3.3 从函数的观念看一元二次方程与一元二次不等式-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）.docx

1、3.3从函数的观念看一元二次方程与一元二次不等式【考点梳理】考点一一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2bxc0，ax2bxc000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2Rax2bxc0)的解集x|x1xx2【题型归纳】题型一：一元二次不等式的解法1不等式的解集为（）A或BC或D2不等式的解集为（）ABCD3不等式的解集为（）AB或CD题型二：由一元二次不等式来确定参数的范围4已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（）A或BC或D5已知不等式的解集为，

2、则不等式的解集为（）ABCD6若不等式的解集为，那么不等式的解集为（）AB或CD或题型三：一元二次不等式恒成立问题7若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为()ABCD 或8若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（）ABCD9不等式 的解集为R，则实数的取值范围是（）ABCD题型四：一元二次不等式在某个区间成立问题10若对于任意，都有成立，则实数m的取值范围是（）ABCD11不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（）ABCD12已知x0、y0，且1，若恒成立，则实数m的取值范围为（）A(1,9)B(9,1)C9,1D(,1)(9,+)题型五：一元二次不等式在某个区间有解问题13已知关于的不等

3、式在上有解，则实数的取值范围是（）ABCD14若关于的不等式在有解，则的取值范围为（）ABCD15若关于x的不等式在上有解则实数m的取值范围为（）ABCD题型六：一元二次不等式的实际应用问题16某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出万本.根据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就减少本.设每本杂志的定价为元，要使得提价后的销售总收入不低于万元，则应满足（）ABCD17商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件可定为（）A11元B16元C12元到

4、16元之间D13元到15元之间18一服装厂生产某种风衣，日产量为件时，售价为元/件，每天的总成本为元，且，要使获得的日利润不少于1300元，则的取值范围为ABCD题型七：含参数的一元二次不等式的解法19已知不等式的解集为条件，关于的不等式（）的解集为条件(1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；(2)若的充分不必要条件是，求实数的取值范围20解关于x的不等式21（1）若命题“对任意实数，都有”为真命题，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式.【双基达标】一、单选题22已知不等式的解集是或，则的值为（）A4BC4或D23已知“”是真命题，则实数的取值范围是（）ABCD24若两个正实数x，y满

5、足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为（）AB或CD或25若关于x的不等式在上有实数解，则a的取值范围是（）ABCD26解下列不等式：(1)(2)27设函数.(1)若的解集是，求实数的值；(2)若恒成立，求实数的取值范围；(3)当时，关于的不等式在有解，求实数的取值范围.【高分突破】一、单选题28若使不等式成立的任意一个x都满足不等式，则实数a的取值范围为（）ABCD29已知对任意，恒成立，则实数x的取值范围是（）ABCD30已知不等式的解集为，则不等式的解集为（）ARBCD或31若不等式的解集为，则不等式的解集是（）AB或CD32已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（）ABCD33关

6、于的不等式 的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（）A B C D 34若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（）ABCD二、多选题35已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（）.AB不等式的解集为CD不等式的解集为36已知不等式的解集为，其中，则以下选项正确的有（）ABC的解集为D的解集为或37已知不等式的解集是，则下列四个结论中正确的是（）.AB若不等式的解集为，则C若不等式的解集为，则D若不等式的解集为，且，则38已知函数，则下列结论正确的是（）A关于x的不等式的解集可以是B关于x的不等式的解集可以是C函数在上可以有两个零点D“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充

7、要条件是“”39已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（）ABCD三、填空题40已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集是_41设，则关于的不等式的解集是_.42方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为_43，且，若对于任意的x，y不等式恒成立，则实数k的取值范围为_.四、解答题44（1）若不等式的解集为，求实数，的值；（2）若不等式对一切实数都成立，求实数的取值范围.45已知函数.(1)若不等式的解集是空集，求m的取值范围；(2)当时，解不等式.46已知集合，命题p：“不等式对一切实数x都成立(1)若命题p是真命题，求实数k的取值范围；(2)当命题p是真命题时，记实数k的取

8、值范围对应集合为集合B，若，求实数m的取值范围47（1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式48定义一种新的集合运算：，且若集合 ， ，(1)求集合M；(2)设不等式的解集为，若是的必要条件，求实数a的取值范围参考答案：1A【分析】根据二次不等式的解法求解即可.【详解】可化为，即，即或所以不等式的解集为或.故选：A2B【分析】按照绝对值不等式和一元二次不等式求解即可.【详解】解：，则不等式的解集为：故选：B.3A【分析】利用一元二次不等式的解法直接求出答案即可【详解】不等式可化为，则不等式的解集为，故选：.4B【分析】根据不等式的解集，得到，代入中即可求解.【

