4.4 一次函数与方程、不等式之间的关系【十大题型】（北师大版）（教师版）.docx

1、专题4.4 一次函数与方程、不等式之间的关系【十大题型】【北师大版】【题型1 一次函数与一元一次方程的解】1【题型2 两个一次函数与一元一次方程】3【题型3 利用一次函数的变换求一元一次方程的解】6【题型4 一次函数与二元一次方程（组）的解】8【题型5 不解方程组判断方程组解的情况】10【题型6 一次函数与一元一次不等式的解集】14【题型7 两个一次函数与一元一次不等式】16【题型8 一次函数与一元一次不等式组的解集】21【题型9 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】24【题型10 绝对值函数与不等式】30【知识点1 一次函数与一元一次方程、不等式的关系】1. 任何一个一元一次方程都可转化为：

2、kx+b=0（k、b为常数，k0）的形式 而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k0）当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k0）的形式所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值2.解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围.【题型1 一次函数与一元一次方程的解】【例1】（2023春天津八年级统考期末）已知方程ax+b=0的解为x=- 32，则一次函数y=ax+b的图象与

3、x轴交点的坐标为()A(3,0)B(- 23 ,0)C(-2,0)D(- 32 ,0)【答案】D【分析】关于x的一元一次方程ax+b=0的根是x= -32，即x= -32时，函数值为0，所以直线过点( -32 ,0)，于是得到一次函数y=ax+b的图象与x轴交点的坐标【详解】解：方程ax+b=0的解为x= -32，则一次函数y=ax+b的图象与x轴交点的坐标为(- 32 ,0)，故选：D【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 (a，b为常数，a0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值从图象上看，相当于

4、已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值【变式1-1】（2023秋河北张家口八年级统考期末）已知函数y=kx+b的部分函数值如表所示，则关于x的方程kx+b=3的解为 x-2-11y53-1【答案】-1【分析】根据题意，将方程kx+b=3的解转化为一次函数中y=3时对应的x的即可解答【详解】当y=3时，在一次函数y=kx+b中：即kx+b=3，此时根据表格可得x=-1，故答案为：-1【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，解此题的关键是掌握一次函数和一元一次方程之间的联系【变式1-2】（2023春四川绵阳八年级校联考期末）已知关于x的方程axb1的解为x2，则一次函数yaxb

5、1的图象与x轴交点的坐标为 【答案】（2，0）【分析】当y0时，axb10，可得axb1，根据题意可得图象与x轴的交点坐标【详解】解：当y0时，axb10，axb1，关于x的方程axb1的解为x2，一次函数的图象与x轴的交点坐标为（2，0），故答案为：（2，0）【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键【变式1-3】（2023秋福建宁德八年级统考期末）如图，一次函数y=ax+b的图象经过点2,4，4,1，则方程ax+b=4的解是 【答案】x=2【分析】由一次函数y=ax+b的图象经过点2,4，可得当x=2时，ax+b=4，从而可得答案【详解】

6、解：一次函数y=ax+b的图象经过点2,4，当x=2时，ax+b=4，方程ax+b=4的解是x=2；故答案为：x=2【点睛】本题考查的是一次函数的图象上点的坐标特点，理解函数图象上点的坐标满足函数解析式是解本题的关键【题型2 两个一次函数与方程组、不等式组】方程组的解与相应函数的交点坐标是相对应的。找到函数的交点坐标，也就找到了对应方程组的解，反之一样。对于不等式组的解集也可以通过其对应的函数图象来解决。【题型2 两个一次函数与一元一次方程】【例2】（2023春青海西宁八年级统考期末）如图，一次函数y1=k1x+b与y2=k2x的图象交于点A，则关于x的方程k1x+b=k2x的解x= 【答案】

7、-1【分析】由图形知，两直线交于点(-1,-2)，即x=-1【详解】解：由图象知，k1x+b=k2x的解x=-1【点睛】本题考查一次函数与方程的联系，图象法解方程，理解数形结合的思想是解题的关键【变式2-1】（2023春江苏南通八年级统考期中）若一次函数y=kx+b与y=mx的图象交于点2,4，则关于x的方程2k+bx=mx+m的解为x= 【答案】1【分析】由一次函数y=kx+b与y=mx的图象交于点2,4得到2k+b=2m，代入方程2k+bx=mx+m即可求出方程的解【详解】解：一次函数y=kx+b与y=mx的图象交于点（2，4），当x=2时，kx+b=mx，m0，2k+b=2m，由2k+b

