6.3 反比例函数中的存在性问题专项训练（30道）（举一反三）（北师大版）（教师版）.docx

1、专题6.3 反比例函数中的存在性问题专项训练（30道）【北师大版】考卷信息：本套训练卷共30题，针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对反比例函数中的存在性问题的理解！一解答题（共30小题）1（2022春张家川县期末）如图，一次函数ykx+b（k0）与反比例函数y=4x（x0）的图象交于A（m，4），B（2，n）两点，与x轴相交于N点（1）求一次函数的表达式；（2）求AOB的面积；（3）在直线AB上是否存在点P，使得SONP3SAOB，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由【分析】（1）将点A、点B的坐标分别代入解析式即可求出m、n的值，从而求出两点坐标；（2）将AOB的面积转化为

2、SAONSBON的面积即可；（3）设P（m，2m+6），根据SONP3SAOB，列出m方程进行解答便可【解答】解：（1）点A 在反比例函数y=4x上，4m=4，解得m1，点A的坐标为（1，4），又点B也在反比例函数y=4x上，42=n，解得n2，点B的坐标为（2，2），又点A、B在ykx+b的图象上，k+b=42k+b=2，解得k=-2b=6，一次函数的解析式为y2x+6（2）直线y2x+6与x轴的交点为N，点N的坐标为（3，0），SAOBSAONSBON=1234-12323；（3）令y0，得y2x+60，解得x3，N（3，0），ON3，设P（m，2m+6），SONP3SAOB，123|-2

3、m+6|=33，解得m0或6，P（0，6）或（6，6）2（2022山西模拟）如图，一次函数y1kx+b（k0）的图象分别与x轴、y轴交于点C，D，与反比例函数y2=mx（m0）的图象交于A（1，n），B（2，2）两点（1）求一次函数和反比例函数的表达式（2）若x轴上存在一点P，使ABP的面积为6，求点P的坐标【分析】（1）根据点B坐标求出m，得到反比例函数解析式，据此求出点A坐标，再将A，B代入一次函数解析式；（2）设点P的坐标为（a，0），求出直线AB与x轴交点，再结合ABP的面积为6得到关于a的方程，解之即可【解答】解：（1）由题意可得：点B（2，2）在反比例函数y2=mx（m0）的图象上

4、，m2（2）4，反比例函数的解析式为y2=-4x，将A（1，n）代入y2=-4x，得：n=-4-1=4，A（1，4），将A，B代入一次函数解析式中，得2k+b=-2-k+b=4，解得：k=-2b=2，一次函数解析式为y12x+2；（2）点P在x轴上，设点P的坐标为（a，0），一次函数解析式为y12x+2，令y0，则x1，直线AB与x轴交于点（1，0），由ABP的面积为6，可得：12（yAyB）|a1|6，即126|a1|6，解得：a1或a3，点P的坐标为（1，0）或（3，0）3（2022春侯马市期末）如图，直线y=-32x2分别交x轴、y轴于A、B两点，与双曲线y=mx（m0）在第二象限内的交

5、点为C，CDy轴于点D，且CD4（1）求双曲线的解析式；（2）设点Q是双曲线上的一点，且QOB的面积是AOB的面积的2倍，求点Q的坐标；（3）在y轴上存在点P，使PA+PC最短，请直接写出点P的坐标【分析】（1）把x4代入可求出点C的坐标，再代入反比例函数关系式可确定k的值，进而确定反比例函数关系式；（2）根据直线的关系式可求出与x轴、y轴的交点坐标，进而求出三角形AOB的面积，得到三角形BOQ的面积后设点Q的坐标，由三角形的面积公式列方程求解即可；（3）求出点A关于y轴对称的点A的坐标，求出直线CA与y轴的交点坐标即可【解答】解：（1）CD4，即点C的横坐标为4，当x4时，y=-32（4）2

6、4，点C（4，4），又点C（4，4）在反比例函数y=kx的图象上，k4416，反比例函数的关系式为y=-16x；（2）直线y=-32x2分别交x轴、y轴于A、B两点，点A（-43，0），点B（0，2），即OA=43，OB2，SAOB=12432=43，设Q（x，-16x），由于QOB的面积是AOB的面积的2倍，QOB的面积为432=83，即12OB|x|=83，解得x=83，当x=83时，y1638=-6，当x=-83时，y16（-38）6，点Q（83，6）或（-83，6）；（3）点A（-43，0）关于y轴的对称点A（43，0），设直线CA的关系式为ykx+b，则-4k+b=443k+b=0，

7、解得k=-34b=1，直线CA的关系式为y=-34x+1，当x0时，y1，即直线y=-34x+1与y的交点坐标为P（0，1），此时，点P（0，1）使PA+PC最小4（2022春惠山区期末）如图，一次函数y1ax+b与反比例函数y2=kx的图象相交于A（1，6），B（6，1）两点（1）求一次函数y1的表达式与反比例函数y2的表达式；（2）当y1y2，时，直接写出自变量x的取值范围为 1x6或x0；（3）在平面内存在点P，使得点A、点B关于点P成中心对称的点恰好落在坐标轴上，请直接写出点P的坐标为 （12，12）或（3，3）【分析】（1）将A（1，6），B（6，1）两点代入yax+b，解方程组即可