9、详解】由题意得，即，所以即，解得故选：B5A【分析】先由题给条件求得，再解不等式即可.【详解】关于x的不等式的解集为，且和1是方程的两个根，则，关于x的不等式，即，解得，故不等式的解集为，故选：A6C【分析】根据题意，直接求解即可.【详解】根据题意，由，得，因为不等式的解集为，所以由，知，解得，故不等式的解集为.故选：C.7B【分析】分a0和a0两种情况讨论，a0时，根据二次函数图像性质即可求出a的范围【详解】当a0时，不等式变为20恒成立，故a0满足题意；当a0时，若恒成立，则，即，解得综上，故选：B8C【分析】讨论二次项系数是否为零，结合判别式符号可得答案.【详解】当时，原式化为，显然恒成

10、立；当时，不等式对一切恒成立，则有且，解得.综上可得，.故选：C9B【分析】当时，原不等式为满足夹角为R；当a2时，可得且求得a范围，从而可得答案【详解】解：当时，原不等式为满足解集为R；当a2时，根据题意得，且，解得综上，的取值范围为故选：B10B【分析】由函数为开口向上的二次函数，要使任意，都有恒成立,只需.即可求出答案.【详解】由题可得对于恒成立，即解得:.故选：B.11A【分析】令，利用一次函数的单调性分讨论可得答案.【详解】令，对一切均大于0恒成立，所以 ，或，或，解得或，或，综上，实数的取值范围是，或.故选：A.12B【分析】应用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意等号成立条件，

11、再根据题设不等式恒成立有，解一元二次不等式求解集即可.【详解】由题设，当且仅当时等号成立，要使恒成立，只需，故，.故选：B.13A【分析】分离参数，将问题转换为在上有解，设函数，求出函数的最大值，即可求得答案.【详解】由题意得，即 ，故问题转化为在上有解，设，则，对于 ，当且仅当时取等号，则，故 ，故选：A14B【分析】令，根据二次函数的性质有对称轴，结合题设不等式在开区间有解有，即可求的取值范围.【详解】令，其对称轴为，关于的不等式在有解，当时，有，即，可得或故选：B15A【分析】根据题意只需求函数在上的最大值即可得答案.【详解】解：依题意，令，故问题转化为求函数在上的最大值；因为二次函数的

12、对称轴为，且，故，故，故选：A.16A【解析】设提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：万本，根据销售的总收入不低于万元，列出不等式求解即可.【详解】设提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：万本，因为销售的总收入不低于万元，列不等式为：，即，即，故选：A.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关利用不等式解决实际问题，解题思路如下：（1）在解题的过程中，读懂题意；（2）设提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：万本；（3）利用销售收入等于销售价格乘以销售量，根据题意，列出不等式求解即可.17C【解析】设销售价定为每件元，利润为元，根据题意可得利润的函数解析式.由题意可得关于的一元二次不

13、等式，解不等式即可求得每件销售价的范围.【详解】设销售价定为每件元,利润为元，则，由题意可得：，即， 所以，解得：，所以每件销售价应定为12元到16元之间，故选：C18D【分析】根据题意，首先要明白，利润日总收入日总成本售价日产量日总成本，即可列出函数解析式，再依条件列出不等式求解即可【详解】设日利润为元，则，由，解得，即的取值范围为.故选D【点睛】本题主要考查学生数学建模能力以及运用所学知识解决问题的能力，关键点是读懂题意，能找出关系列出方程19(1)(2)【分析】（1）由条件解不等式得，条件解不等式得，根据是的充分不必要条件，可得，再根据包含关系可得答案；（2）根据的充分不必要条件是，则，

14、解不等式组可得答案.（1）条件由，可得，解得，记；条件由，可得，因为，所以，所以，记，若是的充分不必要条件，则，可得，解得，所以实数的取值范围是.（2）若的充分不必要条件是，则，可得，解得，又，所以实数的取值范围是.20答案见解析【分析】将分解因式得，再讨论与的大小求解集.【详解】因为，所以，则当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.21（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）恒成立，即恒成立.分和两种情况讨论即可求解；（2）原不等式可化为，因为二次项系数含有字母，且符号不确定，先按二次项系数等于零，大于零，小于零讨论，再讨论两根大小即可求解【详解】（1）恒成立，即恒成立.当时，满足题意；当

