3.4函数的应用（一） 讲义（知识点 考点 练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高一数学必修第一册.docx

1、2.3 函数的应用（一）一、一次函数模型的应用【例1】为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜二、二次函数模型的应用【例2】某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间

2、的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？三、分段函数模型的应用【例3】中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台需要另投入成本C(x)(万元)当年产量不足80台时，C(x)x240x，当年产量不小于80台时，C(x)101x2 180，若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完(1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式；(2)年

3、产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润课后练习1. （2019高一上安徽期中）已知函数 f(x)=(a-1)x,x1-log2x-12,x1 是 R 上的减函数，则实数 a 的取值范围为（ ） A.(0,1B.12,1)C.(12,1)D.(13,12)2. （2020高一上清远期末）已知函数 f(x)=2x,x0,x2+2x-4,x0, 则 f(f(1)= （ ） A.-12B.-4C.12D.43. （2020高一上泉州期中）已知函数f (x)= 3-2x,x-1x+6,x0则ff1e=( )A.-1eB.-eC.eD.1e5. （2019高一上哈尔滨

4、月考）已知函数 f(x)=x2+1,x2f(x+3),x2 ， 则f（1）f（3）=_ 6. （2021成都模拟）已知函数 f(x)=sinx,x0f(-x),x0 ，则 f(-6)= 7. （2019高一上湖州期中）定义在 R 上的函数 f(x)=log2(x-1),x3f(x+1),x1 ，则 f(-2)= _. 9. （2019高一上东方月考）设函数f(x)= （12）x-7,xa4x-1 10. （2020高一上湖北期中）某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目，经测算该项目月处理成本 y （元）与月处理量 x （吨）之间的函数关系可以近似地表示为： y=

5、13x3-80x2+5040x,x120,144)12x2-200x+80000,x144,500) ，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元. （1）当 x200,300 时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润：如果不获利，则月处理量 x 为多少吨时可使亏损量最小？ （2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 11. （2021高一下衢州月考）据统计，某产品在过去一段时间内的日销售量(单位：千克)与日销售单价(单位：元)均为时间 t (天)的函数，日销售量 g(t)=-t+m ( m 为常数)，且 t=10 时，日销售量为26千克，日销售单价

6、满足函数 f(t)=25-25t,1t0 （1）当 a=-2 时，在给定的平面直角坐标系中作出函数 f(x) 的图象，并写出它的单调递减区间； （2）若 f(x0)=2 ，求实数 x0 精讲答案【例1】解(1)由图象可设y1k1x30(k10)，y2k2x(k20)，把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y1k1x30，y2k2x，得k1，k2.y1x30(x0)，y2x(x0)(2)令y1y2，即x30x，则x90.当x90时，y1y2，两种卡收费一致；当xy2，使用便民卡便宜；当x90时，y1y2，使用如意卡便宜【例2】解(1)根据题意，得y903(x50)，化简，得y3x240(

7、50x55，xN)(2)因为该批发商平均每天的销售利润平均每天的销售量每箱销售利润所以w(x40)(3x240)3x2360x9 600(50x55，xN)(3)因为w3x2360x9 6003(x60)21 200，所以当x60时，w随x的增大而增大又50x55，xN，所以当x55时，w有最大值，最大值为1 125.所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元【例3】解(1)当0x80时，y100x500x260x500，当x80时，y100x5001 680，于是y(2)由(1)可知当0x80时，y(x60)21 300，当x60时，y取得最大值为1 300，

8、当x80时，y1 6801 68021 500，当且仅当x即x90时，y取最大值为1 500，综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1 500万元由图可知 f(x) 的单调递减区间为 (-,0 和 (0,1 （2）解：依题意，当 x00 时， ax0+1=2 ，即 ax0=1 ， 若 a0 ，方程无解；若 a0 时， |log2x|=2 ，即 log2x0=2 ，解得 x0=4 或 x0=14 .综上所述，当 a0 时， x0=4 或 x0=14 ；当 a0 时， x0=1a 或 x0=4 或 x0=14 【考点】函数单调性的性质，函数的图象，分段函

9、数的应用 【解析】 (1)直接利用分段函数的解析式作出图象即可，根据图象即可写出函数的单调递减区间； (2)对a的值进行分类讨论，利用分段函数的解析式分别求解即可. 练习答案1.【答案】 B 【考点】分段函数的应用 【解析】由题意有 a1a-1-log21-12 ，得 12a1 . 故答案为：B【分析】因为分段函数 f(x) 在 R 上的减函数，则分段函数 f(x) 的每一段都为减函数，根据一次函数与对数函数的单调性，列出不等式，求解即可.2.【答案】 C 【考点】函数的值，分段函数的应用 【解析】由 f(x)=2x,x0,x2+2x-4,x0, 可得 f(1)=3-4=-1 ，所以 f(f(

