4.6 全等三角形中的经典模型【六大题型】（北师大版）（学生版）.docx

1、专题4.6 全等三角形中的经典模型【六大题型】【北师大版】【题型1 平移模型】1【题型2 轴对称模型】4【题型3 旋转模型】6【题型4 一线三等角模型】9【题型5 倍长中线模型】13【题型6 截长补短模型】16【知识点1 平移模型】【模型解读】把ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到DEF与ABC称为平移型全等三角形，图，图是常见的平移型全等三角线.【常见模型】【题型1 平移模型】【例1】（2022义马市期末）如图，点A，E，F，B在直线l上，AEBF，ACBD，且ACBD，求证：ACFBDE【变式1-1】（2022曾都区期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，ABDE，ACDF老师说：还添

2、加一个条件就可使ABCDEF下面是课堂上三个同学的发言：甲：添加BECF，乙：添加ACDF，丙：添加AD（1）甲、乙、丙三个同学的说法正确的是 ；（2）请你从正确的说法中，选取一种给予证明【变式1-2】（2022春东坡区校级期末）如图，ABC中，AB13cm，BC11cm，AC6cm，点E是BC边的中点，点D在AB边上，现将DBE沿着BA方向向左平移至ADF的位置，则四边形DECF的周长为 cm【变式1-3】（2022富顺县校级月考）如图1，A，B，C，D在同一直线上，ABCD，DEAF，且DEAF，求证：AFCDEB如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图2，3时，其余条件不变，结论是否成立

3、？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由【知识点2 轴对称模型】【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等.【常见模型】 【题型2 轴对称模型】【例2】（2022安丘市期末）如图，已知ACFDBE，且点A，B，C，D在同一条直线上，A50，F40（1）求DBE各内角的度数；（2）若AD16，BC10，求AB的长【变式2-1】（2022陇县一模）如图，在ABC中，已知CDAB于点D，BEAC于点E，DCBEBC求证：ADAE【变式2-2】（2022句容市期末）如图，已知AODB

4、OC求证：ACBD【变式2-3】（2022海珠区校级期中）如图，PBAB，PCAC，PBPC，D是AP上一点求证：BDPCDP【知识点3 旋转模型】【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件.【常见模型】 【题型3 旋转模型】【例3】（2022环江县期中）如图，ABAE，ABDE，170，D110求证：ABCEAD证明：170， （ ）又D110， （ ）ABDE， （ ）在ABC和EAD中，()()AB=AE，ABCEAD（AAS）【变式3-1】（2022春济南期末）如图

5、1，ABE是等腰三角形，ABAE，BAE45，过点B作BCAE于点C，在BC上截取CDCE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P；（1）求证：ADBE；（2）试说明AD平分BAE；（3）如图2，将CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由【变式3-2】（2022高港区校级月考）已知，如图，AD、BF相交于O点，点E、C在BF上，且BEFC，ACDE，ABDF求证：（1）AODO；（2）ACDE【变式3-3】（2022锦州模拟）如图，将两个全等的直角三角形ABD、ACE拼在一起（图1），ABD不动（1）若将ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接M

6、B、MC（图2），证明：MBMC（2）若将图1中的CE向上平移，CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系（3）在（2）中，若CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由【知识点4 一线三等角模型】【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BDDE，ABAC，CEDE，那么一定有B=CAE. 【题型4 一线三等角模型】【例4】（2022春香坊区期末）已知，在ABC中，ABAC，D，A，E三点都在直线m上，且DE9cm，BDAAECBAC（1）如图，若ABAC，则BD与AE的数量关系为 BDAE，

7、CE与AD的数量关系为 CEAD；（2）如图，判断并说明线段BD，CE与 DE的数量关系；（3）如图，若只保持BDAAEC，BDEF7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）是否存在x，使得ABD与EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由【变式4-1】（2022东至县期末）如图，在ABC中，ABAC，D、A、E三点都在直线m上，并且有BDAAECBAC，若DE10，BD3，求CE的长【变式4-2】（2022春历下区期中）CD是经过BCA定点C的一条直线，CACB，E、F分别是直

8、线CD上两点，且BECCFA（1）若直线CD经过BCA内部，且E、F在射线CD上，若BCA90，90，例如图1，则BE CF，EF |BEAF|（填“”，“”，“”）；若0BCA180，且+BCA180，例如图2，中的两个结论还成立吗？并说明理由；（2）如图3，若直线CD经过BCA外部，且BCA，请直接写出线段EF、BE、AF的数量关系（不需要证明）【变式4-3】（2022余杭区月考）如图，点B、C在MAN的边AM、AN上，点E，F在MAN内部的射线AD上，1、2分别是ABE、CAF的外角已知ABAC，12BAC求证：ABECAF应用：如图，在ABC中，ABAC，ABBC，点D在边BC上，且C

9、D2BD，点E，F在线段AD上12BAC，若ABC的面积为15，求ABE与CDF的面积之和【知识点5 倍长中线模型模型】【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法【常见模型】 【题型5 倍长中线模型】【例5】（2022秋博兴县期末）如图，BD是ABC的中线，AB6，BC4，求中线BD的取值范围【变式5-1】（2022涪城区校级月考）如图，在ABC中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BEAC，BE的延长线交AC于F，求证：AEF

10、EAF【变式5-2】（2022浠水县校级模拟）（1）在ABC中，AD为ABC的中线，AB6，AC4，则AD的取值范围是 ；（2）如图，在ABC中，AD为ABC的中线，点E在中线AD上，且BEAC，连接并延长BE交AC于点F求证：AFFE【变式5-3】（2022丹阳市期中）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧【探究与发现】（1）如图1，AD是ABC的中线，延长AD至点E，使EDAD，连接BE，写出图中全等的两个三角形 【理解与应用】（2）填空：如图2，EP是DEF的中线，若EF5，DE3，设EPx，则x的取值范围是 （3）已知：如图3，AD是ABC的中线，B

11、ACACB，点Q在BC的延长线上，QCBC，求证：AQ2AD【知识点6 截长补短模型】【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系.截长，指在长线段中截取一段等于已知线段;补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段.该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句,可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程【题型6 截长补短模型】【例6】（2022秋西岗区期末）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在ABC中，AD平分BAC，ABC2C求证：ACAB+BD；小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：方法一：如图2，在AC上截取AE，使得AEAB，连接DE，可以

12、得到全等三角形，进而解决问题方法二：如图3，延长AB到点E，使得BEBD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决问题（1）根据阅读材料，任选一种方法证明ACAB+BD，根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题；（2）如图4，四边形ABCD中，E是BC上一点，EAED，DCB2B，DAE+B90，探究DC、CE、BE之间的数量关系，并证明【变式6-1】（2022蕲春县期中）已知：如图，在ABC中，ABC60，ABC的角平分线AD、CE交于点O求证：ACAE+CD【变式6-2】（2022新抚区校级月考）如图，四边形ABCD中，AB90，E是AB的中点，DE平分ADC（1）求证：CE平分BCD；（2）求证：AD+BCCD；（3）若AB12，CD13，求SCDE【变式6-3】（2022黄石期末）已知ABC和DEF为等腰三角形，ABAC，DEDF，BACEDF，点E在AB上，点F在射线AC上（1）如图1，若BAC60，点F与点C重合，求证：AFAE+AD；（2）如图2，若ADAB，求证：AFAE+BC