8、；（2）观察图象即可得出答案；（3）根据题意，ABAB，ABAB，据此求得B（0，5）或（0，5），然后利用中点公式即可求得【解答】解：（1）将A（1，6），B（6，1）两点代入yax+b，得：a+b=66a+b=1，解得：a=-1b=7，一次函数的解析式为：yx+7，将A（1，6）代入反比例函数y=kx得：k6，反比例函数的解析式为：y=6x；（2）由图象可知，当y1y2时，自变量x的取值范围为：1x6或x0；故答案为：1x6或x0；（3）设A、B关于点P成中心对称的点为A、B，则直线ABAB，A、B、A、B四点构成平行四边形，直线AB的解析式为yx5，B（0，5）或（0，5），A（1，6）

9、，B（6，1），P（12，12）或（3，3），故答案为（12，12）或（3，3）5（2022柳南区二模）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数y=kx(x0)的图象交于点A（1，n）和点B（3，1），与x轴交于点C，与y轴交于点D（1）求反比例函数的表达式及一次函数解析式；（2）双曲线上是否存在一点P，使点P到原点的距离最小，如果存在，求出P点坐标，并求出最小距离如果不存在，请说明理由【分析】（1）把点B（3，1）代入y=kx(x0)即可求得k，把A（1，n）代入反比例函数的解析式即可求得n，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；（2）解方程组y=xy=3x即可求得【解答】解：（

10、1）直线AB与反比例函数y=kx(x0)的图象交于点A（1，n）和点B（3，1），把点B（3，1）代入y=kx(x0)得，1=k3，k3，反比例函数的表达式为y=3x，把A（1，n）代入y=3x得，n=31=3，设直线AB的解析式为：ykx+b，k+b=33k+b=1，解得：k=-1b=4，一次函数解析式为：yx+4；（2）存在，当P点中心直线yx上时，点P到原点的距离最小，解y=xy=3x得x=3y=3或x=-3y=-3，P的坐标为（3，3）6（2022呼和浩特一模）如图，一次函数yk1x+b的图象与反比例函数y=k2x（x0）的图象相交于点A（1，2）点B（4，n）（1）求此一次函数和反比

11、例函数的表达式；（2）如图所示，请直接写出不等式k1x+bk2x的解集；（3）在x轴上存在一点P，使PAB的周长最小，直接写出点P的坐标【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式求出m的值，然后再把点B的坐标代入反比例函数求出n的值，从而求出点B的坐标，再把点A、B的坐标代入一次函数表达式，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；（2）根据两函数的交点坐标可得答案；（3）作点B关于x轴的对称点C，连接AC，交x轴于点P，此时PAB的周长最小，设直线AC的表达式为yax+c，根据待定系数法求得解析式，令y0，即可求得P的坐标【解答】解：（1）点A（1，2）在反比例函数图象上，k2-1=2，解

12、得k22，反比例函数的解析式是y=-2x，点B（4，n）在反比例函数图象上，n=-2-4=12，点B的坐标是（4，12），一次函数yk1x+b的图象经过点A（1，2）、点B（4，12）-k1+b=2-4k1+b=12解得k1=12b=52一次函数解析式是y=12x+52；（2）不等式k1x+bk2x的解集为：4x1；（3）作B点关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于P，则PA+PBAC，此时PA+PB最小，即PAB的周长最小，点C（4，-12）和B关于x轴对称，点C的坐标为（4，-12），设直线AC的表达式为yax+c，-a+c=2-4a+c=-12，解得：a=56c=176，直线AC的表达式为

13、：y=56x+176，当y0时，则x=-175，P点坐标为（-175，0）7（2022海淀区校级模拟）一次函数yax1的图象与x轴交于点C（2，0），与反比例函数y=kx（k0）的图象的交点为A和B，且点B的横坐标是2，（1）求反比例函数解析式；（2）若x轴上存在点D，使得BCCD，直接写出点D的坐标【分析】（1）把C的坐标代入yax1求得a的值，进而求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；（2）根据等腰三角形的性质即可求得【解答】解：（1）一次函数yax1的图象与x轴交于点C（2，0），2a10，解得a=12，一次函数为y=12x1，把x2代入得，y=12(-2)-12，

14、B（2，2），点B在反比例函数y=kx（k0）的图象上，k2（2）4，反比例函数解析式为y=4x；（2）B（2，2），C（2，0），BC=42+22=25，D（25+2，0）或（25+2，0）8（2022香洲区校级一模）如图，A（3，0），B（0，4），将线段AB绕点A逆时针旋转90，点B的对应点B恰好在反比例函数y=kx（k0）的图象上（1）求k值；（2）反比例函数的图象与线段AB是否存在交点？若存在，请求出交点坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）如图，过点B作BDx轴于点D，利用旋转的性质证明ABDBAO（AAS），即可求得点B的坐标，再运用待定系数法即可求得答案；（2）运用待定系数法

15、求出直线AB的解析式，联立方程即可求得交点坐标【解答】解：（1）如图，过点B作BDx轴于点D，则ADB90，AOB90，ADBAOB，BAO+ABO90，将线段AB绕点A逆时针旋转90得线段AB，BAO+BAD90，ABAB，BADABO，ABDBAO（AAS），BDOA3，ADOB4，ODADOA431，B（1，3），3=k1，k3；（2）设直线AB的解析式为ymx+n，A（3，0），B（0，4），-3m+n=0n=-4，解得：m=-43n=-4，直线AB的解析式为y=-43x4，将y=3x代入y=-43x4，得：3x=-43x4，4x2+12x+90，解得：x1x2=-32，y2，反比例函

