3.1 单项式与多项式【十大题型】（举一反三）（苏科版）（教师版）.docx

1、专题3.1 单项式与多项式【十大题型】【苏科版】【题型1 列代数式】1【题型2 单项式与多项式的概念】3【题型3 直接确定单项式的系数与次数】4【题型4 根据单项式的次数求参】5【题型5 直接确定多项式的项与次数】7【题型6 根据多项式的项与次数求参】8【题型7 单项式与多项式综合运用】9【题型8 单项式与多项式中的结论开放性问题】10【题型9 单项式中的规律探究】11【题型10 多项式中的规律探究】12【知识点1 代数式的概念】1.代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子单独的一个数或者一个字母也是代数式带有“（）”“（）”“=”“”等符号的不是代数式

2、2.代数式书写规范：数和字母相乘，可省略乘号，并把数字写在字母的前面；字母和字母相乘，乘号可以省略不写或用“ ” 表示. 一般情况下，按26个字母的顺序从左到右来写；后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来；除法运算写成分数形式，即除号改为分数线；带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式；当“1”与任何字母相乘时,“1”省略不写；当“-1”乘以字母时，只要在那个字母前加上“-”号.【题型1 列代数式】【例1】（2022秋洛阳期末）如图，A，B两地之间有一条东西走向的道路在A地的东边5km处设置第一个广告牌，之后每往东12km就设置一个广告牌一辆汽车从A地出发，沿此道路向东行驶当经过第n个

3、广告牌时，此车所行驶的路程为（）A（12n+7）kmB（12n+5）kmC（12n7）kmD（12n5）km【分析】根据题意和图形，可以用代数式表示出这辆汽车行驶的路程，本题得以解决【解答】解：由题意可得，一汽车在A地出发，沿此道路向东行驶当经过第n个广告牌时，此车所行驶的路程为：5+12（n1）（12n7）km，故选：C【变式1-1】（2022秋朝阳区期末）用代数式表示“m的3倍与n的差的平方”，正确的是（）A3mn2B（m3n）2C（3mn）2D3（mn）2【分析】要明确给出文字语言中的运算关系，先表示出m的3倍，再表示出与n的差，最后表示出平方即可【解答】解：m的3倍与n的差的平方表示为

4、：（3mn）2，故选：C【变式1-2】（2022秋侯马市期末）一个两位数，个位数字和十位数字之和为10，个位数字为x，用代数式表示这个两位数是 【分析】根据题意，先求出十位数字，然后写出这个两位数，注意化简【解答】解：个位数字是x，则十位数字是10x，所以这个两位数是（10x）10+x1009x故答案为：1009x【变式1-3】（2022秋正定县期末）如图，阴影部分是一个长方形截去两个四分之一的圆后剩余的部分，则它的面积是（其中a2b）（）Aab-a24Bab-b22Cab-a22Dab-b24【分析】根据图形可得阴影部分的面积矩形的面积两个扇形面积【解答】解：S矩形长宽ab，S扇形=14b2

5、2=12b2，S阴影S矩形S扇形ab-b22故选：B【知识点1 单项式的概念】单项式的概念：如，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式注意：（1）单项式包括三种类型：数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；单独的一个数；单独的一个字母（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算【知识点2 多项式的概念】多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式【题型2 单项式与多项式的概念】【例2】（2022秋莱阳市期中）下列整式中：m4n27、-12x2y、x2+y21、x、3x2y+3xy2+x41、32t3、2xy，单项式的个数为a，多项式的个数为b，则a

6、b12【分析】先选出多项式和单项式，即可得出答案【解答】解：单项式有m4n27、-12x2y、x、32t3，即a4，多项式有x2+y21、3x2y+3xy2+x41、2xy，即b3，ab12，故答案为：12【变式2-1】（2022秋东莞市校级期中）整式0.3x2y，0，x+12，22abc2，13x2，-14y，-13ab2-12a2b中单项式的个数有（）A6个B5个C4个D3个【分析】根据单项式的定义判断即可【解答】解：整式0.3x2y，0，x+12，22abc2，13x2，-14y，-13ab2-12a2b中单项式有0.3x2y，0，22abc2，13x2，-14y共5个，故选：B【变式2

