6.1 平方根-2022-2023学年七年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教版）.docx

1、6.1平方根 考点一、平方根算术平方根：如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数。0的算术平方根是0。平方根:如果一个数x的平方等于a,即x2=a （x可能为正数，也可能为负数），那么x就叫做a的平方根(二次方根).开平方：求一个数a的平方根的运算,叫做开平方. 平方与开平方互为逆运算。考点二：平方根的表示方法:如果x2=a (a0), 那么x = ，读作“正负根号a”。表示a的正的平方根。表示 a的负的平方根。规定：正数a的正的平方根 叫做a的算数平方根；0的算数平方根是0.技巧归纳：1、正数有两个平方根，它

2、们互为相反数；2、0的平方根是0；3、负数没有平方根。 题型一：算术平方根的非负性解题1（2022春河北承德七年级统考期中）若有理数x，y满足，则的值是（）A3BC4D2（2023春全国七年级专题练习）若 与互为相反数，则的值为（ ）A3B9C12D273（2023春七年级课时练习）已知x，y为实数，且，则（）A1B7C1或7D1或7题型二：算术平方根的取值范围4（2022春福建漳州七年级统考期中）下列关于的描述错误的是（）A面积为15的正方形的边长B15的算术平方根C在整数3和4之间D方程中未知数x的值5（2022秋浙江温州七年级乐清外国语学校校考阶段练习）估计的值应在（）A1和2之间B2和

3、3之间C3和4之间D4和5之间6（2022春江苏南通七年级如东县实验中学校联考期中）x表示不大于x的最大整数，如3.153，2.73，44，则的值为（）A1011B2021C2022D1012题型三：算术平方根的整数部分和小数部分7（2023春全国七年级专题练习）的整数部分是_小数部分是_8（2023春全国七年级专题练习）的小数部分为a，的小数部分为b，则_.9（2023春全国七年级专题练习）已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2ab的值为_题型四：算术平方根有关的规律探索题10（2022春广西贺州七年级统考期末）观察下列各式：，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的

4、值为（）A2B4C6D811（2022全国七年级专题练习）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第11行从左至右第4个数是（）ABCD12（2022春河北邯郸七年级统考期末）已知：，若符合上面规律，则的值为（）A179B109C210D104题型五：平方根有关的问题13（2022春福建漳州七年级统考期中）已知实数的一个平方根是2，则它的另一个平方根是（）ABCD14（2023秋四川内江七年级统考期末）若，且，则的值为（）AB或5C1或D或15（2022春内蒙古鄂尔多斯七年级校考期中）一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（）A49B441C5D49或441题型六：求代数

5、式的平方根16（2023春全国七年级）若，则的平方根为（）A2B4C2D417（2018春湖北荆门七年级统考期中）如果自然数a的平方根是m，那么a+1的平方根用m表示为（）A（m+1）B（m2+1）CD18（2023春全国七年级专题练习）已知与互为相反数，则的平方根是（）ABCD一、单选题19（2023春上海七年级专题练习）实数4的平方根是（）AB2CD20（2023秋重庆七年级校考期末）估计的值在（）A3和4之间B4和5之间C5和6之间D6和7之间21（2022春福建漳州七年级统考期中）下列各组数中，互为相反数的是（）A与B与C与D与22（2023春全国七年级专题练习）下列语句中正确的是（）

6、A的平方根是B的算术平方根是C的算术平方根是D的算术平方根是23（2022春安徽滁州七年级统考期中）已知， ，那么（）ABCD24（2023秋山东东营七年级统考期末）若，则的算术平方根为（）A4B2CD25（2022秋浙江七年级专题练习）先说出下列各式中的被开方数，再判断各式的结果正确与否，并把不正确的改正过来(1)；(2)；(3)；(4)26（2023春全国七年级专题练习）若，求的平方根27（2022春广西防城港七年级校考阶段练习）已知，是的算术平方根，求的算术平方根一、单选题28（2023春全国七年级专题练习）一个正数的两个不同的平方根是与，则的值是（）A0BC1D229（2023春七年级

