4.2 指数函数-2020-2021学年高一数学同步练习和分类专题教案（人教A版2019必修第一册）.docx

1、第四章 指数函数与对数函数 课时4.2 指数函数 1.理解指数函数的概念.2.探索指数函数的单调性与图象的特殊点,并掌握指数函数图象的性质.3.体会直观想象的过程,加强数学抽象、数学运算素养的培养.4.2.1指数函数的概念 基础过关练题组一指数函数的概念1.下列各函数中,是指数函数的是 ()A.y=(-3) x B.y=-3xC.y=3x-1 D.y=13x2.若函数y=(2a-1)x(x是自变量)是指数函数,则a的取值范围是 ()A.a0且a1 B.a0且a1C.a12且a1 D.a123.设函数f(x)=x,x0,12x,x0,且a1),且f(1)=3,则f(0)+f(1)+f(2)的值是

2、 ()A.14 B.13 C.12 D.11题组二求指数函数的解析式5.已知函数f(x)=ax(a0,且a1),f(2)=4,则函数f(x)的解析式是 ()A.f(x)=2x B.f(x)=12xC.f(x)=4x D.f(x)=-12x6.(多选)若函数f(x)=12a-3ax(a0,且a1)是指数函数,则下列说法正确的是 ()A.a=8 B.f(0)=-3C.f 12=22 D.a=47.已知函数f(x)=ax+b(a0,且a1),其图象经过点(-1,5),(0,4),则f(-2)的值为.题组三指数函数的应用8.某乡镇现在人均一年占有粮食360千克,如果该乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食

3、总产量平均每年增长4%,那么x年后,若人均一年占有y千克粮食,则y关于x的解析式为 ()A.y=3601.041.012x-1B.y=3601.04xC.y=3601.04x1.012D.y=3601.041.012x9.一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年,剩余物质的质量约是原来的45,则经过年,剩余物质的质量是原来的64125.10.(2019湖北沙市中学高一月考)光线通过一块玻璃,强度要损失10%,设光线原来的强度为k,通过x块这样的玻璃以后强度为y.(1)写出y关于x的函数解析式;(2)通过20块这样的玻璃后,光线强度约为多少?(参考数据:0.9190.14,0.9200.12

4、)11.某车间产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染物数量P(mg/L)与时间t(h)之间的关系为P=P02-kt(其中P0表示初始废气中污染物数量).经过5 h后,经测试,消除了20%的污染物.问:(1)15 h后还剩百分之几的污染物?(2)污染物减少36%需要花多长时间?4.2.2指数函数的图象和性质 基础过关练题组一指数函数的图象特征1.在同一坐标系中,函数y=ax+a与y=ax的图象大致是 ()2.函数y=12|x|的图象是 ()3.设a,b,c,d均大于0,且均不等于1,y=ax ,y=bx ,y=cx ,y=dx在同一坐标系中的图象如图,则a,b,c,d的大小顺序为 ()A

5、.abcdB.abdcC.badcD.bac0,且a1)的图象恒过定点 ()A.(2,2) B.(2,1)C.(3,1) D.(3,2)5.已知函数f(x)=ax,g(x)=1ax(a0,且a1), f(-1)=12.(1)求f(x)和g(x)的函数解析式;(2)在同一坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象;(3)若f(x)y2y3 B.y2y1y3C.y1y3y2 D.y3y2y18.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=(a+1)1-x在区间1,2上都是减函数,则a的取值范围是 ()A.12,1 B.0,12C.0,1 D.(0,19.若不等式2x2+114x-2的解集是函数y=2x的定

6、义域,则函数y=2x的值域是 ()A.18,2 B.18,2C.-,18 D.2,+)10.已知函数f(x)满足f(x+1)的定义域是0,31),则f(2x)的定义域是 () A.1,32) B.-1,30)C.0,5) D.(-,3011.函数y=128-2x-x2的单调递增区间为.12.已知集合A=x|122x-44,B=x|x2-11x+180.(1)求R(AB);(2)已知C=x|ax0,且a1,若函数f(x)=2ax-4在区间-1,2上的最大值为10,则a=.17.函数y=14-|x|+1的单调递增区间为;奇偶性为(填“奇函数”“偶函数”或“非奇非偶函数”).18.(2020山东泰安

7、一中高一上期中)已知函数f(x)=a+22x-1.(1)求函数f(x)的定义域;(2)若f(x)为奇函数,求a的值,并求f(x)的值域.4.2.2指数函数的图象和性质 能力提升练题组一指数函数的图象特征1.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中ab)的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象是 ()2.已知实数a,b满足等式2 019a=2 020b,下列五个关系式:0ba;ab0;0ab;baca B.bac C.abc D.cba5.函数f(x)=-a2x-1+5ax-8(a0,且a1)在2,+)上单调递减,则实数a的取值范围为(易错)A.(0,1)52,+B.45,1(1,+)

