4.4.2 对数函数(2)—对数函数的图象和性质-2020-2021学年高一数学同步练习和分类专题教案（人教A版2019必修第一册）.docx

1、第四章 指数函数与对数函数 课时4.4.2 对数函数(2)对数函数的图象和性质 对数函数的图象和性质.基础过关练题组一对数函数的图象1.为了得到函数f(x)=log2x的图象,只需将函数g(x)=log2x8的图象 () A.向上平移3个单位 B.向下平移3个单位C.向左平移3个单位 D.向右平移3个单位2.函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一平面直角坐标系中的图象大致是 ()3.函数f(x)=loga(x-1)+1(a0,且a1)的图象恒过点 ()A.(1,1) B.(1,2)C.(2,1) D.(2,2)4.函数f(x)=lg(|x|-1)的大致图象是 ()题组二对数函

2、数的性质及其应用5.函数y=log2|x-2|在区间(2,+)上的单调性为 ()A.先增后减 B.先减后增C.单调递增 D.单调递减6.函数f(x)=log0.6(2-x)的定义域为 ()A.1,2) B.(1,2C.(1,2) D.(-,2)7.下列各式中错误的是 ()A.30.830.7 B.log0.50.4log0.50.6C.log20.30.30.2 D.0.75-0.3log0.5(3-m),则m的取值范围是.11.函数f(x)=loga(x+x2+2a2)是奇函数,则a=.12.已知函数f(x)=lg(x+1),解不等式0f(1-2x)-f(x)1.13.设函数f(x)=log

3、a1-ax,其中0a1,求x的取值范围.14.已知函数f(x)=logamx+1x-1(a0,a1)在定义域(-,-1)(1,+)上是奇函数.(1)求m的值;(2)判断f(x)在区间(1,+)上的单调性,并加以证明.题组三对数函数的最大(小)值与值域问题15.函数f(x)=log0.2(2x+1)的值域为 ()A.(0,+)B.(-,0)C.0,+)D.(-,016.已知函数y=log2(x2-2kx+k)的值域为R,则k的取值范围是 ()A.0k1B.0k0,a1且loga3loga2,若函数f(x)=logax在区间a,2a上的最大值与最小值之差为1.(1)求a的值;(2)解不等式log1

4、3(x-1)log13(a-x);(3)求函数g(x)=|logax-1|的单调区间.18.已知函数f(x)=log2x.(1)若f(a)f(2),求a的取值范围;(2)求y=log2(2x-1)在2,14上的最值.题组四对数函数与指数函数互为反函数19.函数y=1ax与y=logbx互为反函数,则a与b的关系是 ()A.ab=1 B.a+b=1C.a=b D.a-b=120.已知y=14x的反函数为y=f(x),若f(x0)=-12,则x0= ()A.-2 B.-1 C.2 D.1221.设函数f(x)=loga(x+b)(a0,且a1)的图象过点(2,1),其反函数的图象过点(2,8),则

5、a+b等于 ()A.3 B.4 C.5 D.622.设0a0,且a1)在同一坐标系中的图象只可能是 ()2.为了得到函数y=log4x-34的图象,只需把函数y=12log2x图象上所有的点 ()A.向左平移3个单位,再向上平移1个单位B.向右平移3个单位,再向上平移1个单位C.向右平移3个单位,再向下平移1个单位D.向左平移3个单位,再向下平移1个单位3.函数y=xln|x|x|的图象是 ()4.已知函数f(x)=|lg x|+2,若实数a,b满足ba0,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是.题组二对数函数单调性的应用5.已知a=1213,b=log213,c=log1213,则 (

6、) A.abc B.acbC.cab D.cba6.已知函数f(x)=loga(-x2-2x+3)(a0,a1),若f(0)0.9.已知函数f(x)=loga(ax-1)(a0,且a1).(1)当a=12时,求函数f(x)的定义域;(2)当a1时,求关于x的不等式f(x)m对任意实数x1,3恒成立,求实数m的取值范围.题组三对数函数的最大(小)值与值域问题10.若函数f(x)=log2kx2+(2k-1)x+14的值域为R,则实数k的取值范围为.11.若函数f(x)=(2-a)x+2a,x0;(2)若关于x的方程f(x)-log2(a-4)x+2a-5=0的解集中恰好只有一个元素,求a的取值范

7、围;(3)设a0,若对任意t12,1,函数f(x)在区间t,t+1上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.答案全解全析基础过关练1.Ag(x)=log2x8=log2x-log28=log2x-3,所以只需将函数g(x) =log2x8的图象向上平移3个单位,即可得到函数f(x)=log2x的图象,故选A.2.Cf(x)=1+log2x的图象是由y=log2x的图象向上平移一个单位得到的,过定点(1,1),g(x)=2-x+1=12x-1的图象是由y=12x的图象向右平移一个单位得到的,过定点(0,2),故只有C选项中的图象符合.3.C令x-1=1,即x=2,得f(2)=loga1+1