16、数的图象与线段AB有且只有一个交点，该交点坐标为（-32，2）9（2022秋绵阳期末）如图，在正方形OABC中，点O为坐标原点，点C（3，0），点A在y轴正半轴上，点E，F分别在BC，CO上，CECF2，一次函数ykx+b（k0）的图象过点E和F，交y轴于点G，过点E的反比例函数y=mx（m0）的图象交AB于点D（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）在线段EF上是否存在点P，使SADPSAPG，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由点C（3，0），CECF2，可得E（3，2），F（1，0），用待定系数法即得一次函数的解析式为yx1，反比例函数解析式为y=-6x；（2

17、）在yx1中，得G（0，1），在y=-6x中，得D（2，3），设P（t，t1），根据SADPSAPG有1223（t1）=124（t），即可解得P（-43，13）【解答】解：（1）点C（3，0），正方形OABC边长为3，即OAABBCCO3，CECF2，OF1，E（3，2），F（1，0），把E（3，2），F（1，0）代入ykx+b得-3k+b=2-k+b=0，解得k=-1b=-1，一次函数的解析式为yx1，把E（3，2）代入y=mx得2=m-3，解得m6，反比例函数解析式为y=-6x，答：反比例函数解析式为y=-6x，一次函数的解析式为yx1；（2）存在点P，使SADPSAPG，在yx1中，令x

18、0得y1，G（0，1），AG4，在y=-6x中，令y3得x2，D（2，3），AD2，设P（t，t1），SADPSAPG，1223（t1）=124（t），解得t=-43，P（-43，13）10（2022秋会宁县期末）如图，一次函数yx1的图象与反比例函数y=kx的图象交于点A、B，与x轴交于点C，SAOC1（1）求点A的坐标与反比例函数的表达式（2）设直线AB与y轴相交于点D，经过计算可知点B的坐标为（2，3）若点Q是y轴上一点，是否存在点Q，使得SAQDSAOB？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由（3）求x1kx的x的取值范围【分析】（1）根据一次函数的解析式求得C点的坐标，根据三角

19、形的面积求得A的纵坐标，代入直线解析式即可求得坐标，然后根据待定系数法求得即可；（2）设点Q（0，y），由一次函数yx1可知D（0，1），则DQ|y+1|，根据题意sADQ=123|y+1|=52，解方程求得y的值，即可求得Q的坐标；（3）观察图象即可求得【解答】解：（1）直线AB与x轴的交点C（1，0）设A（x，y），SAOC1，12y1=1，y2，A（x，2）将点A代入yx1得，x3，A（3，2），k326，反比例函数的表达式为y=-6x；（2）存在，sAOB=1221+1213=52，设点Q（0，y），由一次函数yx1可知D（0，1），sADQ=123|y+1|=52，y=23或y=-8

20、3，Q(0，23)或(0，-83)；（3）由图象可知，x1kx的x的取值范围是x3或0x211（2022永昌县一模）如图，一次函数ykx+b（k0）的图象与反比例函数y=mx（m0）的图象相交于点A（1，2），B（a，1）（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）若直线ykx+b（k0）与x轴交于点C，x轴上是否存在一点P，使SAPC4？若存在，请求出点P坐标；若不存在，说明理由【分析】（1）把点A（1，2）代入y=mx得到反比例函数的解析式为y=2x；把点A（1，2），B（2，1）代入ykx+b得到一次函数的解析式为：yx+1；（2）当y0时，得到C（1，0），设P（x，0），根据三角形的

21、面积公式即可得到结论【解答】解：（1）把点A（1，2）代入y=mx得，2=m1，m2，反比例函数的解析式为y=2x；把B（a，1）代入y=2x得，a2，B（2，1），把点A（1，2），B（2，1）代入ykx+b得k+b=2-2k+b=-1，解得：k=1b=1，一次函数的解析式为：yx+1；（2）当y0时，0x+1，解得：x1，C（1，0），设P（x，0），SAPC=12|x+1|2=4，x3或x5，P（3，0）或（5，0）12（2022徐州模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，-32），作直线AB与反比例函数y=mx（x0）的图象交于点C，且A是线段BC的中点（1）求m的

22、值；（2）D是线段BC上一动点，过点D作DEy轴，交反比例函数的图象于点E，是否存在点D，使ODE的面积有最大值？若存在，求出最大值及点D的坐标【分析】（1）根据待定系数法即可求得m的值；（2）根据待定系数法求得直线AB的解析式，设出D、E的坐标，然后根据三角形面积公式和二次函数的性质即可求得结论【解答】解：（1）点A（2，0），B（0，-32），OA2，OB=32，过C作CFx轴于F，AOBAFC90，A是线段BC的中点，ABAC，BAOCAF，AOBAFC（AAS），AFAO2，CFOB=32，OF4C（4，32），m432=6；（2）设直线AB的解析式为ykx+b，把点A（2，0），B（

