24.3-24.4 弧、弦、圆心角 圆周角-2022-2023学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）.docx

1、24.3-24.4 弧、弦、圆心角 圆周角考点一：弧、弦、圆心角（1）顶点在圆心的角叫做_圆心角_.（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_相等_，所对的弦也_相等_.（3）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等.考点四：圆周角（1）圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角.特征：角的顶点在圆上；角的两边都与圆相交.（2）同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的_一半_.（3）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧

2、所对的圆心角的_一半_.（4）半圆(或直径)所对的圆周角是_直角_，90的圆周角所对的弦是_直径_.（5）如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做_圆内接多边形 _，这个圆叫做这个多边形的外接圆.圆内接四边形的_对角互补_.题型一：弧、弦、圆心角关系求解1（2022全国九年级）如图，BD是的直径，弦AC交BD于点G连接OC，若，则的度数为（）A98B103C108D1132（2022安徽合肥市第四十二中学三模）如图，AB为O直径，点C，D在O上且AD与CO交于点E，DAB30，若，则CE的长为（）A1BCD3（2022陕西西安高新第一中学初中校区九年级期末）如图，已知O的半径等于

3、2cm，AB是直径，C，D是O上的两点，且，则四边形ABCD的周长等于（）A8cmB10cmC12cmD16cm题型二：弧、弦、圆心角关系求证4（2022安徽滁州九年级期末）如图，已知AB和CD是O的两条等弦，OMAB、ONCD，垂足分别为M、N，BA、DC的延长线交于点P，连接OP下列四个说法：=；OM=ON；PA=PC；BPO=DPO；正确的个数是（）A1B2C3D45（2021山东德州九年级期中）如图，AB是O的直径，弦MNAB，分别过M，N作AB的垂线，垂足为C，D以下结论：ACBD；若四边形MCDN是正方形，则MNAB；若M为的中点，则D为OB中点；所有正确结论的序号是（）ABCD6

4、（2021全国九年级专题练习）如图，AB为O直径，CD为弦，ABCD于E，连接CO，AD，BAD25，下列结论中正确的有（）CEOE；C40；AD2OEABCD题型三：求圆弧的度数问题7（2022全国九年级课时练习）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P已知，则的度数是（）A30B25C20D108（2011河南中考模拟）如图，ABC内接于O，C= 45，AB=4，则O的半径为【】 A2B4C2D9（2021江苏九年级专题练习）如图，梯形ABCD中，有一圆O通过A、B、C三点，且AD与圆O相切于A点若，则的度数为何？（）A116B120C122D128题型四：圆周角定理10（2022

5、黑龙江哈尔滨德强学校九年级阶段练习）下列命题中：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；圆周角的度数等于圆心角度数的一半；相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴其中正确的说法有（）A1个B2个C3个D4个11（2022北京人大附中九年级阶段练习）如图，等腰内接于，其中，下列结论不一定成立的是（）ABCD12（2022重庆巴川初级中学校九年级期末）如图，AB是O的直径，点C、D是圆上两点，且CDB=26，则AOC的度数（）A108B154C118D128题型五：等（同）弧所对圆周角问题13（2022江苏泰州市姜堰区南苑学校九年级）如图，AB是半

6、圆的直径，C、D是半圆上的两点，CAB=24 ，则ADC的度数为（）A124B114C116D12614（2022福建省福州第一中学九年级阶段练习）如图，CD是的直径，上的两点A，B分别在直径CD的两侧，且，则的度数为（）ABCD15（2022四川广元九年级专题练习）如图，四边形ABCD的外接圆为O，BCCD，DAC36，ACD44，则ADB的度数为（）A55B64C65D70题型六：90所对的圆周角是直径问题16（2022云南昭通市昭阳区第一中学九年级期末）如图，AB是O的直径，AC、BC是O的弦，若A30，则B的度数为（）A70B90C40D6017（2022浙江九年级专题练习）如图，在矩

7、形ABCD中，AB8，BC6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若PBCPAB，则PC的最小值是（）A6B3C4D418（2021山西实验中学模拟预测）如图，四边形ABCD是O的内接四边形，BC是O的直径，ACB18，D为的中点，则DAC的度数是（）A36B44C52D55题型七：圆内接多边形问题19（2022全国九年级单元测试）如图，四边形ABCD为O的内接四边形，连接BD，若ABADCD，BDC75，则C的度数为（）A55B60C65D7020（2022江苏淮安市淮安区教师发展中心学科研训处模拟预测）如图，AB是O的直径，点C，D在O上，若D110，则BAC的度数为（）A20B35C