8、x=mx+m得2mx=mx+m，m0，x=1，故答案为：1【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，解题的关键是根据图象的交点得到2k+b=2m【变式2-2】（2023春湖南益阳八年级统考期末）如图，已知直线y=-x与y=kx+b交于点Pa,1，则方程kx+b=-x的解是x= 【答案】-1【分析】先把点Pa,1代入y=-x，求出a的值，得到两直线交点P-1,1，再根据一次函数与一元一次方程的关系，即可得到答案【详解】解：点Pa,1在直线y=-x上，-a=1，a=-1，P-1,1，由图象可知，方程kx+b=-x的解就是直线y=-x与y=kx+b的交点的横坐标，x=-1，故答案为：-1【点睛】

9、本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次方程的关系，掌握利用图象法解一元一次方程是解题关键【变式2-3】（2023春福建厦门八年级厦门市松柏中学校考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1，l2分别是函数y=k1x+b1和y=k2x+b2的图象（1）关于x的方程k1x+b1=k2x+b2的解为 （2）若x=m，x=n分别为方程k1x+b1=3和k2x+b2=3的解，则m，n的大小关系是m n【答案】 x=-2 mn【分析】（1）由函数y=k1x+b1和y=k2x+b2的图象的交点横坐标为-2，从而可得答案；（2）如图，画直线y=3，与直线l1，l2的交点分别为A，B，由图

10、象可得：A的横坐标为x=m，B的横坐标为x=n，从而可得答案【详解】解：（1）函数y=k1x+b1和y=k2x+b2的图象的交点横坐标为-2，关于x的方程k1x+b1=k2x+b2的解为为x=-2；故答案为：x=-2；（2）如图，画直线y=3，与直线l1，l2的交点分别为A，B，由图象可得：A的横坐标为x=m，B的横坐标为x=n，mn故答案为：mb的解集为 【答案】x2【分析】根据一次函数y=ax+b的图象经过一、二、三象限可得a0，且与x轴交于点(-2，0)，得出b=2a，求不等式axb的解集相当于是求y=ax-b0时x的取值范围，求出y=ax-b与x轴的交点可得答案【详解】解：一次函数y=

11、ax+b的图象经过一、二、三象限，则函数y随x的增大而增大，a0把点(-2，0)，代入即可得到：-2a+b=0，即b=2a不等式axb的解集就是求函数y=ax-b0，当y=0时，ax-b=0，ax-2a=0，a0，x-2=0，x=2，故当x2时，不等式axb成立则不等式axb的解集为x2故答案为：x2【点睛】本题主要考查一次函数与不等式的关系，一次函数的图象与性质，一次函数与坐标轴的交点等知识，熟练掌握一次函数与不等式的关系式解题的关键【变式6-1】（2023春山东德州八年级统考期中）已知一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k0)，x与y的部分对应值如下表所示，那么不等式kx+b0的解集是(

12、 )x-2-10123y3210-1-2Ax0Cx1【答案】D【分析】由表格得到函数的增减性后，再得出y=0时，对应的x的值即可【详解】解：当x=1时，y=0，根据表可以知道函数值y随x的增大而减小，不等式kx+b0的解集是x1故选D【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式之间的内在联系理解一次函数的增减性是解决本题的关键【变式6-2】（2023春广东佛山八年级校考阶段练习）已知一次函数y=ax+b（a、b是常数，a0）函数图象经过(-1，4)，(2，-2)两点，下面说法中：（1）a=2，b=2；（2）函数图象经过(1，0)；（3）不等式ax+b0的解集是x1；（4）不等式ax+b0的解集是

