3.1.1 椭圆及其标准方程-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第一册）.docx

1、3.1.1椭圆及其标准方程【考点梳理】考点一：椭圆的定义1定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹2焦点：两个定点F1，F2.3焦距：两焦点间的距离|F1F2|.4几何表示：|MF1|MF2|2a(常数)且2a|F1F2|.考点二：椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)图形焦点坐标F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c的关系b2a2c2考点三：求轨迹方程的方法直译法“四步一回头”，四步：（1）建立适当坐标系，设出动点M的坐标； （2）写出适合条件的点M的集合； （3）将 “翻译”成代数方程；

2、 （4）化简代数方程为最简形式. 【题型归纳】题型一：利用椭圆的定义求方程1（2021湖北高二阶段练习）已知椭圆的两个焦点分别为，P是椭圆上一点，且C的短半轴长等于焦距，则椭圆C的标准方程为（）ABCD2（2022全国高二课时练习）已知椭圆的两个焦点为，M是椭圆上一点，若，则该椭圆的方程是（）ABCD3（2022全国高二课时练习）已知椭圆C的焦点为，过的直线与C交于A，B两点，若，则C的方程为（）ABCD题型二：椭圆的焦点三角形问题4（2022四川省绵阳江油中学高二阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为（）A4B8C16D325（2021江苏高二单元测试）

3、已知A，F分别是椭圆C：的下顶点和左焦点，过A且倾斜角为的直线l分别交x轴和椭圆C于M，N两点，且N点的纵坐标为，若的周长为6，则的面积为（）ABCD6（2021全国高二课时练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点，若的周长为，则面积的最大值为（）ABCD题型三：根据方程表示椭圆求参数问题7（2022江西吉安高二期末（文）“”是“方程表示椭圆”的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D不充分也不必要条件8（2021全国高二专题练习）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）ABCD9（2022全国高二课时练习）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范

4、围为（）AB且CD题型四：椭圆的标准方程的求法10（2022江苏泗阳县实验高级中学高二阶段练习）已知椭圆的两个焦点为，M是椭圆上一点，若，则该椭圆的方程是（）ABCD11（2022全国高二专题练习）阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C：的左，右焦点分别是，P是C上一点，C的面积为12，则C的标准方程为（）ABCD12（2022江苏高二）已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为过点作轴的垂线与椭圆相交，其中一个交点为点如图所示，若的面积为，则椭圆的方程为（）ABCD题型五：与椭圆有关的轨迹问题13（

5、2022广东广州高二期末）已知的周长为，顶点、的坐标分别为、，则点的轨迹方程为（）ABCD14（2021四川高二期末（文）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（）ABCD15（2021辽宁沈阳高二期中）已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹的方程是（）ABCD【双基达标】一、单选题16（2022江苏徐州华顿学校高二阶段练习）已知表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为（）A BC D17（2022江苏南京市秦淮中学高二阶段练习）设点P为椭圆上一点，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为（）ABCD18（2022全国高二课时练习）设P为椭圆上的点，分别为椭圆C的左、右焦

6、点，且，则（）AB2CD319（2022全国高二课时练习）已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，则椭圆C的标准方程为（）ABCD20（2022四川内江高二期末（理）已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（）ABCD921（2022江西赣州市赣县第三中学高二阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在x轴经过两点，；(2)过点，且与椭圆有相同的焦点.22（2022全国高二课时练习）已知，当m为何值时，(1)方程表示椭圆；(2)方程表示焦点在x轴上的椭圆；(3)方程表示焦点在y轴上的椭圆【高分突破】一：单选题23（2022四川成都七中高二

7、阶段练习（文）已知分别是椭圆的左、右焦点，点，点在椭圆上，分别是的中点，且的周长为，则椭圆的方程为（）ABCD24（2022江苏高二）已知椭圆的焦点为、，P为椭圆上的一点，若，则的面积为（）A3B9CD25（2022全国高二专题练习）在平面直角坐标系中，若ABC的顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（）AB2CD426（2022全国高二专题练习）已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆上有两点，（点A在x轴上方），满足，若，则直线的斜率为（）ABC2D327（2022黑龙江双鸭山一中高二阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上的一点，点是线段的中点，为坐标原点，若，则（）A3B4C6D1128（20

8、22吉林长春外国语学校高二期末）方程表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（）ABC或D29（2022全国高二专题练习）已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（）曲线关于坐标原点对称；曲线是一个椭圆；曲线围成区域的面积小于椭圆围成区域的面积.ABCD30（2022全国高二专题练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，点P是椭圆上的动点，则的最小值为（）ABCD31（2022重庆八中高二阶段练习）19世纪法国著名数学家加斯帕尔蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆

9、长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则b的值为（）ABCD二、多选题32（2022江苏泗阳县实验高级中学高二阶段练习）对于曲线，下面四个说法正确的是（）A曲线不可能是椭圆B“”是“曲线是椭圆”的充分不必要条件C“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件D“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件33（2022福建福州高二期末）已知椭圆：，分别为它的左右焦点，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）A存在P使得B的最小值为C，则的面积为9D直线与直线斜率乘积为定值34（2022江苏高二）已知是左右焦点分别为，的上的动点，下列说

10、法正确的有（）A的最大值为5BC存在点，使D的最大值为35（2022江苏省镇江第一中学高二期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，椭圆的上顶点和右顶点分别为A，B若P，Q两点都在椭圆C上，且P，Q关于坐标原点对称，则（）A|PQ|的最大值为 B为定值C椭圆上不存在点M，使得D若点P在第一象限，则四边形APBQ面积的最大值为三、填空题36（2022重庆一中高二阶段练习）已知圆，圆.动圆与外切，与内切，则动圆的圆心的轨迹方程为_.37（2022江苏扬州大学附属中学高二阶段练习）若焦点在x轴上的椭圆的焦距为4，则_38（2022江苏泗阳县实验高级中学高二阶段练习）已知椭圆：，为椭圆上任意一点，点，则的最小

11、值为_.39（2022全国高二单元测试）如图，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为_四、解答题40（2022河南南阳市创新高级中学高二阶段练习）已知直线与椭圆在第一象限内交于M点，又MF2x轴，F2是椭圆的右焦点，另一个焦点为F1，若，求椭圆的标准方程41（2022全国高二课时练习）如图，圆的圆心为，点，点为圆上任意一点，求线段的垂直平分线与线段的交点的轨迹方程【答案详解】1D【详解】因为，所以因为，所以，故椭圆C的标准方程为故选：D.2B【分析】由椭圆的定义结合勾股定理求出，即可求解【详解】由，得，又因为，所以，由，得

12、，所以，又.因为椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的方程是.故选：B.3C【解析】根据椭圆的定义以及余弦定理，结合列方程可解得，即可得到椭圆的方程【详解】，又，又，在轴上在中，在中，由余弦定理可得，可得，解得椭圆的方程为：故选：C【点睛】方法点睛：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；设方程：根据上述判断设方程或；找关系：根据已知条件，建立关于、的方程组；得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.4C【分析】由已知条件，结合得出，然后利用椭圆的定义可得答案【详解】，的周长为故选：C5B【分析】根据已知条件求得，由此求得的面积.【

13、详解】由题意得，因为直线AM的倾斜角为，所以直线MN的方程为，把代入椭圆方程解得，所以，因为A在直线MN上，所以，解得又，解得，令，则，即，因为M为椭圆的右焦点，所以，由椭圆的定义可知，因为的周长为6，所以，所以，所以，所以，.所以故答案为：6B【分析】利用椭圆的定义求出的值，进而可得出的值，由此可求得面积的最大值为，即可得解.【详解】由椭圆的定义可得的周长为，则，则面积的最大值为，故选：B.7A【分析】根据椭圆的定义和必要不充分条件定义可得答案.【详解】若方程表示椭圆，则，“”是“方程表示椭圆”的必要条件；反过来，当时，如，或，方程表示圆，“”不是方程“表示椭圆”的充分条件综上，“”是“方程

14、表示椭圆”的必要不充分条件故选：A8D【分析】由方程表示焦点在y轴上的椭圆直接列出不等式可求解.【详解】方程表示焦点在y轴上的椭圆,，解得.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查方程表示椭圆求参数范围，熟记椭圆标准方程的要求条件是解题关键，属于基础题.9D【分析】由条件可得，从而可得答案.【详解】方程表示焦点在x轴上的椭圆则，则故选：D10C【分析】首先设，再利用焦点三角形是直角三角形，列式求，即可求得的值.【详解】设，因为，所以，所以，所以，所以因为，所以所以椭圆的方程是故选：C11C【分析】由，根据椭圆的定义及余弦定理可得的关系，根据“逼近法”求椭圆的面积公式，及，即可求得的值，进而可得的

15、标准方程.【详解】由椭圆的定义可知，又，所以，.又，所以，所以，.又椭圆的面积为12，所以，解得，.故选：C.12C【分析】由题意可知，结合面积公式求得，又，故，即可求解【详解】轴，点和点的横坐标为，设点，轴，把点代入椭圆方程中得到，令可得由的面积为，即，又，解得，故椭圆方程为故选：C13D【分析】分析可知点的轨迹是除去长轴端点的椭圆，求出、的值，结合椭圆焦点的位置可得出顶点的轨迹方程.【详解】由已知可得，且、三点不共线，故点的轨迹是以、为焦点，且除去长轴端点的椭圆，由已知可得，得，则，因此，点的轨迹方程为.故选：D.14A【分析】根据方程可以利用几何意义得到动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆

16、方程，从而求出轨迹方程.【详解】由题意得：到与的距离之和为8，且84，故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，所以，所以椭圆方程为.故选：A15B【分析】根据定义可判断点的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求出轨迹方程.【详解】由题可得圆心，半径为6，是垂直平分线上的点，点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，故点的轨迹方程为.故选：B.16B【分析】根据曲线方程表示焦点在y轴上的椭圆，列出相应的不等式，即可求得答案.【详解】由题意表示焦点在y轴上的椭圆，则，解得，故选：B17C【分析】结合余弦定理、椭圆的定义求得，从而求得的面积.【详解】设，根据椭圆的定义以及余弦定理得，整理得，即，所以的面积为.故选：

17、C18B【分析】先利用椭圆得到，根据椭圆的定义可得到，结合可算出，即可算出答案【详解】解：由椭圆可得即，因为P为椭圆上的点，所以，因为，所以，故，故选：B19C【分析】方法一：构造并利用，从而求出，得出椭圆C的标准方程；方法二：若椭圆的标准方程为，则过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的线段为椭圆的通径，其长为，并利用，求出，从而得出椭圆C的标准方程.【详解】方法一：由题意，设椭圆C的标准方程连接，如图所示由题意，得，在中，又由，得a2，所以，所以椭圆C的标准方程为方法二：由题意，设椭圆C的标准方程为，则，即，又，所以a2或（舍去），所以，故椭圆C的标准方程为故选：C.20A【分析】由已知可

18、得，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解.【详解】因为，所以，又记，则，2-整理得：，所以故选：A21(1)(2)【分析】（1）直接设椭圆的一般式，然后代入点的坐标，求解方程即可得到结果.（2）根据题意可设所求的椭圆方程为，然后代入点的坐标即可求得.（1）设椭圆方程为则，解得故椭圆方程为（2）由已知椭圆方程可得焦点坐标为，则可设所求的椭圆方程为:，（其中） 代入点，解得，所以所求椭圆方程为:22(1)3m7或7m11(2)7m11(3)3m7【分析】（1）（2）（3）根据椭圆标准方程的定义，列出不等式即可.（1）若方程表示椭圆，则，解得3m7或7m11m0，解得7mm30，解得3m723B【

19、分析】因为，所以三点共线，且，根据椭圆的定义求得，设，根据，求得，代入椭圆的方程，求得的值，即可求解.【详解】因为，所以三点共线，且，因为分别为和的中点，所以，所以，设，由，可得，求得，所以，因为点在椭圆上，所以，求得，所以椭圆的方程为.故选：B.24C【分析】根据椭圆定义和焦点三角形，利用余弦定理和面积公式即可求解.【详解】根据椭圆的定义有，根据余弦定理得，结合解得，所以的面积故选:C25A【分析】由题设易知为椭圆的两个焦点，结合椭圆定义及焦点三角形性质有，最后应用正弦定理的边角关系即可求目标式的值.【详解】由题设知：为椭圆的两个焦点，而B在椭圆上，所以，由正弦定理边角关系知：.故选：A26

20、C【分析】因为，所以设，根据比例关系和椭圆的定义分别求出，的长，由勾股定理可知，在中，求的值即为直线的斜率，计算正切值即可求出结果.【详解】解：因为，所以设，则有，根据椭圆定义：，可知：，因为，所以，即，解得：所以，在中，即为直线的斜率，又，所以直线的斜率为2.故选：C.27A【分析】利用椭圆的定义可得，再结合条件即求.【详解】由椭圆的定义可知，因为，所以，因为点分别是线段，的中点，所以是的中位线，所以.故选：A.28D【分析】根据曲线为焦点在y轴上的椭圆可得出答案.【详解】因为方程表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆，所以，解得.故选：D.29D【分析】对于在方程中换为，换为可判断；对于分析曲线的

