3.3 幂函数-2020-2021学年高一数学同步练习和分类专题教案（人教A版2019必修第一册）.docx

1、第三章 函数的概念与性质3.3幂函数学习本节内容要从概念、图象及性质理解幂函数.学习时还应掌握以下几点:1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式.2.通过具体实例,结合y=x,y=x-1,y=x2,y=x12,y=x3的图象,理解它们的变化规律.3.能利用幂函数的单调性比较大小.一、基础过关练题组一幂函数的概念1.下列函数是幂函数的是 () A.y=2x2B.y=x3+xC.y=3xD.y=x122.已知幂函数y=f(x)的图象经过点4,14,则f(2)= ()A.12B.2C.22D.23.函数f(x)=(1-x)-12+(2x-1)0的定义域是 ()A.(-,1B.-,1212,1C.(-

2、,-1)D.12,14.已知y=(2a+b)xa+b+(a-2b)是幂函数,则a=,b=.5.已知函数f(x)=(m2+2m)xm2+m-1,m为何值时,函数f(x)是:(1)正比例函数? (2)反比例函数? (3)幂函数?题组二幂函数的图象及其应用6.函数y=x43的图象是 ()7.如图所示,曲线C1和C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是 ()A.nm0B.mnm0D.mn08.在同一平面直角坐标系中,函数y=xa和y=ax+1a(a0)的图象可能是 ()题组三幂函数的性质及其应用9.下列命题正确的是 ()A.幂函数y=xn的图象都经过(0,0),(1,1)

3、两点B.当n=0时,函数y=xn的图象是一条直线C.如果两个幂函数的图象有三个公共点,那么这两个函数一定相同D.如果幂函数为偶函数,那么图象一定经过点(-1,1)10.如果幂函数f(x)=x的图象过点(-2,4),那么f(x)的单调递增区间是 ()A.(-,+)B.0,+)C.(-,0D.(-,0)(0,+)11.已知幂函数f(x)=(a2-2a-2)xa在区间(0,+)上是单调递增函数,则a的值为 ()A.3B.-1C.-3D.112.已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm-1为偶函数.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若g(x)=f(x)-ax-3在1,3上不是单调函数,求实数a的取

4、值范围.二、能力提升练题组一幂函数的概念与图象1.若f(x)是幂函数,且满足f(4)f(2)=4,则f 12= ()A.-4B.4C.-12D.142.函数y=x12-1的图象关于x轴对称的图象大致是 ()3.已知当x0,1时,函数y=(mx-1)2的图象与y=x+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是 ()A.(0,123,+)B.(0,13,+)C.(0,223,+)D.(0,23,+)4.对于幂函数f(x)=x45,若0x1f(x1)+f(x2)2B. fx1+x221时,f(x)1D.当0x1x2时,f(x1)+f(x2)2fx1+x2210.(多选)已知幂函数f(x)=xm

5、n(m,nN*,m,n互质),下列关于f(x)的结论正确的是 ()A.m,n是奇数时, f(x)是奇函数B.m是偶数,n是奇数时, f(x)是偶函数C.m是奇数,n是偶数时, f(x)是偶函数D.0mng(x),求函数h(x)的最大值及单调区间.12.已知幂函数f(x)=x1m2+m(mN*).(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性;(2)若函数f(x)的图象经过点(2,2),试确定m的值,并求满足f(2-a)f(a-1)的实数a的取值范围.答案全解全析基础过关练1.Dy=2x2,y=x3+x,y=3x均不是幂函数,y=x12是幂函数,故选D.2.A设幂函数为f(x)=x

6、,幂函数的图象经过点4,14,14=4,=-1,f(x)=x-1,f(2)=2-1=12.3.B依题意得1-x0,2x-10,解得x1,y=x43在第一象限内的图象与y=x2的图象类似,排除B,C,故选A.7.A由题中图象可知,两函数在第一象限内单调递减,故m0,n0.由幂函数图象的特点知nm,故nm0时,若x=0,则y=1a0;当a0时,若x=0,则y=1a0,结合图象可排除A,C选项,在选项B,D中,由一次函数的图象知a0,所以a=3,故选A.12.解析(1)由题意得m2-5m+7=1,即m2-5m+6=0,解得m=2或m=3.又f(x)为偶函数,所以m=3,即f(x)=x2.(2)由(1

7、)知f(x)=x2,则g(x)=x2-ax-3.因为g(x)=x2-ax-3在1,3上不是单调函数,所以1a23,解得2a6,即a的取值范围为(2,6).能力提升练1.D设f(x)=x,则f(4)=4=22, f(2)=2.f(4)f(2)=222=2=4=22,=2,f(x)=x2,f12=122=14,故选D.2.By=x12-1的定义域为0,+),且为增函数,所以函数图象从左到右是上升的,所以y=x12-1的图象关于x轴对称的图象从左到右是下降的,故选B.3.B当01时,01m1,y=(mx-1)2在1m,1上单调递增,所以要与y=x+m的图象有且仅有一个交点,需(m-1)21+m,即m

8、3.综上所述,0m1或m3.故选B.4.A幂函数f(x)=x45在(0,+)上是增函数,大致图象如图所示.设A(x1,0),C(x2,0),其中0x112(|AB|+|CD|),fx1+x22f(x1)+f(x2)2,故选A.5.答案3解析依题意得m2-3m+1=1,解得m=0或m=3.当m=0时, f(x)=x,其图象经过原点,不符合题意;当m=3时, f(x)=x-2,其图象不经过原点,符合题意,因此实数m的值为3.6.C设幂函数f(x)=x,由f(-2)=4,得(-2)=4,所以 =2,即f(x)=x2,所以函数f(x)在定义域内有最小值0.故选C.7.Af(x)=(m2-3m-3)x2

9、m-3是幂函数,m2-3m-3=1,解得m=4或m=-1.当m=-1时, f(x)=x-5,其在区间(0,+)上是减函数,不合题意;当m=4时, f(x)=x5,其在区间(0,+)上是增函数,满足题意.所以m=4,故选A.8.A因为函数f(x)为幂函数,所以2n-1=1,所以n=1.因为函数f(x)在(0,+)上是单调递增的,所以-m2+2m+30,所以-1m1时,f(x)=x1,故C正确;由函数图象(图略)易知f(x)=x为“上凸函数”,故D正确.故选ACD.解题模板函数的“凹凸性”:设A(x1,f(x1),B(x2, f(x2),当自变量取x1,x2的平均数x1+x22时,图象上点的纵坐标

10、为fx1+x22,线段AB的中点坐标为x1+x22,f(x1)+f(x2)2.若A,B间的函数图象在线段AB上方,函数为 “上凸函数”,有f(x1)+f(x2)2 fx1+x22.10.ABf(x)=xmn=nxm,当m,n是奇数时, f(x)是奇函数,故A中的结论正确;当m是偶数,n是奇数时, f(x)是偶函数,故B中的结论正确;当m是奇数,n是偶数时, f(x)在x0时无意义,故C中的结论错误;当0mn1时, f(x)在(0,+)上是增函数,故D中的结论错误.故选AB.11.解析(1)设f(x)=x,因为点(2,2)在幂函数f(x)的图象上,所以(2)=2,解得=2,即f(x)=x2.设g(x)=x,因为点2,12在幂函数g(x)的图象上,所以2=12,解得=-1,即g(x)=x-1.(2)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)=x2和g(x)=x-1的图象,可得函数h(x)的图象如图所示(图中实线部分).由题意及图象可知h(x)=x-1,x1,x2,0f(a-1)等价于2-aa-10,解得1a32,故实数a的取值范围为1,32.