15、时，知 即解得.综上，实数的取值范围为.（2）若，则原不等式可化为，解得.若，则原不等式可化为，解得.若，则原不等式可化为，当，即时，解得或；当，即时，解得或；当，即时，解得或.综上所述，当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.22A【分析】依题意和为方程的两根且，利用韦达定理得到方程组，解得即可.【详解】解：依题意和为方程的两根且，所以，解得（舍去）或，所以；故选：A23C【分析】根据判别式，计算得解.【详解】命题“”是真命题，即判别式，即，解得.故选：C.24C【分析】先由结合基本不等式求出的最小值，进而得，再解一元

16、二次不等式即可.【详解】由题意知，当且仅当，即时取等，又不等式恒成立，则不等式，即 ，解得.故选：C.25A【分析】根据题意转化为不等式在上有实数解，结合函数的单调性，求得，即可求解.【详解】由不等式在上有实数解，等价于不等式在上有实数解，因为函数在上单调递减，在单调递增，又由，所以，所以，即实数的取值范围是.故选：A.26(1)(2)【分析】（1）利用求根公式分解因式求解（2）移项，通分，转化为二次不等式求解（1）原不等式即即所以或所以不等式的解集为（2）原不等式即即,即所以所以不等式的解集为27(1)(2)(3)【分析】（1）由题意，根据函数与方程的关系，可得方程解的问题，根据韦达定理，可

17、得答案；（2）根据二次函数的性质，结合不等式恒成立，整理参数以及根的判别式与零的大小，可得不等式组，解得答案；（3）由题意，利用二次函数的性质，将不等式有解问题，可得最小值小于参数的不等式恒成立问题，可得答案（1）由题意，可得方程的解为或，则，解得.（2）因为恒成立，即恒成立，当时，故不满足题意；当时，则，则，解得，所以的取值范围为.（3）当时，不等式在有解，即，令，则函数的对称轴为直线，若，则恒成立，则，若，则，解得，综上所述，实数的取值范围为.28B【分析】由题可知不等式的解集是的子集，分类讨论，利用集合的关系列不等式即得.【详解】因为不等式的解集为，由题意得不等式的解集是的子集，不等式，

18、即，当时，不等式的解集为，满足；当时，不等式的解集为，若，则，所以；当时，不等式的解集为，满足；综上所述，实数a的取值范围为故选：B29D【分析】面对含参不等式，利用分离变量法，由于是已知取值范围的，则单独分离出来，整理成函数，再根据不等式恒成立，求函数的最小值，可得答案.【详解】对任意，不等式恒成立，即对任意，恒成立，所以对任意，恒成立，所以对任意，所以，解得，故实数x的取值范围是故选：D30D【分析】根据二次不等式的解集与系数的关系可得，再求解不等式即可.【详解】因为不等式的解集为，故，且与为方程的两根.故，解得，故不等式，即，故，解得或.故选：D31A【分析】由题知，进而将不等式转化为，

19、再解不等式即可.【详解】解：由，整理得 又不等式的解集为，所以，且，即将两边同除以得：将代入得：，解得故选：A32A【分析】先求出命题为真时实数的取值范围，即可求出命题为假时实数的取值范围.【详解】若“，”是真命题，即判别式，解得：，所以命题“，”是假命题，则实数的取值范围为：.故选：A.33C【分析】分类讨论一元二次不等式的解，根据解集中只有一个整数，即可求解.【详解】由得 ，若，则不等式无解若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则综上，满足条件的的取值范围是故选：C34D【分析】

20、设，由题意可得，从而可求出实数a的取值范围【详解】设，开口向上，对称轴为直线，所以要使不等式在区间(2，5)内有解，只要即可，即，得，所以实数a的取值范围为，故选：D35ABC【分析】根据一元二次不等式解集的性质逐一判断即可.【详解】因为关于的不等式的解集为，所以且方程的两个根为，即.因此选项A正确；因为，所以由，因此选项B正确；由可知：，因此选项C正确；因为，所以由，解得：，因此选项D不正确，故选：ABC.36ABC【分析】根据二次不等式的解法，结合二次函数的性质，可得各参数的与零的大小关系，再结合韦达定理，可得选项中二次方程的解，可得答案.【详解】不等式的解集为，故A正确；，令，即，故B正