23、0，-32），代入得2k+b=0b=-32，解得k=34b=-32，直线AB的解析式为y=34x-32；点D为线段AB上的一个动点，设D（x，34x-32）（0x4），DEy轴，E（x，6x），SODE=12x（6x-34x+32）=-38x2+34x+3=-38（x1）2+278，当x1时，ODE的面积的最大值为278，点D的坐标为（1，-34）13（2022春沙坪坝区期中）如图，一次函数yax+b（a0）的图象分别与x轴、y轴交于点A（1，0），B，且OB2OA直线AB与反比例函数y=kx（k0，x0）的图象交于点C（3，n）（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）在该反比例函数图象上

24、存在点D，且D到x轴的距离为2；连接AD，直线CD交x轴于点E，求ACD的面积【分析】（1）先求得点B的坐标，然后根据求得直线AB的解析式，进而求得C的坐标，代入入y=kx中，即可求得反比例函数的解析式；（2）求得点D的坐标，从而求得直线CD的解析式，进一步求得点E的坐标，然后根据SACDSACESADE求得即可【解答】解：（1）A（1，0），OA1，又OB2OA2，B（0，2），将A（1，0），B（0，2）分别代入yax+b中，得-a+b=0b=-2，解得：a=-2b=-2，一次函数的表达式y2x2，将C（3，n）代入y2x+2中，得n2（3）24，C（3，4），将C（3，4）代入y=kx中

25、，得4=k-3，k12，该反比例函数的表达式为y=-12x；（2）点D到x轴的距离为2，yD2，点D在函数y=-12x的图象上，xD=-122=-6，D（6，2），直线CD的表达式为y=23x+6，直线CD交x轴于E，E（9，0），AE8，SACDSACESADE=12AEyC-12AEyD=1248-1228 814（2022拱墅区校级四模）定义：若一次函数yax+b（a0）和反比例函数y=-cx（c0）满足abbc，则称yax2+bx+c为一次函数和反比例函数的“等差”函数（1）y3x+b和y=-5x是否存在“等差”函数？若存在，请写出它们的“等差”函数；（2）若y10x+b和y=-cx存

26、在“等差”函数，且“等差”函数的图象与y=-cx的图象的一个交点的横坐标为1，求反比例函数的表达式【分析】（1）假设存在，根据等差函数定义得出b4，从而得出解析式；（2）根据等差函数定义得出10+c2b，即c2b10，根据“等差”函数的图象与y=-cx的图象的一个交点的横坐标为1，列出方程即可求得b，进而求得c，即可解决问题【解答】解：（1）存在，假设y3x+b和y=-5x存在“等差”函数，则a3，c5，3bb5，解得：b4，存在“等差”函数，其解析式为y3x2+4x+5；（2）根据题意知：a10，10+c2b，c2b10，则“等差”函数的解析式为y10x2+bx+2b10，反比例函数的解析式

27、为y=-2b-10x，根据题意，将x1代入y=10x2+bx+2b-10y=-2b-10x，整理得：10+b+2b102b+10，解得b2，c6，故一次函数的解析式为y10x+2，反比例函数的解析式为y=6x15（2022涪城区校级模拟）如图，正比例函数y=12x的图象与反比例函数y=kx（k0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知OAM的面积为1（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B（a，b）为反比例函数在第一象限图象上的点，且b2a，试探究在x轴上是否存在点P，使|PAPB|最大？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）结合反比例函数系数k的几何意

28、义即可得出12|k|1，结合第一象限内含有函数的图象，即可求出k的值，从而问题得解；（2）先根据反比例函数与一次函数的解析式求出A点坐标，再根据B（a，b）为反比例函数在第一象限图象上的点，且b2a得出B点坐标，【解答】解：（1）OAM的面积为1，12|k|1，解得：k2，第一象限内有反比例函数图象，反比例函数的解析式为y=2x（2）存在，理由如下：联立一次函数与反比例函数解析式：y=12xy=2x，解得：x=2y=1或x=-2y=-1（舍去）点A的坐标为（2，1）B（a，b）为反比例函数在第一象限图象上的点，且b2a，a2a2，解得a1（负值舍去），点B的坐标为（1，2）如图，点P是x轴上任

29、意一点，由三角形三边关系可知，|PAPB|AB，即当B，A，P三点共线时，|PAPB|AB取得最大值将点A（2，1），B（1，2）代入到yax+b中得：2a+b=1a+b=2，解得：a=-1b=3，直线AB的解析式为yx+3，令yx+3中y0，则x3，点P的坐标为（3，0）在x轴上存在一点P使|PAPB|最大，点P的坐标为（3，0）16（2022金坛区二模）如图，已知一次函数ykx+b（k0）的图象分别与反比例函数y=ax（x0）的图象交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OAOB（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）已知点C（0，5），若在该一次函数图象上存在一点D，满足DBD

30、C，求此时点D的坐标【分析】（1）利用待定系数法即可解答；（2）设点M的坐标为（x，2x5），根据MBMC，即可求解【解答】解：（1）把点A（4，3）代入函数y=ax得：a3412，y=12xOA=32+42=5，OAOB，OB5，点B的坐标为（0，5），把B（0，5），A（4，3）代入ykx+b得b=54k+b=3，解得k=2b=-5，y2x5；（2）点D在一次函数y2x5上，设点M的坐标为（x，2x5），DBDC，x2+(2x-5+5)2=x2+(2x-5-5)2，解得：x2.5，点D的坐标为（2.5，0）17（2022石家庄模拟）如图，一次函数ykx+b（k0）的图象与反比例函数y=mx

