3、微专题：同角三角比之间关系及其应用-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册.docx

1、【学生版】微专题：同角三角比之间关系及其应用1、任意角的正弦、余弦，正切、余切，正割、余割的定义对于任意角来说，设是终边上异于原点的任意一点，称为角的正弦，记作；称为角的余弦，记作，因此，；称为角的正切，记作；称为角的余切，记作，因此，；称为角的正割，记作；称为角的余割，记作，因此，；【注意】任意角的正弦、余弦，正切、余切，正割、余割统称为任意角的三角比；其中，正切、余切，正割、余割是有限制条件的；2、同角三角比公式的推导（1）由“，”导出，商数关系；，；（2）由“，”导出，倒数关系；，；（3）由“，”导出，商数关系；，；【注意】除平方关系“”外，其他等式成立都是有限制条件的；3、同角三角比公

2、式的变形（1）对于平方关系的变形，；，； ；（2）对于商数关系的变形；（3）结合平方关系和上述关系，可以的恒等式；4、“六边形”记忆方法“六边形”的构造：上弦、中切、下割;左正、右余、中间1；“六边形”的特点：（1）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（2）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数;（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。【典例】题型1、已知一个三角比求其余三角比例1、已知，且是第三象限角，求，【提示】【答案】【解析】方法1、方法2、【说明】题型2、同角三角比的求值、化简（3）证

3、明三角恒等式例2、化简：（1）；（2）；（3），其中是第二象限角；【说明】本题主要考查了同角三角函数基本关系式求值、化简，还考查了运算求解的能力；同角三角比的求值、化简的一般要求是：（1）函数种类最少；（2）项数最少；（3）函数次数最低；（4）能求值的求出值；（5）尽量使分母不含三角函数；（6）尽量使分母不含根式；题型3、有关同角三角比的恒等式证明例3、证明下列恒等式（1）；（2）；【说明】本题考查了三角函数的证明，意在考查学生的推断能力；（1）利用同角三角函数关系式证明时，要熟悉公式；方法有从左至右、从右至左或从两侧证明等于同一式，还可用比较法；（2）注意切化弦、弦化切及平方关系的应用；题型

4、4、同角与的关系的应用例4、已知，则的值为（ ）ABCD【说明】本题考查同角间的三角函数关系，解题中要注意掌握与之间的关系，注意角的范围，以确定函数值的正负；题型5、同角正余弦齐次式的巧用例5、已知，则（1）_；（2）_；【说明】本题是一个在通过已知可以求得的前提下，求关于的齐次式的整体代入的问题；解决这类问题，需注意以下两点；（1）一定是关于的齐次式（或能化为齐次式，如第（2）问）的三角函数式；（2），这样分子、分母才能都除以；先通过“”的变式，将被求式化为关于的表达式，再将代入，从而使问题获得求解；是同角三角比变换中的一种技巧，与一个重要与频繁出现的“考点”；【归纳】1、同角三角比之间的关

5、系利用同角三角比的定义或单位圆中的三角函数线以及勾股定理，可以推得同角三角比之间的关系：基本关系式语言描述商数关系同一个角的正切等于角的正弦、余弦的商；同一个角的余切等于角的余弦、正弦的商；倒数关系同一个角的正切、余切之积等于1平方关系同一个角的正弦、余弦的平方和等于1【注意】（1）根据三角比的定义，当时，不成立；（2）是的简写，不能将写成，前者是的正弦的平方，而后者是平方的正弦；（3）利用平方关系，得，“”号由的终边所在象限决定；（4）“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（在使函数有意义的前提下）关系式都成立，与角的表达形式无关，如等；2、同角三角函数关系式的应用同角三角

6、函数的基本关系式主要用于：（1）已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；（2）化简三角函数式；（3）证明三角恒等式；常用的等价变形有：， ，；【注意】已知某角的一个三角函数值，在使用求它的其余三角函数值时，要注意角的终边所在的象限求解过程中一般有以下三种情况：如果已知三角函数值，且角所在的象限已知，那么只有一组解；如果已知三角函数值，但没有指定角在哪个象限，那么先由已知三角函数值的正负确定角可能在的象限，再求解，这种情况一般有两组解；如果所给的三角函数值是由字母给出的，且没有指明角在哪个象限，那么就需要进行讨论；【即时练习】1、已知，且为第四象限角，则（ ）ABCD2、已知，则（ ）

7、ABCD3、已知sin ，tan ，则cos 4、已知，其中为三角形内角，则 5、已知，且，则 6、设且，若，则_7、化简_8、已知，则的值是_9、已知，求10、已知，求：实数；【教师版】微专题：同角三角比之间关系及其应用1、任意角的正弦、余弦，正切、余切，正割、余割的定义对于任意角来说，设是终边上异于原点的任意一点，称为角的正弦，记作；称为角的余弦，记作，因此，；称为角的正切，记作；称为角的余切，记作，因此，；称为角的正割，记作；称为角的余割，记作，因此，；【注意】任意角的正弦、余弦，正切、余切，正割、余割统称为任意角的三角比；其中，正切、余切，正割、余割是有限制条件的；2、同角三角比公式的

8、推导（1）由“，”导出，商数关系；，；（2）由“，”导出，倒数关系；，；（3）由“，”导出，商数关系；，；【注意】除平方关系“”外，其他等式成立都是有限制条件的；3、同角三角比公式的变形（1）对于平方关系的变形，；，； ；（2）对于商数关系的变形；（3）结合平方关系和上述关系，可以的恒等式；4、“六边形”记忆方法“六边形”的构造：上弦、中切、下割;左正、右余、中间1；“六边形”的特点：（1）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（2）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数;（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的

