25.4 解直角三角形的应用（沪教版）（解析版）.docx

1、25.4解直角三角形的应用一、单选题1已知两点，若点对点的仰角为，那么对的俯角是（ ）ABCD【答案】A【分析】根据俯角和仰角的定义和平行线的性质即可得到B对A的仰角为【解析】解：如图， A对B的俯角为， B对A的仰角为 故选A【点睛】本题主要考查了仰角和俯角的定义，解决本题的关键是要熟练掌握仰角和俯角的定义2如图，为测河两岸相对两抽水泵的距离，在距点的处，测得，则间的距离为（ ）ABCD【答案】A【分析】在中，由此可以求出之长【解析】解：在中，又，故选：【点睛】此题考查了正切的概念和运用，关键是把实际问题转化成数学问题，把它抽象到直角三角形中来3从地面上的两处望正西方向山顶，仰角分别为和两处

2、相距，那么山高为（ ）ABCD【答案】A【分析】设山高为，利用三角函数分别表示和BC的长根据得方程求解【解析】解：设山高为，在中，在中，解得：故选：【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用三角函数的定义解题是解决本题的关键4如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1:2，则斜坡AB的长为( )米ABCD24【答案】B【分析】根据斜面坡度为1：2，斜坡AB的水平宽度为12米，可得AE=12，BE=6，然后利用勾股定理求出AB的长度【解析】解：如图,过B作BEAD于点E，斜面坡度为1：2，AE=12，BE=6，在RtABC中， 故选：B【点睛】本题考查了解直角三角形的应用

3、解直角三角形的应用坡度坡角问题，解答本题的关键是根据坡角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解5小明同学从A地沿北偏西60方向走100 m到B地，再从B地向正南方向走200 m到C地，此时小明同学离A地 ( )A150 mB50 mC100 mD100 m【答案】D【分析】根据在RtABD中利用三角函数分别求AD，BD的长，从而得到CD的长再利用勾股定理求AC的长即可【解析】解：如图：由B在A的北偏西60方向可求得B=60，在RtABD中，AD=ABsin60=，BD=ABcos60=50，CD=BC-BD=150AC=故选D【点睛】解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角

4、形的问题，解决的方法就是作高线6小明在学完解直角三角形一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆的高度与拉绳的长度相等，小明先将拉到的位置，测得为水平线），测角仪的高度为米，则旗杆的高度为（ ）A米B米C米D米【答案】C【分析】设PA=PB=PB=x，在RTPCB中，根据，列出方程即可解决问题【解析】解：设PA=PB=PB=x，在RTPCB中，（1-）x=1，x=故选C【点睛】本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型7国家电网近来实施了新一轮农村电网改造升级工程，解决了农村供电“最后公里”问题，电力公司在 改造时把某一输电线铁塔建

5、在了一个坡度为的山坡的平台上（如图），测得米，米，米，则铁塔的高度约为（ ）（参考数据：）ABCD【答案】C【分析】延长AB交ED于G，过C作CFDE于F，得到GF=BC=5，设DF=3k，CF=4k，解直角三角形得到结论【解析】解：延长AB交ED于G，过C作CFDE于F，则四边形BGFC是矩形GF=BC=5，山坡CD的坡度为1：0.75，设DF=3k，CF=4k，CD=5k=35，k=7，DF=21，BG=CF=28，EG=GF+DF+DE=5+21+19=45，AED=52.5，AG=EGtan52.5=451.30=58.5，AB=AG-BG=30.5米，答：铁塔AB的高度约为30.5米

6、故选：C【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题和解直角三角形的应用-坡度坡角问题，难度适中，通过作辅助线，构造直角三角形，利用三角函数求解是解题的关键8数学实践活动课中小明同学测量某建筑物的高度，如图，已知斜坡的坡度为，小明在坡底点处测得建筑物顶端处的仰角为，他沿着斜坡行走米到达点处，在测得建筑 物顶端处的仰角为，小明和建筑物的剖面在同一平面内，小明的身高忽略不计则建筑物的高度约为（ ）（参考数据：）A米B米C米D米【答案】D【分析】如图，过F点作FHCD，垂足为H，作FGEB，垂足为G.利用坡度先求出FG与EG，设DE=CD=x，表示出FH，CH，再利用三角函数即可解得.【解析】