8、=1,因此f(x)的图象恒过点(2,1).故选C.4.B解法一:由题可知,当x0时, f(x)=lg(x-1),其图象可由函数y=lg x的图象向右平移1个单位得到;当x0时, f(x)=lg(x-1)是(1,+)上的增函数,故选B.5.C当x2时,函数y=log2|x-2|=log2(x-2).又函数y=log2u是增函数,u=x-2在区间(2,+)上也是增函数,故y=log2|x-2|在区间(2,+)上是一个增函数,故选C.6.A要使函数f(x)有意义,必有log0.6(2-x)0,02-x1,1x30.7,A正确;由函数y=log0.5x单调递减得log0.50.4log0.50.6,B

9、正确;由函数y=log2x单调递增得log20.30,所以log20.30.75-0.1,D错误.故选D.8.B设y=log3u,u=1-ax.由f(x)在(-,2上为减函数,且y=log3u是增函数知,u=1-ax是减函数,-a0.由1-ax0得ax0,x1a,即f(x)的定义域为-,1a,(-,2-,1a20,得a0,得x3.因此函数f(x)的定义域为(-,-1)(3,+)=D.设u=x2-2x-3,则y=log12u,y=log12u是减函数,又u=(x-1)2-4在(-,1上单调递减,在1,+)上单调递增,f(x)的单调递增区间为(-,1D=(-,-1).10.答案(1,2)解析y=l

10、og0.5x是减函数,log0.5(m-1)log0.5(3-m)m-10,3-m0,m-11,m3,m2.1m0,a=22.经验证, f(x)为奇函数.12.解析不等式0f(1-2x)-f(x)1,即0lg(2-2x)-lg(x+1)=lg2-2xx+10,x+10得-1x1.由0lg2-2xx+11,得12-2xx+10,所以x+12-2x10x+10,解得-23x13.由-1x1,-23x13得-23x13,故不等式的解集为-23,13.13.解析(1)证明:任取x1,x2(a,+),不妨令0ax1x2,g(x)=1-ax,则g(x1)-g(x2)=1-ax1-1-ax2=a(x1-x2

11、)x1x20,g(x1)g(x2).又0af(x2),f(x)是(a,+)上的减函数.(2)loga1-ax1,01-axa.1-aax1.0a0,从而ax1时, f(x)在(1,+)上单调递减;当0a1时, f(x)在(1,+)上单调递增.证明:由(1)知m=1,则f(x)=logax+1x-1.设u=x+1x-1=1+2x-1,任取1x10,x2-10,x2-x10,得u1-u20,即u1u2.因此当a1时,logau1logau2,即f(x1)f(x2), f(x)在(1,+)上单调递减;同理可得,当0a1,且y=log0.2u是减函数,所以log0.2(2x+1)loga2,a1,y=

12、logax在a,2a上为增函数,loga(2a)-logaa=loga2=1,a=2.(2)依题意可知x-10,解得1x32,不等式的解集为1,32.(3)g(x)=|log2x-1|,当x=2时,g(x)=0,则g(x)=1-log2x,02.函数g(x)在(0,2上为减函数,在(2,+)上为增函数,g(x)的单调递减区间为(0,2,单调递增区间为(2,+).18.解析函数f(x)=log2x的图象如图所示.(1)f(x)=log2x为增函数,f(a)f(2),log2alog22.a2,即a的取值范围是(2,+).(2)2x14,32x-127.log23log2(2x-1)log227.

13、函数f(x)=log2(2x-1)在2,14上的最小值为log23,最大值为log227.19.A由函数y=1ax与y=logbx互为反函数得1a=b,化简得ab=1,故选A.20.Cy=14x的反函数是f(x)=log14x,f(x0)=log14x0=-12.x0=14-12=122-12=2.21.Bf(x)=loga(x+b)的反函数的图象过点(2,8),因此函数f(x)的图象过点(8,2).又f(x)过点(2,1),则2=loga(8+b),1=loga(2+b),所以a2-b=8,a-b=2,解得b=1,a=3或b=-4,a=-2.又a0,所以b=1,a=3,所以a+b=4.22.

14、B因为0a0时,y=xln|x|x|=ln x,排除C,D;当x0时,y=xln|x|x|=-ln(-x),又y=-ln(-x)与y=ln x的图象关于原点对称,故选B.4.答案(3,+)解析由f(x)的图象可知,0a1b,又f(a)=f(b),因此|lg a|=|lg b|,于是lg a=-lg b,则b=1a,所以a+2b=a+2a,设g(a)=a+2a(0ag(1)=3,即a+2a3,所以a+2b的取值范围是(3,+).5.C由a=1213,知0a1;b=log213log212=-1,则blog22=1.所以c1a0b,即cab,故选C.解题模板不同类型的数比较大小,常用0,1等特殊值

15、界定,以达到比较大小的目的.6.D由f(0)0得loga30,因此0a0得x2+2x-30,解得-3x1.因此函数f(x)的定义域为(-3,1).设u=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,当x(-3,-1时,u=-x2-2x+3单调递增,而0a0,得0x4,因此函数f(x)的定义域为(0,4).(2)f(x)在(0,4)上单调递减.证明:任取0x1x24.则f(x1)-f(x2)=1x1+lg4-x1x1-1x2-lg4-x2x2=x2-x1x1x2+lg4x2-x1x24x1-x1x2.0x1x20,4x2-x1x24x1-x1x20,4x2-x1x24x1-x1x21,lg4x2-x1x

