4.2 解一元一次方程-（苏科版）（解析版）.docx

1、解一元一次方程知识点一、方程的解和解方程1.方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.2.解方程：求方程的解得过程叫做解方程.（1）方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个具体的数值，而解方程是求方程的解的过程；（2）方程的解是通过解方程求得的.3.方程的解可能不止一个（如和都是方程的解），也有可能无解（如无解）.4.检验一个数是不是方程的解，不能将所给的数值直接代入方程中，而是要把这个数分别代入方程的左右两边，当左边右边时，这个数是方程的解，当左边右边时，这个数就不是方程的解.例：判断是不是方程的解.【解答】见解析【解析】将代入方程的左边，得方程左边，将代入方程的右边，

2、得方程右边，左边右边，是方程的解.知识点二、等式及等式的基本性质1.等式的概念：用符号“”来表示相等关系的式子叫做等式.2.等式的基本性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式.若，那么.3.等式的基本性质2：等式两边都乘（或除以）同一个不为0的数，所得的结果仍是等式.若，那么；若，那么.4.等式的基本性质是等式变形的依据，等式两边的变形必须完全相同，等式才能成立，否则就会破坏相等关系.5.等式的两个性质：（1）等式的传递性：若，则；（2）等式的对称性：若，则.例：下列各式中，变形正确的是（ ）A若a=b，则a+c=b+c B若2x=a，则x=a2C若6a=2b，

3、则a=3b D若a=b+2，则3a=3b+2【解答】A【解析】A选项正确，符合等式的基本性质1；B选项错误，若2x=a，则；C选项错误，若6a=2b，则a=b；D选项错误，若a=b+2，则3a=3b+6故选A知识点三、解方程1.利用等式的性质解简单的一元一次方程步骤如下：（1）利用等式的基本性质1，将方程左右两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），使方程逐步转化为一边只含有未知数的项，另一边只有常数项的形式；（2）利用等式的基本性质2，将方程左右两边同时除以未知数的系数或乘未知数系数的倒数，将未知数的系数化为1，从而求得方程的解.（3）可将方程的解代入原方程进行检验，可判断解出来的值是否正确

4、.2.解一元一次方程（1）解一元一次方程的基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为（a、b为常数，且a0）的形式，得出方程的解为.（2）解一元一次方程的步骤如下：变形名称具体做法注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数(1)不要漏乘不含分母的项(2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号(1)不要漏乘括号里的项(2)不要弄错符号移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)(1)移项要变号(2)不要丢项合并同类项把方程化成axb(a0)的形式字母及其指数不变系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程

5、的解不要把分子、分母写颠倒PS：解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号.例：解方程，并写出必要的理论依据.【解答】见解析【解析】过程如下：去分母，得（等式的基本性质2）去括号，得（乘法分配律）移项，得（等式的基本性质1）合并同类项，得系数化为1，得（等式的基本性质2）巩固练习一选择题1下列方程中，解为x1的方程是（）A2x11B2x1C3x4xD3x+60【分析】把x1代入每个方程，当左边等于右边时，x1是该方程的解；当左边不等于右边时，x1不是该方程的解，进行判断即可【解答】解：A、把x1代入方程得：左边2111，左边右

6、边，故本选项符合题意；B、把x1代入方程得：左边212，左边右边，故本选项不符合题意；C、把x1代入方程得：左边3141，右边1，左边右边，故本选项不符合题意；D、把x1代入方程得：左边31+69，左边右边，故本选项不符合题意故选：A【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值2解方程x+12-x-33=1，以下去分母正确的是（）A3（x+1）2x31B3（ x+1）2（x3）6C3（x+1）2（x3）3D3（x+1）2x+36【分析】根据等式的性质，把方程x+12-x-33=1的两边同时乘6，判断出去分母正确的是哪个即可【解答】解：x+12-x-33=1，

7、（x+12-x-33）616，3（ x+1）2（x3）6故选：B【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，注意等式的性质的应用3下列方程的变形中，正确的是（）A由2x9，得x=-29B由13x0，得x3C由72x5，得2x57D由1+12x3x，得x+6x2【分析】A、方程x系数化为1，求出解，即可作出判断；B、方程x系数化为1，求出解，即可作出判断；C、方程移项得到结果，即可作出判断；D、方程去分母得到结果，即可作出判断【解答】解：A、由2x9，得：x=-92，不符合题意；B、由13x0，得：x0，不符合题意；C、由72x5，得2x57，不符合题意；D、由1+12x3x，得2+x6x，即x