21、图形是两个抛物线的部分组成的可判断；对于在第一象限内，分析椭圆的图形与曲线图形的位置关系可判断.【详解】在曲线的方程中，换为，换为，方程不变，故曲线关于坐标原点对称所以正确,当时，曲线的方程化为，此时 当时，曲线的方程化为，此时 所以曲线的图形是两个抛物线的部分组成的，不是椭圆，故不正确.当，时，设，设，则，（当且仅当或时等号成立）所以在第一象限内，椭圆的图形在曲线的上方.根据曲线和椭圆的的对称性可得椭圆的图形在曲线的外部（四个顶点在曲线上）所以曲线围成区域的面积小于椭圆围成区域的面积，故正确.故选：D30A【分析】由椭圆的定义可得；利用基本不等式，若 ，则，当且仅当时取等号.【详解】根据椭圆

22、的定义可知，即，因为，所以，当且仅当，时等号成立.故选：A31B【分析】由题意求出蒙日圆方程，再由两圆只有一个交点可知两圆相切，从而列方程可求出b的值【详解】由题意可得椭圆的蒙日圆的半径，所以蒙日圆方程为，因为圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，所以两圆相切，所以，解得，故选：B32CD【分析】根据曲线的形状求出参数的取值范围，可判断A选项；利用集合的包含关系可判断BCD选项.【详解】对于A选项，若曲线为椭圆，则，解得且，A错；对于B选项，因为或，所以，“”是“曲线是椭圆”的必要不充分条件，B错；对于C选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，又因为，所以，“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必

23、要不充分条件，C对；对于D选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，所以，“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件，D对.故选：CD.33ABC【分析】设椭圆短轴顶点为根据得的最大角为钝角即可判断A；记，则，结合余弦定理与基本不等式求解判断B；结合题意得，进而计算面积判断C；设，直接求解即可判断D.【详解】解：设椭圆短轴顶点为，由题知椭圆：中，所以，对于A选项，由于，所以的最大角为钝角，故存在P使得，正确；对于B选项，记，则，由余弦定理： ，当且仅当时取“=”，B正确；对于C选项，由于，故 ，所以，C正确；对于D选项，设，则，于是,故错误.故选：ABC34BD【分析】设，则，进而根据两点之间

24、的距离公式和二次函数性质求解判断A；根据椭圆定义判断B；根据为短轴端点时，判断C；根据，三点共线时，有最大值判断D.【详解】解：对于A选项，设，则，即，所以，又，所以当时，故A错误，对于B选项，由椭圆定义，故B正确对于C选项，当为短轴端点时，故，进而，故C错误，对于D选项，当，三点共线时，有最大值，故D正确.故选：BD35BD【分析】A. 由|PQ|的最大值为长轴长判断；B.由椭圆的定义判断；C.由判断；D.分别求得P，Q到直线AB的距离最大值判断.【详解】如图所示：A. |PQ|的最大值为长轴长2 ，故错误；B. 易知是平行四边形，则，因为，所以，故正确；C.因为，所以，则，故椭圆上存在点M

25、，使得，故错误；D.直线AB所在直线方程为：，即，设，则点P到直线AB的距离为，其最大值为，同理点Q到直线AB的最大值为，所以四边形APBQ面积的最大值为，故正确.故选：BD36【分析】根据题意得到动圆圆心到两个定圆圆心的距离之和为常数，且大于两个定点的距离，故轨迹为椭圆，根据条件计算得到答案.【详解】圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为5，设动圆圆心为，半径为，则，于是，动圆圆心的轨迹是以，为焦点，长轴长为6的椭圆，的轨迹方程为，故答案为：374【分析】根据椭圆中基本量的关系得到关于m的方程，解方程得到m的值.【详解】因为椭圆的焦点在x轴上且焦距为4，所以，解得.故答案为：4.38#【分

26、析】首先求出椭圆的焦点，再判断点在椭圆外，最后根据两点间线段最短求出的最小值；【详解】解：椭圆：中，所以，所以为椭圆的左焦点，又点，则，所以点在椭圆外，所以当点为线段与椭圆的交点时最小，其最小值为.故答案为：39【分析】连接，设（），则.利用椭圆的定义表示出，由勾股定理求出，即可得到，进而求出直线的斜率.【详解】如图，连接.设（），则.因为，所以，.在中，所以，即，整理得，所以，所以直线的斜率为故答案为：-2.40【分析】结合图像，得到，进而由求得，再利用椭圆的定义求得，由此得到，故椭圆方程可得.【详解】设椭圆方程，点M在直线上，且MF2x轴，由于，则点，又因为，所以，即，故，所以，由椭圆的定义得，故，所以，故椭圆C的方程为.41【分析】结合已知条件，利用垂直平分线定理和椭圆的定义即可求解.【详解】连接，如下图：由题意可知，圆的半径，且，由垂直平分线定理可知，故由椭圆定义可知，的轨迹为椭圆，设的轨迹方程为：()，从而，即，又因为、，所以，又由可知，从而的轨迹方程为：.