8、55D9021（2021全国九年级专题练习）如图，四边形ABCD内接于O，AB为直径，C=120若AD=2，则AB的长为（）AB2C2D4题型八：圆心角、圆周角的综合问题22（2021江苏阜宁县实验初级中学九年级阶段练习）如图，O的弦AB、DC的延长线相交于点E(1)如图1，若为120，为50，求E的度数；(2)如图2，若AEDE，求证：ABCD23（2022江苏泰州市民兴中英文学校九年级阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，点F是延长线上的一点，且平分，于点E(1)求证：(2)若，求的长24（2020浙江省义乌市廿三里初级中学九年级阶段练习）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，

9、且ODAC，OD与AC交于点E(1)若CAB20，求CAD的度数；(2)若AB8，AC6，求DE的长一、单选题25（2022黑龙江哈尔滨市第一一三中学校九年级阶段练习）下列四个命题中，真命题是( )A如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等B圆是轴对称图形， 任何一条直径都是圆的对称轴C平分弦的直径一定垂直于这条弦D等弧所对的圆周角相等26（2022河南南阳九年级期末）如图，A，B是O上的点，AOB120，C是的中点，若O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（）A25B25CD27（2022全国九年级课时练习）如图，在以AB为直径的O中，点C为圆上的一点，弦于点E，弦AF交CE于点H，交BC于

10、点G，若点H是AG的中点，则的度数为（）A18B21C22.5D3028（2022全国九年级课时练习）如图，在O中，AB是O的直径，AB10，=，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：BOE=30；DOB=2CED；DMCE；CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（）A1B2C3D429（2021陕西商南县富水镇初级中学九年级期中）如图，的弦、相交于点，且求证：30（2022山东临沂九年级期末）如图，AB是的直径，弦AD平分，过点D分别作，垂足分别为E、F，与AC交于点G(1)求证：；(2)若的半径，求AG长一：选择题31（2022湖南长沙市开福区青竹湖湘一外国语

11、学校九年级阶段练习）如图，是的直径，弦于点，的半径为，则弦的长为（）A3BCD932（2022广东佛山市南海外国语学校三模）如图，在中，已知直径垂直弦，那么的度数等于（）ABCD33（2022全国九年级单元测试）如图，是直径，点，在半圆上，若，则（）ABCD34（2022四川渠县崇德实验学校九年级期末）如图，ABC内接于O，连结OA，OC若ABC=70，则OCA的度数为（）A20B25C30D4035（2022浙江宁波市鄞州区中河街道宋诏桥初级中学九年级期末）在圆内接四边形ABCD中，BAD、ADC的角平分线交于点E，过E作直线MN平行于BC，与AB、CD交于M、N，则总有MN()ABM+DN

12、BAM+CNCBM+CNDAM+DN36（2022浙江温州九年级期中）如图，在ABC中，点D，E分别在AC和BC上，若以DE为直径的O交AB的中点F，则O的直径是（）AB2CD5二、填空题37（2022浙江湖州九年级期末）如图，四边形ABCD是半圆O的内接四边形，其中AB是直径，点C是弧DB的中点，若C110，则ABC的度数=_38（2022全国九年级课时练习）如图，点A、B、C、D均在上，若，则B的度数为_39（2022安徽淮南一模）如图，在扇形BOC中，OD平分交弧BC于点D点E为半径OB上一动点，若，则长的最小值为_40（2022全国九年级课时练习）如图，点A、B、C、D、E都是圆O上的

13、点，B116，则D的度数为_度41（2022北京市朝阳区人大附中朝阳分校九年级阶段练习）如图，点A、B、C在O上，C45，半径OB的长为3，则AB的长为_42（2022全国九年级单元测试）如图，在中、三条劣弧、的长都相等，弦与相交于点，弦与的延长线相交于点，且，则的度数为_43（2022黑龙江大庆市祥阁学校九年级期中）在矩形ABCD中，AB10，AD6，点N是线段BC的中点，点E，G分别为射线DA，线段AB上的动点，CE交以DE为直径的圆于点M，则GM+GN的最小值为_三、解答题44（2022黑龙江哈尔滨德强学校九年级阶段练习）如图，为的直径，连接点在上，求证：(1)平分；(2)45（2022

14、浙江金华市第四中学九年级）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，D为的中点，OD与AC交于点E(1)证明：(2)若B70，求CAD的度数；(3)若AB4，AC3，求DE的长46（2022江苏泰州市姜堰区南苑学校九年级）如图，ABC是O的内接三角形，AE是O的直径，AF是O的弦，且AFBC，垂足为D若BE=6，AB=8(1)求证：BE=CF；(2)若ABC=EAC，求AC的长47（2022全国九年级）如图，AB是O的直径，P为AB上一点，弦CD与弦EF交于点P，PB平分DPF，连DF交AB于点G (1)求证：CDEF；(2)若DPF60，PEPF13，AB2，求OG的长48（2022