7、单元测试）下列说法正确的是（）A的平方根是B的算术平方根是5C的平方根是D0的平方根和算术平方根都是030（2023春七年级课时练习）已知为实数，且，则的值为（）A1B1C2D31（2023春七年级课时练习）实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是（）ABCD32（2023春七年级课时练习）如图所示的是一个大正方形，现从大正方形中剪去两个面积为和的小正方形，则余下的面积为（）A12B10C8D633（2023全国七年级专题练习）如图，某计算器中有、三个按键，以下是这三个按键的功能：将荧幕显示的数变成它的算术平方根；：将荧幕显示的数变成它的倒数；：将荧幕显示的数变成它的平方小明输入一

8、个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键若开始输人的数据为10，那么第2020步之后，显示的结果是（）A0.01B0.1CD100二、填空题34（2023春全国七年级专题练习）已知：和是正数的两个平方根，则的值是_35（2023春全国七年级专题练习）的平方根是_36（2023春全国七年级专题练习）已知，则的值为_37（2022秋浙江杭州七年级校考期中）如图所示，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形若空白部分面积之和为4，则a的值是_38（2022春河北承德七年级统考期中）若，则_.39（2022秋山东菏泽七年级校考期末）已知互为相反数，互为倒数，的平方等于，

9、则的值为_40（2022秋浙江温州七年级统考期中）如图，把一张面积为的正方形纸片剪成五块（其中是一个小正方形），然后恰好拼成一个长方形，则这个拼成的长方形周长为_三、解答题41（2022春江西新余七年级校考阶段练习）已知x，y都是有理数，且满足，求的值42（2022春安徽亳州七年级统考阶段练习）已知，(1)填空：_，_；(2)按上述规律，已知数的小数点移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？(3)按照（2）的规律解决下列问题：已知，则_；已知，用含的代数式表示，则_；(4)根据规律写出与的大小情况.43（2022秋浙江宁波七年级校考期中）若(1)求，的值；(2)求的值44（2022春广东江

10、门七年级校考期中）阅读下列解题过程，；(1)_，_； (2)观察上面的解题过程，则：_（n为自然数）；利用这一规律计算：1C【分析】根据算术平方根的非负性，计算得出，从而得出，然后把、的值相加，即可得出答案【详解】解：根据题意，可得：，解得，故选：C【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，熟练掌握算术平方根的非负性是解本题的关键2B【分析】利用互为相反数两数之和为0列出关系式，再利用非负数的性质得出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可求出的值【详解】解：由题意得：，可得， 得：，把代入得：，则，故选：B【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键3C

11、【详解】直接利用二次根式的性质得出x，y的值，然后讨论进而得出答案【解答】解：，y4，当时，；当时，；或，故选：C【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件解答本题的关键由二次根式有意义的条件求出x、y的值4D【分析】根据每个选项所述分别计算出结果，并判断对错即可【详解】解：A、面积为15的正方形的边长为，故正确，不符合题意；B、15的算术平方根为，故正确，不符合题意；C、，故在整数3和4之间，故正确，不符合题意；D、，则，故D错误，符合题意；故选：D【点睛】本题考查平方根，算术平方根的计算，算术平方根的取值范围，能够数量掌握算术平方根的运算是解决本题的关键5B【分析】根据利用夹逼法得到取值范围，

12、即可得到答案；【详解】解：由题意可得，故选B【点睛】本题考查根数的估算，解题的关键是将原来的根数变形6B【分析】根据x表示不大于x的最大整数可得到，然后计算即可【详解】解：，2021故选：B【点睛】本题考查了实数的运算，理解x表示不大于x的最大整数及找到规律是解题的关键与难点7 3 【分析】根据算术平方根的整数部分和小数部分求解的方法直接进行求解即可【详解】解：，的整数部分为3，的小数部分为；故答案为3，【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个算术平方根的整数部分和小数部分是解题的关键81【分析】先分析介于哪两个整数之间，再分别求出和介于哪两个整数之间，即可求出和的整数部分，然后用它们分

