27.3垂径定理（解析版）【沪教版】.docx

1、2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【沪教版】专题27.3垂径定理姓名：_ 班级：_ 得分：_注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1（2021秋东港区校级月考）已知的半径为5，一条弦的弦心距为3，则此弦的长为A6B4C8D1【分析】画出图形，连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，再求出答案即可【解析】如图所示：连接，弦的弦心距，由勾股定理得：，过圆

2、心，故选：2（2021新吴区二模）为内一点，半径为5，则经过点的最短弦长为A5B6C8D10【分析】过作，交于、，则线段是过点的最短的弦，连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，再求出答案即可【解析】如图，过作，交于、，则线段是过点的最短的弦，连接，则，由勾股定理得：，过圆心，即，故选：3（2021临沭县模拟）如图的直径垂直于弦，垂足为，且，则的半径为ABCD【分析】连接，如图，设的半径为，则，根据垂径定理得到，再利用勾股定理得到，然后解方程即可【解析】连接，如图，设的半径为，则，在中，解得，即的半径为故选：4（2021秋海淀区校级月考）已知的半径为2，点为内一定点，且过点作的弦，其中最短的

3、弦的长度是A4BCD2【分析】当过的弦与垂直时，此时的弦长最短，连接，利用垂径定理得到为的中点，在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，由即可求出的长【解析】当过的弦与垂直时，此时的弦长最短，连接，利用垂径定理得到为的中点，即，在中，根据勾股定理得：，则过点最短的弦长故选：5（2021秋盐都区月考）如图，在中，半径，弦，是弦上的动点（不含端点，若线段长为正整数，则点的个数有A3个B4个C5个D6个【分析】当为的中点时最短，则，由勾股定理求出的长；当与或重合时，最长，得出的范围，再由为整数，得到所有可能的长即可【解析】当为的中点时，由垂径定理得：，此时最短，在中，由勾股定理得：，即的最小

4、值为3，当与或重合时，最长，此时，若线段的长度为正整数，或根据对称性可知，满足条件的点的个数有3个，故选：6（2021郧西县模拟）如图，是的直径，弦于，连接，过点作于，若，则的长度是ABCD【分析】连接、，根据垂径定理求出，根据三角形中位线定理求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算，得到答案【解析】连接、，由勾股定理得：，在中，即，解得：，故选：7（2021秋上城区月考）的半径为5，弦，则圆上到弦所在直线距离为2的点有A1个B2个C3个D4个【分析】作圆的直径于点，连接，根据勾股定理求出的长，求得、到弦所在的直线距离，与2比较大小，即可判断【解析】作圆的直径于点，连接，即到弦所在的直线距离

5、为2，在劣弧上，到弦所在的直线距离为2的点只有点；，在优弧上到弦所在的直线距离为2的点有2个，即圆上到弦所在的直线距离为2的点有3个故选：8（2021盐都区三模）的直径为20，圆上两点、距离为16，上一动点到直线距离的最大值为A16B18C24D32【分析】如图，过点作于，连接，根据垂径定理和勾股定理求得，即可求得点到直线距离的最大值【解析】如图，过点作于，连接，点到直线距离的最大值为，故选：9（2021淄川区一模）如图，在中，弦，则的半径为A4BCD【分析】如图，连接，设，构建方程组求出即可【解析】如图，连接，设，则有，解得，故选：10（2021鄂州）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明

6、朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是A1米B米C2米D米【分析】连接交于，连接，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，结合图形计算，得到答案【解析】连接交于，连接，点为运行轨道的最低点，（米，在中，（米，点到弦所在直线的距离米，故选：二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11（2020秋杨浦区校级期中）已知的半径为13，弦，且，则弦与之间的距离为 7或17【分析】分两种情况进行讨论：弦和

7、在圆心同侧；弦和在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可【解析】当弦和在圆心同侧时，如图1，；当弦和在圆心异侧时，如图2，与之间的距离为7或17故答案为7或1712（2020秋杨浦区校级期中）若过内一点的最长弦为10，最短弦为6，则的长为4【分析】根据垂径定理及勾股定理即可求出【解析】由已知可知，最长的弦是过的直径，最短的是垂直平分直径的弦，已知，则，由勾股定理得故答案为：413（2020静安区二模）如图，已知是的直径，弦交于点，垂足为点，那么【分析】根据是的直径，和垂径定理可得，再根据30度角所对直角边等于斜边一半，和勾股定理即可求出的长，进而可得的长【解析】是的直径，根