15、陕西西安辅轮中学九年级期末）问题提出(1)如图1，A、B为O外的两点，请在O上画出所有使得ACBC的值最小的C点问题探究(2)如图2，在四边形ABCD中，ABAD3，BCDBAD90，AC4，求BCCD的值；问题解决(3)如图3，某城市要修建一块草坪，草坪由三条线段AB、BC、CD和圆弧AD周成，计划在圆弧AD段用花来布置成标志性造型，AB和CD段栽种观赏性树木，BC临湖已知点E为BC上一点，BECE6，长为4，且上任意一点F，满足BFE30，为了降低成本，现计划使得ABCD最小，求ABCD的最小值49（2022全国九年级）（1）【学习心得】小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问

16、题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易例如：如图1，在ABC中，ABAC，BAC90，D是ABC外一点，且ADAC，求BDC的度数若以点A为圆心，AB为半径作辅助A，则点C、D必在A上，BAC是A的圆心角，而BDC是圆周角，从而可容易得到BDC （2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，BADBCD90，BDC27，求BAC的数（3）【问题拓展】如图3，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AEDF连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是 1C【分析】先求出COB的度数，由圆周角定理求出BAC的度数，再根据弧、弦之间

17、的关系求出ABD=45，即可得到答案【详解】解：COD=126，COB=54，BD是圆O的直径，BAD=90，AB=AD，ABD=ADB=45，AGB=180-BAG-ABG=108，故选C【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，等弧所对的弦相等，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知圆周角定理是解题的关键2C【分析】先由得出再利用DAB30通过解直角三角形AOE求出OE的长即可得到CE的长【详解】解：又DAB30 由勾股定理得， (负值舍去) 故选：C【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系和勾股定理等知识，熟练掌握树敌太多一口价解答本题的关键3B【分析】

18、连接OD、OC，根据圆心角、弧、弦间的关系证得AOD是等边三角形，然后由可得=2cm，于是可以求出结果【详解】解：如图,连接OD、OC，AOD=DOC=COB，；AOD+DOC+COB=180，AOD=DOC=COB=60；OA=OD，AOD是等边三角形，O的半径等于2cm，AD=OD=OA=2cm；，AD=CD=BC=OA=2cm；四边形ABCD的周长为:AD+CD+BC+AB=cm;故选：B【点睛】本题考查了心角、弧、弦间的关系与等边三角形的判定与性质在同圆中，等弧所对的圆心角相等4D【分析】如图连接OB、OD，只要证明RtOMBRtOND，RtOPMRtOPN即可解决问题【详解】解：如图

19、连接OB、OD；AB=CD，=，故正确；OMAB，ONCD，AM=MB，CN=ND，BM=DN，OB=OD，RtOMBRtOND，OM=ON，故正确；OP=OP，RtOPMRtOPN，PM=PN，OPB=OPD，故正确；AM=CN，PA=PC，故正确，综上，四个选项都正确，故选：D【点睛】本题考查了垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题5B【分析】连接OM，ON，BN，先证明四边形CMND是矩形，得到CM=DN，然后证明RtOCMRtODN得到OC=OD，COM=DON，即可判断；当四边形MCDN是正方形时，MC=C

20、D，则CM=2OC，即可判断；若M是的中点，可得AOM=MON=BON=60，则ONB是等边三角形，即可判断【详解】解：如图所示，连接OM，ON，BN，MCAB，NDAB，OCM=ODN=90，MNAB，CMN+MCD=180，CMN=90，四边形CMND是矩形，CM=DN，又OM=ON，RtOCMRtODN（HL），OC=OD，COM=DON，OA-OC=OB-OD即AC=BD， ，故正确；当四边形MCDN是正方形时，MC=CD，OC=OD，CM=2OC，故错误；若M是的中点，AOM=MON=BON=60，ON=OB，ONB是等边三角形，NDOB，OD=BD，故正确，故选B【点睛】本题主要考

21、查了等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，等弧所对的圆心角相等，正方形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识6B【分析】根据圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系以及直角三角形边的关系进行判断即可【详解】解：AB为O直径，CD为弦，ABCD于E，CE=DE，BOC=2A=40，即，故正确；OEC=90，BOC=40，C=50，故正确；CBOC，CEOE，故错误；作OPCD，交AD于P，ABCD，AEAD，AOP=90，OAPA，OEPD，PA+PDOA+OEOEOA，AD2OE，故错误；故选：B【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握性质定理是解题