13、别减去它们的整数部分得到，代入即可.【详解】解：，的整数部分为10，的整数部分为2，a=b=代入得：=12018=1【点睛】此题考查的是实数（带根号）的整数部分和小数部分的求法.9【分析】先求出介于哪两个整数之间，即可求出它的整数部分，再用减去它的整数部分求出它的小数部分，再代入即可.【详解】91316，34，a=3，b=3，2ab=23（3）=6+3=故答案为【点睛】此题考查的是带根号的实数的整数部分和小数部分的求法，利用平方找到它的取值范围是解决此题的关键.10B【分析】根据式子的变化规律，求出a，b的值，进而即可求解【详解】解：，中，故选B【点睛】本题主要考查算术平方根，找出式子中数字的

14、变化规律是关键11D【分析】找到数的排列规律：行数与该行数的个数相同，且所有数是从1开始的自然数的算术平方根，根据此规律可求得结果【详解】第1行到第10行共有：个数，即第10行最后一个数为，因此第11行从开始，则此行第4个数为；故选：D【点睛】本题是数的规律问题，考查了学生归纳能力，找出规律是本题的关键12B【分析】分析数据可得：，有；，有；若，必有；且，则；则【详解】解：，可得；，可得；，则，则，故选：B【点睛】本题考查了根据算术平方根的性质化简，根据题意找到规律是解题的关键13A【分析】根据一个正数的平方根有两个，互为相反数，进行判断即可【详解】解：实数的一个平方根是2，又一个正数的平方根

15、有两个，互为相反数，它的另一个平方根是：；故选A【点睛】本题考查平方根的性质熟练掌握，一个正数的平方根有两个，互为相反数，是解题的关键14D【分析】先根据绝对值运算、平方根的定义分别求出m，n的值，再代入计算即可得【详解】解：，即，或，或，故选：D【点睛】本题考查了绝对值、平方根，运用分类讨论的思想结合绝对值的意义解题是关键15A【分析】直接利用平方根的定义得出，进而求出m的值，即可得出答案【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和，解得：，则，故这个正数是：故选：A【点睛】此题主要考查了平方根，正确把握平方根的定义是解题关键16D【分析】根据绝对值，平方，二次根式的非负性求出x，y，z，算出代

16、数式的值计算即可；【详解】，解得，；故选：D【点睛】本题主要考查了平方根的求解，结合绝对值、二次根式的非负性计算是解题的关键17D【分析】首先根据平方根性质用m表示出该自然数a，由此进一步表示出，从而进一步即可得出答案【详解】由题意得：这个自然数a为：，,故的平方根用m表示为：，故选：D【点睛】本题主要考查了平方根的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.18C【分析】根据非负数的性质可得关于a、b的方程，解方程求出a、b的值后再代入所求式子即可求出ab，然后根据平方根的定义解答即可【详解】解：由题意，得+=0，4a=0，b+1=0，解得：a=4，b=1，ab=5，ab的平方根故选：C【点睛】本题考

17、查了非负数的性质和平方根的定义，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题关键19C【分析】根据平方根的定义解答即可【详解】解：故选：C【点睛】本题主要考查了平方根的定义，掌握平方根的定义是解答本题的关键20C【分析】利用进行判断即可【详解】解：，故选：C【点睛】本题考查了一个数的算术平方根的估值，解题关键是掌握估值方法，即确定它的整数部分21A【分析】先将根式进行化简，再利用两个数互为相反数的定义来判定求解【详解】解：A，它们互为相反数，此项符合题意；B，它们不互为相反数，此项不符合题意；C，它与不互为相反数，此项不符合题意；D，它与不互为相反数，此项不符合题意故选：A【点睛】本题主要考查了立方根