21、确；由上所述，易知，由题意可得为一元二次方程，则，则，即为方程的解，则可知不等式的解集为，故C正确，D错误.故选：ABC.37ABD【分析】利用一元二次不等式的解法与一元二次方程之间的关系以及韦达定理进行求解.【详解】由题意，不等式的解集是，所以，所以A正确；对于B：变形为，其解集为，所以，得，故成立，所以B正确；对于C：若不等式的解集为，由韦达定理知：，所以C错误；对于D：若不等式的解集为，即的解集为，由韦达定理知：，则，解得，所以D正确.故选：D.38BCD【分析】根据不等式的解集求出、，再解不等式可判断A；取，解不等式可判断B；取，可判断C；根据根的分布、充要条件的定义可判断D【详解】若

22、不等式的解集是，则且，得，而当，时，不等式，即，得，与矛盾，故A错误；取，此时不等式的解集为，故B正确；取，则由，得或3，故C正确；若关于x的方程有一个正根和一个负根，则得，若，则，故关于x的方程有两个不等的实根，且，即关于x的方程有一个正根和一个负根因此“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”，故D正确故选：BCD39ACD【分析】由一元二次不等式的解集可得判断A、D，再将题设转化为，结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断B、C.【详解】由题设，的解集为，则，则A、D正确；原不等式可化为的解集为，而的零点分别为且开口向下，又，如下图示，由图知：，故B错误，C正确.故选：ACD

23、.【点睛】关键点点睛：由根与系数关系得，结合二次函数的性质及数形结合思想判断各选项的正误.40【分析】结合一元二次方程与一元二次不等式的关系可得的关系及范围，然后结合一元二次不等式的求法即可求解.【详解】解：关于x的不等式的解集为则方程的两个分别为：，且由韦达定理得： 所以不等式转化为：，整理得即，解得：所以不等式的解集为：.故答案为：.41【分析】根据二次不等式的解法求解即可.【详解】时，且，则关于的不等式可化为，解得或，所以不等式的解集为，故答案为：42【分析】令，即可得到，依题意可得，解得即可；【详解】解：令，图象恒过点，方程0在区间内有两个不同的根，解得.故答案为：43【分析】先求的最

24、小值，再求解二次不等式可得结果.【详解】因为，且，所以又，当且仅当时，即时，等号成立；所以的最小值为.所以有，解得，故答案为：.44（1），；（2）.【分析】（1）根据不等式解集得到一元二次方程的两根，利用韦达定理求出实数，的值；（2）分与两种情况，列出不等式组，求出实数的取值范围.【详解】（1）若不等式解集为，则，和是二次方程的两个实数根，求得实数，.（2）若不等式对一切实数都成立，当，即时，成立，当时，解得：.综上可得，故的取值范围为.45(1)(2)答案见解析【分析】（1）对二次项系数分类讨论，与，当时， ，求解不等式组即可得解；（2）分，和三种情况解不等式.（1），即时，解集不是空集，

25、舍去，时，即时，即，解得，的取值范围是；（2）化简得：，时，即时，解集为，时，即时，解集为或，时，即时，解集为，解集为.综上，时，解集为或；时，解集为；时，解集为46(1)(2)【分析】（1）分、三种情况讨论，当时，即可求出参数的取值范围；（2）依题意可得，分和两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解.（1）解：因为命题p：“不等式一切实数都成立”是真命题，当时，成立；当时，不成立；当时，所以综上所述，（2）解：因为，所以，由（1）可得，因为，当，即时，满足，当，即时，若，则，不等式组无解，综上所述，.47（1）；（2）答案见解析【分析】（1）根据题意分和两种情况求解，（2）不等式等价于

26、，然后分，和三种情况求解.【详解】（1）由题意，恒成立，当时，不等式可化为，不满足题意；当时，满足，即，解得；（2）不等式等价于当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；当时，不等式可化为，此时，所以不等式的解集为；当时，不等式可化为，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为.48(1)(2)或【分析】（1）先化简集合，再根据题中定义的新集合运算求解即可；（2）由若是的必要条件得到与的关系，对集合对于方程的跟大小分类讨论得到集合，再写出满足条件的不等式组，解不等式即可.（1）解：， ，故 且或；（2）若是的必要条件，则，当即时，则，即，当即时，则，即，当即时，是空集，此时不满足条件，综上，所求实数a的取值范围为或