导数综合问题--2024届新高考满分突破压轴大题（学生版）.pdf

1、1导数综合问题压轴秘籍1.导函数与原函数的关系f(x)0,k 0,f(x)单调递增，f(x)0,k 0,f(x)单调递减2.极值（1）极值的定义f(x)在 x=x0处先 后，f(x)在 x=x0处取得极大值f(x)在 x=x0处先 后，f(x)在 x=x0处取得极小值3.两招破解不等式的恒成立问题(1)a f(x)恒成立 a f(x)max；(2)a f(x)恒成立 a f(x)min.(1)分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围(2)函数思想法第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用

2、导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解4.常用函数不等式：ex x+1，其加强不等式 ex 12 x2+x+1；ex ex，其加强不等式 ex ex+(x-1)2.ex1 x，lnx x 1，ln(x+1)x放缩 1 1x 12 x 1xx 1x lnx 2(x 1)x+1 12 x2+2x 32 x 1(0 x 1)1 1x 12 x2+2x 32 2(x 1)x+1 lnx x 1x 12 x 1x x 1(1 x 2)12 x2+2x 32 1 1x 2(x 1)x+1 lnx x 1x 12 x 1x 2)x+1 ex11 x(x 1)，11 x x+1 1)5.利用导数证明不等式

3、问题：(1)直接构造函数法：证明不等式 f x g x(或 f x 0(或 f x-g x 0(或 h(x)0(h(x)max 0)，因此只需在所给区间内判断 h(x)的符号，从而得到函数 h(x)的单调性，并求出函数 h(x)的最小值即可.26.证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：(1)证明 x1+x2 2a)：首先构造函数 g x=f x-f 2a-x，求导，确定函数 y=f x和函数 y=g x的单调性；确定两个零点 x1 a x2，且 f x1=f x2，由函数值 g x1与 g a的大小关系，得 g x1=f x1-f 2a-x1=f x2-f 2a-x1与零进行大小比较；

4、再由函数 y=f x在区间 a,+上的单调性得到 x2与 2a-x1的大小，从而证明相应问题；(2)证明 x1x2 a2)(x1、x2都为正数)：首先构造函数 g x=f x-f a2x，求导，确定函数 y=f x和函数 y=g x的单调性；确定两个零点 x1 a x2，且 f x1=f x2，由函数值 g x1与 g a的大小关系，得 g x1=f x1-f a2x1=f x2-f a2x1与零进行大小比较；再由函数 y=f x在区间 a,+上的单调性得到 x2与 a2x1的大小，从而证明相应问题；(3)应用对数平均不等式x1x2 x1-x2lnx1-lnx2 0)(1)若当 x=1 时函数

5、 f x取到极值，求 a 的值；(2)讨论函数 f x在区间(1,+)上的零点个数11(2022江苏南通模拟预测)已知函数 f x=x-aex-x2(1)若 a=1,x 0,1，求函数 f x的最值；(2)若 a Z，函数 f x在 x 0,+)上是增函数，求 a 的最大整数值512(2023江苏徐州校考模拟预测)已知函数 f(x)=-2x3+mx2，m R，且 g(x)=|f(x)|在 x (0,2)上的极大值为 1(1)求实数 m 的值；(2)若 b=f(a)，c=f(b)，a=f(c)，求 a,b,c 的值13(2023安徽校联考模拟预测)已知函数 f x=aex-e-x，(a R).(

6、1)若 f x为偶函数，求此时 f x在点 0,f 0处的切线方程；(2)设函数 g(x)=f(x)-(a+1)x，且存在 x1,x2分别为 g(x)的极大值点和极小值点.()求实数 a 的取值范围；()若 a (0,1)，且 g x1+kg x2 0，求实数 k 的取值范围.614(2023 上广东深圳高三深圳中学校考阶段练习)已知函数 f x=x-mlnx-n，其中 m,n R.(1)若 m=n=1，求 f x在 x=1 处的切线方程；(2)已知不等式 f x x 恒成立，当 nm 取最大值时，求 m 的值.15(2023广东韶关统考一模)已知函数 f x=ex,g x=2 x.(1)若

7、f x在 x=0 处的切线与 g x的图象切于点 P，求 P 的坐标；(2)若函数 F x=f axx2-a+2a的极小值小于零，求实数 a 的取值范围.716(2023湖北黄冈统考模拟预测)已知函数 f(x)=alnx-2x+12 x2.(1)讨论函数 f x的极值点个数；(2)若不等式 f(x)x ex+12 x-a-2-1 恒成立，求实数 a 的取值范围.17(2023山东潍坊统考模拟预测)已知函数 f(x)=mx-1+ln(x+1)，m R(1)若函数 f x图象上存在关于原点对称的两点，求 m 的取值范围；(2)当 s t 1 时，(2s-2t)ks+t-2+f(t-2)+ms-3