8、+6x2，符合题意故选：D【点评】此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键4若x2是方程2x+a50的解，则a的值是（）A1B1C9D9【分析】把x2代入方程计算即可求出a的值【解答】解：把x2代入方程得：4+a50，解得：a1故选：A【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值5一个天平的托盘中形状相同的物体质量相等，如图、图所示的两个天平处于平衡状态，要使图的天平也保持平衡，则需要在它的右盘中放置（）A3个B4个C5个D6个【分析】题目中的方程实际是说明了两个相等关系：设球的质量是x，小正方形的质量是y，小正三角形的质量

9、是z根据第一个天平得到：5x+2yx+3z；根据第二个天平得到：3x+3y2y+2z，把这两个式子组成方程组，解这个关于y，z的方程组即可【解答】解：设球的质量是x，小正方形的质量是y，小正三角形的质量是z根据题意得到：5x+2y=x+3z3x+3y=2y+2z，解得：y=xz=2x，第三图中左边是：x+2y+z5x，因而需在它的右盘中放置5个故选：C【点评】本题的难点是解关于y，z的方程，解题的基本思想是消元6根据等式的性质，下列各式变形正确的是（）A若ac=bc，则abB若acbc，则abC若a2b2，则abD若-13x6，则x2【分析】根据等式的性质，进行计算逐一判断即可解答【解答】解：

10、A、若ac=bc，则ab，故A符合题意；B、若acbc（c0），则ab，故B不符合题意；C、若a2b2，则ab，故C不符合题意；D、-13x6，则x18，故D不符合题意；故选：A【点评】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键7若代数式4x5与2x1的值相等，则x的值是（）A1B32C23D2【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值【解答】解：根据题意得：4x52x1，移项得：4x2x1+5，合并得：2x4，系数化为1得：x2故选：D【点评】此题考查了解一元一次方程，以及代数式求值，熟练掌握方程的解法是解本题的关键8有8个球编号是至，其中有6个球一样重，另外两个都轻1克

11、，为了找出这两个轻球，用天平称了三次：第一次+比+重，第二次+比+轻，第三次+和+一样重那么，两个轻球的编号是（）ABCD【分析】由+比+重可知与中至少有一个轻球，由+比+轻可知与至少有一个轻球，+和+一样重可知两个轻球的编号是【解答】解：+比+重，与中至少有一个轻球，+比+轻，与至少有一个轻球，+和+一样重可知两个轻球的编号是故选：D【点评】本题考查的是等式的性质，熟练掌握等式的基本性质是解答本题的关键二填空题9方程x+12=2-x4的解是 x0【分析】方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可【解答】解：x+12=2-x4，去分母，得2（x+1）2x，去括号，得2x+22x，移项

12、，得2x+x22，合并同类项，得3x0，系数化为1，得x0故答案为：x0【点评】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键10已知方程3x12x+1和方程2x+a3a+2的解互为倒数，那么a的值是 -12【分析】求出第一个方程的解，确定出其倒数，代入第二个方程计算即可求出a的值【解答】解：方程3x12x+1的解是x2，两个方程的解互为倒数，把x=12代入2x+a3a+2，得1+a3a+2，解得：a=-12故答案为：-12【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值11已知x2022是关于x的方程x2m2的解，则m1010【分析】把

13、x2022代入方程求出m的值即可【解答】解：把x2022代入方程得：20222m2，解得：m1010，故答案为：1010【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值12若x3是关于x的一元一次方程mxn3的解，则代数式103m+n的值是 7【分析】先利用方程解的定义得关于m，n的代数式，再整体代入求解【解答】解：由题意得：3mn3，3m+n3，原式1037故答案为：7【点评】本题考查了方程的解的概念，整体代入法是解题的关键13已知a，b，c，d为有理数，现规定一种新运算abcd|=ad-bc，如132-5|=1(-5)-32=-11，那么当24(x+1)7|

