6.2.3组合6.2.4组合数（基础知识 基本题型）（含解析）-【一堂好课】2021-2022学年高二数学下学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）.docx

1、6.2.3 组合 6.2.4组合数 （基础知识+基本题型）知识点一 组合一般地，从个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同的元素中取出个元素的一个组合.提示（1）组合要求个元素是不同的，被取出的个元素也是不同的，即从个不同元素中进行次不放回地抽取.（2）组合中取出的个元素没有位置的要求，无序性是组合的本质.（3）根据组合的定义，如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合.只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合.辨析区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无顺序，有顺序就是排列问题，而无顺序就是组合问题，而要判断它是否有顺序的方法是将元素取出来，

2、交换元素的顺序看对结果有无影响.有影响就是“有序”，也就是排列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题.拓展由于组合与顺序无关，故利用“顺序后移法”时箭头向后逐步推进，且写出的一个组合不可交换益，如写出后，不必要交换位置为，因为它们是同一组合.画“树形图”时，应注意顶层及下枝的排列思路，防止重复或遗漏.知识点二 组合数与组合数公式1组合数的定义从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示.提示（1）组合数与组合的区别：组合是指“从个不同元素中取出个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从个不同元素中取出个元素的所有不同组

3、合的个数”，它是一个自然数.（2）组合数定义中要求，且.2组合数公式的推导一般地，求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑：第1步，求从个不同元素中取出个元素的组合数；第2步，求每一个组合中个元素的全排列数.根据分步乘法计数原理，得到因此，这里，并且，这个公式叫做组合数公式.因为，所以组合数公式还可以表示为.提示（1）组合数公式的推导是依据分步乘法计数原理，遵循从特殊到一般的原则，将求从个不同元素中取出个元素的排列数分成先求其“组合数”后求每一个组合中的“全排列数”两步来完成的，这样就清楚地揭示出了组合与排列的对应关系，从而利用这种对应关系和排列数公式得出了组合数公式.（2）组

4、合数公式的推导方法是一种重要的钥匙方法.在以后学习排列、组合的综合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题.3组合数公式（1）.（2）.（3）规定.提示（1）的分子是连续个自然数的乘积，即由开始递减的连续个自然数的乘积，分母是个到的连续自然数的乘积，该形式常用于计算求值.（2），该形式常用于化简与证明.知识点三 组合数的两个性质1 （1）该性质反映了组合数的对称性.其组合意义：从个不同元素中每取出个元素，就剩余个元素，因此从个不同元素中取出个元素的方法，与从这个不同元素中取出个元素的方法是一一对应的，也就是说，从个不同元素中取出个元素的每一个组合都相应地对应着从这个不同元素中取

5、出个元素的每一个组合，反过来也一样.因此从个不同元素中取出个元素的组合数与这个不同元素中取出个元素的组合数相等，即.（2）计算时，若，则通常不直接计算，而改为计算.2 .（1）该性质的组合意义：在确定从个不同元素中取出个元素的方法时，对于某一元素，只存在着取与不取两种可能.如果能取这一元素，那么需从剩下的个元素中再取出个元素，所以共有种取法；如果不取这一元素，那么需从剩下的个元素中取出个元素，所以共有种取法.由分类加法计数原理，得.（2）公式特点：等号左边下标是，等号右边下标都是，相差；等号左边上标与等号右边上标中的一个一样，都是，比另一个大（另一个是）.提示利用组合数性质解题时要注意以下两点

6、：（1）公式中的上标是自然数，下标是正整数，且上标不大于下标；（2）要善于观察题目的特征，灵活运用组合数的性质，使解题过程简便、流畅.归纳要注意公式的正用、逆用、变形用，尤其是当都是具体数时的应用正用时是将组合数拆开；逆用时则是“合二为一”，即将化为；变形用时则为或这样为某些项互相抵消提供了方便，在具体问题中要灵活运用知识点四、纯组合问题常见题型（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取如：现从5位男同学、4位女同学中选出5名代表，若男甲、女A都必须当选，有多少种不同的选法?由于男甲、女A必须

7、当选，只需从剩下7人中任选3人即可满足题目的要求，故有种不同的选法（2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理如（1）中，将问题改为至少有一名女同学当选，有多少种不同的选法?则在全部的选法中，排除全部男生当选的情况即可，故有种不同的选法（3）分堆问题 平均分堆，其分法数为： 例如 将6本不同的书平均分成三份，每份两本，求不同的分法数 依据上述公式，其分法为（种） 分堆但不平均，其分法数为 例如，将12本不同的书分成五份，分别为2本、2本、2本、