8、3x1x2920(2023广东统考二模)已知 a R，函数 f x=x-1ln 1-x-x-acosx，f x为 f x的导函数.(1)当 a=0 时，求函数 f x的单调区间；(2)讨论 f x在区间 0,1上的零点个数；(3)比较 110 cos 110 与 ln 109 的大小，并说明理由.二、证明题21(2023福建校联考模拟预测)设函数 f x=2x-2x-alnx(a R).(1)讨论 f x的单调性；(2)若 f x有两个极值点 x1，x2，记过点 A x1,f x1，B x2,f x2的直线的斜率为 k，若 x2 1,e，证明：2-4e-1 k 0.1022(2023福建龙岩统

9、考二模)已知函数 f(x)=lnx，g(x)=x-2x(1)若 x0满足 f x0=x0+1x0-1，证明：曲线 y=f(x)在点 A x0,lnx0处的切线也是曲线 y=ex的切线；(2)若 F(x)=f(x)-g(x)，且 F x1=F x2x1 x2，证明：F x1+F x2 4ln2-723(2023浙江统考一模)已知函数 f x=xcosx+asinx.(1)若 a=-1，证明：当 0 x-x33；(2)求所有的实数 a，使得函数 y=f x在-,上单调.1124(2023 下江苏南京高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考阶段练习)已知函数 f x=axex 和函数 g x=lnxa

10、x 有相同的最大值.(1)求 a 的值；(2)设集合 A=x f(x)=b，B=x g(x)=b(b 为常数).证明：存在实数 b，使得集合 A B 中有且仅有 3 个元素；设 A B=x1,x2,x3，x1 x2 2x2.25(2023云南大理统考一模)已知函数 f x=2 x-sinx.(1)判断函数 f x的单调性；(2)已知函数 g x=f x-4x+2mlnx，其中 m 1，若存在 g x1=g x2x1 x2，证明：x1+x2 1+lnm.1226(2023 上湖南高三邵阳市第二中学校联考阶段练习)已知函数 f x=2lnx-ax+1 a R.(1)讨论函数 f x的零点个数；(2

11、)已知函数 g x=eax-ex2 a R，当 0 a 2 ee时，关于 x 的方程 f x=g x有两个实根 x1,x2x1 x2，求证：x1-e f x+kx-11328(2023河北沧州校考三模)已知函数 f x=ln 1x+ax-2，a R.(1)若 f x 0 恒成立，求实数 a 的取值范围；(2)证明：对任意的 k N*，1+112+11+122+21+132+3 1+1k2+k e，e 为自然对数的底数.29(2023山西临汾校考模拟预测)已知函数 f x=aln x+1+12 x-12 a R(1)若 a=2，求 f x的图像在 x=0 处的切线方程；(2)若 f x恰有两个极

12、值点 x1，x2，且 x1 x1+11430(2023湖南湖南师大附中校联考一模)已知 f x=exx，g x=asinx，直线 l1是 y=f x在 x=1 处的切线，直线 l2是 y=g x在 x=0 处的切线，若两直线 l1、l2夹角的正切值为 2，且当 x 0 时，直线 l2恒在函数 y=g x图象的下方.(1)求 a 的值；(2)设 F x=f x+g x，若 x0是 F x在-,0上的一个极值点，求证：x0是函数 F x在-,0上的唯一极大值点，且 0 F x0 1,xglnxx-1 g xlnxx-1恒成立，求实数 a 的取值范围.1532(2023 上北京高三北京市八一中学校考

13、阶段练习)已知函数 f(x)=xcosx-ax+a，x 0,2，(a 0).(1)当 a 1 时，求 f(x)的单调区间；(2)求证：f(x)有且仅有一个零点.33(2023重庆统考模拟预测)已知函数 f x=xaex-1 和 g x=a+lnxx在同一处取得相同的最大值(1)求实数 a；(2)设直线 y=b 与两条曲线 y=f x和 y=g x共有四个不同的交点，其横坐标分别为 x1,x2,x3,x4(x1 x2 x3 235(2023山西校考模拟预测)已知函数 f x=lnx-a x+1,a R.(1)若 f x 0，求 a 的取值范围；(2)若关于 x 的方程 f x2=eax-ex2有两个不同的正实根 x1,x2，证明：x1+x2 2 e.1736(2023湖南永州统考一模)已知函数 f x=ln x+1,g x=axex-2lna+3ln2+3(1)当 x -1,0 0,+时，求证：f xx-12 x+1；(2)若 x -1,+时，g x f x，求实数 a 的取值范围