18、与算术平方根和互为相反数的定义，将根式进行化简是解答关键22D【分析】求出，再求出9的平方根和算术平方根，即可得出选项【详解】解：A、的平方根是，故本选项错误；B、的算术平方根是3，故本选项错误；C、的算术平方根是3，故本选项错误；D、的算术平方根是3，故本选项正确；故选：D【点睛】本题考查了平方根和算术平方根定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力23D【分析】利用非负数的性质以及，确定x、y的取值，再计算的值并判断【详解】解：，当时，此时；当时，此时；故选：D【点睛】本题考查平方根定义，求一个数绝对值，有理数的乘法法则，解题的关键是根据，分类确定x、y的取值.24B【分析】根据非负数的

19、性质列式求出a、b的值，然后代入求出的值，再根据算术平方根的定义解答【详解】解：根据题意得，解得，4的算术平方根的值为2，的算术平方根的值为2，故选：B【点睛】本题考查了绝对值非负性的应用，算术平方根，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键25(1)被开方数是，原式正确(2)被开方数是，原式错误，改正：(3)被开方数是，原式错误，改正：(4)被开方数是，原式正确【分析】(1)根据算术平方根的定义计算(2) 根据平方根的定义计算(3)根据算术平方根的定义计算(4) 根据平方根的定义计算【详解】（1）的被开方数是，原式正确（2）的被开方数是，原式错误，改正：（3）被开方数是

20、，原式错误，改正：（4）的被开方数是，原式正确【点睛】本题考查了算术平方根即正的平方根，平方根即（a0），则x叫做a的平方根，熟练掌握平方根、算术平方根的定义是解题的关键26【分析】根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”解出x、y的值，再代入中计算即可【详解】解：，把，代入，的平方根是【点睛】本题考查了代数式求值、偶次方和算术平方根的非负性，熟练掌握偶次方和算术平方根的非负性是解题关键27【分析】根据算术平方根的定义得出的值，继而代入代数式，即可求解【详解】解：，；，；是的算术平方根，；，的算术平方根是【点睛】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题的关键2

21、8B【分析】根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答即可【详解】由题意得，解得：，故选：B【点睛】本题考查的是平方根的概念，掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键，29D【分析】根据一个正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数及算术平方根的定义即可判断各选项【详解】解：A、的平方根为，故本选项不符合题意；B、没有算术平方根，故本选项不符合题意；C、，25的平方根是，故本选项不符合题意；D、0的平方根和算术平方根都是0，故本选项符合题意故选D【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义，一个正数有两个平方根，其中正的平方根称为算术平方根，负数没有平方根，0的平方

22、根和算术平方根都是030B【分析】根据非负数的性质， 求出，即可计算的值【详解】解：，故选B【点睛】本题考查了平方数的非负性，算术平方根的非负性，解题关键是掌握几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于031A【分析】先判断，可得，再结合算术平方根的含义可得时，再化简绝对值即可【详解】解：， 故选A【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，化简绝对值，整式的加减运算，掌握“算术平方根的含义与化简绝对值”是解本题的关键32A【分析】先求出剪去的正方形的边长，再根据长方形的面积公式计算即可【详解】解：剪去的正方形的面积为和，剪去的正方形的边长为和，余下的面积为：，故选：A【点睛】本题考查了算术平方根的应

23、用，求出剪去的正方形的边长是解题的关键33A【分析】根据题中的按键顺序确定出显示的数的规律，即可得出结论【详解】解：根据题意得各步显示的数如下：第一步：，第二步：0.01，第三步：0.1；第四步： ，第五步：100，第六步：10；第七步：，第八步：0.01，第九步：0.1；所以显示的数是六步一个循环，按了第2020下后荧幕显示的数与第四步相同，所以显示的数是0.01故选：A【点睛】本题主要结合计算器的使用考查规律，找到规律是解题的关键34#【分析】根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此即可求解【详解】解：和是正数的两个平方根，解得，故答案为：【点睛】本题考查了平方根的性质，掌握一个是

