6 微专题：利用空间向量求距离(用空间向量解答立体几何问题)-上海外国语大学附属浦东外国语学校2022届高考数学二轮复习专题讲义.docx

1、【学生版】微专题：利用空间向量求距离空间中的距离主要指以下七种：（1）两点之间的距离；（2）点到直线的距离；（3）点到平面的距离；（4）两条平行线间的距离；（5）两条异面直线间的距离；（6）平面的平行直线与平面之间的距离；（7）两个平行平面之间的距离；七种距离“从集合角度”理解都是指：它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离；七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离；一般化归为这三种距离：点与点、点到线、点到面的距离；其中，求点到平面的距离；通常有：（1）直接法，即直接由点作垂线，求

2、垂线段的长；（2）转移法，转化成求另一点到该平面的距离；（3）体积法；用空间向量求点与点、点到线、点到面的距离的基本方法；1、点到点的距离点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算；2、点到线的距离在直线上找一点，过定点且垂直于直线的向量为，则定点到直线的距离为；3、点到面距离点是平面外一点，是平面内的一定点，为平面的一个法向量，则点到平面的距离为；【典例】例1、如图，点为矩形所在平面外一点，平面，为的中点，；求：（1）点到直线的距离；（2）点到平面的距离；【提示】【答案】【解析】【说明】本题考查利用向量法求点到直线、平面的距离，考查空间想象能力、运算求解能力；例2、如图所示，在120的二

3、面角AB中，AC，BD且ACAB，BDAB，垂足分别为A，B，已知ACABBD6，试求线段CD的长；【说明】计算两点间的距离的两种方法：（1）利用|a|2aa，通过向量运算求|a|，如求A，B两点间的距离，一般用|求解；（2）用坐标法求向量的长度(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时；例3、已知直三棱柱ABCA1B1C1中，AA11，AB4，BC3，ABC90，求点B到直线A1C1的距离；【变式1】 (变问法)条件不变，试求B到AC1的距离。【变式1】(变条件)若将本例中的条件改为“正三棱柱ABCA1B1C1且所有棱长均为2”，如何求B到A1C1的距离【说明】通过本题说

4、明求点M到直线AB的距离的方法与步骤：（1）建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，在已知直线AB上取一点E，点E满足两个条件：，MEAB；（2）利用（1）中的两个等量关系求出的值，进而求出点E的坐标，求出向量|的模即为M点到AB的距离；例4、如图所示，已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，求点A到平面A1BD的距离【说明】用向量法求点面距的方法与步骤：（1）建坐标系：结合图形的特点建立恰当的空间直角坐标系；（2）求向量：在坐标系中求出点到平面内任一点对应的向量；（3）求法向量：设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量n；（4）得答案：代入公式d求得答案提醒：用

5、向量法求点到平面的距离的关键是确定平面的法向量；例5、三棱锥中，；记中点为，中点为；（1）求异面直线与的距离；（2）求二面角的余弦值.【说明】注意：两异面直线距离的求法：如图，设、是两异面直线，是与公垂线的方向向量，又、分别是、上的任意两点，则、的距离是；【归纳】1、空间中两点之间的距离空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的线段长；【方法】利用向量法转化为求向量的模；2、点到直线的距离给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定一个平面，所以过A可以作直线l的一条垂线段，垂线段的长称为点A到直线l的距离；3、点到平面的距离（1）给定空间中一个平面及外一点A，过A可以作平面的一条垂线段，

6、垂线段的长称为点A到平面的距离；【注意】点到平面的距离是这个点与平面内点的最短连线的长度；（2）一般地，若A是平面外一点，B是平面内一点，n是平面的一个法向量，则点A到平面的距离为d；【注意】若点A是平面内一点，则约定A到平面的距离为0；4、相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离（1）当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离，如果直线l与平面平行，n是平面的一个法向量，A、B分别是l上和内的点，则直线l与平面之间的距离为d（2）当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离如果平面与平面平行，n是平面