22、的关键7C【分析】如图，连接OB，OD，AC，先求解，再求解，从而可得，再利用周角的含义可得，从而可得答案【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，的度数20故选：C【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键8A【详解】解：连接OA，OBC=45AOB=90又OA=OB，AB=4OA=故选A9D【分析】连接AO，并延长AO与BC交于点M，连接AC，由切线的性质和求得AM垂直平分BC，进而得到的度数，根据圆周角定理即可解答【详解】解：连接AO，并延长AO与BC交于点M，连接AC，与圆O相切于A点，垂直平分BC

23、，的度数为，故选：D【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理和梯形的性质，解决本题的关键利用切线的性质和梯形的性质构造等腰三角形，求出所对的圆周角10A【分析】根据垂径定理、圆周角定理、轴对称和等弧的知识点一一判断即可【详解】解：平分弦的直径不一定垂直于弦，不一定平分弦所对的两条弧，故原说法错误；同弧或等弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半，故原说法错误；同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故原说法错误；圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，故原说法正确；综上所述，正确的说法有1个；故选：A【点睛】本题考查命题与定理，熟练掌握相应的知识点是解题的关键11C【分析】

24、根据等腰三角形的性质可判断A，根据全等三角形的判定与性质可判断B，根据圆周角定理可判断C和D【详解】解：AOB=OC，1=2，故A正确；BAB=BC，AO=CO，BO=BO，AOBCOB，1=4， 2=ABO，1=4=2=ABO，故B正确；CAOB=2ACB=21+2ACO，故C错误；DAOC=2ABC=22+2ABO=42，1=2，AOC=41，故D正确故选C【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及圆周角定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键12D【分析】先根据圆周角定理得到BOC=2CDB=52，然后利用邻补角的定义计算AOC的度数【详解】解：BOC和

25、CDB都对，BOC=2CDB=226=52，AOC=180-BOC=128故选：D【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半13B【分析】连接BD，先根据圆周角定理得到ADB90，BDCCAB24，即可得到ADC的度数【详解】解：连接BD，如图：AB是半圆的直径，ADB90，CABBDC24，ADCBDCADB24+90114故选：B【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径14C【分析】连接BD，由直径所对的圆

26、周角等于90度可得，进而可知，再由圆周角定理即可求解【详解】解：如图；连接BD， 是的直径， 故选：C【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角等于90度，掌握圆周角定理和推论是解题的关键15B【分析】利用圆心角、弧、弦的关系得到，再利用圆周角定理得到BACDAC36，ABDACD44，然后根据三角形内角和计算ADB的度数【详解】解：BCCD，ABD和ACD所对的弧都是，BACDAC36，ABDACD44，ADB180BADABD180724464，故选：B【点睛】本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键16D【分析】根据直径所对的圆周角是90得出AC

27、B=90，再根据直角三角形的两锐角互余得出即可【详解】解：AB是O的直径，ACB=90，A=30，B=90-A=60，故选：D【点睛】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，能根据圆周角定理得出ACB=90是解此题的关键17C【分析】判断出点P在以AB为直径的O上，连接CO交O于点P，此时PC取得最小值，利用勾股定理即可求解【详解】解：四边形ABCD是矩形，ABC=90，即PBC+PBA=90，PBCPAB，PBA+PAB=90，即APB=90，点P在以AB为直径的O上，连接CO交O于点P，此时PC取得最小值，四边形ABCD是矩形，AB=8，BC=6，OB=OP=AB=4，由勾股定理得CO=，

28、PC=故选：C【点睛】本题考查了点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离18A【分析】根据圆周角定理得到BAC90，求出B，根据圆内接四边形的性质求出D108，根据圆心角、弧、弦三者的关系定理解答即可【详解】解：BC为圆O的直径，四边形ABCD为圆O内接四边形，因为D为弧AC中点，ADCD故选：A【点睛】本题考查的是圆内接四边形的对角互补，弧、弦、角关系，以及直径对的圆周角是直角等相关知识点，根据题意找出相关的角度关系是解题关键19D【分析】根据圆中等弦对等弧对等角，以及圆内接四边形的对角互补，进行计算即可【详解】解：ABADCD

29、， ，ADBABDDBC，设ADBABDDBCx，四边形ABCD为O的内接四边形，ABC+ADC180，即3x+75180，解得：x35，DBC35，在BDC中，BDC75，DBC35，BCD180753570故选D【点睛】本题考查了圆中等弦对等弧对等角，以及圆内接四边形的对角互补，熟练掌握相关知识点是解题的关键20A【分析】利用圆内接四边形的性质求出B，再利用圆周角定理求出CAB即可【详解】解：ADC+B180，ADC110，ABC70，AB是直径，ACB90，CAB20故选：A【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型21D【分析】

