27.2.2相似三角形的性质学案.docx

1、27.2 相似三角形27.2.2 相似三角形的性质学习目标：1. 理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比，并运用其解决问题. (重点、难点)2. 理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并运用其解决问题. (重点)自主学习一、知识链接1. 相似三角形的判定方法有哪几种？2. 三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素?合作探究一、 要点探究探究点1：相似三角形对应线段的比思考 如图，ABC ABC，相似比为 k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？证明 如图，ABC ABC，相似比为 k，求它们对应边 BC 和 BC上的高之比试一试 仿照求高的比的过程，当ABC ABC，相似比

2、为 k 时，求它们对应中线的比、对应角平分线的比.【要点归纳】相似三角形对应高的比等于相似比.类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.【典例精析】例1 已知 ABCDEF，BG、EH 分别是 ABC和 DEF 的角平分线，BC = 6 cm，EF = 4 cm，BG= 4.8 cm. 求 EH 的长.【针对训练】1. 如果两个相似三角形的对应高的比为 2 : 3，那么对应角平分线的比是 ，对应边上的中线的比是 . 2. 已知ABC ABC ，相似比为3 : 4，若 BC 边上的高 AD12 cm，则 BC 边上的高 AD

3、.思考 如果 ABC ABC，相似比为 k，它们的周长比也等于相似比吗？为什么？【要点归纳】相似三角形周长的比等于相似比.探究点2：相似三角形面积的比思考 如图，ABC ABC，相似比为 k，它们的面积比是多少？证明 分别作 BC，BC 边上的高 AD 和 AD.由前面的结论，我们有，【要点归纳】由此得出：相似三角形面积的比等于相似比的平方【针对训练】1. 已知两个三角形相似，请完成下列表格：相似比2k周长比面积比10000 2. 把一个三角形变成和它相似的三角形，(1) 如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为原来的_倍；(2) 如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大为原来的_倍

4、.3. 两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm、14 cm，(1) 它们的周长差 为60 cm，这两个三角形的周长分别是_ _；(2) 它们的面积之和是 58 cm2，这两个三角形的面积分别是 .例2 如图，在 ABC 和 DEF 中，AB = 2 DE ，AC = 2 DF，A = D. 若 ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为，求 DEF 的边 EF 上的高和面积. 【针对训练】如果两个相似三角形的面积之比为 2 : 7，较大三角形一边上的高为 7，则较小三角形对应边上的高为_. 例3 如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知ABC 的面积为100 cm2，且，求四边形 B

5、CDE 的面积. 【针对训练】如图，ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，且 DEBC，EFAB. 当 D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED : SABC 的值.二、课堂小结当堂检测1. 判断：(1) 一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个三角形的周长也扩大为原来的 5 倍( )(2) 一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个四边形的面积也扩大为原来的 9 倍( )2. 在 ABC 和 DEF 中，AB2 DE，AC2 DF，AD，AP，DQ 是中线，若 AP2，则 DQ的值为 ( )A2 B4 C1 D.3. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小

6、三角形与原三角形的周长比等于_ _，面积比等于_. 4. 两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和 18 cm，若较大三角形的周长是 42 cm，面积是 12 cm2，则较小三角形的周长是_cm，面积为_cm2. 5. ABC 中，DEBC，EFAB，已知 ADE 和EFC 的面积分别为 4 和 9，求ABC 的面积.6. 如图，ABC 中，DEBC，DE 分别交 AB、AC 于点 D、E，SADE2 SDCE，求 SADE SABC.【分析】从题干分析可以得到ADEABC，要证明它们面积的比，直接的就是先求出相似比，观察得到ADE与DCE是同高，得到AE与CE的比，进而求解.参考答案自

7、主学习一、知识链接解：（1）定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似（2）平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三角形与原三角形相似（3）三边成比例的两个三角形相似（4）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（5）两角分别相等的两个三角形相似（6）一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似解：还有高，中线，平分线等等合作探究一、要点探究探究点1：相似三角形对应线段的比证明 解：如图，分别作出 ABC 和 A B C 的高 AD 和 A D 则ADB =A D B=90.ABC ABC，BB .ABD A B D .【典例精析】例1 解： ABC DEF，(相似三角形对应角平分线的比等于相

8、似比)， ，解得 EH = 3.2. EH 的长为 3.2 cm.【针对训练】1. 2 : 3 2 : 3 2. 16cm思考 解：等于，如果 ABC ABC，相似比为 k，那么，因此ABk AB，BCkBC，CAkCA，从而.探究点2：相似三角形面积的比【针对训练】1. 相似比2100k周长比2100k 面积比410000 2. (1)25 (2) 10 3. (1) 100cm，40cm (2) 50cm2,8cm2 例2 解：在 ABC 和 DEF 中， AB=2DE，AC=2DF，.又 D=A， DEF ABC ，相似比为.ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为，DEF 的边 EF

9、上的高为6 = 3，面积为. 【针对训练】例3 解： BAC = DAE，且， ADE ABC. 它们的相似比为 3 : 5， 面积比为 9 : 25.又 ABC 的面积为 100 cm2， ADE 的面积为 36 cm2 . 四边形 BCDE 的面积为10036 = 64 (cm2).【针对训练】解： DEBC，D 为 AB 中点， ADE ABC ，即相似比为 1 : 2，面积比为 1 : 4. 又 EFAB， EFC ABC ，相似比为，面积比为 1 : 4.设 SABC = 4，则 SADE = 1，SEFC = 1，S四边形BFED = SABCSADESEFC = 411 = 2， S四边形BFED : SABC = 2 : 4 =.当堂检测1. (1) (2) 2. C 3. 1:2 1:4 4. 14 5. 解： DEBC，EFAB， ADE ABC，ADE =EFC，A =CEF，ADE EFC.又SADE : SEFC = 4 : 9， AE : EC=2:3，则 AE : AC =2 : 5， SADE : SABC = 4 : 25， SABC = 25.6. 解：过点 D 作 AC 的垂线，垂足为 F，则，. 又 DEBC， ADE ABC.，即 SADE : SABC 4 : 9.