数关系式得，322m330，解得m1，故本小题正确；当x2时的函数值与x8时的函数值相等，对称轴为直线x=2+82=5，-2m21=5，解得m5，故本小题正确；综上所述，结论正确的是共3个故答案为：【题型2 利用二次函数的性质比较函数值】【例2】（2022陕西）已知二次函数yx22x3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3当1x10，1x22，x33时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（）Ay1y2y3By2y3y1Cy3y1y2Dy2y1y3【分析】首先求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性即可解决问题【解答】解：抛物线yx22x3（x1）24，对称轴x1，顶点坐

7、标为（1，4），当y0时，（x1）240，解得x1或x3，抛物线与x轴的两个交点坐标为：（1，0），（3，0），当1x10，1x22，x33时，y2y1y3，故选：D【变式2-1】（2022秋金安区校级月考）抛物线yx2+x+2，点（2，a），（1，b），（3，c），则a，b，c的大小关系是（）AcabBbacCabcD无法比较大小【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=-12，然后比较三个点都直线x=-12的远近得到a、b、c的大小关系【解答】解：yx2+x+2，抛物线开口向上，对称轴为直线x=-121=-12，（2，a）、（1，b），（3，c），点（3，c）离直线x=-12

8、最远，（1，b）离直线x=-12最近，cab；故选：A【变式2-2】（2022春鼓楼区校级月考）已知点A（bm，y1），B（bn，y2），C（b+m+n2，y3）都在二次函数yx2+2bx+c的图象上，若0mn，则y1，y2，y3的大小关系是（）Ay1y2y3By2y3y1Cy3y1y2Dy1y3y2【分析】逐次比较A、B、C三个点离函数对称轴距离即可求解【解答】解：抛物线开口向下，对称轴为直线xb，0mn，点B离对称轴最远，点A离对称轴近，y2y3y1，故选：B【变式2-3】（2022朝阳区校级一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：yax22ax+4（a0）若A（m1，y1），B（m，

9、y2），C（m+2，y3）为抛物线上三点，且总有y3y1y2结合图象，则m的取值范围是 12m32【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，分类讨论y3y1与y1y2，由两点中点与对称轴的位置关系求解【解答】解：yax22ax+4（a0），抛物线对称轴为直线x1，抛物线开口向上，y3y1，x1+x321，即m-1+m+221，解得m12，y1y2，m-1+m21，解得m32，12m32，故答案为：12m32【题型3 二次函数的对称性的应用】【例3】（2022秋望江县期末）在二次函数yx2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x1134y6mn6则m、n的大小关系为（）Amn

10、BmnCmnD无法确定【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，再根据二次函数的图象具有对称性，可以得到m、n的大小关系，从而可以解答本题【解答】解：由表格可得，二次函数yx2+bx+c的对称轴是直线x=-1+42=32，二次函数yx2+bx+c该函数图象开口向下，32-1=12，3-32=32，mn，故选：B【变式3-1】（2022秋甘州区校级期末）二次函数yax2+bx+c（a0）中x，y的部分对应值如下表：x21012y04664则该二次函数图象的对称轴为（）Ay轴B直线x=12C直线x1D直线x=32【分析】根据图表找出函数值相等时对应的自变量即

11、可求出对称轴【解答】解：由图表可知：x0时，y6，x1时，y6，二次函数的对称轴为：x=0+12=12故选：B【变式3-2】（2022随州校级模拟）已知二次函数y2x29x34，当自变量x取两个不同的值x1，x2时，函数值相等，则当自变量x取x1+x2时的函数值应当与（）Ax1时的函数值相等Bx0时的函数值相等Cx=14的函数值相等Dx=94的函数值相等【分析】由于二次函数y2x29x34，当自变量x取两个不同的值x1，x2时，函数值相等，由此可以确定x1+x2的值，然后根据已知条件即可求解【解答】解：y2x29x34，对称轴为x=-b2a=94，而自变量x取两个不同的值x1，x2时，函数值相

12、等，x1+x2=92，而x=92和x0关于x=94对称，当自变量x取x1+x2时的函数值应当与x0时的函数值相等故选：B【变式3-3】（2022临安区模拟）已知二次函数的解析式为y（xm）（x1）（1m2），若函数过（a，b）和（a+6，b）两点，则a的取值范围（）A2a-32B2a1C3a-32D0a2【分析】先将原二次函数整理得一般式，再得当x=m+12时取最小值，根据函数过（a，b）和（a+6，b）两点，得xa+3时取最小值，根据1m2，进而可得a的取值范围【解答】解：方法一：y（xm）（x1）（1m2），yx2（m+1）x+m，当x=m+12时取最小值，函数过（a，b）和（a+6，b）