7、如图，过F点作FHCD，垂足为H，作FGEB，垂足为G.根据题意易知DC=DE，EF=13m，CFH=35，HF=GD，HD=FG斜坡的坡度为，且EF=13m故FG=5m，EG=12m设DE=CD=x，则FH=DE+EG=x+12，CH=CD-HD=CD-FG=x-5在直角三角形CHF中，解得x44.7故选D【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题关键在于能够画出辅助线.9某兴趣小组想测量一座大楼 AB的高度如图，大楼前有一段斜坡BC ，已知 BC的长为 12 米它的坡度 在离 C点 40 米的 D处，用测量仪测得大楼顶端 A的仰角为 37度，测角仪DE的高度为 1.5米，求大楼AB 的高度约

8、为（ ）米（）A39.3B37.8C33.3D25.7【答案】C【分析】延长AB交直线DC于点F，过点E作EHAF，垂足为点H，在RtBCF中利用坡度的定义求得CF的长，则DF即可求得，然后在直角AEH中利用三角函数求得AF的长，进而求得AB的长【解析】解：延长AB交直线DC于点F，过点E作EHAF，垂足为点H在RtBCF中，=，设BF=k，则CF=k，BC=2k又BC=12，k=6，BF=6，CF=，DF=DC+CF，DF=40+，在RtAEH中，tanAEH=，AH=tan37（40+）37.785（米），BH=BF-FH，BH=6-1.5=4.5AB=AH-HB，AB=37.785-4.

9、533.3故选C【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法10某公园有一座古塔，古塔前有一个斜坡坡角，斜坡高米，是平行于水平地面的一个平台、小华想利用所学知识测量古塔的高度，她在平台的点处水平放置一平面镜，她沿着方向移动，当移动到点时，刚好在镜面中看到古塔顶端点的像，这时，测得小华眼睛与地面的距离米，米，米，米，已知，根据题中提供的相关信息，古塔的高度约为（参考数据：）（）ABCD【答案】C【分析】由正切定义求出CE，延长GD交AB于点H，则BHDE1.8（米），DHBEBC+CE18（米），

10、HGDH+DG26（米），证明AHGMNG，求出AH的长，则可求出答案【解析】解：在RtCDE中，tanDCE，0.9，CE2，延长GD交AB于点H，则BHDE1.8（米），DHBEBC+CE18（米），HGDH+DG26（米），AHGMNG90，AGHMGN，AHGMNG，即，AH19.5（米），ABAH+HB21.3（米）答：古塔的高度AB为21.3米故选：C【点睛】此题考查了解直角三角形应用坡度坡角问题，相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键二、填空题11一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，已知木箱高，斜面坡角为，则木箱端点距地面的高度为_【答案】3【

11、分析】连接AE，在RtABE中，利用勾股定理求得AE的长，利用三角函数即可求得，然后在RtAEF中，利用三角函数求得的长【解析】解：连接AE，在RtABE中，已知AB=3，BE=，根据勾股定理得又，在RtAEF中，故答案为：3【点睛】本题考查了坡度、坡脚的知识点，勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，熟练运用三角函数求线段的长度.12在倾斜角为的斜坡上植树，若要求两棵树的水平距离为，则斜坡上相邻两树的坡面距离为_【答案】【分析】由题意可知，利用角的余弦即可求出的长【解析】解：，米，米，故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，还要学生联系实际知道坡面距离就是斜坡的长

12、，也就是直角三角形的斜边，水平距离就是其直角边，所以学生学习时要多联系实际，不可死学13如图，已知斜坡长，坡角（即）为，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线的休闲平台和一条新的斜坡若修建的斜坡的坡度为31，休闲平台的长是_m【答案】20【分析】由三角函数的定义，即可求得AC与BC的长，又由坡度的定义，即可求得EH的长，继而求得休闲平台DE的长【解析】解：如图，延长交于点H,在中，点D为中点，又，斜坡的坡度为：，即休闲平台的长是故答案为：20【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用问题，在生活当中利用三角函数来解决实际问题，熟练掌握三角函数的基本知识，是解决本题的关键14如图