31、（m0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（6，n）（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接OB，求AOB的面积；（3）在x轴上是否存在点P，使APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）先把A（3，4）代入反比例函数解析式得到m的值，从而确定反比例函数的解析式为y=-12x；再利用反比例函数解析式确定B点坐标为（6，2），然后运用待定系数法确定所求的一次函数的解析式为y=-23x+2；（2）先依据一次函数求得点C的坐标，进而得到AOB 的面积；（3）过A点作AP1x轴于P1，AP2AC交x轴于P

32、2，可得P1点的坐标为（3，0）；再证明RtAP2P1RtCAP1，利用相似比计算出P1P2的长度，进而得到OP2的长度，可得P2点的坐标为（-173，0），于是得到满足条件的P点坐标【解答】解：（1）将A（3，4）代入y=mx，得m3412反比例函数的解析式为y=-12x；将B（6，n）代入y=-12x，得6n12，解得n2，B（6，2），将A（3，4）和B（6，2）分别代入ykx+b（k0），得-3k+b=46k+b=-2，解得k=-23b=2，所求的一次函数的解析式为y=-23x+2；（2）当y0时，-23x+20，解得：x3，C（3，0），SAOC=12346，SBOC=12323，S

33、AOB6+39；（3）存在过A点作AP1x轴于P1，AP2AC交x轴于P2，如图，AP1C90，A点坐标为（3，4），P1点的坐标为（3，0）；P2AC90，P2AP1+P1AC90，而AP2P1+P2AP190，AP2P1P1AC，RtAP2P1RtCAP1，AP1CP1=P1P2AP1，即46=P1P24，P1P2=83，OP23+83=173，P2点的坐标为（-173，0），满足条件的P点坐标为（3，0）、（-173，0）18（2022春侯马市期末）如图，直线y1x+b交x轴于点B，交y轴于点A（0，2），与反比例函数y2=kx的图象交于C（1，m），D（n，1），连接OC，OD（1）求

34、k的值；（2）求COD的面积（3）根据图象直接写出y1y2时，x的取值范围（4）点M是反比例函数y2=kx上一点，是否存在点M，使点M、C、D为顶点的三角形是直角三角形，且CD为直角边，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）把A的坐标代入y1x+b求出b，即可得出一次函数的表达式，把C（1，m），D（n，1）代入求出C、D的坐标，把C的坐标代入y2=kx的，求出k即可；（2）求出OB，分别求出AOB和BOC的面积，相加即可；（3）根据C、D的坐标和图象得出即可；（4）分两种情况讨论求得即可【解答】解：（1）把A（0，2）代入y1x+b得：b2，即一次函数的表达式为y1

35、x+2，把C（1，m），D（n，1）代入得：m1+2，1n+2，解得m3，n3，即C（1，3），D（3，1），把C的坐标代入y2=kx得：3=k1，解得：k3；（2）由y1x+2可知：B（2，0），COD的面积为1223+12214；（3）由图象可知：y1y2时，x的取值范围是x3或0x1；（4）当M在第一象限，根据题意MCCD，直线y1x+2，设直线CM的解析式为yx+b1，代入C（1，3）得，31+b1解得b14，直线CM为yx+4，解y=-x+4y=3x得x1=3y1=1，x2=1y2=3，M（3，1）；当M在第三象限，根据题意MDCD，直线y1x+2，设直线DM的解析式为yx+b2，代

36、入D（3，1）得，13+b2解得b24，直线DM为yx4，解y=-x-4y=3x得x=-1y=-3或x=-3y=-1，M（1，3），综上，点M的坐标为（3，1）或（1，3）19（2022江油市模拟）如图，已知正比例函数y2x和反比例函数的图象交于点A（m，2）（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出正比例函数值小于反比例函数值时自变量x的取值范围；（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移5个单位长度得到点B，在x轴上是否存在点P，使SOCP=13S四边形OABC？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）设反比例函数的解析式为y=kx，把A坐标代入y2x求出m

37、的值，确定出A坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式；（2）根据题意，利用对称性求出D的坐标，由A与D坐标，找出一次函数位于反比例函数图象下方时x的范围即可；（3）求得B、C点的坐标，先证得四边形为菱形，然后求得AC和OB，从而求得四边形的面积，根据三角形的面积公式得出方程，解方程即可求得【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y=kx（k0），A（m，2）在y2x上，22m，m1，A（1，2），又点A在y=kx上，2=k-1，k2，反比例函数的解析式为y=2x；（2）由A的坐标为（1，2），得到D（1，2），由图象得：正比例函数值小于反比例函数值时自变量x的取值范围为x1或

38、0x1；（3）C（2，n）在y=2x上，n1，即C（2，1）OC=5，OA=5，BC=5，四边形OABC为菱形，直线OC为：y=12x，AB的解析式y=12x-32，由正比例函数为y2x求得BC的解析式为y2x3，解y=2x-3y=12x-32得x=1y=-1，B（1，1），AC=(-1-2)2+(-2-1)2=32，OB=12+12=2，S四边形OABC=12ACOB=12232=3，假设在x轴上存在P（a，0）使SOCP=13S平行四边形OABC=133=1，12|a|1=1，a2，在x轴上存在点P1（2，0），P2（2，0）使SOCP=13S四边形OABC20（2022彭州市校级模拟）如