7、的一个法向量，A和B分别是平面和平面内的点，则平面和平面之间的距离为d4、利用空间向量的坐标表示计算距离（1）点到直线的距离 ：第一步：建系，在直线上任取一点 (注：选择特殊便于计算的点)，求“参考向量(或)”的坐标. 第二步： 依据图形先求出直线的单位方向向量.第三步：带入公式求解；（2）点到面的距离 :第一步：建系，选择“参考向量”； 第二步：确定平面的法向量；第三步： 代入公式求值；【即时练习】1、在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB2，CC12，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为()A2 B C D12、已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1

8、B1的中点，则点A到直线BE的距离是()A B CD3、（如图）已知直线的单位方向向量，是直线上的定点，P是直线外一点，不妨设；、试用、表示点到直线的距离 4、已知平面的法向量为,是平面内的定点，是平面外一点，过点作出平面的垂线，交平面于点；= 类比点到直线距离的研究过程，用向量表示；则点到平面的距离= 5、设点是点，关于平面的对称点，则 ）6、已知四边形ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PDAD，PDAD2，二面角P-AD-C为60，则P到AB的距离是 7、设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是_8、如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，平面，若边上

9、存在点，使得，则线段长度的最大值是_.9、如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.（1）求点到直线的距离；（2）求直线到平面的距离.10、如图所示，已知四面体OABC各边及对角线长都是1，D，E分别是OA，BC的中点，连接DE.（1）求证：DE是OA和BC的公垂线；（2）求OA和BC间的距离【教师版】微专题：利用空间向量求距离空间中的距离主要指以下七种：（1）两点之间的距离；（2）点到直线的距离；（3）点到平面的距离；（4）两条平行线间的距离；（5）两条异面直线间的距离；（6）平面的平行直线与平面之间的距离；（7）两个平行平面之间的距离；七种距离“从集合角度”理解都是指：它们所

10、在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离；七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离；一般化归为这三种距离：点与点、点到线、点到面的距离；其中，求点到平面的距离；通常有：（1）直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长；（2）转移法，转化成求另一点到该平面的距离；（3）体积法；用空间向量求点与点、点到线、点到面的距离的基本方法；1、点到点的距离点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算；2、点到线的距离在直线上找一点，过定点且垂直于直线的向量为，则定点到直线的距离为；3、点到面距离点是平面外

11、一点，是平面内的一定点，为平面的一个法向量，则点到平面的距离为；【典例】例1、如图，点为矩形所在平面外一点，平面，为的中点，；求：（1）点到直线的距离；（2）点到平面的距离；【提示】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出直线的方向向量、平面BQD的法向量，由向量法的点到直线的距离公式求解即可；【答案】（1）；（2）；【解析】由题意，以点A为坐标原点，分别以，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图），则，所以，.（1）记直线BD的一个方向向量为，则所以点到的距离.故点到的距离为；（2）设平面BQD的法向量为，则，即，令x=4，则y=3，z=12，故，

12、所以点P到平面BQD的距离为；【说明】本题考查利用向量法求点到直线、平面的距离，考查空间想象能力、运算求解能力；例2、如图所示，在120的二面角AB中，AC，BD且ACAB，BDAB，垂足分别为A，B，已知ACABBD6，试求线段CD的长；【提示】注意：题设“ACABBD6，ACAB，BDAB”与三个不共面的非零基向量的关联；【答案】12【解析】ACAB，BDAB，0，0，又二面角AB的平面角为120，60（据图），|CD|2|2()22222()362262cos 60144，CD12；【说明】计算两点间的距离的两种方法：（1）利用|a|2aa，通过向量运算求|a|，如求A，B两点间的距离，

13、一般用|求解；（2）用坐标法求向量的长度(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时；例3、已知直三棱柱ABCA1B1C1中，AA11，AB4，BC3，ABC90，求点B到直线A1C1的距离；【提示】设出点在直线上的射影，利用垂直关系求出射影的坐标转化为求向量的模；【答案】；【解析】以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系则A1(4,0,1)，C1(0,3,1)，所以(4,3,0)设E满足，且BEA1C1，则(4,0,1)(4,3,0)(44，3，1)，又，(44，3，1)(4,3,0)0，|，B到直线A1C1的距离为；【变式1】 (变问法)条件不变，试求B到AC1的距离。【