7、-2】（2022秋太湖县期末）下列式子：2a2b，3xy，2y2，a+b2，4，m，x+yz2，ab-cn其中是多项式的有（）A2个B3个C4个D5个【分析】几个单项式的和叫做多项式，结合所给式子进行判断即可【解答】解：式子：2a2b，3xy，2y2，a+b2，4，m，x+yz2，ab-cn中，是多项式的有a+b2，x+yz2，共2个故选：A【变式2-3】（2022秋新洲区期末）（2022秋端州区月考）把下列各式分别填在相应的大括号内2，x2y，-a3，2x2+3x1，x2y32，y，1x，2x-y5单项式： 多项式： 【分析】根据单项式是数与字母的积，单独一个数或一个字母也是单项式；几个单项

8、式的和是多项式，可得答案【解答】解：单项式：2，x2y，-a3，x2y32，y； 多项式：2x2+3x1，2x-y5故答案为：2，x2y，-a3，x2y32，y； 2x2+3x1，2x-y5【知识点3 单项式的系数】单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数 （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；（2）圆周率是常数单项式中出现时，应看作系数；（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数.【知识点4 单项式的次数】单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数单项式的

9、次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；（2）不能将数字的指数一同计算【题型3 直接确定单项式的系数与次数】【例3】（2022秋滨江区期末）单项式x2y3的系数为3，次数为3【分析】根据单项式的次数和系数进行解答【解答】解：单项式x2y3的系数为3；次数为3；故答案为3，3【变式3-1】（2022秋长垣市月考）指出下列各单项式的系数和次数（1）12xy2（2）22a2bc（3）-32x2y3z【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数【解答】

10、解：（1）12xy2 的系数是12，次数是3；（2）22a2bc的系数是4，次数是4；（3）-32x2y3z的系数是-32，次数是6【变式3-2】（2022秋商水县期末）已知|a+1|+（b2）20，则单项式xa+2byba的次数是4【分析】先求出a与b的值，然后代入单项式中即可求出答案【解答】解：由题意可知：a+10，b20，a1，b2，将a与b代入单项式中可得：2xy3单项式的次数为：4故答案为：4【变式3-3】（2022秋惠城区期末）已知单项式-34x2y2的系数为m，次数为n，则mn的值为3【分析】直接利用单项式的次数与系数的定义分别得出m，n的值，即可得出答案【解答】解：单项式-34

11、x2y2的系数为m=-34，次数为n4，mn的值为：-3443故答案为：3【题型4 根据单项式的次数求参】【例4】（2022秋高密市期末）若（a2）x2y|a|+1是x，y的五次单项式，则a2【分析】根据单项式系数和次数的概念求解【解答】解：（a2）x2y|a|+1是x，y的五次单项式，a20，2+|a|+15，解得：a2，a2，则a2故答案为：2【变式4-1】（2022秋孟津县期末）已知单项式6x2y4与3a2bm+2的次数相同，则m22m的值为0【分析】根据两个单项式的次数相同可得2+42+m+2，再解即可得到m的值，进而可得答案【解答】解：由题意得：2+42+m+2，解得：m2，则m22

12、m0故答案为：0【变式4-2】（2022秋德惠市期中）已知x2y|a|+（b+2）是关于x、y的五次单项式，求a23ab的值【分析】根据单项式及单项式次数的定义，可得出a、b的值，代入代数式即可得出答案【解答】解：x2y|a|+（b+2）是关于x，y的五次单项式，2+|a|=5b+2=0，解得：a=3b=-2，则当a3，b2时，a23ab9189；当a3，b2时，a23ab9+1827【变式4-3】（2022秋驻马店校级期中）若mx2y|n3|是关于x、y的10次单项式，且系数是8，求m+n的值【分析】利用单项式的定义得出m的值，进而利用单项式次数的定义得出n的值，进而得出答案【解答】解：mx