39、图，已知反比例函数y=kx的图象与正比例函数ykx的图象交于点A（m，2）（1）求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B的坐标；（2）试根据图象写出不等式kxkx的解集；（3）在反比例函数图象上是否存在点C，使OAC为等边三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）把点A的坐标代入y=kx和ykx求出m的值，再运用A的坐标求出k，两函数解析式联立得出B点的坐标（2）根据函数图象以及交点坐标即可求得不等式kxkx的解集（3）讨论当C在第一象限时，OAC不可能为等边三角形，当C在第三象限时，设C（x，y）（x0），根据OAOCAC，列出方程组，解方程组得到x+y=-52，

40、根据y=2x转化成x+2x=-52，整理成2x2+5x+40，根据5242470，从而判定不存在符合条件的点C【解答】解：（1）反比例函数y=kx的图象与正比例函数ykx的图象交于点A（m，2）把A（m，2）代入y=kx得2=km，代入ykx得2km，km=km，解得m1，A在第二象限，m1，A（1，2）代入ykx，2k（1），解得，k2，正比例函数的解析式为y2x，又由2x=2x，解得x1或x1，B（1，2）（2）由图象可知不等式kxkx的解集x1或0x1（3）当点C在第一象限时，OAC不可能为等边三角形，如图，当C在第三象限时，要使OAC为等边三角形，则OAOCAC，设C（x，y）（x0）

41、， A（1，2），OA=5，x2+y2=5(x+1)2+(y+2)2=5，解得x+2y=-52，点C在反比例函数y=2x图象上，x+2x=-52，整理得，2x2+5x+80，52428390，不存在符合条件的点C21（2022秋锦州期末）如图，一次函数ymx+n（m0）的图象与反比例函数y=kx（k0）的图象交于第一、三象限内的A，B两点，与y轴交于点C，过点B作BMx轴，垂足为点M，BMOM2，点A的纵坐标为4（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；（2）直线AB交x轴于点D，过点D作直线lx轴，如果直线l上存在点P，坐标平面内存在点Q使四边形OPAQ是矩形，求出点P的坐标【分析】（1）根据

42、题意得出B点坐标，进而得出反比例函数解析式，再利用待定系数法得出一次函数解析式；（2）设P（1，a），当PAO90，如图2，当APO90，根据勾股定理列方程即可得到结论【解答】解：（1）BMOM2，点B的坐标为（2，2），设反比例函数的解析式为y=kx，则2=k-2，得k4，反比例函数的解析式为y=4x，点A的纵坐标是4，4=4x，得x1，点A的坐标为（1，4），一次函数ymx+n（m0）的图象过点A（1，4）、点B（2，2），m+n=4-2m+n=-2，解得：m=2n=2，即一次函数的解析式为y2x+2；（2）存在，直线AB于x轴交于D，D（1，0），OD1，设P（1，a），如图2，当APO

43、90，OP2OA2PA2PD2+OD2，12+42（1+1）2+（4a）212+a2，解得：a22，P（1，2+2）或（1，2-2），综上所述，点P的坐标为（1，2+2）或（1，2-2）22（2022房山区一模）如图，点A在反比例函数y=kx(k0)的图象上（1）求反比例函数y=kx(k0)的解析式；（2）在y轴上是否存在点P，使得AOP是直角三角形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）把A（2，4）代入y=kx，即可求得k的值，从而求得函数的解析式；（2）分OPA90和OAP90，两种情况进行讨论即可求解【解答】解：（1）把A（2，4）代入y=kx得：4=k2，解得：

44、k8，则函数的解析式是：y=-8x；（2）当OPA90时，APy轴，则P的坐标是（0，4），当OAP90时，根据OA24OP，则204OP，OP5，则P的坐标是（0，5）则P的坐标是（0，4）或（0，5）23（2022东营模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数ykx的图象与反比例函数y=mx的图象有一个交点A（2，2）（1）求m，k的值；（2）将直线OA向上平移与x轴交于点B，与反比例函数在第一象限内交于点A，连接AB，AC，SOAC3，求直线BC的解析式；（3）反比例函数图象上是否存在点P（A除外）使APAO？若能，求出点P的坐标，若不能，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法即可

45、解决问题；（2）想办法求出点B坐标即可解决问题；（3）不存在把问题转化为方程组解决即可；【解答】解：（1）正比例函数ykx的图象与反比例函数y=mx的图象有一个交点A（2，2），k1，m4（2）BCOA，SAOCSAOB3，12OB23，OB3，B（3，0），设直线BC的解析式为yx+b，把B（3，0）代入得到b3，直线BC的解析式为yx+3（3）不存在理由如下：过点A垂直OA的直线的解析式为yx+4，由y=4xy=-x+4，解得x=2y=2，直线yx+4与反比例函数y=4x只有一个交点，反比例函数图象不存在点P（A除外）使APAO；24（2022岱岳区三模）如图，直线y1=-14x+1与x轴

