6.2.3向量的数乘运算 教案-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.docx

1、第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算6.2.3 向量的数乘运算一、教学目标1、掌握向量数乘运算，理解其几何意义，理解向量共线定理.熟练运用定义、运算律进行有关计算，能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题.2、由几个向量的和得出向量数乘运算的含义，从特殊到一般，经历向量数乘概念的形成，探究共线向量的充要条件.3、培养学生类比归纳、猜想与论证的能力.二、教学重点、难点重点：掌握实数与向 量的积的定义、运算律,理解向量共线定理.难点：向量共线定理的探究及其应用.三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目

2、标.2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）创设情景，揭示课题【情景1】一只小猫向东一秒钟的位移对应的向量为，那么它在同一方向上按照相同的速度行走3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是吗？小猫在相反方向上按照相同的速度行走3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是吗?【情景2】类比实数运算：，看一看非零向量,和（二）阅读精要，研讨新知【课本研读】阅读课本，记忆相关结论.【解读】，方向与相同，方向与相反，【向量的数乘】一般地，规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘(multiplication of vector by scalar)，记作，它的长度与方向规定如下：（1）；（2）当时,的

3、方向与的方向相同；当时,的方向与的方向相反.由（1）可知时,；由（1）（2）可知时,.【向量数乘的运算律】设为实数(1)(2)(3)，对于任意向量，以及任意实数，恒有【例题研讨】阅读领悟课本例5、例6 （用时约为2-3分钟，教师作出准确的评析.）例5 计算：（1） （2） （3）解：（1） （2） （3）例6 如图，的两条对角线相交于点，用表示，和解：由已知，由平行四边形的对角线互相平分，得， ， 【小组互动】完成课本练习1、2、3，同桌交换检查，老师答疑.【问题探究】经过数乘以后的向量与原来的向量有什么样的位置关系？【向量共线定理】向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使得.【例题研讨】

4、阅读领悟课本例7、例8（用时约为6分钟，教师作出准确的评析.）例7 如图6.2-16，已知任意两个非零向量，试作，.猜想三点之间的位置关系，并证明你的猜想. 解：分别作向量，过点作直线（如图）观察发现，不论向量怎样变化，点始终在直线上，猜想三点共线.事实上，因为 于是，所以三点共线.例8 已知是两个不共线的向量，向量共线，求实数的值.解：由不共线，易知向量为非零向量，由向量共线，可知存在实数，使得，即由不共线，必有，否则，不妨设，则由两个向量共线的充要条件知，共线，与已知矛盾.由解得因此，当向量共线时，【小组互动】完成课本练习1、2、3，同桌交换检查，老师答疑.（三）探索与发现、思考与感悟1.

5、 已知，则=()A. B. C. D. 解：由已知，故选D2. 如图,中，是的中点，若 则()A. B. C. D. 解：因为是的中点， 故选D.3.点是所在平面内一点,若,其中,则点一定在()A. 内部B. 边所在的直线上C. 边所在的直线上 D. 边所在的直线上解：因为,所以，即，所以三点共线，所以点一定在边所在的直线上，故选B.4.（多选题）已知向量是两个非零向量,在下列条件中,能使共线的是（ ）A.,且;B.存在相异实数,使;C. (实数满足);D.已知在梯形中, .解：对于A，化简得, ,故满足条件;对于B，显然满足条件;对于C,当时,若， 不一定共线;对于D,若,则共线,若,则不共线，故选AB5 已知非零向量不共线.（1）如果 ，求证三点共线.（2）若和共线,求实数的值.解：（1）因为，所以与共线，又有公共点，所以三点共线.（2）因为和共线，则存在实数，使所以有，解得.（四）归纳小结，回顾重点向量的数乘实数与向量的积是一个向量（1）（2）当时,的方向与的方向相同；当时,的方向与的方向相反.向量共线定理向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使得向量数乘的运算律：设为实数(1)(2)(3)，（五）作业布置，精炼双基1. 完成课本习题6.2 8、9、13、14、15、21、22.2. 预习课本 6.2.4 向量的数量积五、教学反思：（课后补充，教学相长）