13、，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45，然后沿着坡度为1：的坡面AD走了200米达到D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60，则山高BC_米（结果保留根号）【答案】100【分析】作DFAC于F解直角三角形分别求出BE、EC即可解决问题【解析】解：作DFAC于FDF：AF1：，AD200米，tanDAF，DAF30，DFAD200100（米），DECBCADFC90，四边形DECF是矩形，ECDF100（米），BAC45，BCAC，ABC45，BDE60，DEBC，DBE90BDE906030，ABDABCDBE453015，BADBAC1453015，ABDBAD，AD

14、BD200（米），在RtBDE中，sinBDE，BEBDsinBDE200100（米），BCBE+EC100+100（米）；故答案为：100【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题15如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边上的点处，另一端在边上滑动，图2为某一位置从上往下看的平面图，测得，长为32厘米，则的长为_ 厘米【答案】【分析】作ACOB于点C，然后根据题意和锐角三角函数可以求得AC和BC的长，再根据直角三角形中的性质即可得到AB的长【解析】解：作ACOB于点C，如右图2所示， 则ACO=AC

15、B=90， ， ， AC=OC， 设AC=x，则OC=x， 由 解得， （厘米）， 即AB的长为厘米故答案为：【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答16如图，小丽的房间内有一张长高的床靠墙摆放，在上方安装空调，空调下沿与墙垂直，出风口离墙，空调开启后，挡风板与夹角成，风沿方向吹出，为了让空调风不直接吹到床上，空调安装的高度(的长)至少为_(精确到个位)(参考数据：)【答案】【分析】连接AF,作FHAD构造直角三角形运用三角函数解出FH,再将床高加上即可求出EC的值【解析】当A、F在一条直线时,就正好不会吹到床上,连接AF,过点F作FHAD,AD=20

16、0,HD=20,AH=180,EFA=136,FAD=46,FH=ED=FH=187.2,EC=187.2+50=237.2237故答案为237 【点睛】本题考查解直角三角形的应用,关键在于理解题意,作出合理的辅助线结合三角函数的知识17如图，为测量某物体的高度，在点测得点的仰角为，朝物体方向前进到达点，再次测得点的仰角为，则物体的高度为 _【答案】【分析】首先根据题意分析图形，本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及CDDCBC20构造方程关系式，进而可解，即可求出答案【解析】在直角三角形ADB中，D30，tan30，BDAB，在直角三角形ABC中，ACB60，BCAB，CD20，CD

17、BDBCABAB20，解得：ABm故答案为：【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形18如图，某建筑物的顶部有一块标识牌，小明在斜坡上处测得标识牌顶部的仰角为，沿斜坡走下来在地面处测得标识牌底部的仰角为60，已知斜坡的坡角为30，米 则标识牌的高度是米_【答案】【分析】过点B作BMEA的延长线于点M，过点B作BNCE于点N，通过解直角三角形可求出BM，AM，CN，DE的长，再结合CDCNENDE即可求出结论【解析】解：过点B作BMEA的延长线于点M，过点B作BNCE于点N，如图所示 在RtABM中，AB10米，BAM3

18、0，AMABcos305（米），BMABsin305（米）在RtADE中，AE10（米），DAE60，DEAEtan6010（米）在RtBCN中，BNAEAM105（米），CBN45，CNBNtan45105（米），CDCNENDE105510155（米）故答案为：155【点睛】此题考查解直角三角形仰角俯角问题及解直角三角形坡度坡脚问题，通过解直角三角形求出BM，AM，CN，DE的长是解题的关键19如图，数学实习小组在高300米的山腰（即米）P处进行测量，测得对面山坡上A处的俯角为30，对面山脚B处的俯角60，已知，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H，B，C在同一条直线上，且，则A，B两

19、点间的距离为_米【答案】200【分析】在直角PHB中，根据三角函数即可求得PB的长，然后在直角PBA中利用三角函数即可求解【解析】解：由题意得.，为直角三角形.在中，（米）.在中，（米）.A，B两点之间的距离为200米.故答案为：200.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题以及坡度的定义，掌握仰角俯角的概念、坡度的概念、正确利用三角函数是解题的关键20有一种双层长方体垃圾桶AB70cm，BC25cm，CF30cm，侧面如图1所示，隔板EG等分上下两层，下方内桶BCHG绕底部轴（CF）旋转开，若点H恰好能卡在原来点G的位置，则内桶边CH的长度应设计为_；现将CH调整为25cm，打开