46、交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y2=mx（x0）的图象交于点P，过点P，作PBx轴于点B，且ACBC（1）求反比例函数y2的解析式；（2）反比例函数y2图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由【分析】（1）首先求得直线与x轴和y轴的交点，根据ACBC可得OAOB，则B的坐标即可求得，BP2OC，则P的坐标可求出，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）连接DC与PB交于点E，若四边形BCPD是菱形时，CEDE，则CD的长即可求得，从而求得D的坐标，判断D是否在反比例函数的图象上即可【解答】解：（1）一次函数y1=-14x+1的图象

47、与x轴交于点A，与y轴交于点C，A（4，0），C（0，1），又ACBC，COAB，O是AB的中点，即OAOB4，且BP2OC2，P的坐标是（4，2），将P（4，2）代入y2=mx，得m8，即反比例函数的解析式为y2=-8x；（2）假设存在这样的点D，使四边形BCPD为菱形，如图，连接DC，与PB交于点E四边形BCPD是菱形，CEDE4，CD8，将x8代入反比例函数解析式y=-8x，得y1，D的坐标是（8，1），即反比例函数的图象上存在点D使四边形BCPD是菱形，此时D的坐标是（8，1）25（2022春江阴市期末）如图所示，直线y1=14x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y2=k

48、x（x0）的图象交于点C，且ABBC（1）求点C的坐标和反比例函数y2的解析式；（2）点P在x轴上，反比例函数y2图象上存在点M，使得四边形BPCM为平行四边形，求BPCM的面积【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）根据SBPCSAPCSAPB，BPCM的面积2 SBPC，只要求出APC，APB的面积即可；【解答】解：（1）直线y1x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，A（4，0），B（0，1）过C作CDx轴于D，ABBC，D（4，0），C（4，2），点C（4，2）反比例函数y2=kx（x0）的图象上，k8，反比例函数y2的解析式y2=8x；（2）四边形BPCM为平行四边形，G为BC

49、、MP的中点，由BGCG，则G（2，32），设M（m，8m），P（n，0），由MGPG，m+n2=28m2=32，m=83，n=43，即P（43，0），SAPC=12APCD=12（4+43）2=163，SABP=12APOB=12（4+43）1=83SBPCSAPCSAPB=83，BPCM的面积2 SBPC=16326（2022乐山）如图，正比例函数y2x的图象与反比例函数y=kx的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连接BC若ABC的面积为2（1）求k的值；（2）x轴上是否存在一点D，使ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）首先根据反比例

50、函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，故BOC的面积等于AOC的面积，都等于1，然后由反比例函数y=kx的比例系数k的几何意义，可知AOC的面积等于12|k|，从而求出k的值；（2）先将y2x与y=2x联立成方程组，求出A、B两点的坐标，然后分三种情况讨论：当ADAB时，求出直线AD的关系式，令y0，即可确定D点的坐标；当BDAB时，求出直线BD的关系式，令y0，即可确定D点的坐标；当ADBD时，由O为线段AB的中点，可得OD=12ABOA，然后利用勾股定理求出OA的值，即可求出D点的坐标【解答】解：（1）反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，A

51、、B两点关于原点对称，OAOB，BOC的面积AOC的面积221，又A是反比例函数y=kx图象上的点，且ACx轴于点C，AOC的面积=12|k|，12|k|1，k0，k2故这个反比例函数的解析式为y=2x；（2）x轴上存在一点D，使ABD为直角三角形将y2x与y=2x联立成方程组得：y=2xy=2x，解得：x1=1y1=2，x2=-1y2=-2，A（1，2），B（1，2），当ADAB时，如图1，设直线AD的关系式为y=-12x+b，将A（1，2）代入上式得：b=52，直线AD的关系式为y=-12x+52，令y0得：x5，D（5，0）；当BDAB时，如图2，设直线BD的关系式为y=-12x+b，将

52、B（1，2）代入上式得：b=-52，直线BD的关系式为y=-12x-52，令y0得：x5，D（5，0）；当ADBD时，如图3，O为线段AB的中点，OD=12ABOA，A（1，2），OC1，AC2，由勾股定理得：OA=OC2+AC2=5，OD=5，D（5，0）根据对称性，当D为直角顶点，且D在x轴负半轴时，D（-5，0）故x轴上存在一点D，使ABD为直角三角形，点D的坐标为（5，0）或（5，0）或（5，0）或（-5，0）27（2022贵阳模拟）如图，ABC的顶点A，C落在坐标轴上，且顶点B的坐标为（5，2）将ABC沿x轴向右平移7个单位得到ABC，点B恰好在反比例函数y=kx的图象上，且反比例函

53、数图象与AC相交于点D（1）求反比例函数的表达式；（2）若点D的坐标为（5，45），在x轴上存在点P，使得线段PB与线段PD之差最大，求出点P的坐标，并说明理由【分析】（1）根据平移的规律得到B（2，2），再根据点B恰好在反比例函数y=kx的图象上，即可得到k的值；（2）根据|PBPD|BD，可得当B、D、P在同一直线上时，PBPDBD成立，此时线段PB与线段PD之差最大，再设直线BP解析式为yax+b，将D（5，45），B（2，2）代入，可得直线BP解析式，进而得出点P的坐标【解答】解：（1）顶点B的坐标为（5，2），将ABC沿x轴向右平移7个单位得到ABC，B（2，2），点B恰好在反比例函