13、x1；正确的说法有 （请写出所有正确说法的序号）【答案】（2）（3）【详解】一次函数y=ax+b(a、b是常数，a0)函数图象经过(1，4)，(2，2)两点，-a+b=42a+b=-2，解得a=2，b=2，故（1）错误；一次函数的解析式为y=2x+2，令y=0，则2x+2=0，解得：x=1图象经过(1，0)点，故（2）正确；a=2，图象经过(1，0)点，不等式2x+b0的解集为x1，即不等式ax+b0的解集是x1，故（3）正确；不等式2x+b1，即不等式ax+b1，故（4）错误综上可知正确说法为（2）（3）故答案为：（2）（3）【变式6-3】（2023秋浙江嘉兴八年级统考期末）如图，一次函数y

14、=kx+b的图象经过点(-2,0)，则关于x的不等式k(x-3)+b0的解集为 【答案】x1【分析】观察函数图象得到即可【详解】解：由图象可得：当x-2时，kx+b0，所以关于x的不等式kx+b0的解集是x-2，所以关于x的不等式k(x-3)+b0的解集为x-3-2，即：x1，故答案为x1【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合【题型7 两个一次函数与一元一次不等式】【例7】（2023春河南信阳八年级统考

15、期末）一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b-x+a0的解集是（）A x-1B x2C x-1D x0的解集是一次函数y1=kx+b在y2=x+a的图象上方的部分对应的x的取值范围，据此即可解答【详解】解：由图象可知，不等式kx+b-x+a0的解集是x-1故选：C【点睛】本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合【变式7-1】（2023春福建龙岩八年级统考期末）直线y1=kx+2k+3和直

16、线y2=-2x-1，当x-2时，总有y1-2【分析】根据y1y2列出不等式kx+2k+3-2x-1，整理得xk+2-2k+2，根据x0，即可求解【详解】解：当x-2时，总有y1y2，当x-2时，kx+2k+3-2x-1，整理得：kx+2x-2k-4，xk+2-2k+2，当x-2时，总有y1y2，不等式xk+2-2k+2的解集为：x0，解得：k-2，故答案为：k-2【点睛】本题主要考查了一次函数和一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握一次函数的图形和性质，以及不等式的性质：不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都

17、乘以或除以同一个负数，不等号方向改变【变式7-2】（2023春山东青岛八年级统考期末）如图，直线y1=kx+b与x轴交于点A1,0，直线y2=3x+m与x轴交于点B-4,0，两条直线交于点C(1)观察图象，直接写出不等式kx+bkx+b的解集是x-2，求点C的坐标【答案】(1)x1(2)-2,6【分析】（1）根据图象可直接得出答案；（2）由题意可得点C的横坐标为-2，把B-4,0代入y2=3x+m，得出m=12，求出y2=3x+12，即可得出答案【详解】（1）解：A1,0，y1=kx+b，观察图象可知，不等式kx+b1；（2）解：由题意可得点C的横坐标为-2，把B-4,0代入y2=3x+m，得

18、：0=3x-4+m，解得m=12，y2=3x+12，把x=-2，代入y2=3x+12，解得y=6， 点C的坐标为-2,6【点睛】本题考查一次函数的性质，图象法解一元一次不等式，掌握一次函数的性质是解题的关键【变式7-3】（2023春山东济宁八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y1=-12x+6分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l2y2=12x交于点A(1)求出点A的坐标；(2)根据图象，直接写出y2y1时x的取值范围是(3)若M是线段OA上的点，且COM的面积为9，求直线CM的解析式【答案】(1)A(6，3)；(2)x6；(3)直线CM解析式为y= -32 x+6【分析】（

19、1）联立两直线解析式求出A的坐标即可；（2）由直线y2=12x在直线y1=-12x+6的上方即可求解；（3）根据M在直线OA上，设出M坐标，表示出三角形COM面积，把已知面积代入求出x的值，确定出M坐标，利用待定系数法求出CM解析式即可；【详解】（1）解解方程组y=-12x+6y=12x，得x=6y=3A(6，3)；（2）解：y2y1时，即是直线l2y2=12x在直线l1：y1=-12x+6的上方，A(6，3)，x6；（3）解：y1=-12x+6中，令x=0，则y1=-120+6=6，OC=6，C(0，6)，设M(x，12 x)，COM的面积为9，12 6x=9，解得x=3，12 x= 32，

