5.1.1 任意角（学案）-2022-2023学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）.docx

1、5.1 任意角和弧度制5.1.1 任意角【学习目标】课程标准学科素养1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.2.理解象限角的概念.（重点）3.理解并掌握终边相同的角的概念，能熟练写出终边相同的角所组成的集合.（重点、难点）1.直观想象2.数学运算【自主学习】一. 任意角1.角的概念：角可以看成平面内一条 绕着它的端点 所成的 .2.角的表示：如图所示：角可记为“”或“”或“AOB”，始边： ，终边： ，顶点 .3.角的分类：名称定义图示正角一条射线绕其端点按方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按方向旋转形成的角零角一条射线做任何旋转形成的角这样，我们就把角的概念推广到了任意角（要注意旋转方

2、向和大小）。二象限角1.把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与 重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的 在第几象限，就说这个角是第几_；如果角的终边在 ，就认为这个角不属于任何一个象限.2.象限角的集合表示象限角角的集合表示第一象限角|k360k360+90,kZ第二象限角|k360+90k360+180,kZ第三象限角|k360+180k360+270,kZ第四象限角|k360-90k360,kZ三终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.思考：终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？【小试牛刀】1.思辨解

3、析(请在括号中打“”或“”)(1)第二象限角是钝角.()(2)零角的始边与终边重合()(3)终边与始边重合的角为零角.()(4)终边相同的角有无数个，它们相差360的整数倍.()(5)三角形的内角必是第一、二象限角.()2.经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是（ ）.A.60，720 B.60，720 C.30，360 D.60，720【经典例题】题型一 终边相同角的表示点拨：终边相同角常用的三个结论：1.终边相同的角之间相差360的整数倍；2.终边在同一直线上的角之间相差180的整数倍3.终边在相互垂直的两条直线上的角之间相差90的整数倍例1 已知290.(1)把改写成k360(k

4、Z，0360)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求，使与终边相同，且1 000300.【跟踪训练】1 (1)若角2与240角的终边相同，则等于（ ）.A.120k360，kZB.120k180，kZC.240k360，kZD.240k180，kZ(2)如图所示，求终边落在直线yx上的角的集合题型二 区域角的表示 点拨：区域角是指终边在坐标系的某个区域内的角.表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360360范围内的角和，写出最简区间x|x，其中360；第三步：起始、终止边界对应角，再加上360的整数倍，即得区间角

5、集合例2 如图所示.(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.【跟踪训练】2写出角的终边落在图中阴影区域内的角的集合(包括边界)题型三 判断角，n(nN*)所在象限点拨：1.已知角所在象限，要确定角所在象限，有两种方法：(1)用不等式表示出角的范围，然后对n的取值分情况讨论：被n整除，被n除余1，被n除余2，被n除余n1，从而得出结论(2)作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.标号为几的区域，就是根据角终边所在的象限确定角的终边所落在的区

6、域如此，角所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出2.已知角终边所在的象限，确定n终边所在的象限，可依据角的范围求出n的范围，再直接转化为终边相同的角即可注意不要漏掉n的终边在坐标轴上的情况例3 若是第一象限角，是第几象限角？【跟踪训练】3 若是第二象限角，求角2的终边的位置【当堂达标】1.与460角终边相同的角可以表示成（ ）.A.460k360，kZ B.100k360，kZC.260k360，kZ D.260k360，kZ2.(多选)下列四个角为第二象限角的是（ ）.A.200 B.100 C.220 D.4203.已知为第三象限角，则所在的象限是()A第一或第二象限B第二或第三象

7、限C第一或第三象限D第二或第四象限4.在0360范围内，与角60的终边在同一条直线上的角为_.5.已知角的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角的集合是_.6.写出终边在直线yx上的角的集合S.S中满足不等式360720的元素有哪些？【参考答案】【自主学习】射线 旋转 图形 OA.OB.O逆时针 顺时针 没有 原点 终边 象限角 坐标轴上 |k360，k Z思考：终边相同的角不一定相等，它们相差360的整数倍；相等的角，终边相同【小试牛刀】1. 2.B 解析；钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而36060，2360720，故钟表的时针和分针转过的角度分别是60，

8、720.【经典例题】例1 解：(1)因为29036070.所以把改写成k360(kZ，0360)的形式为36070，它是第一象限角(2)与290角终边相同的角为k36070(kZ)，由1 000k36070300，得10736k0)上的角的集合是S1|60k360，kZ，终边落在射线yx(x0)上的角的集合是S2|240k360，kZ，于是终边落在直线yx上的角的集合是S|60k360，kZ|240k360，kZ|602k180，kZ|60(2k1)180，kZ|60n180，nZ.例2 (1)解：终边落在射线OA上的角的集合是|k360210，kZ.终边落在射线OB上的角的集合是|k3603

9、00，kZ.(2)解：终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是|k360210k360300，kZ.【跟踪训练】2 解：在0360范围内，4590或225270，所以S1|45k36090k360，kZ，|452k180902k180，kZ，S2|225k360270k360，kZ|45(2k1)18090(2k1)180，kZ，所以S1S2|45n18090n180，nZ例3 解：k360k36090，kZ，k120k12030(kZ)法一(分类讨论)：当k3n(nZ)时，n360n36030(nZ)，是第一象限角；当k3n1(nZ)时，n360120n360150(nZ)，是第二象限角；当k

10、3n2(nZ)时，n360240n360270(nZ)，是第三象限角综上可知：是第一、二或第三象限角法二(几何法)：如图，先将各象限分成3等份，再从x轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为终边所落在区域，故为第一、二或第三象限角【跟踪训练】3 解：是第二象限角，k36090k360180(kZ)k7201802k720360(kZ)角2的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上【当堂达标】1.C 解析：因为460260(2)360，故与460角终边相同的角可以表示成260k360，kZ.2.AB 解析： 200360160，在0360范围内，与200终边相同的

11、角为160，它是第二象限角，同理100为第二象限角，220为第三象限角，420为第一象限角.3.D 解析：由于k360180k360270，kZ，得36090360135，kZ.当k为偶数时，为第二象限角；当k为奇数时，为第四象限角4. 120，300 解析：与角60的终边在同一条直线上的角可表示为60k180，kZ.所求角在0360范围内，即060k180360，解得k，kZ，k1或2，当k1时，120，当k2时，300.5.|k36045k360150，kZ解析：观察图形可知，角的集合是|k36045k360150，kZ.6. 解：如图，在直角坐标系中画出直线yx，可以发现它与x轴的夹角是45，在0360范围内，终边在直线yx上的角有两个：45，225.因此，终边在直线yx上的角的集合S|45k360，kZ|225k360，kZ|45n180，nZS中适合不等式360720的元素有452180315，451180135，45018045，451180225，452180405，453180585.