8、C.(0,1)1,52D.1,526.若函数f(x)=2x2+2ax-a-1的定义域为R,则实数a的取值范围是. 7.已知函数f(x)=bax(其中a,b为常数,a0,且a1)的图象经过A(1,6),B(2,18)两点.若不等式2ax+1bx-m0在x(-,1上恒成立,则实数m的最大值为.8.已知定义在R上的偶函数f(x)满足:当x0时, f(x)=2x+a2x, f(1)=52.(1)求实数a的值;(2)用定义法证明f(x)在(0,+)上是增函数;(3)求函数f(x)在-1,2上的值域.题组三指数函数性质的综合应用9.某数学课外兴趣小组对函数f(x)=2|x-1|的图象与性质进行了探究,得到

9、下列四条结论:函数f(x)的值域为(0,+);函数f(x)在区间0,+)上单调递增;函数f(x)的图象关于直线x=1对称;函数f(x)的图象与直线y=-a2(aR)不可能有交点.则其中正确结论的个数为(深度解析)A.1 B.2 C.3 D.410.已知a0,设函数f(x)=2 019x+1+32 019x+1(x-a,a)的最大值为M,最小值为N,那么M+N= ()A.2 025B.2 022C.2 020D.2 01911.已知实数a0,定义域为R的函数f(x)=3xa+a3x是偶函数.(1)求实数a的值;(2)判断函数f(x)在(0,+)上的单调性并用定义证明;(3)是否存在实数m,使得对

10、任意的tR,不等式f(t-2)0,2a-11,解得a12且a1.3.D-40,因此f(f(-4)=f(16)=16=4,故选D.4.C由f(x)=ax+a-x得f(0)=a0+a0=2.又f(1)=3,即a+a-1=3,(a+a-1)2=a2+2+a-2=9,a2+a-2=7,即f(2)=7.因此,f(0)+f(1)+f(2)=2+3+7=12,故选C.5.A由f(2)=4得a2=4,又a0,且a1,所以a=2,即f(x)=2x.故选A.6.AC因为函数f(x)是指数函数,所以12a-3=1,所以a=8,所以f(x)=8x,所以f(0)=1, f12=812=22,故A,C正确.7.答案7解析

11、由已知得a-1+b=5,a0+b=4,解得a=12,b=3,所以f(x)=12x+3,所以f(-2)=12-2+3=4+3=7.8.D设该乡镇现在人口数为M,则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M千克,1年后,该乡镇粮食总产量为360M(1+4%)千克,人口数为M(1+1.2%),则人均占有粮食产量为360M(1+4%)M(1+1.2%)千克,2年后,人均占有粮食产量为360M(1+4%)2M(1+1.2%)2千克,经过x年后,人均占有粮食产量为360M(1+4%)xM(1+1.2%)x千克,则所求解析式为y=3601.041.012x.9.答案三解析经过一年,剩余物质的质量约是原来的45;经

12、过两年,剩余物质的质量约是原来的452;经过三年,剩余物质的质量约是原来的453=64125,故答案为三.10.解析(1)光线通过1块玻璃后强度变为(1-10%)k=0.9k;光线通过2块玻璃后强度变为(1-10%)0.9k=0.92k,光线通过3块玻璃后强度变为(1-10%)0.92k=0.93k,光线通过x块玻璃后强度变为0.9xk,y=0.9xk(xN*).(2)将x=20代入函数解析式,0.9200.12,y=0.920k0.12k,即光线强度约为0.12k.11.解析(1)由题意得P02-5k=(1-20%)P0,则2-5k=0.8,故当t=15时,P=P02-15k=P0(2-5k

13、)3=(80%)3P0=51.2%P0.故15 h后还剩51.2%的污染物.(2)由题意得P02-kt=(1-36%)P0,即(2-5k)t5=0.64,所以0.8t5=0.64,所以t5=2,即t=10,故污染物减少36%需要花10 h.4.2.2指数函数的图象和性质 答案全解全析4.2.2指数函数的图象和性质 基础过关练1.B函数y=ax+a的图象经过(-1,0)和(0,a)两点,选项D错误;在图A中,由指数函数y=ax的图象得a1,由y=ax+a的图象得0a1,由y=ax+a的图象得a1,选项B正确;在图C中,由指数函数y=ax的图象得0a1,选项C错误.故选B.2.Dy=12|x|=1

14、2x,x0,2x,x0.因此,当x0时,y=12|x|的图象与y=12x的图象相同;当x0时,y=12|x|的图象与y=2x的图象相同,故选D.3.C作出直线x=1,如图所示.直线x=1与四个函数图象的交点从下到上依次为(1,b),(1,a),(1,d),(1,c),因此a,b,c,d的大小顺序是badc,故选C.4.Aa0=1,令x-2=0,得y=a0+1=2,x=2时,y=2,因此函数f(x)的图象恒过定点(2,2),故选A.5.解析(1)因为f(-1)=a-1=1a=12,所以a=2,所以f(x)=2x,g(x)=12x.(2)在同一坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象如图所示:(3