9、三角函数值的平方。【典例】题型1、已知一个三角比求其余三角比例1、已知，且是第三象限角，求，【提示】注意：“是第三象限角”；【答案】；【解析】方法1、由，可得，由且是第三象限角，所以，；方法2、因为，是第三象限角，所以，；数值由直角三角形与确定，得；【说明】同角三角比关键是“符号”，所以，平方关系优先考虑是解这类的策略之一；题型2、同角三角比的求值、化简（3）证明三角恒等式例2、化简：（1）；（2）；（3），其中是第二象限角；【提示】（1）利用“”的代换化简即可；（2）先利用商数关系，切化弦得到，再通分利用平方关系求解；（3）先由角是第二象限角确定出的符号，利用对含根号的式子化简，结合的符号去

10、掉根号，再由把式子化简；【答案】（1）1；（2）1；（3）1；【解析】（1）；（2）原式；（3）因为是第二象限角，所以，故；【说明】本题主要考查了同角三角函数基本关系式求值、化简，还考查了运算求解的能力；同角三角比的求值、化简的一般要求是：（1）函数种类最少；（2）项数最少；（3）函数次数最低；（4）能求值的求出值；（5）尽量使分母不含三角函数；（6）尽量使分母不含根式；题型3、有关同角三角比的恒等式证明例3、证明下列恒等式（1）；（2）；【提示】注意：公式的特征与变形；【解析】（1）左边右边；所以，原等式成立；（2）左边=右边= 所以左边=右边，即原等式成立；【说明】本题考查了三角函数的证明

11、，意在考查学生的推断能力；（1）利用同角三角函数关系式证明时，要熟悉公式；方法有从左至右、从右至左或从两侧证明等于同一式，还可用比较法；（2）注意切化弦、弦化切及平方关系的应用；题型4、同角与的关系的应用例4、已知，则的值为（ ）ABCD【提示】已知式平方后可确定的正负，从而求得的值，得；【答案】D【解析】由已知，又由，又，所以，在结合，解得，或（舍去），所以，；故选：D；【说明】本题考查同角间的三角函数关系，解题中要注意掌握与之间的关系，注意角的范围，以确定函数值的正负；题型5、同角正余弦齐次式的巧用例5、已知，则（1）_；（2）_；【提示】注意：本题在同角的前提下，最大的特点是关于的齐次式

12、；【答案】（1）；（2）1；【解析】由已知，变式得；（1）；（2）；【说明】本题是一个在通过已知可以求得的前提下，求关于的齐次式的整体代入的问题；解决这类问题，需注意以下两点；（1）一定是关于的齐次式（或能化为齐次式，如第（2）问）的三角函数式；（2），这样分子、分母才能都除以；先通过“”的变式，将被求式化为关于的表达式，再将代入，从而使问题获得求解；是同角三角比变换中的一种技巧，与一个重要与频繁出现的“考点”；【归纳】1、同角三角比之间的关系利用同角三角比的定义或单位圆中的三角函数线以及勾股定理，可以推得同角三角比之间的关系：基本关系式语言描述商数关系同一个角的正切等于角的正弦、余弦的商；同

13、一个角的余切等于角的余弦、正弦的商；倒数关系同一个角的正切、余切之积等于1平方关系同一个角的正弦、余弦的平方和等于1【注意】（1）根据三角比的定义，当时，不成立；（2）是的简写，不能将写成，前者是的正弦的平方，而后者是平方的正弦；（3）利用平方关系，得，“”号由的终边所在象限决定；（4）“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（在使函数有意义的前提下）关系式都成立，与角的表达形式无关，如等；2、同角三角函数关系式的应用同角三角函数的基本关系式主要用于：（1）已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；（2）化简三角函数式；（3）证明三角恒等式；常用的等价变形有：， ，；【

14、注意】已知某角的一个三角函数值，在使用求它的其余三角函数值时，要注意角的终边所在的象限求解过程中一般有以下三种情况：如果已知三角函数值，且角所在的象限已知，那么只有一组解；如果已知三角函数值，但没有指定角在哪个象限，那么先由已知三角函数值的正负确定角可能在的象限，再求解，这种情况一般有两组解；如果所给的三角函数值是由字母给出的，且没有指明角在哪个象限，那么就需要进行讨论；【即时练习】1、已知，且为第四象限角，则（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意，在第四象限，则；故选：A；2、已知，则（ ）ABCD【提示】把左右两边进行平方，再根据同角三角函数基本关系即可得到答案.【答案】B；【解析】因为，

15、所以，所以，；故选：B；3、已知sin ，tan ，则cos 【答案】【解析】因为，所以；4、已知，其中为三角形内角，则 【答案】【解析】因为，所以，又因为，所以解得： 或，因为为三角形内角，所以；5、已知，且，则_【答案】；【解析】因为，所以，又因为，所以，又因为， 所以，即；6、设且，若，则_【答案】1【解析】设且，若，所以，所以，又，所以，又由，则，所以，7、化简_【答案】1【解析】；故答案：18、已知，则的值是_【答案】【解析】由已知可得，9、已知，求【解析】方法1、由两边平方得，即所以，又因为，所以，所以所以所以，所以方法2、由，联立消去，得，即， 解得或（舍去）所以，所以【说明】特别注意：在，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是；10、已知，求：实数；【提示】注意：利用同角三角比中的平方关系，寻找隐含条件；【答案】【解析】，可得，解得或，当时，不满足题意，当时，满足题意故答案为：；【说明】本题考查利用同角三角函数的平方关系求参数，不要忽略了角的取值范围对三角函数值符号的影响；