14、=22时，则x的值为 3【分析】首先根据abcd|=adbc，由24(x+1)7|=22，可得：274（x+1）22；然后根据解一元一次方程的方法，求出x的值即可【解答】解：abcd|=adbc，由24(x+1)7|=22，274（x+1）22，去括号，可得：144x422，移项，可得：4x2214+4，合并同类项，可得：4x12，系数化为1，可得：x3故答案为：3【点评】此题主要考查了定义新运算，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为114如果关于x的方程12022x+20212x+m的解是x2023，则关于y的方程12022

15、（y+1）+20212（y+1）+m的解是y2022【分析】根据关于x的方程12022x+20212x+m的解是x2023得出y+12023，再求出y即可【解答】解：关于x的方程12022x+20212x+m的解是x2023，关于y的方程12022（y+1）+20212（y+1）+m中的y+12023，解得：y2022，故答案为：2022【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出y+12023是解此题的关键15按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是 1【分析】不知x的正负，因此需要分类讨论，分别求解【解答】解：当x0时，1x+12，解并检验得x1当x0时，2x

16、12，解得x1.5，1.50，舍去所以x1故答案为：x1【点评】本题中的字母表示的数没有明确告知正负数时，需要分类讨论，再代入解方程，注意：解必须在条件下才成立16课本习题中有一方程x-2=x+3其中一个数字被污渍盖住了，书后该方程的答案为x7，那么的数字应是 1【分析】设的数字为a，把x7代入得出关于a的方程，解方程即可得出答案【解答】解：设的数字为a，则x-a2=x+3，把x7代入得：-7-a2=-7+3，解得：a1，故答案为：1【点评】本题考查了一元一次方程的解，根据题意得出关于a的方程是解决问题的关键三解答题17解方程：（1）3（x2）25（x2）；（2）x+24-2x-36=1【分析

17、】（1）方程去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解；（2）方程去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解【解答】解：（1）去括号得：3x625x+10，移项得：3x+5x2+10+6，合并得：8x18，解得：x=94；（2）去分母得：3（x+2）2（2x3）12，去括号得：3x+64x+612，移项得：3x4x1266，合并得：x0，系数化为1得：x0【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解本题的关键18若关于x的方程2x+5a的解和关于x的方程与x-43-2=a-12的解相同，求字母a的值，并写出方程的解【分析】先分别解两个方程，再根据同解方程的意义可得

18、a-52=3a+172，从而求出a的值，再把a的值代入x=a-52或x=3a+172，进行计算即可解答【解答】解：2x+5a，2xa5，x=a-52，x-43-2=a-12，2（x4）123（a1），2x3a+17，x=3a+172，由题意得：a-52=3a+172，解得：a11，x=-11-52=-8，字母a的值为11，方程的解为x8【点评】本题考查了同解方程，熟练掌握同解方程的意义是解题的关键19某同学在对方程2x+12-5x+a4=1去分母时，方程右边的1没有乘4，这时方程的解为x2，试求a的值，并求出原方程正确的解【分析】某同学在对方程2x+12-5x+a4=1去分母时，方程右边的1没

19、有乘4，这时方程的解为x2，说明x2是方程2（2x+1）（5x+a）1的解，把x2代入求得a的值即可再把a的值代入原方程，求出原方程正确的解【解答】解：根据题意得，x2是方程2（2x+1）（5x+a）1的解，把x2代入2（22+1）（52+a）1，解得a1把a1代入到原方程中得2x+12-5x-14=1，整理得，2（2x+1）（5x1）4，解得x1【点评】本题考查了一元一次方程的解及解法，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解20用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定abab2+2ab+a如：13132+213+116（1）（3）227（2）若（a23）（2）16

20、，求a的值【分析】（1）直接利用运算公式计算，进而得出答案；（2）利用已知运算公式将原式变形，进而计算得出答案【解答】解：（1）（3）2（3）22+2（3）2327；故答案为：27；（2）根据题意得：a23=a232+2a23+a2=9a2+3a+a28a，（a23）（2）8a（2）8a（2）2+28a（2）+8a16，整理得8a16，解得：a2【点评】此题主要考查了解一元一次方程，正确运用相关运算公式是解题关键21阅读下面方程的求解过程：解方程：3x-12=4x+25-1解15x58x+41，（第一步）15x8x41+5，（第二步）7x8，（第三步）x=78（第四步）上面的求解过程从第 一步