10、1)=f(-1)=2-1=12 .故答案为：C【分析】根据题意选择合适的函数解析式代入数值计算出结果即可。3.【答案】 D 【考点】分段函数的应用 【解析】解：当 x-1 时， 3-2x=1 ，得 x=1 ， 当 x-1 时， x+6=1 ，得 x=-5 ，综上， x=1 或 x=-5 ，故答案为：D【分析】分 x-1 和 x-1 两种情况解方程可得结果4.【答案】 D 【考点】函数的值，分段函数的应用 【解析】.故选D.5.【答案】 7 【考点】函数的值，分段函数的应用 【解析】由题意知 f(1)=f(1+3)=f(4)=42+1=17 , f(3)=32+1=10 所以 f(1)-f(3)

11、=7故答案为：7【分析】由已知分段函数的解析式，分别代入计算即可求出 f（1）f（3）的值.6.【答案】 12 【考点】函数的值，分段函数的应用 【解析】因为 -60 ， 所以 f(-6)=f-(-6)=f(6)=sin6=12 ，故答案为： 12【分析】根据题意由分段函数的解析式选择合适的解析式代入数值计算出结果即可。7.【答案】 1 【考点】函数的值，分段函数的应用 【解析】 函数 f(x)=log2(x-1),x3f(x+1),x1,-21 ， 所以 f(-2)=(-2)2=4 ，故答案为：4。【分析】利用分段函数的解析式求出函数值。9.【答案】 （1）解： f(x) =（12）x-7,

12、x0x,x0 且 f(a)=1 ， 当 aa4x-1 当 a1 时，由 y=ax(a1) 在其定义域上单调递增，2x-74x-1 解得 x-3 ，即 x(-,-3) 当 0a1 时，由 y=ax(0a1) 在其定义域上单调递减，2x-7-3 ，即 x(-3,+) 【考点】函数的值，指数函数单调性的应用，分段函数的应用 【解析】（1）对 a 分两种情况讨论，分别代入解方程即可；（2）对 a 分两种情况讨论，结合指数函数的单调性解不等式。10.【答案】（1）当 x200,300 时，该项目获利为 S ，则 S=200x-(12x2-200x+80000)=-12x2+400x-80000=-12(

13、x-400)2 ，当 x200,300 时， S0 ，因此，该项目不会获利：当 x=300 时， S 取得最大值-5000，故当月处理量为300吨时可使亏损最小，为5000元；（2）由题意知，生活垃圾每吨的平均处理成本为： yx=13x2-80x+5040,x120,144)12x+80000x-200,x144,500) 当 x120,144) 时， yx=13(x-120)2+240 ，所以当 x=120 时， yx 取得最小值240，当 x144,500) 时， yx=12x+80000x-200212x80000x-200=200 ，当且仅当 12x=80000x 时等号成立，即 x=

14、400 时， yx 取得最小值200， 200240 每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.【考点】分段函数的应用 【解析】(1)由已知条件即可确定当xE200，300时，该项目获利函数，再利用配方法，即可求得结论； (2)根据题意首先确定二氧化碳的每吨的平均处理成本，由此即可求出函数的最值，由此即可求得结论. 11.【答案】 （1）解：由题意可知 g(10)=-10+m=26 ，解得 m=36 . g(t)=-t+36 .所以 y=(25-25t)(36-t),1t9,tN(13+t)(36-t),9t15,tN （2）解：当 1t600 ，所以 t=6 时， ymax=62

15、5 .答： t=6 时销售额最大，最大日销售额为625元.【考点】二次函数在闭区间上的最值，分段函数的应用 【解析】 (1)根据题意结合商品日销售额的关系式即可得出函数的解析式。 (2)由二次函数以及基本不等式即可求出函数的最值，结合分段函数的性质即可求出函数的最值。 12.【答案】 （1）解：当 a=-2 时， f(x)=-2x+1,x0|log2x|,x0 ，图象如下图所示， 由图可知 f(x) 的单调递减区间为 (-,0 和 (0,1 （2）解：依题意，当 x00 时， ax0+1=2 ，即 ax0=1 ， 若 a0 ，方程无解；若 a0 时， |log2x|=2 ，即 log2x0=2 ，解得 x0=4 或 x0=14 .综上所述，当 a0 时， x0=4 或 x0=14 ；当 a0 时， x0=1a 或 x0=4 或 x0=14 【考点】函数单调性的性质，函数的图象，分段函数的应用 【解析】 (1)直接利用分段函数的解析式作出图象即可，根据图象即可写出函数的单调递减区间； (2)对a的值进行分类讨论，利用分段函数的解析式分别求解即可.