8、据垂径定理可知：，故答案为：14（2020徐汇区二模）如图，的弦和直径交于点，且平分，已知，那么的半径长是5【分析】连接，由垂径定理的推论得出，由已知可得，在中，利用勾股定理求【解析】连接，的弦和直径交于点，且平分，又，在中，由勾股定理，得，即，解得：，故答案为：515（2019闵行区二模）如图，已知在中，半径垂直于弦，垂足为点如果，那么10【分析】根据垂径定理可得，设，则，再利用勾股定理列出方程，解出的值即可【解析】半径垂直于弦，设，则，解得：，故答案为：1016（2019兴庆区校级二模）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过，三点，已知点的坐标是，点的坐标是，那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是【分

9、析】根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可【解析】如图线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点，即圆心的坐标是，故答案为17（2019秋嘉定区期末）已知弓形的高是1厘米，弓形的半径长是13厘米，那么弓形的弦长是10厘米【分析】过圆心作，则，连接，在直角中利用勾股定理即可求得的长，根据垂径定理可得，从而求解【解析】过圆心作，交弧与则，连接在直角中，则，那么弓形的弦长是10厘米故答案是：1018（2019盘锦一模）在中，如果圆的半径为，且经过点、，那么线段的长等于6或10【分析】作于，如图，利用等腰三角形的性质可判断垂直平分，则根据垂径定理得到点在上，连接，如图，根据余

10、弦的定义可计算出，则利用勾股定理可计算出，讨论：；【解析】作于，如图，垂直平分，点在上，连接，如图，在中，在中，或故答案为6或10三、解答题（本大题共6小题，共46分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（2021浦东新区模拟）如图，已知是圆的直径，弦交于点，求弦及圆的半径长【分析】过点作于点，联结，根据垂径定理解答即可【解析】过点作于点，联结，在中，过圆心，在中，弦的长为，的半径长为20（2020杨浦区二模）如图，有一拱桥的桥拱是圆弧形，已知桥拱的水面跨度（弧所对的弦的长）为8米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米（1）求桥拱所在圆的半径长；（2）如果水面上升到时，从点测得桥顶的仰角为

11、，且，求水面上升的高度【分析】（1）联结，设半径，在中，利用勾股定理构建方程求解即可（2）设水面上升的高度为米，即，则，在中，根据，构建方程求解即可【解析】（1），经过圆心，设拱桥的桥拱弧所在圆的圆心为，联结，设半径，在中，解之得答：桥拱所在圆的半径长为5米（2）设与相交于点，联结，在中，设水面上升的高度为米，即，则，在中，化简得，解得 （舍去），答：水面上升的高度为1米21（2020利辛县模拟）如图，已知，以为圆心、为半径画圆，与边交于另一点（1）求的长；（2）连接，求的正弦值【分析】（1）如图连接，作于利用面积法求出，再利用勾股定理求出即可解决问题；（2）作于利用面积法求出即可解决问题；【

12、解析】（1）如图连接，作于，（2）作于，22（2020安徽模拟）如图，在圆中，弦，点在圆上与，不重合），连接、，过点分别作，垂足分别是点、（1）求线段的长；（2）点到的距离为3，求圆的半径【分析】（1）由知，同理得出，从而知，据此可得答案；（2）作于点，连接，根据题意得出，利用勾股定理可得答案【解析】（1）经过圆心，同理：，是的中位线，（2）过点作，垂足为点，连接，经过圆心，在中，即圆的半径为523（2019杨浦区三模）如图，已知是圆的直径，弦，垂足在半径上，点在弧上，射线与的延长线交于点（1）求圆的半径；（2）如果，求的长【分析】（1）连接，根据垂径定理得：，设圆的半径为，根据勾股定理列方程可得结论；（2）过作于，证明，列比例式可得的长，从而得的长【解析】（1）连接，直径弦，在中，设圆的半径为，根据勾股定理得：，即，解得：，则圆的半径为4.5；（2）过作于，24（2019秋闵行区期末）如图，已知是半径，点在的直径的延长线上，且，垂足为弦垂直平分半径，垂足为，求：（1）的半径；（2）求弦的长【分析】（1）设，证明，得，代入可得结论；（2）由勾股定理得的长，根据垂径定理可得的长【解析】（1）设，弦垂直平分半径，则的半径为6；（2）由（1）得：，由勾股定理得：，