20、最大角度时，点H卡在隔板上，如图2所示，则可完全放入下方桶内的球体的直径不大于_【答案】 21 【分析】 由题意，EG等分上下两层，勾股定理直接求解即可过点作于点，交于点，过点作于点，分别通过勾股定理和三角函数求出，继而求出，过点作于点,交于点，过作于点，通过证明，继而用勾股定理和锐角三角函数解直角三角形，求出，即为球的直径大小【解析】点恰好能卡在原点的位置故答案为：如图：根据旋转，,过点作于点，交于点过点作于点，过点作于点,交于点，过作于点又,球体的直径不大于21故答案为21【点睛】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的实际应用，正确的添加辅助线是解题的关键三、解答题21北京联合张家口成功申

21、办2022年冬奥会后，滑雪运动已成为人们喜爱的娱乐健身项目如图是某滑雪场为初学者练习用的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将斜坡的倾角由降为，已知原斜坡坡面长为200米，点在同一水平地面上，求改善后的斜坡坡角向前推进的距离(结果保留整数参考数据: ，)【答案】104米【分析】根据题意和正切的概念分别求出、的长，计算即可【解析】解：，在中，米，在中，米，米，答：改善后的斜坡坡角向前推进的距离为104米【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键22如图，在甲建筑物上从点到点挂一长为的宣传条幅，在乙建筑物的顶部点测得条幅顶端的仰角为，测得条幅底端点的俯角为

22、，求底部不能直接到达的甲、乙两建筑物之间的水平距离(答案保留根号)【答案】米【分析】根据和可以求得与、与的关系，即可求得的值，即可解题【解析】解：过点作于，是矩形，在中，在中，解得：米即 米【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，三角函数在直角三角形中的运用，本题中根据求、是解题的关键23某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建造地下停车库，如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图其中，ABBDBAD18，C在BD上，BC0.5m车库坡道入口上方要张贴限高标志以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入为标明限高，请你根据该图计算CE的长度（即点C到AD的距离）（参考数据：sin180.31，cos180.95

23、，tan180.33）（结果精确到0.1m）【答案】2.3米【分析】在RtABD中，根据直角三角形的边角关系求出BD，进而求出CD，再在RtCDE中求出CE即可【解析】解：在RtABD中，ABD90，BAD18，AB9，BDtan18AB0.3392.97米，DCE+ADB=90，BAD+ADB=90，DCE=BAD18，在RtCDE中，CED90，DCE18，CDBDBC2.970.52.47（米），CEcos18CD0.952.472.3（米）【点睛】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确计算的前提，构造直角三角形是解决问题的关键24我市里运河有一座人行天桥如图所示，天桥高为

24、6米，坡面BC的坡度为1：1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由（参考数据：1.414，1.732）【答案】该文化墙PM不需要拆除，见解析【分析】首先过点C作CDAB于点D，则天桥高CD=6，由新坡面的坡度为1：，可得tan=tanCAB=，然后由特殊角的三角函数值来求AD，BD的长；由坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为1：，即可求得AD，BD的长，继而求得AB=AD-BD的长，则可求得PA答案【解析】解：该文化墙PM

25、不需要拆除，理由：设新坡面坡角为，新坡面的坡度为1：，tan，30作CDAB于点D，则CD6米，新坡面的坡度为1：，tanCAD，解得，AD6，坡面BC的坡度为1：1，CD6米，BD6米，ABADBD（6）米，又PB8米，PAPBAB8（6）146146173236米3米，该文化墙PM不需要拆除【点睛】此题考查了坡度坡角的知识注意根据题意构造直角三角形，利用好坡比，会解直角三角形是关键25如图，在一条笔直的海岸线上有，两个观测站，在的正东方向有一艘小船从处沿北偏西方向出发，以每小时20海里速度行驶半小时到达处，从处测得小船在它的北偏东的方向上（1）求的距离；（2）小船沿射线的方向继续航行一段时

