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1、4.3.1&4.3.2 等比数列的概念与等比数列的通项公式一、等比数列的定义及通项公式1、等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示2、对等比数列概念的理解（1）“从第2项起”，是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与前一项的比，前后次序不能点到，另外等比数列中至少含有三项；（2）定义中的“同一常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略，这是因为如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都是一个与n无关的常数，但是如果这些常数不相同，那么此数列也不是等比数列，当且仅当这些常数相

2、同时，数列才是等比数列；（3）若一个数列不是从第2项其，而是从第3项起或第项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，则此数列不是等比数列；（4）由定义可知，等比数列的任一项都不为0，且公比；（5）不为0的常数列是特殊的等比数列，其公比为1。3、等比数列的通项公式（1）等比数列的首项为，公比为，则通项公式为：.（2）通项公式的变形：或二、等比中项1、定义：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列2、对等比中项概念的理解（1）G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项此时，即等比中项

3、有两个，且互为相反数（2）时，G不一定是a与b的等比中项例如0250，但0，0，5不是等比数列；（3）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻两项的等比中项；（4）与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列中，3、等差中项与等比中项区别（1）任意两数都存在等差中项，但并不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时才存在等比中项；（2）任意两数的等差中项是唯一的，而若两数有等比中项，则等比中项有两个，且互为相反数。三、等比数列的性质1、“子数列”性质（1）对于无穷等比数列，若将其前项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为，公比为；若取出所有的的倍数项，组成的数列

4、仍未等比数列，首项为，公比为；（2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，仍是等比数列，公比为2、等比数列的运算性质在等比数列中，若，则；（1）特别地，时，；当时，（2）若数列是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积，即3、两等比数列合成数列的性质若数列，是项数相同的等比数列，是不等于0的常数，则数列、也是等比数列；四、等比数列的判定方法1、定义法：（常数）为等比数列；2、中项法：（）为等比数列；3、通项公式法：（，为常数）为等比数列.五、等比数列常用的两种解题方法1、基本量法（基本方法）（1）基本步骤：运用方程思想列出基本量和的方程组，然后利用通项公式求解；（2）优缺

5、点：适应面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁。2、性质法（利用等比数列的性质解题）（1）基本思想：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题；（2）优缺点：简单快捷，但是适应面窄，有一定的思维含量。题型一 等比数列的定义与判断【例1】下面各数列是等比数列的是（ ）（人教A版4.3.1练习）（1），；（2）1，2，3，4；（3）x，x，x，x；（4），.A（1）（2）（3）（4） B（1）（3）（4） C（1）（4） D（1）（2）（4）【答案】C【解析】对于（1），公比为2，即为等比数列；对于（2）由于，即（2）不是等比数列；对于（3）当x0时，不是等

6、比数列；对于（4）公比为，即为等比数列.故选：C.【变式1-1】下列数列一定是等比数列的是（ ）A数列1，2，6，18， B数列中，C常数列， D数列中，【答案】D【解析】对于A，故不是等比数列；对于B，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不一定是等比数列；对于C，当时，不是等比数列；对于D，该数列符合等比数列的定义，一定是等比数列故选：D【变式1-2】等比数列的公比，中有连续四项在集合中，则等于（ ）A B C D【答案】C【解析】因为等比数列中有连续四项在集合中，所以中既有正数项也有负数项，所以公比，因为，所以，且负数项为相隔两项，所以等比数列各项的绝对值单调递增，按绝对值排列可得，

7、因为，所以是中连续四项，所以，故选：C.【变式1-3】已知数列的通项公式为，则（ ）A数列为等差数列，公差 B数列为等差数列，公差C数列为等比数列，公比 D数列为等比数列，公比【答案】B【解析】数列的通项公式为，故数列为等差数列，且公差.故选：B.【变式1-4】（多选）若为等比数列，则下列数列中是等比数列的是（ ）A B， C D【答案】AC【解析】因数列是等比数列，则，为非0常数，对于A，显然是非0常数，即是首项为，公比为的等比数列，A正确；对于B，因，则当时，不是等比数列，B不正确；对于C，即数列是首项为，公比为的等比数列，C正确；对于D，若数列中有负数项，则无意义，若，则，不是等比数列，

8、D不正确.故选：AC题型二 等比数列的通项及基本量【例2】已知为等比数列，则（ ）A1 B C1或 D【答案】C【解析】为等比数列，设公比为q，由，则可得：，则，则或，则，则，故选：C.【变式2-1】在等比数列中，若、成等差数列，则的公比为（ ）A B C D【答案】B【解析】设等比数列的公比为，则，由题意可得，即，则，故.故选：B.【变式2-2】在正项等比数列中，则通项公式_【答案】【解析】由题意设等比数列的公比为（），因为，所以，由，得，所以，或（舍去），所以将代入，得，即，解得或（舍去），所以，所以，故答案为：【变式2-3】已知等比数列：，2，8，若取此数列的偶数项，组成新的数列，则等于

9、（ ）A B C D【答案】C【解析】由题可得，所以.故选：C.【变式2-4】观察数组，根据规律，可得第8个数组为（ ）A B C D【答案】C【解析】由题可知数组的第一个数成等差数列，且首项为2，公差为1；数组的第二个数成等比数列，且首项为2，公比为2因此第8个数组为，即故选：C.【变式2-5】在等比数列中，公比为q（1）若，求通项公式；（2）若，求q并写出通项公式；（3）若，求项数n【答案】（1）；（2），；（3）5【解析】（1）因为，所以（2）由题知，解得所以（3）由题可知，即所以，所以题型三 等比中项及其应用【例3】“”是“G是a、b的等比中项”的（ ）条件A既不充分也不必要 B充分不