14、解析】建系如本例解法(4,3,1)，设M满足且0，则(4,0,0)(4,3,1)(44，3，)；又0，(44，3，)(4,3,1)0，|，B到AC1的距离为【变式1】(变条件)若将本例中的条件改为“正三棱柱ABCA1B1C1且所有棱长均为2”，如何求B到A1C1的距离【解析】以B为原点，分别以BA，过B垂直于BA的直线，BB1为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A1(2,0,2)，C1(1，2)，(2,0,2)所以A1C1的方向向量(1，0)，而(1，2)，设E满足且BEA1C1，(2,0,2)(1，0)(2，2)，又(2，2)(1，0)0，230，|，B到A1C1

15、的距离为【说明】通过本题说明求点M到直线AB的距离的方法与步骤：（1）建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，在已知直线AB上取一点E，点E满足两个条件：，MEAB；（2）利用（1）中的两个等量关系求出的值，进而求出点E的坐标，求出向量|的模即为M点到AB的距离；【备注】如何理解与认识点到直线的距离？【提示】点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题；（1）点在直线上时，点到直线的距离为0；（2）)点在直线外时，点到直线的距离即为此点与过此点向直线作垂线的垂足间的距离即点到直线的距离可转化为两点

16、间的距离；例4、如图所示，已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，求点A到平面A1BD的距离【提示】本题可以利用等体积法求解，也可以通过建系利用向量法求解；【解析】方法1、设点A到平面A1BD的距离为h，则VBAA1Daaaa3，VAA1BDh(a)2a2h，VAA1BDVBAA1D，ha，点A到平面A1BD的距离为a方法2、如图所示，建立空间直角坐标系B1 xyz，则A1(a,0,0)，A(a,0，a)，D(a，a，a)，B(0,0，a)，则(a，a,0)，(0，a，a)，(a,0,0)设平面A1BD的一个法向量n(x，y，z)，则即令y1，则xz1，n(1，1,1)n(a,0,0)

17、(1，1,1)a点A到平面A1BD的距离da【说明】用向量法求点面距的方法与步骤：（1）建坐标系：结合图形的特点建立恰当的空间直角坐标系；（2）求向量：在坐标系中求出点到平面内任一点对应的向量；（3）求法向量：设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量n；（4）得答案：代入公式d求得答案提醒：用向量法求点到平面的距离的关键是确定平面的法向量；例5、三棱锥中，；记中点为，中点为；（1）求异面直线与的距离；（2）求二面角的余弦值.【提示】注意：如何创设条件“构建空间直角坐标系”，方便“三棱锥”中几何条件代数化；【答案】（1）；（2）；【解析】三棱锥三组对棱相等，因此三棱锥的外

18、接平行六面体为长方体，将三棱锥放在长方体中研究设长方体的三维分别为、且，即，解得：因此以为坐标原点，长方体在处的三条棱的方向为正方向建立空间直角坐标系，则，（1） ，设垂直于和，所以，令，所以 ，而，因此所求距离为：；（2），设平面的一个法向量为，则 ，令，则，所以，设平面的一个法向量为，则 ，令，则，所以，所以，所以所求角的余弦值为；【说明】注意：两异面直线距离的求法：如图，设、是两异面直线，是与公垂线的方向向量，又、分别是、上的任意两点，则、的距离是；【归纳】1、空间中两点之间的距离空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的线段长；【方法】利用向量法转化为求向量的模；2、点到直线的距离给定空

19、间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定一个平面，所以过A可以作直线l的一条垂线段，垂线段的长称为点A到直线l的距离；3、点到平面的距离（1）给定空间中一个平面及外一点A，过A可以作平面的一条垂线段，垂线段的长称为点A到平面的距离；【注意】点到平面的距离是这个点与平面内点的最短连线的长度；（2）一般地，若A是平面外一点，B是平面内一点，n是平面的一个法向量，则点A到平面的距离为d；【注意】若点A是平面内一点，则约定A到平面的距离为0；4、相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离（1）当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离，如果直线l与