13、2y|n3|是关于x、y的10次单项式，且系数是8，m8，且2+|n3|10，解得：n11或5，则m+n3或m+n13【知识点5 多项式的项与次数】多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项 （1）多项式的每一项包括它前面的符号 （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出【题型5 直接确定多项式的项与次数】【例5】（2022秋端州区校级期中）多项式xy29xy+5x

14、2y36是三次四项式【分析】要确定多项式是几次几项式，就要确定多项式的次数和项数，根据多项式次数和项数的概念可知，该多项式是三次四项式【解答】解：多项式xy29xy+5x2y36是三次四项式故答案为：三，四【变式5-1】（2022秋平原县校级期中）多项式2x2yx2+12x2y23的最高次项是12x2y2，三次项的系数是2，常数项是3【分析】直接利用多项式的各项确定方法分别求出答案【解答】解：多项式2x2yx2+12x2y23的最高次项是：12x2y2，三次项的系数是：2，常数项是3故答案为：12x2y2，2，3【变式5-2】（2022春杨浦区校级期末）多项式3x2y+4xy+x2的次数与项数

15、之和为 7【分析】根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数可得答案【解答】解：多项式x2yxy2+3xy1的次数与项数分别是3和4，3+47，故答案为：7【变式5-3】（2022秋苍溪县期中）已知多项式2m3n25中，含字母的项的系数为a，多项式的次数为b，常数为c，则a+b+c2【分析】首先利用多项式的系数、次数及常数项确定a、b、c的值，然后求和即可【解答】解：多项式2m3n25中，含字母的项的系数为a，多项式的次数为b，常数项为c，a2，b5，c5，a+b+c2+552，故答案为：2【题型6 根据

16、多项式的项与次数求参】【例6】（2022秋呈贡区月考）若多项式12x|m|（m4）x+7是关于x的四次二项式，则m的值是4【分析】根据四次二项式的定义可知，该多项式的最高次数为4，项数是2，所以可确定m、n的值，即可求解【解答】解：由多项式是关于x的四次二项式知：|m|4且m40，解得m4故答案为：4【变式6-1】（2022秋泰兴市校级期中）已知多项式x3xym+1+x3y3x41是五次多项式，则m3【分析】先观察多项式的各项，再确定每项的次数，最高次项的次数就是多项式的次数【解答】解：多项式x3xym+1+x3y3x41是五次多项式，1+m+15，解得：m3故答案为：3【变式6-2】（202

17、2秋陇县期末）多项式12x|m|-(m+2)x+7是关于x的二次三项式，则m2【分析】由于多项式是关于x的二次三项式，所以|m|2，但（m+2）0，根据以上两点可以确定m的值【解答】解：多项式是关于x的二次三项式，|m|2，m2，但（m+2）0，即m2，综上所述，m2，故填空答案：2【变式6-3】（2022秋莒县期末）如果（|k|3）x3（k3）x22是关于x的二次多项式，则k的值是3【分析】直接利用多项式的定义得出|k|30，k30，进而得出答案【解答】解：（|k|3）x3（k3）x22是关于x的二次多项式，|k|30，k30，解得：k3故答案为：3【题型7 单项式与多项式综合运用】【例7】

18、（2022秋麻城市期末）已知多项式-13x2ym+1+xy2-3x3-6是五次四项式，单项式0.4x2ny5m的次数与这个多项式的次数相同，则m2，n1【分析】根据多项式-13x2ym+1+xy2-3x3-6是五次四项式，得到m+13，根据单项式0.4x2ny5m的次数与这个多项式的次数相同，得到2n+5m5，即可解答【解答】解：多项式-13x2ym+1+xy2-3x3-6是五次四项式，m+13，m2，单项式0.4x2ny5m的次数与这个多项式的次数相同，2n+5m5，n1，故答案为：2，1【变式7-1】（2022秋赤壁市期中）已知单项式3x2yn的次数为5，多项式6+x2y-12x2-16x