16、24x1-x1x20,f(x1)f(x2),f(x)在(0,4)上单调递减.(3)f(1)=1+lg 3,原不等式等价于f12x(3-x)f(1).由(2)知, f(x)在(0,4)上单调递减,012x(3-x)0得x(x-3)00x3,由12x(3-x)0x2.原不等式的解集为(0,1)(2,3).9.解析(1)当a=12时, f(x)=log1212x-1,故12x-10,解得x1),其定义域为(0,+),易知f(x)为(0,+)上的增函数,由f(x)0,xm对任意实数x1,3恒成立,m0,BA,因此(2k-1)2-4k140,解得k14或k1,此时k的取值范围是0,141,+).综上所述

17、,实数k的取值范围为0,141,+).11.答案-1,2)解析当x1时,ln x0,从而1+ln x1.设x0,(2-a)1+2a1,解得-1a0对任意实数x恒成立,m=0时显然不满足,m0,=22-4m21.实数m的取值范围为(1,+).(2)当x-1,1时, f(x)13,3.令f(x)=tt13,3,则y=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2,h(a)=28-6a9,a3.(3)存在.y=2x+log3f(x2)=2x+log313x2=2x-x2=-(x-1)2+11,4n1,n14,函数在m,n上单调递增,2m-m2=4m,2n-n2=4n.又m0,且a1),则g(x)=loga

18、x,依题意得loga5=3,即a3=5,因此a=35.f(6)=(35)6=(513)6=52=25.故选C.14.B设g(x)=ln(x+x2+1),则g(-x)=ln(-x+(-x)2+1)=ln1x+x2+1=-ln(x+x2+1)=-g(x),所以g(x)为奇函数.因此f(-a)=g(-a)+1=2,所以g(-a)=1,从而g(a)=-1,所以f(a)=g(a)+1=-1+1=0,故选B.15.C依题意得f(log2m)+f(log12m)2f(1)f(log2m)+f(-log2m)2f(1)f(log2m)f(1)f(|log2m|)f(1)|log2m|1-1log2m1log2

19、12log2mlog2212m2,故选C.16.CD选项A中, f(1)=log12(1+1)=-1, f(x)=log12(x+1)不是“A函数”.选项B中,若x10,x20,x1+x21,则f(x1)+f(x2)=log2(x1+1)+log2(x2+1)=log2(x1x2+x1+x2+1)log2(x1+x2+1)=f(x1+x2),不满足(iii), f(x)=log2(x+1)不是“A函数”.选项C中,f(x)显然满足(i)(ii),又f(x1+x2)=x1+x2=f(x1)+f(x2),因此, f(x)=x是“A函数”.选项D中, f(x)显然满足(i)(ii).f(x1+x2)

20、=2x1+x2-1, f(x1)+f(x2)=2x1+2x2-2,f(x1+x2)-f(x1)+f(x2)=2x1+x2-2x1-2x2+1=(2x1-1)(2x2-1).又x1,x20,1,2x1-10,2x2-10.从而f(x1+x2)f(x1)+f(x2).因此, f(x)=2x-1是“A函数”.故选CD.易错警示解决与新定义性质有关的问题,要根据新定义的性质将各选项从简到繁逐一验证,先根据简单的性质排除错误的选项,减少运算;再根据复杂的性质验证其他选项是否符合题意.解题时要防止漏掉相关项目的验证,以免导致解题错误.17.解析(1)当a=5时,f(x)=log21x+5,由f(x)0,得

21、log21x+50,即1x+51,则1x+4=4x+1x0,即x0或x0或x0,(x+1)(a-4)x-1=0,当a=4时,方程的解为x=-1,代入成立;当a=3时,方程的解为x1=x2=-1,代入成立;当a4且a3时,方程的解为x=-1或x=1a-4,若x=-1是方程的解,则1x+a=a-10,即a1,若x=1a-4是方程的解,则1x+a=2a-40,即a2,则要使方程有且仅有一个解,需1a2.综上,若方程f(x)-log2(a-4)x+2a-5=0的解集中恰好只有一个元素,则a的取值范围是a|1a2或a=3或a=4.(3)函数f(x)在区间t,t+1上单调递减,由题意得f(t)-f(t+1)1,即log21t+a-log21t+1+a1,log21t+a1+log21t+1+a=log221t+1+a,1t+a21t+1+a,即a1t-2t+1=1-tt(t+1).设1-t=r,则0r12.因此1-tt(t+1)=r(1-r)(2-r)=rr2-3r+2,当r=0时,rr2-3r+2=0,当0r12时,rr2-3r+2=1r+2r-3.y=r+2r在0,12上单调递减,r+2r12+4=92,rr2-3r+2=1r+2r-3192-3=23,实数a的取值范围是23,+.