54、数y=kx的图象上，k224，反比例函数的表达式为y=4x；（2）如图所示，连接PB，PD，BD，|PBPD|BD，当B、D、P在同一直线上时，PBPDBD成立，此时线段PB与线段PD之差最大，设直线BP解析式为yax+b，把D（5，45），B（2，2）代入，可得45=5a+b2=2a+b，解得a=-25b=145，直线BP解析式为y=-25x+145，令y0，则0=-25x+145，解得x7，P（7，0）28（2022南京联合体二模）如图，正比例函数y2x的图象与反比例函数y=kx的图象交于点A、B，AB25，（1）求k的值；（2）若反比例函数y=kx的图象上存在一点C，则当ABC为直角三角

55、形，请直接写出点C的坐标【分析】（1）过点A作ADx轴，垂足为D，由点A、B的对称性可知OA=5，根据点在直线上，设点A的坐标为（a，2a），在RtOAD中，通过勾股定理即可求出点A的坐标，由点A的坐标利用待定系数法即可求出结论；（2）由点A、B的对称性结合点A的坐标求出点B的坐标，根据点C在反比例函数图象上，设出点C的坐标为（n，2n），分ABC三个角分别为直角来考虑，利用勾股定理可得出关于n的方程，解之即可得出结论【解答】解：（1）过点A作ADx轴，垂足为D，如图1所示由题意可知点A与点B关于点O中心对称，且AB25，OAOB=5设点A的坐标为（a，2a），在RtOAD中，ADO90，由勾

56、股定理得：a2+（2a）2（5）2，解得：a1，点A的坐标为（1，2）把A（1，2）代入y=kx中得：2=k1，解得：k2（2）点A的坐标为（1，2），点A、B关于原点O中心对称，点B的坐标为（1，2）设点C的坐标为（n，2n），ABC为直角三角形分三种情况：ABC90，则AC2AB2+BC2，（n1）2+（2n-2）220+（n+1）2+（2n+2）2，即n2+5n+40，解得：n14，n21（舍去），此时点C的坐标为（4，-12）；BAC90，则有BC2AC2+AB2，（n+1）2+（2n+2）220+（n1）2+（2n-2）2，即n25n+40，解得：n34，n41（舍去），此时点C的坐

57、标为（4，12）；ACB90，则有AB2AC2+BC2，20（n+1）2+（2n+2）2+（n1）2+（2n-2）2，即n45n2+40，解得：n24或1，n52，n62，n71（舍去），n81（舍去），此时点C的坐标为（2，1）或（2，1）综上所述：当ABC为直角三角形，点C的坐标为（4，-12）、（4，12）、（2，1）或（2，1）29（2022肥城市模拟）如图，一次函数ykx+b的图象与反比例函数y=mx（x0）的图象交于点P（2，4），与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点C，PBy轴于点B（1）求一次函数、反比例函数的表达式；（2）在反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱

58、形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由【分析】（1）由点A、P的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式；再由点P坐标利用待定系数法即可求出反比例函数解析式；（2）假设设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，画出图形，利用菱形的性质：对角线垂直平分可以找出点D的坐标为（1，8），再验证点D是否在反比例函数图象上即可【解答】解：（1）将点A（0，4）、点P（2，4）代入到一次函数ykx+b中得：-4=b4=2k+b，解得：k=4b=-4，一次函数表达式为y4x4将点P（2，4）代入反比例函数y=mx（x0）中得：4=m2，解得：m8反比例函数的表达式为y=8x（2）假设存在这样的D

59、点，使四边形BCPD为菱形，如图所示令y4x4中y0，则有04x4，解得：x1，点C的坐标为（1，0）四边形BCPD为菱形，BPCD，且CD2OB，点P（2，4），点B（0，4），OB4，CD8，又点C（1，0），点D（1，8）将x1代入反比例函数y=8x中，得：y=81=8，即点D在反比例函数图象上，在反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，点D的坐标为（1，8）30（2022峨边县模拟）如图，反比例函数y=k2x和一次函数y2x1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+k，b+k+2）两点且点A在第一象限，是两个函数的一个交点；（1）求反比例函数的解析式？（2）在x轴上是否存在

60、点P，使AOP为等腰三角形？存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）列出关于a、b、k方程组，解方程组可以求出k的值（2）先求出点A坐标，再分三种情形：当点O为等腰三角形AOP的顶点，当点A为等腰三角形AOP的顶点，当点P为等腰三角形AOP的顶点，分别求出点P坐标即可【解答】解：（1）一次函数y2x1经过（a，b），（a+k，b+k+2）两点，b=2a-1b+k+2=2(a+k)-1，解得k2，反比例函数解析式为y=1x（2）存在由y=1xy=2x-1解得x=1y=1或x=-12y=-2，点A坐标（1，1）OA=2，当点O为等腰三角形AOP的顶点时，点P坐标为（-2，0）或（2，0）当点A为等腰三角形AOP的顶点时，点P坐标为（2，0）当点P为等腰三角形AOP的顶点时，点P坐标为（1，0）AOP为等腰三角形，点P坐标为（1，0）或（2，0）和（-2，0）或（2，0）