10、必要C必要不充分 D充要【答案】A【解析】当时，满足，不满足G是a、b的等比中项；当G是a、b的等比中项，如，但不满足，故“”是“G是a、b的等比中项”的既不充分也不必要条件，故选：A【变式3-1】方程的两根的等比中项是（ ）A B和 C和 D【答案】B【解析】由题意，两根之积为9，所以两根的等比中项为.故选：B.【变式3-2】已知公差不为零的等差数列的第2，3，6项依次是一等比数列的连续三项，则该等比数列的公比等于（ ）A B C D【答案】D【解析】公差不为零的等差数列的第2，3，6项依次是一等比数列的连续三项，设等差数列首项为a1，公差为d，整理得这个等比数列的公比故选：D【变式3-3】

11、已知等差数列的前n项和为，若，成等比数列，则公比为（ ）A B C D1【答案】D【解析】设等差数列的公差为，则，解得，即公比为1.故选：D.【变式3-4】在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个正数之和为（ ）A B C D10【答案】B【解析】不妨设插入两个正数为，即成等比数列，则成等差数列，则即，解得或（舍去）则，故选：B题型四 等比数列的性质及应用【例4】在等比数列中，则_【答案】31【解析】设，则，所以故答案为：31【变式4-1】等比数列的各项均为正数，且，则（ ）A20 B15 C8 D【答案】B【解析】是等比数列，则，故选：B【变式4-2】在

12、等比数列中，则的值为（ ）A48 B72 C144 D192【答案】D【解析】数列是等比数列，则，而，故故选：D【变式4-3】设是等比数列，且，则（ ）A12 B2 C30 D32【答案】D【解析】设该等比数列的公比为，因为，所以由，所以，故选：D【变式4-4】已知等比数列中，则公比（ ）A2 B3 C4 D5【答案】A【解析】等比数列中，设等比数列的公比为，又因为所以，故选：A.题型五 等比数列的证明【例5】已知是各项均为正数的等比数列，公比为q，求证：是等比数列，并求该数列的公比【答案】证明见解析；该数列公比为【解析】因为是各项均为正数的等比数列，公比为q，故 ，所以为常数，故是等比数列，

13、该数列的公比为 .【变式5-1】已知数列满足，.（1）求证：是等比数列.；（2）求.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1），又，是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）得，.【变式5-2】已知数列满足，且（，且），为何值时，数列是等比数列.【答案】【解析】若数列是等比数列，则（为非零常数），且，即，对于任意恒成立，则，解得，故当时，数列是等比数列.【变式5-3】已知数列和满足：，其中为实数，为正整数（1）对于任意实数，证明：数列不是等比数列；（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论【答案】（1）证明见解析；（2）当时是等比数列，证明见解析【解析】（1）假设若存在实数，使得

14、数列是等比数列，则必有，由，整理得，矛盾故假设错误，因此对于任意实数，数列不是等比数列；（2）证明：若存在实数使得数列是等比数列，则常数，当且仅当，即时上式成立【变式5-4】已知数列中，求证：数列是等比数列.【答案】证明见解析【解析】设，则 ，且，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列.题型六 等比数列的单调性与最值【例6】已知数列满足，对一切，则数列是（ ）A递增数列 B递减数列 C摆动数列 D不确定【答案】B【解析】因为，所以数列为等比数列，又，则，所以得，故数列是递减数列.故选：B.【变式6-1】等比数列中，首项，则数列是严格递增数列的条件是公比满足（ ）A B C D【答案】C【解析】

15、由题意得：，为严格递增数列，又，；当，即时，只需恒成立，；当，即时，不合题意；综上所述：公比满足.故选：C.【变式6-2】（多选）等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，给出下列结论其中正确的结论是（ ）A BC的值是中最大的 DT99的值是Tn中最大的【答案】ABD【解析】对于A，即，又，又，且，故A正确；对于B，即，故B正确；对于C，由于，而，故有，故C错误；对于D，由题可知，所以当时，即，当时，即，T99的值是Tn中最大的，故D正确.故选：.【变式6-3】（多选）已知等比数列满足，公比，且，则（ ）A B当时，最小C当时，最小 D存在，使得【答案】AC【解析】对A，又，故A正确.对

16、B，C，由等比数列的性质， 故，故当时，最小，B错误，C正确；对D，当时，故，故D错误.故选：AC题型七 用等比数列解决实际问题【例7】2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数是（ ）（，）A40 B41 C42 D43【答案】C【解析】设对折次时，纸的厚度为，每次对折厚度变为原来的倍，由题意知是以为首项，公比为的等比数列，所以，令，即，所以，即，解得：，所以至

17、少对折的次数是，故选：C【变式7-1】十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的明万历十二年（公元1584年），他写成律学新说，提出了十二平均律的理论十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，则插入的第8个数为（ ）A B C D【答案】B【解析】由题意可知，在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列设公比为 ，则 ，故 ，故 ，故选：B【变式7-2】在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩.张丘建算经是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪.书中有如下问题：

18、“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”.其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”.已知匹丈，丈尺，若这一个月有天，记该女子这一个月中的第天所织布的尺数为，对于数列、，下列选项中正确的为（ ）A B可能不是等比数列 C D【答案】D【解析】由题意知是等差数列且，所以，解得.，所以是等比数列，故B不正确.，故A不正确.，故C不正确.， ，故D正确.故选：D.【变式7-3】我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在律学新说中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个键到下一个键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音的频率正好是中音的2倍.已知#的频率为，的频率为，则（ ）A B C D【答案】D【解析】由题意知从左到右的音频恰成一个公比为的等比数列，由等比数列性质知，所以，故选：D.