24、正数的平方根有两个，它们互为相反数解题的关键35【分析】根据平方根和算术平方根的定义进行求解即可【详解】解：，11的平方根是，故答案为：【点睛】本题主要考查了算术平方根和平方根，熟知二者的定义是解题的关键361【分析】根据算术平方根的非负性及绝对值的非负性得到，求出，代入计算可得结论【详解】解：，故答案为：【点睛】此题考查了算术平方根的非负性及绝对值的非负性，已知字母的值求代数式的值；正确掌握算术平方根的非负性及绝对值的非负性是解题的关键37【分析】观察图形可知，两个正方形的面积之和减去空白部分的面积等于重叠部分面积的2倍，由此列式可解【详解】解：由题意知，解得或（舍去）故答案为：【点睛】本题

25、考查平方根的应用，解理的关键是看懂重叠部分、空白部分与两个正方形面积之间的关系38【分析】首先根据已知条件将进行转化，之后表示出，化成平方的形式，最后进行化简，求出结果【详解】解：=，故答案为：【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，求算术平方根，熟练掌握完全平方公式的应用是解本题的关键39或【分析】互为相反数，互为倒数，的平方等于，可知，由此即可求解【详解】解：，互为相反数，互为倒数，的平方等于，可知，当时，；当时，故答案为：或【点睛】本题主要考查有理数中的概念，理解并掌握相反数的性质，倒数的性质，平方的计算方法是解题的关键40【分析】根据拼图可知直角三角形的“长直角边”等于“短直角边”的

26、倍，设未知数，根据长方形面积等于正方形面积列出方程，解方程即可【详解】解：由拼图可知，直角三角形的“长直角边”等于“短直角边”的倍，设短直角边为，则长直角边为，由题意得，解得或舍去，所以周长为，故答案为：【点睛】本题考查平方根的应用，理解平方根的定义，掌握直角三角形、长方形的性质是正确解答的前提416或【分析】根据得出，得出，求出，然后再代入数据计算即可【详解】解：，x，y都是有理数，和都是有理数，又是无理数，解得，当，时，当，时，的值是6或【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是根据题意求出，42(1)0.01；1000(2)见解析(3)0.0316；(4)【分析】（1）根据算术平方根

27、的定义进行计算即可；（2）根据题目中给出的等式总结出一般规律即可；（3）根据总结出的规律写出结果即可；（4）根据作差法，得出，然后分三种情况：，或0，进行讨论，写出结果即可【详解】（1）解：；故答案为：0.01；1000（2）解：观察可得，当被开方数a的小数点向左（或向右）移动位时，它的算术平方根的小数点向左（或向右）移动n位（n为正整数）（3）解：根据解析（2）中总结出来的规律可知，当时，；故答案为：0.0316；，由解析（2）中的规律可知，；故答案为：（4）解：，当时，；当或时，；当时，；综上分析可知，【点睛】本题主要考查了算术平方根的规律探究，熟练掌握算术平方根的定义，是解题的关键43(1)，(2)【分析】（1）根据算术平方根和平方的非负性即可求出，的值；（2）将，的值代入所求代数式，利用裂项相消法求解【详解】（1）解：，由，得，将代入，得，即，；（2）解：当，时，原式= =【点睛】本题考查非负数的性质及有理数的混合运算，解题的关键是掌握算术平方根和平方的非负性，熟练运用裂项相消法44(1)，(2)；【分析】（1）根据所给前几个等式的变化规律即可求解；（2）根据所给等式的变化规律即可得出结论；根据所得结论求解即可【详解】（1）解：由题意，故答案为：，；（2）解：由题意，故答案为：；