20、平面平行，n是平面的一个法向量，A、B分别是l上和内的点，则直线l与平面之间的距离为d（2）当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离如果平面与平面平行，n是平面的一个法向量，A和B分别是平面和平面内的点，则平面和平面之间的距离为d4、利用空间向量的坐标表示计算距离（1）点到直线的距离 ：第一步：建系，在直线上任取一点 (注：选择特殊便于计算的点)，求“参考向量(或)”的坐标. 第二步： 依据图形先求出直线的单位方向向量.第三步：带入公式求解；（2）点到面的距离 :第一步：建系，选择“参考向量”； 第二步：确定平面的法向量；第三步： 代入公式求值；【即

21、时练习】1、在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB2，CC12，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为()A2 B C D1【答案】D；【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则D(0，0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(0,2，)，则(2,2,0)，(0,2，)易知AC1平面BDE.设n(x，y，z)是平面BDE的法向量，则即取y1，则n(1,1，)为平面BDE的一个法向量又(2,0,0)，所以点A到平面BDE的距离是d1.故直线AC1到平面BED的距离为1.【说

22、明】求点面距一般的方法：（1）作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；（2）等体积法；（3）向量法；其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便；2、已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是()A B CD【答案】B【解析】建立如图所示空间直角坐标系，则(0,2,0)，(0,1,2)cos.sin.故点A到直线BE的距离d|sin2.故答案为B3、（如图）已知直线的单位方向向量，是直线上的定点，P是直线外一点，不妨设；、试用、表示点到直线的距离 【答案】【解析】如图，设，则向量在直线上的投影向量.在中，由勾股定理，得.4、

23、已知平面的法向量为,是平面内的定点，是平面外一点，过点作出平面的垂线，交平面于点；= 类比点到直线距离的研究过程，用向量表示；则点到平面的距离= 【答案】【解析】如图,向量在直线上的投影向量是，且.点到平面的距离为：；5、设点是点，关于平面的对称点，则 ）【答案】10【解析】点是点，关于平面的对称点，的横标和纵标与相同，而竖标与相反，直线与轴平行，；6、已知四边形ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PDAD，PDAD2，二面角P-AD-C为60，则P到AB的距离是 【答案】【解析】因为ABCD为正方形，所以ADDC.由PDC为二面角P-AD-C的平面角，即PDC60.如图所示，过P作PH

24、DC于H.,AD面PDC.,AD面PH.又PHDC, ,PH面ABCD,在平面AC内过H作HEAB于E，连接PE，则PEAB，所以线段PE即为所求以H为坐标原点建立空间直角坐标系，则所以,7、设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是_【答案】；【解析】如图建立空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2，2,0)，所以(2,0,0)，(2,0,2)，(2,2,0)设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则即令x1，则n(1，1，1)是平面A1BD的一个法向量，所以点D1到平面A1BD的距离d.8、如图所示，在四棱锥中，

25、底面是矩形，平面，若边上存在点，使得，则线段长度的最大值是_.【提示】如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，根据，得，化简整理，根据二次函数得最值即可得出答案.【答案】2【解析】如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，则，设，则，因为，所以，即，所以，当，即时，取得最大值4，所以的最大值为2，即线段长度的最大值是2.9、如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.（1）求点到直线的距离；（2）求直线到平面的距离.【解析】（1）以为原点， ，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，,.（1）取，则 ，所以，点到直线的距离为(2) 因为，所以，又面，面， 所以平面，所以点到平面的距离，即为直线到平面的距离设平面的法向量为，则 所以 所以 取，则，,所以，是平面的一个法向量,又因为，所以点到平面的距离为 ,即直线到平面的距离为；10、如图所示，已知四面体OABC各边及对角线长都是1，D，E分别是OA，BC的中点，连接DE.（1）求证：DE是OA和BC的公垂线；（2）求OA和BC间的距离解：(1)证明：E为BC的中点()，DBOA，得0.同理可得0.()0，DEOA.同理可证DEBC.DE是OA和BC的公垂线(2)，|22(222222)(121212211cos 60211cos 60211cos 60)，|，即OA和BC间的距离为.