19、2ym+3的次数为6，求单项式（m+n）xmyn的次数与系数的和【分析】根据已知求出m、n的值，把m、n的值代入单项式，求出单项式的系数和次数，即可得出答案【解答】解：单项式3x2yn的次数为5，多项式6+x2y-12x2-16x2ym+3的次数为6，2+n5，2+m+36，解得：m1，n3，（m+n）xmyn4xy3，系数是4，次数是1+34，4+48，即单项式（m+n）xmyn的次数与系数的和是8【变式7-2】（2022秋建华区校级期中）已知多项式（m+4）x|m|y2+xy4x+1六次四项式，单项式5x2ny6m与多项式的次数相同，（m，n是常数），则mn16【分析】利用多项式的次数定义

20、得出m的值，进而利用单项式的次数得出n的值，即可得出答案【解答】解：多项式（m+4）x|m|y2+xy4x+1六次四项式，单项式5x2ny6m与多项式的次数相同，|m|+26且m+40，2n+6m6，解得m4，n2，则mn4216故答案为：16【变式7-3】有三个单项式：a2，b，1，请问由这三个单项式与加、减、乘、除等运算符号能组成哪些多项式？【分析】根据单项式和多项式的定义即可得出答案【解答】解：根据题意得，组成的多项式有：a2+b+1；a2+b1；a2b+1；a2b1；a2b+1；a2b1；a2+b+1；a2+b1；a2b+1；a2b1；a2b+1；a2b1【题型8 单项式与多项式中的结

21、论开放性问题】【例8】（2022秋鄞州区期末）某单项式的系数为2，只含字母x，y，且次数是3次，写出一个符合条件的单项式可以是 2xy2或2x2y（答案不唯一）【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数【解答】解：2xy2或2x2y是只含字母x、y，系数为2，次数为3的单项式，故答案为：2xy2或2x2y（答案不唯一）【变式8-1】（2022秋南川区期末）一个单项式满足下列两个条件：系数是3；次数是四次请写出一个同时满足上述两个条件的单项式 3x4（答案不唯一）【分析】根据单项式的数字因数为单项式的系数，单项式的所有字母的指数

22、的和为单项式的次数可解决此题【解答】解：根据单项式的系数与次数的定义，满足条件的单项式可为3x4（答案不唯一）故答案为：3x4（答案不唯一）【变式8-2】（2022秋朝阳区校级期中）试写出只含有字母x、y，同时满足下列条件的两个多项式：六次三项式各项系数绝对值为1不含常数项【分析】根据多项式的相关概念回答即可【解答】解：根据题意得：xy5xy+xy2（答案为不唯一）【变式8-3】（2022秋朝阳区校级期中）写出同时满足下列4个条件的一个多项式：该多项式含有字母x和y；该多项式第一项是常数项；该多项式是三次四项式；该多项式各项系数和为零【分析】根据题目的要求可直接写出符合条件的多项式，本题为开放

23、题，答案不唯一【解答】解：3x+2y4xy2（答案不唯一）【题型9 单项式中的规律探究】【例9】（2022秋硚口区期中）观察下面有规律的三行单项式：x，2x2，4x3，8x4，16x5，32x6，2x，4x2，8x3，16x4，32x5，64x6，2x2，3x3，5x4，9x5，17x6，33x7，（1）根据你发现的规律，第一行第8个单项式为128x8；（2）第二行第n个单项式为（2）nxn；（3）第三行第8个单项式为129x9；第n个单项式为（1）n+1（1+2n1）xn+1【分析】通过观察很容易得到三组数据数字因数、字母次数之间的关系，根据规律写出相应的式子即可【解答】解：（1）因为第一行

