5.1 导数的概念（原卷版）.docx

1、5.1 导数的概念 一、导数的平均变化率函数从到的平均变化率1、定义式：2、实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比3、意义：刻画函数值在区间上变化的快慢4、平均变化率的几何意义：设，是曲线上任意不同的两点，函数的平均变化率为割线AB的斜率，如图【注意】x是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即xx2x10，但x可以为正，也可以为负5、求平均变化率的步骤：第一步：先计算函数值的改变量；第二步：再计算自变量的改变量；第三步：求平均变化率；二、物体的平均速度与瞬时速度1、平均速度设物体的运动规律是，则物体在到这段时间内的平均速度为2、瞬时速度（1）物体在某一时刻的速度称为瞬时速度

2、；（2）一般地，当无限趋近于0时，无限趋近于某一个常数，我们就说当趋近于0时，的极限就是，这时就是物体在时的瞬时速度，即瞬时速度3、瞬时加速度一般地，当无限趋近于0时，运动物体速度的平均变化率无限趋近于某一个常数，那么这个常数就称为物体在时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率三、函数在xx0处的瞬时变化率1、导数的定义定义式实质瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值作用刻画函数在某一点处变化的快慢【注意】（1）“无限趋近于0”的含义趋于0的距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数，且始终.（2）“函数在的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系“函数在处的

3、导数”是一个数值，是针对而言的，与给定的函数及的位置有关，而与无关；“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与，无关，记作2、瞬时变化率的变形形式limx0fx0+x-f(x0)x=limx0fx0-x-fx0-x=limx0fx0+nx-f(x0)nx=limx0fx0+x-f(x0-x)2x=f(x0) 四、导数的几何意义1、切线的定义：当趋于零时，点B将沿着曲线趋于点A，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l，直线l和曲线在点A处“相切”，称直线l为曲线在点A处的切线2、导数的几何意义函数在处的导数，是曲线在点(x0，f(x0)处

4、的切线的斜率曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线五、求曲线“在”与“过”某点的切线1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率第二步（写方程）：用点斜式第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数；第三步：利用Q在曲线上和，解出及；第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为题型一 物体的平均速度与瞬时速度【例1】物体运动的位移与时间的关系为，则物体在这段时间内的平均速度为（ ）A B C D【变式1-1】已知自由

5、落体的物体的运动方程为，求：（1）物体在到这段时间内的平均速度；（2）物体在时刻的瞬时速度.【变式1-2】若一物体运动方程如下（位移单位：，时间单位：求：（1）物体在内的平均速度；（2）物体的初速度；（3）物体在时的瞬时速度.【变式1-3】已知物体做直线运动对应的函数为，其中S表示路程，t表示时间则10表示的意义是（ ）A经过4s后物体向前走了10mB物体在前4秒内的平均速度为10 m/s C物体在第4秒内向前走了10mD物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s【变式1-4】汽车行驶的路程和时间之间的函数图像如图所示，在时间段，上的平均速度分别为，则三者的大小关系为_.题型二 函数的平均变化率与瞬

6、时变化率【例2】已知函数，则y在上的平均变化率为（ ）A0.82 B8.2 C0.41 D4.1【变式2-1】已知函数，则从2到的平均变化率为（ ）A2 B C D【变式2-2】若函数在区间上的平均变化率为5，则t等于（ ）A B2 C3 D1【变式2-3】设，则（ ）A B C4 D8题型三 导数定义的理解与应用【例3】若函数在处可导，则的结果（ ）A与，h均无关 B仅与有关，而与h无关C仅与h有关，而与无关 D与，h均有关【变式3-1】已知函数在处的导数为，则等于（ ）A2 B1 C2 D1【变式3-2】若函数在处的导数为2，则 ( )A2 B1 C D6【变式3-3】已知函数的导函数为，

7、且，则（ ）A B C D【变式3-4】（多选）设在处可导，下列式子中与相等的是（ ）A BC D题型四 求函数在某点处的导数【例4】利用导数的定义，求在处的导数f (1).【变式4-1】已知函数f(x)求的值【变式4-2】对于函数yf(x)，其导数值等于函数值的点是_【变式4-3】已知函数，则_题型五 求曲线“在”与“过”某点的切线【例5】曲线在点处的切线斜率是（ ）A9 B6 C D【变式5-1】曲线过点的切线方程是_【变式5-2】求函数的图象上过原点的切线方程【变式5-3】曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的坐标为_题型六 导数几何意义的应用【例6】已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则（ ）A BC D【变式6-1】函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）A BC D【变式6-2】如图所示，函数的图象在点P处的切线方程为，则_【变式6-3】如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）A B C D