13、两点，x=a+a+62=a+3时取最小值，a+3=m+12，m2a+5，方法二：令y0，则xm，x1，又函数过（a，b）和（a+6，b），所以对称轴x（a+a+6）2a+3，得出m2a+51m2，12a+52，解得2a-32故选：A【题型4 利用二次函数的性质求字母的范围】【例4】（2022西湖区一模）设函数ykx2+（4k+3）x+1（k0），若当xm时，y随着x的增大而增大，则m的值可以是（）A1B0C1D2【分析】当k0时，抛物线对称轴为直线x=-4k+32k，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，根据题意，得m-4k+32k，而当k0时，-4k+32k=-2-32k-2，可确定m的范围，【

14、解答】解：k0，函数ykx2+（4k+3）x+1的图象在对称轴直线x=-4k+32k的左侧，y随x的增大而增大当xm时，y随着x的增大而增大m-4k+32k，而当k0时，-4k+32k=-2-32k-2，所以m2，故选：D【变式4-1】（2022盐城）若点P（m，n）在二次函数yx2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是 1n10【分析】由题意可知2m2，根据m的范围即可确定n的范围【解答】解：yx2+2x+2（x+1）2+1，二次函数yx2+2x+2的图象开口象上，顶点为（1，1），对称轴是直线x1，P（m，n）到y轴的距离小于2，2m2，而1（2）2（1），当m2，

15、n（2+1）2+110，当m1时，n1，n的取值范围是1n10，故答案为：1n10【变式4-2】（2022秋鹿城区校级期中）已知抛物线y（x2）2+9，当mx5时，0y9，则m的值可以是（）A2B1C3D4【分析】根据题意和二次函数的性质，可以求得m的取值范围，从而可以求得m可能的值【解答】解：二次函数y（x2）2+9，该函数图象开口向下，当x2时，y取得最大值9，mx5，m2；又当mx5时，0y9，令y0，则（x2）2+90，解得：x11，x25，m1m的取值范围为：1m2，故选：B【变式4-3】（2022绵竹市模拟）若抛物线y（xm）（xm3）经过四个象限，则m的取值范围是（）Am3B1m

16、2C3m0D2m1【分析】抛物线y（xm）（xm3）中，令y0，可得x1m，x2m+3，即该抛物线与x轴交点为（m，0 ）和（m+3，0），又抛物线过四个象限，故这两点必须位于原点的左右两侧，故能得出正确答案【解答】解：令y0，得 （xm）（xm3）0， 解得x1m，x2m+3，抛物线与x轴的两个交点为（m，0 ）和（m+3，0），抛物线经过四个象限，（m，0 ）和（m+3，0）分别位于原点两侧， 即 m0m+3，3m0，故选：C【题型5 利用二次函数的性质求最值】【例5】（2022秋丹阳市期末）若实数m、n满足m+n2，则代数式2m2+mn+mn的最小值是_【分析】设y2m2+mn+mn，由

17、m+n2得n2m，再由二次函数的性质即可解决问题【解答】解：设y2m2+mn+mn，m+n2，n2m，y2m2+m（2m）+m（2m）m2+4m2（m+2）26，此为一个二次函数，开口向上，有最小值，当m2时，y有最小值为6，故答案为：6【变式5-1】（2022秋宁明县期中）已知抛物线yx23x+t经过A（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）设点P（m，n）在该抛物线上，求m+n的最大值【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）根据图象上点的坐标特征，得到nm23m+3，进而得到m+nm22m+3（m+1）2+4，根据二次函数的性质即可求得结果【解答】解：（1）将A（0，3）代入解析式，得

18、t3，抛物线的解析式为yx23x+3；（2）点P（m，n）在抛物线yx23x+3上，nm23m+3，m+nm22m+3（m+1）2+4，当m1时，m+n有最大值是4【变式5-2】（2022雁塔区校级四模）抛物线yax2+bx+3（a0）过A（4，4），B（2，m）两点，点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0d1，则实数m的取值范围是（）Am2或m3Bm3或m4C2m3D3m4【分析】把A（4，4）代入抛物线yax2+bx+3得4a+b=14，根据对称轴x=-b2a，B（2，m），且点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0d1，所以0|2-(-b2a)|1，解得a18或a-18，把B（2，m）代入