24、的每个单项式，数字因数后面都是前面的2倍，字母次数与这个单项式是第几个有关，根据这个规律可得第一行第8个单项式为 128x8；（2）因为第二行的每个单项式，数字因数后面都是前面的（2）倍，字母次数与这个单项式是第几个有关，根据这个规律可得第n个单项式为 （2）nxn；（3）通过观察第三行的这组单项式，这组单项式符合 （1）n+1（1+2n1）xn+1，第8个单项式是129x9；第n个单项式为 （1）n+1（1+2n1）xn+1故答案为：（1）128x8，（2）（2x）n，（3）129x9 ，（1）n+1（1+2n1）xn+1【变式9-1】（2022雁塔区校级开学）观察下列关于x的表达式，探究其

25、规律：x，4x3，+7x5，10x7，13x9，16x11，按照上述规律，第2017个表达式是6049x4033【分析】系数的规律：第n个对应的系数的绝对值是3n2，指数的规律：第n个对应的指数是2n1，依此即可求解【解答】解：根据分析的规律，201736721，第2017个表达式是：6049x4033故答案为：6049x4033【变式9-2】（2012秋和平区期中）观察下列排列的单项式的规律：12a2b，-14a2b2，18a2b3，-116a2b4，（1）请按照此规律写出第10个单项式；（2）试猜想写出第n个单项式，并写出其系数和次数【分析】（1）要看各单项式的系数和次数与该项的序号之间的

26、变化规律本题中，奇数项符号为负，偶数项符号为正，数字变化规律是（1）n+112n，字母变化规律是a2bn；（2）利用（1）中规律得出答案【解答】解：（1）12a2b，-14a2b2，18a2b3，-116a2b4，第10个单项式为：-1210a2b10；（2）第n个单项式为：（1）n+112na2bn（n2），系数为：（1）n+112n，次数为：2+n【变式9-3】（2022秋海珠区期末）一组按规律排列的式子：a2，a43，a65，a87，则第1008个式子是a20162015【分析】观察分子、分母的变化规律，总结出一般规律即可求解【解答】解：a2，a4，a6，a8，分子可表示为：a2n，1，

27、3，5，7，分母可表示为2n1，则第n个式子为：a2n2n-1故第1008个式子是a20162015故答案为：a20162015【题型10 多项式中的规律探究】【例10】（2022秋北流市期中）观察下列依次排列的多项式：a+b，a2b3，a3+b5，a4b7，请写出第9个式子是a9+b17【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律【解答】解：多项式的第一项依次是a，a2，a3，a4，an，第二项依次是b，b3，b5，b7，（1）n+1b2n1，所以第9个式子即当n9时，代入到得到an+（1）n+1b2n1a9b17故答案为：a9+b17【变式1

28、0-1】（2022秋黔东南州期末）观察下列多项式：2ab，4a+b2，8ab3，16a+b4，按此规律，则可以得到第7个多项式是128ab7【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律【解答】解：多项式的第一项依次是2a，4a，8a，16a，2na，第二项依次是b，b2，b3（1）nbn，则可以得到第7个多项式是128ab7故答案为：128ab7【变式10-2】（2022淮安一模）如图是有关x的代数式的方阵，若第10行第2项的值为1034，则此时x的值为2【分析】由方阵可以看出每一行的每一个式子的第一项为2n1x，第二项是n，由此得出等式求得x的

29、数值即可【解答】解：每一个式子的第二项是2n1x+n，第10行第2项的值为29x+101034，解得x2，故答案为2【变式10-3】（2022秋永安市期末）观察右表，我们把某格中字母和所得到的多项式称为特征多项式，如第1格的“特征多项式”为4x+y，第3格的“特征多项式”为16x+9y，则第n格的“特征多项式”为（n+1）2x+n2y【分析】先根据已知数据找出规律，根据所得的规律得出即可【解答】解：第1格的“特征多项式”为4x+y（1+1）2x+12y，第2格的“特征多项式”为9x+4y（2+1）2x+22y，第3格的“特征多项式”为16x+9y（3+1）2x+32y，第n格的“特征多项式为：（n+1）2x+n2y，故答案为：（n+1）2x+n2y