26、间后，到达点处，此时，从测得小船在北偏西的方向求点与点之间的距离（上述两小题的结果都保留根号）【答案】（1）海里；（2）海里【分析】（1）过点作于点,利用余弦定义解出AP、AD的长，再由直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半解得PD的长，最后根据等腰直角三角形两直角边相等的性质解题即可； （2）过点作于点，根据直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半，解得BF的长，在中，由勾股定理解得BC的长即可【解析】解：（1）如图，过点作于点，在中，在中，海里（2）如图，过点作于点，在中，在中，在中，海里点与点之间的距离为海里【点睛】本题考查解直角三角形的应用之方向角的问题，其中涉及含30角的

27、直角三角形的性质、余弦、三角形内角和、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，正确作出辅助线，构造直角三角形、掌握相关知识是解题关键26如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30角，长为20km；BC段与AB、CD段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）【答案】km【分析】过B点作BEl1，交l1于E，CD于F，l2于G在RtABE中，根据三角函数求得BE，在RtBCF中，根据三角函数求得BF，在RtDFG中，根据三角函数求得FG，再根据EG=BE+BF+FG即可求解【解析】过B点作BEl1，交l

28、1于E，CD于F，l2于G在RtABE中，BE=ABsin30=20=10km，在RtBCF中，BF=BCcos30=10km，CF=BFsin30=km，DF=CDCF=（30）km，在RtDFG中，FG=DFsin30=（30）=（15）km，EG=BE+BF+FG=（25+5）km故两高速公路间的距离为（25+5）km27如图，河流的两岸、互相平行，河岸上有一排间隔为的电线杆、某人在河岸的处测得，然后沿河岸走了到达处，测得求河流的宽度（结果精确到，参考数据：，）【答案】【分析】过点C作CGDA交AB于点G，先求出GB的长，在RTCGF中，在RtBFC中，=2.75，得到BF=，故可求出C

29、F的长度.【解析】过点C作CGDA交AB于点GMNPQ，CGDA，四边形AGCD是平行四边形AG=CD=50m，CGB=38GB=AB-AG=120-50=70（m），在RtBFC中，=2.75，BF=，解得：CF76.2（m）答：河流的宽是76.2米【点睛】本题关键在于利用辅助线，构建平行四边形和直角三角形.利用直角三角形的正切值求解是本题的关键.28如图所示，A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直.现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一电缆，共有如下两种铺设方案：方案一：； 方案二：.经测量得AB=4千米，BC=10千米，CE=6千米，BD

30、C45，ABD15已知：地下电缆的修建费为2万元千米，水下电缆的修建费为4万元千米.（1）求出河宽AD（结果保留根号）；（2）求出公路CD的长；（3）哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由. 【答案】（1）6-2千米；（2）14千米；（3）方案一的铺设电缆费用低.【分析】（1）如图所示，过点作，交的延长线于点，由于，故利用三角形外角等于不相邻两个内角和知，即在直角三角形中，知道斜边求邻边用余弦得（千米），又（千米），所以可求出的值；（2）过点作于后，由矩形知，由勾股定理知千米，有千米；（3）由（2）得，方案一的铺设费用为：万元，方案二的铺设费用为：万元.故方案一的铺设电缆费用低.【解析】（1

31、）过点B作BFAD，交DA的延长线于点F由题意得：BAF=ABD+ADB=15+45=60，在RtBFA中， BF=ABsin60=4=6（千米），AF=ABcos60=4=2（千米）CDAD，BDC=45，BDF=45，在RtBFD中，BDF=45，DF=BF=6千米AD=DF-AF=6-2（千米）即河宽AD为（6-2）千米；（2）过点B作BGCD于G，易证四边形BFDG是正方形，BG=BF=6千米在RtBGC中，CG=8（千米），CD=CG+GD=14千米即公路CD的长为14千米；（3）方案一的铺设电缆费用低由（2）得DE=CD-CE=8千米方案一的铺设费用为：2（DE+AB）+4AD=40万元，方案二的铺设费用为：2（CE+BC+AB）=（32+8）万元4032+8，方案一的铺设电缆费用低【点睛】解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，只要把实际问题抽象到解直角三角形中，利用三角函数的知识，进行解答即可.