20、M(3，32 )，设直线CM的函数表达式是y=kx+b，把C(0，6)，M(3，32 )，代入得，6=k0+b32=3k+b，解得b=6k=-32，直线CM解析式为y= -32 x+6；【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及一次函数与坐标轴的交点、待定系数法确定一次函数解析式、一次函数图象的交点与不等式的关系及一次函数图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中【题型8 一次函数与一元一次不等式组的解集】【例8】（2023春山东东营八年级统考期末）已知：同一个坐标系中分别作出了一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2的图象，分别与x轴交于点A，B，

21、两直线交于点C已知点A-1,0，B2,0，C1,3，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识回答下列问题：(1)关于x的方程k1x+b1=0的解是_；关于x的方程k2x+b2=0的解是_；(2)请直接写出关于x的不等式k1x+b1k2x+b2的解集；(3)请直接写出关于x的不等式组k1x+b10k2x+b20的解集(4)求ABC的面积【答案】(1)x=-1，x=2(2)x1(3)-1x0的解集为x-1，关于x的不等式k2x+b20的解集为x0k2x+b20的解集为-1x2；（4）A-1,0，B2,0，AB=2-1=3ABC的面积=12AByC=1233=92【点睛】此

22、题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组，正确利用数形结合解题是解题关键【变式8-1】（2023秋浙江八年级期末）如图，直线y=kx+b(k0)经过A(-1,-2)和B(-3,0)两点，则关于x的不等式组x+1kx+b0的解是 【答案】-3x-2【分析】用待定系数法求出k、b的值，然后将它们代入不等式组中进行求解即可【详解】解：将 A( 1，-2) 和 B( 3，0) 代入 y=kx+b 中得：-k+b=-2-3k+b=0解得：k=-1b=-3，y=-x-3，则 x+1-x-30 ，解得： 3x2，故答案为：3x2【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及不等式

23、的解法，难度不大【变式8-2】（2023秋四川成都八年级校联考期末）已知直线y1=kx+1(k0)的交点坐标为(12,12m)，则请求出不等式组mx-2kx+1mx的解【答案】12x32【分析】由mx-2(m-2)x+1，即可得到x32；由(m-2)x+112，进而得出不等式组mx-2kx+1mx的解集为12x32【详解】解：把(12,12m)代入y1=kx+1，可得12m=12k+1，解得k=m-2，y1=(m-2)x+1，令y3=mx-2，则当y3y1时，mx-2(m-2)x+1，解得x32；当kx+1mx时，(m-2)x+112，不等式组mx-2kx+1mx的解集为12x32，【点睛】本

24、题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合【变式8-3】（2023春广东深圳八年级统考期末）如图，一次函数y=x2与y=2x+m的图象相交于点P（n，4），则关于x的不等式组2x+m-x-2-x-20的解集为 【答案】2x2【分析】先将点P（n，4）代入y=x2，求出n的值，再找出直线y=2x+m落在y=x2的下方且都在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围即可【详解】一次函数y=x2的图象过点P（n，4），4=n2，

25、解得n=2，P（2，4），又y=x2与x轴的交点是（2，0），关于x的不等式组2x+m-x-2-x-20的解集为-2x2故答案为-2x2时，y （2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y2-x+x+22的图象（3）结合函数图象，写出该函数的一条性质： 【答案】（1）2，x；（2）见解析；（3）当x2时，y随x的增大而增大（答案不唯一）【分析】（1）分x2及x2两种情况，化简函数解析式；（2）根据（1）的结论，画出函数图象；（3）观察函数图象，找出该函数的一条性质【详解】解：（1）当x2时，y2-x+x+222-x+x+222；当x2时，y2-x+x+22x-2+x+22x故答案为：2

26、；x（2）根据（1）中的结果，画出函数y2-x+x+22的图象，如图所示（3）观察函数图象，可知：当x2时，y随x的增大而增大故答案为：当x2时，y随x的增大而增大（答案不唯一）【点睛】本题考查一次函数，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键【变式10-1】（2023春广东深圳八年级统考期末）某学习小组在综合与实践活动中，研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数y=x+1-3的图像和性质做了探究下面是该学习小组的探究过程，请补充完整；(1)下表是y与x的几组对应值，请将表格补充完整：x-3-2-1012345ym-2-3-2-10n23表格中m的值为_，n的值为_(2)