30、连接OD，根据圆内接四边形的性质求出A=60，得出AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OD=OA=AD=2，求出直径AB即可【详解】解：连接OD，四边形ABCD是O的内接四边形，A+C=180，C=120，A=60，OD=OA，AOD是等边三角形，AD=OD=OA，AD=2，OA=OD=OB=2，AB=2+2=4，故选：D【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出A+C=180是解此题的关键22(1)E35(2)见解析【分析】（1）先求出ACD，BAC的度数，再根据三角形外角的性质得出答案；（2）先根据“ASA”证明ACEDBE，得出BE

31、=CE，再结合已知条件得出答案即可.（1）连接AC，为120，为50，EACD-BAC60-2535；（2）证明：连接AC、BD，AD，在ACE和DBE中，ACEDBE（ASA），BECE，AEDE，AE-BEDE-CE，即ABCD【点睛】本题考查了圆的相关计算与证明，三角形全等的判定和性质，正确理解圆心角、弧与弦的关系是解题的关键23(1)见解析(2)14【分析】（1）由同弧所对圆周角相等得出ACB=ADB根据四边形的外接圆性质，可以得ADF=ABC利用AD平分BDF，可以得到ADF=ADB，从而得出ABC=ACB，即证明AB=AC；（2）过A作BD的垂线于点G，构造两个全等三角形AEDAG

32、D和AGBACE，得出GD=ED，BG=CE ，即可求得CD长（1） AD平分BDF ，ADF=ADBABC+ADC=180，ADC+ADF=180，ADF=ABC，ACB=ADB，ABC=ACB， AB=AC （2）如图，过点A作AGBD于点G AD平分BDF，AECF，AGBD， AG=AE，AGB=AEC=90又AD=AD，AEDAGD(HL)，GD=ED=2在RtAEC和RtAGB中，AECAGB(HL)，BG=CEBD=18，BG=BD-GD=18-2=16，CE=BG=16，CD=CE-DE=16-2=14【点睛】本题考查角平分线的定义和性质定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理

33、，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定等知识正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键24(1)CAD=35；(2)DE=4-【分析】（1）由ODAC，求出AOD，根据等腰三角形的性质求出OAD，进一步计算即可求解；（2）由勾股定理求出BC，根据垂径定理得出AE=EC，再根据三角形中位线定理求出OE，结合图形进一步计算即可求解（1）解：ODAC，AOD=90-CAB=70，OA=OD，OAD=55，CAD=55-20=35；（2）解：AB是半圆O的直径，C=90，AB=8，AC=6，BC= ，ODAC，AE=EC，OA=OB=OD=4，OE=BC=，DE=4-【点睛】本题考查的是圆周角定理

34、、垂径定理、三角形中位线定理的应用，掌握直径所对的圆周角是直角、灵活运用勾股定理是解题的关键25D【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对A进行判断，根据对称轴的定义对B进行判断，根据垂径定理的推论对C进行判断，根据圆周角定理的推论对D进行判断【详解】解：A、在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，故此选项错误，不符合题意；B、圆是轴对称图形， 任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，故此选项错误，不符合题意；C、平分弦（非直径）的直径一定垂直于这条弦，故此选项错误，不符合题意；D、等弧所对的圆周角相等正确，故此选项正确，符合题意，故选：D【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关

35、键是掌握圆心角、弧、弦的关系，圆的对称性，垂径定理及圆周角定理的推论26D【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到AOC=BOC=60，易得OAC和OBC都是等边三角形，即可解决问题【详解】解：连OC，如图，C是的中点，AOB=120，AOC=BOC=60，又OA=OC=OB，OAC和OBC都是等边三角形，S四边形AOBC=故选：D【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等也考查了等边三角形的判定与性质27D【分析】由圆周角定理可求ACB=90，由弧的关系得出角的关系，进而可求ABC=30，CAB=60，由直角三角形的性质可求CAH=ACE

36、=30，即可求解【详解】解：AB是直径，ACB=90，ABC+CAB=90，CAB=2ABC，ABC=30，CAB=60，CDAB，AEC=90，ACE=30，点H是AG的中点，ACB=90，AH=CH=HG，CAH=ACE=30，CAF=CBF，CBF=30，故选：D【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的性质，求出CAB的度数是本题的关键28B【分析】根据=和点E是点D关于AB的对称点，求出DOB=COD=BOE=60，求出CED，即可判断；根据圆周角定理求出当M和A重合时MDE=60即可判断；求出M点的位置，根据圆周角定理得出此时DF是直径，即可求出DF长，即可判