19、yax2+bx+3得：4a+2b+3m，得到a=78-m4，所以78-m418或78-m4-18，即可解答【解答】解：把A（4，4）代入抛物线yax2+bx+3得：16a+4b+34，16a+4b1，4a+b=14，对称轴x=-b2a，B（2，m），且点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0d1，0|2-(-b2a)|10|4a+b2a|1，|18a|1，a18或a-18，把B（2，m）代入yax2+bx+3得：4a+2b+3m2（2a+b）+3m2（2a+14-4a）+3m72-4am，a=78-m4，78-m418或78-m4-18，m3或m4故选：B【变式5-3】（2021永嘉县校级模拟）

20、已知抛物线ya（x2）2+1经过第一象限内的点A（m，y1）和B（2m+1，y2），1y1y2，则满足条件的m的最小整数是（）A1B2C3D4【分析】根据题意得到抛物线开口向上，根据二次函数的性质得到关于m的不等式，解得即可【解答】解：ya（x2）2+1，抛物线对称轴为x2，函数的最值为1，抛物线ya（x2）2+1经过第一象限内的点A（m，y1）和B（2m+1，y2），1y1y2，抛物线开口向上，m0，0m2m+1，当0m2时，则2m2m+12，解得m1，当m2时，2m+122m，解得m1，1y1y2，m2，满足条件的m的最小整数是3，故选：C解法二：解：抛物线ya（x2）2+1经过第一象限内

21、的点A（m，y1）和B（2m+1，y2），1y1y2，抛物线开口向上，即a0，m0，0m2m+1，1y1y2，y1y2a（m2）2+1a（2m+12）2+13a（m+1）（m1）0，a0，m0，m10，m1，1y1y2，m2，满足条件的m的最小整数是3，故选：C【题型6 二次函数给定范围内的最值问题】【例6】（2022秋让胡路区期末）若二次函数yx2+mx在1x2时的最大值为3，那么m的值是（）A4或72B23或72C4 或23D23或2 3【分析】表示出对称轴，分三种情况，找出关于m的方程，解之即可得出结论【解答】解：yx2+mx，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线x=-m2(-1)=m2

22、，当m2-1，即m2时，当x1时，函数最大值为3，1m3，解得：m4；当m22，即m4时，当x2时，函数最大值为3，4+2m3，解得：m=72（舍去）当1m22，即2m4时，当x=m2时，函数最大值为3，-m24+m22=3，解得m23或m23（舍去），综上所述，m4或m23，故选：C【变式6-1】（2021雁塔区校级模拟）已知二次函数ymx2+2mx+1（m0）在2x2时有最小值2，则m（）A3B3或38C3或-38D3或-38【分析】先求出对称轴为x1，分m0，m0两种情况讨论解答即可求得m的值【解答】解：二次函数ymx2+2mx+1m（x+1）2m+1，对称轴为直线x1，m0，抛物线开口

23、向上，x1时，有最小值ym+12，解得：m3；m0，抛物线开口向下，对称轴为直线x1，在2x2时有最小值2，x2时，有最小值y4m+4m+12，解得：m=-38；故选：C【变式6-2】（2022岳阳）已知二次函数ymx24m2x3（m为常数，m0），点P（xp，yp）是该函数图象上一点，当0xp4时，yp3，则m的取值范围是（）Am1或m0Bm1Cm1或m0Dm1【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与y轴的交点坐标，再分两种情况：m0或m0，根据二次函数的性质求得m的不同取值范围便可【解答】解：二次函数ymx24m2x3，对称轴为x2m，抛物线与y轴的交点为（0，3），点P（xp，yp）是该函

24、数图象上一点，当0xp4时，yp3，当m0时，对称轴x2m0，此时，当x4时，y3，即m424m2433，解得m1；当m0时，对称轴x2m0，当0x4时，y随x增大而减小，则当0xp4时，yp3恒成立；综上，m的取值范围是：m1或m0故选：A【变式6-3】（2022秋南充期末）若二次函数yx22x+5在mxm+1时的最小值为6，那么m的值是 1+2或-2【分析】由抛物线解析式确定出其对称轴x1，分m1或m+11或m1m+1三种情况，分别确定出其最小值，由最小值为6，则可得到关于m的方程，可求得m的值【解答】解：yx22x+5（x1）2+4，抛物线开口向上，对称轴为x1，当m1时，可知当自变量x满足mxm+1时，y随x的增大而增大，当xm时，y有最小值，m22m+56，解得m1+2或m1-2（舍去），当m+11时，可知当自变量x满足mxm+1时，y随x的增大而减小，当xm+1时，y有最小值，（m+1）22（m+1）+56，解得m=2（舍去）或m=-2，当m1m+1时，可知当自变量x满足mxm+1时，y随x的增大而减小，当x1时，y的最小值为4，不合题意，综上可知m的值为1+2或-2故答案为：1+2或-2