8、3本、3本，求不同的分法数 依据上述公式，分到指定位置数为 其中两本的有三堆，故除以3！；3本的有两堆，要除以2！，故分法数为 （4）定序问题 对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列 例：5人站成一排，如果甲必须站在乙的左边，则不同的排法有多少种？ 法一: 5人不加限制的排列方法有种，“甲在乙的左边”和“甲在乙的右边”的排法是相对的，所以甲必须在乙的左边的排法有（种） 法二: 第一步，在5个位置中选2个位置给甲、乙二人有种选法； 第二步，剩下三个位置由剩下三人全排，有种排法，共有（种）； 法三: 从

9、5个位置选3个位置由除甲、乙两人之外的三人排列有种（剩下两个位置，甲、乙随之确定）（5）指标问题用“隔板法”：如，将10个保送生预选指标分配给某重点中学高三年级六个班，每班至少一名，共有多少种分配方案？ 将10个名额并成一排，名额之间有9个空，用5块隔板插入9个空，就可将10个名额分为6部分，每一种插法就对应一种分配法，故有种方案 注意：隔板法与插空法是不同的，要予以“区分”隔板法只适用于相同元素的分配问题知识点五、组合组合的综合应用 处理排列、组合综合题时，应遵循四大原则：（1） 先特殊后一般的原则（2） 先取后排的原则（3） 先分类后分步的原则（4） 正难则反、等价转化原则 类型一、 组合

10、概念及组合数公式例题1 判断下列各事件是排列问题还是组合问题（1）8个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？（2）8个朋友相互各写一封信，一共写了多少封信？（3）从1，2，3，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？（4）从1，2，3，9这九个数字中任取3个，组成一个集合，这样的集合有多少个？【解】（1）每两人握手一次，无顺序之分，是组合问题（2）每两人相互写一封信，是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的（3）是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变这3个数字的顺序，便会得到不同的三位数（4）是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其构成

11、的集合都不变.【点评】区分排列与组合问题，关键是利用排列与组合的定义，组合是“只选不排、并成一组，与顺序无关”.例题2从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，列出所有组合.【解】要想列出所有组合，做到不重不漏，先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个地标示出来如图1-2-2-1所示由此可得所有的组合：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，cede.例题3（1）计算：；（2）求的值；（3）证明：.【解】（1）原式；（2），；（3）.【点评】（1）像排列数公式一样，公式一般用于计算；而公式及一般用于证明、解方程（不等式）等（2）要注意公式的逆向运用，如本例（1）

12、中利用“”简化了计算过程（3）本例（3）所推导的结论“”以及它的变形公式是非常重要的公式，应熟练掌握.例题4求证：（1）；（2）.【证明】（1）解法一（利用组合数公式）：左边.解法二：利用公式，推得左边=解法三（构造组合模型）：从个元素中取出个元素的组合可以分成如下四种情形：含有某特殊元素a但不含b的组合数为；含有某特殊元素a和b的组合数为；不含a但含有b的组合数为；不含a且不含b的组合数为所以（2）解法一：左边.解法二：运用结论：，左边.故原式成立【点评】（1）连续使用性质“”，能使多个组合数的和化简为一个组合数，具体运用时的关键在于掌握该性质两边的上、下标字母的特征，并注意观察分析待化简的

13、组合式的特征，一般地，可用该性质化简如“”及“”的和.（2）有时为了转化为上述的和式，还需要运用会式“”以及它的变形公式.类型二、 组合应用题例5. 例题62015武汉模拟题某批产品中有一等品100个，二等品80个，三等品30个.从其中任取10个进行检验，那么（各题列出算式即可，不必计算最后结果）：（1）一共有多少种抽取结果？（2）全部抽到一等品的结果有多少种？（3）抽不到一等品的结果有多少种？（4）恰抽到5个一等品的结果有多少种？（5）恰抽到1个一等品、2个二等品的结果有多少种？（6）至少抽到1个一等品的结果有多少种？【解】（1）这批产品一共有（个），从其中任取10个进行检验，共有种抽取结果

14、.（2）这批产品中有一等品100个，取出10个一等品，共有种抽取结果（3）抽不到一等品，相当于从二等品和三等品中抽取10个进行检验.二等品和三等品共有（个），所以抽不到一等品的抽取结果共有种（4）恰抽到5个一等品，剩下的5个产品从二等品和三等品中抽取.分步计数：先抽取5个一等品，再抽取5个非一等品.根据分步乘法计数原理，一共有种抽取结果（5）恰抽到1个一等品、2个二等品，剩下的7个产品从三等品中抽取分步计数：先抽取1个一等品，再抽取2个二等品，最后抽取7个三等品.根据分步乘法计数原理，一共有种抽取结果.（6）“抽取的10个产品中，至少有1个一等品”，是“没有抽到一等品”的相反情形，因此，用所有