37、断【详解】解：=，点E是点D关于AB的对称点，=，DOB=BOE=COD=180=60，错误；CED=COD=60=30=DOB，即DOB=2CED；正确；的度数是60，的度数是120，只有当M和A重合时，MDE=60，CED=30，只有M和A重合时，DMCE，错误；作C关于AB的对称点F，连接CF，交AB于N，连接DF交AB于M，此时CM+DM的值最短，等于DF长，连接CD，=，并且弧的度数都是60，D=120=60，CFD=60=30，FCD=180-60-30=90，DF是O的直径，即DF=AB=10，CM+DM的最小值是10，正确；综上所述，正确的个数是2个故选：B【点睛】本题考查了圆

38、周角定理，轴对称-最短问题等知识点，能灵活运用圆周角定理求出各个角的度数和求出M的位置是解此题的关键29详见解析【分析】由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立【详解】证明：，即，；【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行证明30(1)见详解(2)AG= 8【分析】（1）连接BD，GD，证明，即可得到结论；（2）先证明，可得AE=AF，结合EGBF=2，即可得到答案（1）解：连接BD，GD，弦AD平分BAC，DEAC、DFAB，DE=DF，DEG=DFB=90，GAD=FAD，DG=DB，在RtDEG和RtDFB中，（HL），EGBF；（2

39、）解：GAD=FAD，DEG=DFB=90，AD=AD，（AAS），AE=AF，O的半径r6，BF2，AE=AF=26-2=10，EGBF=2，AG=AE-EG=10-2=8【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，圆周角与弧，弧与弦关系，全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形的性质是解题的关键31C【分析】先根据圆周角定理得到COB=60，再根据垂径定理得到CE=DE，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出CE，从而得到CD的长【详解】解：，BOC=60，CD=2CE，CEO=90，OCE=30，OC=2OE，的半径为，即OC=2，OE=1，故选：C【点睛】本题考查了垂径定理：垂直

40、于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了圆周角定理，勾股定理32C【分析】连接，由等腰三角形的“三线合一”可得，从而利用圆周角定理即可求解【详解】解：连接， 直径垂直弦，OC=OD，故选：【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键33C【分析】连接BC，由直径所对的圆周角是直角可求得B的度数，再由圆内接四边形的性质即可求得ADC的度数【详解】解：连接，是直径，四边形是圆的内接四边形，故选：【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角及圆内接四边形的性质，连接BC并运用这两个性质是解题的关键34A【分析】先根据等腰三角形性质得OCA=OAC，GM

41、F 由圆周角定理求得AOC=140，然后利用三角形内角和求解即可【详解】解：OA=OC，OCA=OAC，AOC=2ABC=270=140，OCA=20，故选：A【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键35D【分析】在NM上截取NFND，连接DF，AF，由A，B，C，D四点共圆，得出ADC+B180，由MNBC，得出AMN+ADN180，可得到A，D，N，M四点共圆，可得MND+MAD180再由AE，DE分别平分BAD，CDA，A，F，E，D四点共圆，由MAF180DAFMND180DENMNDEDNADEAFM，可得出MAMF，即得出MNM

42、F+NFMA+ND【详解】解：如图，在NM上截取NFND，连接DF，AFNFDNDF，A，B，C，D四点共圆，ADC+B180，MNBC，AMNB，AMN+ADN180，A，D，N，M四点共圆，MND+MAD180，AE，DE分别平分BAD，CDA，END+2DFNEND+2DAE180，DFNDAE，A，F，E，D四点共圆，DENDAF，AFMADE，MND+MAD180，MAF+DAF+MND180MAF180DAFMND180DENMNDEDNADEAFM，MAMF，MNMF+NFMA+ND故选：D【点睛】本题主要考查了四点共圆，解题的关键是正确作出辅助线，利用四点共圆求解36C【分析】

43、作FGAC，FHCB，垂足分别为G、H，然后证明DFGEFH，得到DF=EF，再利用勾股定理，即可求出DE的长度【详解】解：作FGAC，FHCB，垂足分别为G、H，如图则四边形BCGF是矩形，点F是AB的中点，四边形BCGF是正方形，GFH=90，DE是直径，则DFE=90，DFGEFH，DF=EF，在直角DFG中，在直角DEF中，；故选：C【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握所学的知识，证明DF=EF3755#55度【分析】连接OC，根据C是弧DB的中点，DCB110，得出OCB的度数，然后证明OC和OB相等，即可使用等边对等角求出ABC的度数【详