15、)由图象知,当f(x)g(x)时,x的取值范围是x|xy1y3.故选B.8.D由f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2在区间1,2上是减函数得a1;由g(x)=(a+1)1-x=1a+1x-1在区间1,2上是减函数得01a+11,解得a0.因此a的取值范围是(0,1,故选D.9.B由2x2+114x-2得2x2+12-2x+4,即x2+1-2x+4,解得-3x1,函数y=2x的定义域为-3,1.由于函数y=2x在R上单调递增,故当x=-3时取得最小值18,当x=1时取得最大值2,所以函数的值域为18,2.故选B.10.Cf(x+1)的定义域是0,31),即0x31,1x+132,f(x

16、)的定义域是1,32),f(2x)有意义必须满足20=12x32=25,0x5.11.答案-1,+)解析设t=8-2x-x2,则y=12t,易知y=12t在R上单调递减,又知t=8-2x-x2在(-,-1上单调递增,在-1,+)上单调递减,所以由y=12t与t=8-2x-x2复合而成的函数y=128-2x-x2的单调递增区间为-1,+).12.解析由122x-44得2-12x-422,-1x-42,即3x6,A=3,6).由x2-11x+180得2x1,则函数y=ax在区间-1,2上是单调递增的,当x=2时, f(x)取得最大值,则f(2)=2a2-4=10,即a2=7,又a1,所以a=7.若

17、0a0时,2x-10,f(x)1;当x0时,-12x-10,f(x)-1.f(x)的值域为(-,-1)(1,+).4.2.2指数函数的图象和性质 能力提升练1.A由函数f(x)的图象知,b-10a1.g(x)=ax+b的图象是单调递减的.又g(0)=a0+b=1+b1时,0ba,正确;当t=1时,a=b=0,正确;当0t1时,ab0,正确,不成立.故选B.3.答案 -1,0)解析作出函数g(x)=12|1-x|=12x-1,x1,2x-1,x1的图象如图所示.由图象可知0g(x)1,则mg(x)+m1+m,即mf(x)1+m,要使函数y=12|1-x|+m的图象与x轴有公共点,则1+m0,m0

18、,解得-1m0.故答案为-1,0).4.Aa=0.3=0.30.5.f(x)=0.3x在R上单调递减,0.30.50.30.20.30ac20=1,ac0),则y=-1au2+5u-8=-1au-5a22+25a4-8(u0).y=-1au2+5u-8在0,5a2上单调递增,在5a2,+上单调递减.当0a1时,u=ax是减函数,x2,0ua21时,u=ax是增函数,x2,ua2,由f(x)在2,+)上单调递减,得a25a2,又a0,a52,即当a52时,f(x)是减函数.综上所述,实数a的取值范围是(0,1)52,+,故选A.易错警示解决与指数函数有关的复合函数的单调性问题时,一要注意底数的取

19、值对单调性的影响,必要时进行分类讨论;二要注意中间变量的取值范围.6.答案-1,0解析依题意得2x2+2ax-a-10恒成立,即x2+2ax-a0恒成立.=4a2+4a0,解得-1a0,故实数a的取值范围是-1,0.7.答案76解析由已知可得ba=6,ba2=18,解得a=3,b=2,则不等式23x+12x-m0在x(-,1上恒成立,设g(x)=23x+12x-m,显然函数g(x)=23x+12x-m在(-,1上单调递减,g(x)g(1)=23+12-m=76-m,故76-m0,即m76,实数m的最大值为76.8.解析(1)由题意得f(1)=2+a2=52,a=1.(2)证明:由(1)知a=1

20、,f(x)=2x+12x,任取x1,x2(0,+),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=2x1+12x1-2x2+12x2=(2x1-2x2)+2x2-2x12x12x2=(2x1-2x2)(2x1+x2-1)2x1+x2.0x1x2,12x11,f(x1)-f(x2)0,f(x1)0,所以a=1.(2)函数f(x)=3x+13x在(0,+)上单调递增,证明如下:设任取x1,x2(0,+),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=3x1+13x1-3x2+13x2=(3x1-3x2)+13x1-13x2=(3x1-3x2)+3x2-3x13x13x2=(3x1-3x2)(3x13x2-1)3x13x2.因为0x1x2,所以3x11,3x21,所以(3x1-3x2)(3x13x2-1)3x13x20,即f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),故函数f(x)=3x+13x在(0,+)上单调递增.(3)不存在.理由如下:由(2)知函数f(x)在(0,+)上单调递增,而函数f(x)是偶函数,则函数f(x)在(-,0)上单调递减.若存在实数m,使得对任意的tR,不等式f(t-2)f(2t-m)恒成立,则|t-2|2t-m|恒成立,即(t-2)20对任意的tR恒成立,则=-(4m-4)2-12(m2-4)0,得到(m-4)20,故m,所以不存在.