15、的抽取结果数减去没有抽到一等品的结果数即可.所以至少抽到1个一等品的结果共有种【点评】解有约束条件的组合问题与解有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，或分类或分步或用间接法例6. 有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下列条件，各有多少种不同的分法？ （1）每人各得两本； （2）甲得一本，乙得两本，丙得三本； （3）一人一本，一人两本，一人三本； （4）甲得四本，乙得一本，丙得一本； （5）一人四本，另两人各一本 【思路点拨】本题是首先是要把六本不同的书分成3组，然后再分配到甲、乙、丙三人手中。【解析】 （1）共有分法（种） （2）共有分法（种） （3）

16、由于没指明谁得几本，在（2）的基础上，对甲、乙、丙作全排 共有分法（种） （4）共有分法（种） （5）由于没指明谁得四本，在（4）的基础上，还有种分法 共有分法（种）【总结升华】一般地，平均分成n堆（组），必须除以n!；如若部分平均分成m堆（组），必须除以m！。在（5）中，区别在谁得四本上，另外两人都得一本是没有区别的；而（3）中谁得一本、两本、三本都是有区别的这就是乘以和的区别本类题是分组后分配问题，要将分组和分配分得很清楚。例7. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项

17、工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是()A.152B.126C.90D.54【解析】依题意得，这四项工作中必有一项工作有2人参与，就司机这项工作的实际参与人数进行分类：第一类，司机这项工作的实际参与人数恰有1人，满足题意的方法有（种）（注：表示从除甲、乙外的3人中任选1人从事司机工作的方法数；表示从除司机工作外的其余3项工作中任选定1项，让该项工作有2人从事的方法数；表示从余下的2人中选1人从事余下的两项工作之一的方法数）；第二类，司机这项工作的实际参与人数恰有2人，满足题意的方法有（种）（注：表示从除甲、乙外的3人中任选2人从事司机工作的方法数；表示余下的3人分别从事另外

18、3项不同工作的方法数）因此，满足题意的方法有（种），故选B例8. 某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，又有多少种不同分法？【思路点拨】把10相同的名额分配到6个不同的班级中，适合隔板法。【解析】将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，可分以下两步完成。第一步：每班先给1个名额，仅有1种给法；第二步：将剩余的4个名额分到这6个班里，由隔板法知，此时，有C种不同分法。由分步计数原理知，共有C种不同分法。 C=C=126（种）。 所以某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，有126

19、种不同分法. 【总结升华】 名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，故适合隔板法。类型三、 排列组合的综合应用例9. 某篮球队有12名队员，有6名打前锋，4名打后卫，甲、乙两人既能打前锋又能打后卫（出场阵容为3名前锋，2名后卫）共有多少种出场阵容？ 【思路点拨】 本题中的甲、乙两名队员为“多面手”，应优先考虑甲、乙两人是否上场，且上场后是前锋还是后卫，以此为分类标准 【解析】 以2名既能打前锋又能打后卫的队员是否上场且上场后是前锋还是后卫作分类标准： 甲、乙都不上场有（种）； 甲、乙有一名上场，作前锋有种，作后卫有种，共（种）； 甲、乙都上场，都作前锋有种，都作后卫有种，一个作前锋一个

20、作后卫有种，共有（种） 据分类计数原理，共有120+340+176=636（种） 【总结升华】对于有关元素为“多面手”的问题,应该按照“多面手”有没有被选入,选中的“多面手”作何用,进行分类.例题10 按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；（3）平均分成三份，每份2本；（4）平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；（5）分成三份，1份4本，另外两份每份1本；（6）甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本【解】（1）无序不均匀分组问题.

21、先选1本有种选法，再从余下的5本中选2本有种选法，最后余下3本全选有种选法故共有（种）（2）有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人，在第（1）问基础上，还应考虑再分配，共有（种）（3）无序均匀分组问题.先分三步，则应是种方法，但是这里出现了重复不妨记6本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则种分法中还有(AB，EF，CD)、（CD，AB，EF）、（CD，EF，AB）、(EF，CD，AB)、（EF，AB，CD），共种情况，而这种情况仅是AB、CD、EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有（种）（4）有序均匀分组问题在第（3）问基础上再分配给3个人，共有分配方式（种）（5）无序部分均匀分组问题.共有（种）（6）有序部分均匀分组问题.在第（5）问基础上再分配给3人，共有分配方式（种）（7）直接分配问题.甲选1本有种方法，乙从余下5本中选1本有种方法，余下4本留给丙有种方法共有（种）【点评】均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型.解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数.