44、解】连接OC，C是弧DB的中点，DCB110，DCO=BCO=1102=55，AB是圆的直径，O是圆心，OC=OB，ABC=OCB=55，故答案为55【点睛】本题考查了与圆有关的性质、等腰三角形相关的性质，正确作出辅助线并使用该性质进行证明是解决本题的关键3857.5【分析】根据平行线的性质得出ODC=AOD=65，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出ODA=OAD=（180-AOD）=57.5，求出ADC的度数，根据圆内接四边形的性质得出B+ADC=180，再求出答案即可【详解】解：连接AD，AOD=68，AODC，ODC=AOD=65，AOD=65，OA=OD，ODA=OAD=（18

45、0-AOD）=57.5，ADC=ODA+ODC=57.5+65=122.5，四边形ABCD是O的内接四边形，B+ADC=180，B=57.5，故答案为：57.5【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质等知识点，能求出ADC的度数是解此题的关键39【分析】如图，作点D关于OB的对称点D，连接DC交OB于点E，连接OD，利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E时，长最小，此时的最小值为CD的长度【详解】如图，作点D关于OB的对称点D，连接DC交OB于点E，连接OD，此时EC+ED最小，即：EC+ED=CD，由题意得，COD=DOB=BOD=30，C

46、OD=90，CD=，故答案为【点睛】本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质及圆心角与圆弧的关系是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键40128【分析】连接AD首先证明ADC=ADE，再利用圆内接四边形的性质求出ADC即可解决问题【详解】解：连接AD，ADC=ADE，B+ADC=180，ADC=180-116=64，CDE=264=128，故选：128【点睛】本题考查圆心角，弧，弦的关系，圆周角定理，圆内接四边形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型41【分析】首先根据圆周角定理求出AOB的度数，然后解直角三角形求出AB的长【详解】根据题意可知， ，AOB=2ACB

47、=，又知OA=OB=3， 故答案为:【点睛】本题考查圆周角定理以及勾股定理，熟练掌握同弧所对圆周角是圆心角的一半是解题的关键.42#70度【分析】连接，由弧、的长相等，可得，设，在中，根据三角形内角和定理建立方程，解方程求得的值，进而即可求解【详解】解：连接，弧、的长相等，设，在中，解得，故答案为：【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，三角形的外角与内角和，掌握弧与圆周角的的关系是解题的关键43#【分析】作关于的对称点，取中点，连接，由题意可得出点的运动轨迹，同时通过作点关于的对称点的方式可以将进行转换，进而即可求解【详解】解：如图所示，作关于的对称点，取中点，连接，可得，在以为直径的圆上，为直

48、角三角形，点M在以CD为直径的圆上，为斜边的中点，此时当，三边共线时，有长度的最小值等于，分别是，的中点，长度的最小值为，的最小值为，故答案为【点睛】本题主要考查了轴对称问题、勾股定理、直角三角形斜边中线定理及圆的基本性质，本题的重难点在于找出点的运动轨迹，属于中等题44(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据等弦对等弧可知，再根据等弧所对的圆周角相等即可进行证明；（2）连接、，根据等边对等角可得，根据角度之间的等量代换可得，即可得到AB=AC，最后得出AB=BE，即可，则（1）证明：，平分，（2）连接、，、是半径，【点睛】本题主要考查了等弦对等弧，同弧或等弧所对的圆周角相等，熟练掌握同圆同

49、的各个角度关系是解题的关键45(1)见解析(2)35(3)【分析】（1）根据D为的中点，可得ODAC，再由直径随对的圆周角是直角得到BCAC，即可求证；（2）根据D为的中点，可得ODAC，则，再由平行线的性质求出AOD=B=70，即可利用圆周角定理求解；（3）根据勾股定理可得，再根据垂径定理可得AE=CE，然后根据三角形中位线定理可得OE的长，即可求解（1）证明： D为的中点，AB是直径，ACB=90，即BCAC，；（2）解：如图所示，连接OC，D为的中点，ODAC， AOD=B=70，；（3）解：AB为直径，ACB=90，AB4，AC3，OA=OD=2，D为的中点，AE=CE，OA=OB，【

50、点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，平行线的性质与判定等知识，熟练掌握圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理是解题的关键46(1)见解析(2)【分析】（1）由圆周角定理得出ABE=90，得出BAE+BEA=90，由AFBC得出ACD+CAD=90，由圆周角定理得出BEA=ACD，再由同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，即可得出结论；（2）连接OC，根据圆周角定理证明AOC是等腰直角三角形，由勾股定理即可求得（1）证明：AE是O的直径，ABE=90，BAE+BEA=90，AFBC，ADC=90，ACD+CAD=90，BEA=ACD，BAE=CAD，弧B