21、开始出现错误；这一步错误的原因是 方程右边的1漏乘10；此方程正确的解为 x=-17【分析】根据一元一次方程的解法和步骤，逐步进行判断即可【解答】解：求解过程从第一步开始出现错误；这一步错误的原因是方程的右边的1漏乘10，正确的解法如下：解方程：3x-12=4x+25-115x58x+410，15x8x410+5，7x1，x=-17，故答案为：一，方程右边的1漏乘10，x=-17【点评】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法，理解等式的性质是正确解答的前提22若a，b互为相反数，c，d互为倒数，则关于x的方程（a+b）x+3cd（x+1）-7x-54=3的解为多少？【分析】根据题意得

22、：a+b0，cd1，代入原方程，解出即可【解答】解：根据题意得：a+b0，cd1，原方程化为：3（x+1）-7x-54=3，12（x+1）（7x5）12，12x+127x+512，12x7x12125，5x5，x1【点评】本题考查了方程的解，相反数，倒数知识点的综合运用，掌握解方程的方法，根据题意列等式及整体代入原方程是解题关键23对a、b、c、d规定一个运算法则为：abcd=ad-bc（等号右边是普通的减法运算）（1）计算：1234=2，2m-n-42m+n=8m2n；（2）求出满足等式x-2x-116=11-x121的x的值【分析】（1）根据新定义计算即可；（2）根据新定义列方程求解即可【

23、解答】解：（1）1234=14232，2m-n-42m+n=2（2m+n）（mn）（4）8m2n，故答案为：2，8m2n；（2）由题意得，x-26+x=1-1-x2，解得x=54【点评】本题主要考查新定义及一元一次方程的知识，正确理解新定义的运算法则是解题的关键24一题多解是培养我们发散思维的重要方法，方程“6（4x3）+2（34x）3（4x3）+5”可以有多种不同的解法，观察此方程，假设4x3y（1）则原方程可变形为关于y的方程：6y2y3y+5，通过先求y的值，从而可得x2；（2）利用上述方法解方程：3（x1）-13（x1）2（x1）-12（x+1）【分析】（1）设4x3y，用换元法把原方

24、程化为6y2y3y+5，解出方程；（2）设x1y，则原方程可变形为关于y的方程：3y-13y2y-12（y+2），解出方程即可【解答】解：（1）假设4x3y，则原方程可变形为关于y的方程：6y2y3y+5，解得y5，4x35，解得x2；故答案为：6y2y3y+5，2；（2）设x1y，则原方程可变形为关于y的方程：3y-13y2y-12（y+2），去括号，得3y-13y2y-12y1，移项，得3y-13y2y+12y1，合并同类项，得76y1，系数化为1，得y=-67，x1=-67，解得x=17【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，熟练掌握换元法解方程是解题关键25小兵喜欢研究数学问题，在

25、学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若x0是关于x的一元一次方程ax+b0的解，y0是关于y的方程的所有解的其中一个解，且x0，y0满足x0+y0100，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“友好方程”例如：一元一次方程3x2x990的解是x99，方程y2+12的所有解是y1或y1，当y01时，x0+y0100，所以y2+12为一元一次方程3x2x990的“友好方程”（1）已知关于y的方程：2y24，|y|2，哪个方程是一元一次方程3x2x1020的“友好方程”？请直接写出正确的序号是 （2）若关于y的方程|2y2|+35是关于x的一元一次方程x-2x-2a3=a+1的“友好方程”，请求出a的值【分析】（1）根据友好方程定义判断（2）根据友好方程的条件列出关于a的方程【解答】解：（1）方程的解为：y3，方程的解为：y2，方程3x2x1020的解为：x1023+102100，2+102100方程不是方程3x2x1020的友好方程，方程是方程3x2x1020的友好方程故答案为：（2）|2y2|+35|2y2|2，2y22或2y22y2或y0方程x-2x-2a3=a+1，3x2x+2a3a+3xa+3两个方程是友好方程，2+a+3100或0+a+3100a95或a97【点评】本题考查新定义解决数学问题，理解新定义是求解本题的关键