27、如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图像：（提示：先用铅笔画图确定后用签字笔画图）(3)请观察函数的图像，直接写出如下结论；当自变量x_时，函数y随x的增大而增大；方程x+1-3=2的解是x=_；不等式x+1-1，4或-6，-5x-1时，函数y随x的增大而增大；当自变量x的值为4或-6时，y=2；解不等式|x+1|4的结果为-5x-1，4或-6，-5x3【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，函数图像点的坐标的求法、函数图像的画法以及看函数图像，熟练掌握函数图像点的坐标的求法、函数图像的画法以及看函数图像是解决本题关键【变式10-2】（2023春河南南阳八年级统考

28、期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式利用函数图象研究其性质运用函数解决问题”的学习过程结合学习函数的经验，探究函数y=x-1+a的图象与性质，探究过程如下请补充完整(1)列表：x-101234y-2-3-4b-2-1请根据表格中的信息，可得a=_，b= _(2)根据（1）中结果，请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象若点Ax1,y1，Bx2,y2在函数图象上，且x1x2y2，理由见解析(3)m-3【分析】(1)将点(0,-3)代入y=x-1+a中即可求出a的值，再将x=2代入y=x-1+a中即可求出b的值；(2)在坐标系中直接描点、连线画出图形即可；当自变量x1x

29、2y2，理由如下：观察图像可知，函数y=x-1-4的对称轴为x=1，函数图像的增减性可知：在对称轴x=1的左侧，自变量越大，函数越小，x1x2y2（3）解：在同一坐标系中画出y=x-1+a和y=12x+m的图像，如下图所示：方程x-1+a=12x+m有且只有一个正数解和一个负数解，y=x-1+a和y=12x+m的图像，其交点的横坐标即为对应的方程x-1+a=12x+m的解，且交点横坐标必须有一个为正数，另一个为负数，显然，函数y=12x+m如果是上述图中所示时，不满足题意，此时函数经过点(0,-3)，m=-3，如果是上述图中或时满足题意，故将中直线y=12x-3往上平移即可，m取值范围是：m-

30、3【点睛】本题借助研究函数的一般方法考查一次函数的图象、性质及作图，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答【变式10-3】（2023秋江苏八年级统考期末）在学习一次函数时，我们学习了列表、描点、连接画函数图像，并结合函数图像研究函数的性质同时，在初一的时候我们学习了绝对值的意义：a=aa0-aa0请你完成下列问题(1)【尝试】当x=2时，y=-2x-2+3=3当x2时，y=-2x-2+3=_(2)【探索】探究函数y=-2x-2+3的图像与性质请完成以下列表：x1012345y3请根据中的表格，在给出的平面直角坐标系中画出y=-2x-2+3的图像(3)【拓展应用】若关于

31、x的方程-2x-2+x+3=-12x+m有且只有一个正的解和一个负的解，则m的取值范围是_【答案】(1)2x-1；-2x+7(2)见解析，见解析，(3)m-1【分析】（1）根据绝对值的意义化简求值即可；（2）把自变量的数值代入函数解析式，求出对应函数值填表即可；利用描点法画图像即可；（3）画出图像，利用数形结合思想解答即可【详解】（1）解：当x2时，y=-2x-2+3=-2(x-2)+3=-2x+7；故答案为：2x-1；-2x+7（2）解：当x=-1时，y=-2-1-2+3=-3；当x=0时，y=-20-2+3=-1；当x=1时，y=-21-2+3=1；当x=3时，y=-23-2+3=1；当x

32、=4时，y=-24-2+3=-1；当x=5时，y=-25-2+3=-3；填表如图：x1012345y-3-1131-1-3函数图像如图所示：（3）解：关于x的方程-2x-2+x+3=-12x+m变形为：-2x-2+3=-32x+m，方程有且只有一个正的解和一个负的解，即直线y=-32x+m与y=-2x-2+3的函数图像两个交点的横坐标一个为正，一个为负，如图所示，当m6时，方程无解，当m=6时，方程只有一个正解，当6m-1时，方程的两个解全为正，当m=-1时，方程的两个解一个为0，一个为正，当m-1时，方程的两个解一个为正，一个为负，故答案为：m-1【点睛】本题考查了一次函数的与方程的关系，化简绝对值，画函数图像，解题关键是熟练画出函数图像，利用数形结合思想解决问题