51、E=弧FCBE=CF（2）解：连接OC，如图所示：AOC2ABC，ABCCAE，AOC2CAE，OAOC，CAOACOAOC，AOC是等腰直角三角形，BE=6，AB=8，ABE=90，AOCO5，【点睛】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、余角的性质、三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理，作出辅助线，证明AOC是等腰直角三角形是解决问题的关键47(1)见解析(2)【分析】（1）过点O作OMEF于点M，ONCD于点N，连接OF、OD，利用HL证明RtOFMRtODN，可得FM=DN，进而可得结论；（2）根据PE：PF=1：3，可以设PE=x，PF=3x，则EF=PE+PF

52、=4x，利用含30度角的直角三角形可得OM=x，OP=x，然后证明RtOPMRtOPN，可得PM=PN，再证明PDF是等边三角形，可得DF=PF=3x，FG=DF=，然后根据勾股定理即可求出OG的长（1）证明：如图，过点O作OMEF于点M，ONCD于点N，连接OF、OD，则OMF=OND=90，PB平分DPF，OMEF，ONCD，OM=ON，在RtOFM和RtODN中，RtOFMRtODN（HL），FM=DN，OMEF，ONCD，EF=2FM，CD=2DN，CD=EF；（2）解：PE：PF=1：3，设PE=x，PF=3x，EF=PE+PF=4x，OMEF，EM=FM=EF=2x，PM=EM-P

53、E=2x-x=x，PB平分DPF，DPF=60，FPB=DPB=DPF=30，OM=x，OP=x，在RtOPM和RtOPN中，RtOPMRtOPN（HL），PM=PN，由（1）知：FM=DN，PM+FM=PN+DN，PF=PD，DPF=60，PDF是等边三角形，PB平分DPF，PBDF，垂足为G，DF=PF=3x，FG=DF=，PG=，OG=PG-OP=，AB=2，OF=AB=，在RtOFG中，根据勾股定理，得，整理，得=3，解得x=（负值舍去），x=，OG=【点睛】本题属于圆的综合题，考查的是圆周角定理，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角

54、形，解决本题的关键是考查学生综合分析解决问题的能力48(1)见解析(2)(3)【分析】（1）利用两点之间线段最短求解；（2）利用AAS证明，推出，进而得出，再证四边形ANCM是正方形，结合AC4，利用勾股定理求出正方形ANCM的边长，即可求解；（3）如图（见解析）作辅助线，找出点F所在圆的圆心，证明，推出，进而得出，从而将AB与CD转化为一个三角形的两个边，依靠三角形的三边关系进行求解（1）解：如图所示，连接AB，AB与O的交点和 为所求C点；（2）解：如图，作于点M，作交BC的延长线于点N，则，又，四边形ANCM是矩形，即，在和中，四边形ANCM是矩形，四边形ANCM是正方形，即，；（3）解

55、：点F在运动的过程中，满足，点F可看作是在以BE为弦的圆上运动，为弦BE所对的圆周角，弦BE所对的圆心角为：，以BE为边向上作等边三角形BEO，可得点O为动点F所在圆的圆心，圆O的半径为6连接OA，OD，延长EO与圆O交于点G，连接GD长为4，半径，又由等边三角形的性质知，又，又，当G，D，C三点共线时，取最小值，取最小值，最小值为GC连接GB，如下图所示：此时，G点与D点重合，A点与B点重合，GE是直径，在中， ，中，的最小值为【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，圆周角定理的应用，等边三角形的性质，勾股定理解直角三角形等知识点，综合性很强，属于压轴题，第三问难度很大，

56、将转化为，得出的最小值为GC是解题的关键49（1）45；（2）27；（3）22【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解（2）由A、B、C、D共圆，得出BDC=BAC，（3）根据正方形的性质可得AB=AD=CD，BAD=CDA，ADG=CDG，然后利用“边角边”证明ABE和DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得1=2，利用“SAS”证明ADG和CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得2=3，从而得到1=3，然后求出AHB=90，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=AB=2，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、

57、D、H三点共线时，DH的长度最小【详解】解：（1）如图1，ABAC，ADAC，以点A为圆心，AB为半径作辅助A，则点B、C、D必在A上，BAC是A的圆心角，而BDC是圆周角，BDCBAC45，故答案是：45；（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、COBADBCD90，点A、B、C、D共圆，BDCBAC，BDC27，BAC27，（3）如图3，在正方形ABCD中，ABADCD，BADCDA，ADGCDG，在ABE和DCF中，ABEDCF（SAS），12，在ADG和CDG中，ADGCDG（SAS），23，13，BAH+3BAD90，1+BAH90，AHB1809090，取AB的中点O，连接OH、OD，则OHAOAB2，在RtAOD中，OD2，根据三角形的三边关系，OH+DHOD，当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，最小值ODOH22故答案为：22、