9.1 向量的概念-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第二册）.docx

1、9.1向量的概念【考点梳理】考点一向量的概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.2.数量：只有大小没有方向的量称为数量.考点二向量的几何表示1.有向线段具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度记作|.2.向量的表示(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，).考点三：.模、零向量、单位向量向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作|.长度为0的向量叫做零向

2、量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.考点四：相等向量与共线向量1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.(1)记法：向量a与b平行，记作ab.(2)规定：零向量与任意向量平行.2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.【题型归纳】题型一：平面向量的概念1下列命题中正确的是（）A两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同B两个有公共终点的向量，一定是共线向量C两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同D若与是共线

3、向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上2有下列结论：表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；若，则，不是共线向量；若，则四边形是平行四边形；若，则；有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中，错误的个数是（）A2B3C4D53下列说法正确的是（）A向量与向量是相等向量B与实数类似，对于两个向量，有，三种关系C两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行D若两个非零向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合题型二：向量的模4下列命题中，正确的是（）A若 ，则 或 B若，则C若，则D若，则5有关向量和向量，下列四个说法中：若，则；若，则或；若，则；若，则.其中

4、的正确的有（）A1B2C3D46下列命题中正确的个数为（）两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同；若非零向量与共线，则、四点共线；若非零向量与共线，则；四边形是平行四边形，则必有；，则、方向相同或相反.A个B个C个D个题型三：零向量和单位向量7在下列说法中：若，则；零向量的模长是；长度相等的向量叫相等向量；共线是在同一条直线上的向量其中正确说法的序号是（）ABCD8设分别是与同向的单位向量，则下列结论中正确的是（）ABCD9下列命题中正确的是（）A若、都是单位向量，则 B若=， 则A、B、C、D四点构成平行四边形C若，且，则D与是两平行向量题型四：相等向量和平行（共线）向量10下列说法中正

5、确的是（）A若都是单位向量，则B已知，为非零实数，若，则与共线C与非零向量共线的单位向量是唯一的D若向量，则11若为非零向量，则“”是“共线”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件12下列说法正确的是（）A两个单位向量的长度相等B两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C若，则 D若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等【双基达标】一、单选题13下列命题中正确的是（）A单位向量都相等B相等向量一定是共线向量C若，则D任意向量的模都是正数14给出下列命题：两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；若与同向，

6、且，则；，为实数，若，则与共线其中假命题的个数为（）A1B2C3D415下列说法正确的是（）A单位向量均相等B单位向量C零向量与任意向量平行D若向量，满足，则16下列命题正确的是（）A若，都是单位向量，则B若向量，则C与非零向量共线的单位向量是唯一的D已知为非零实数，若，则与共线17给出下列四个命题，其中正确的命题有（）A时间、距离都是向量B两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同C所有的单位向量都相等D共线向量一定在同一直线上18下列命题正确的是（）A若，则B长度等于1个单位长度的向量叫作单位向量C相等向量的起点必定相同D若，则19如图，在正中，均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（）A

7、BCD【高分突破】一、单选题20下列条件中能得到的是（）AB与的方向相同；C，为任意向量D且21下列说法中正确的是（）A单位向量都相等B任一向量与它的相反向量不相等C若，则与的长度相等，方向相同或相反D若与是相反向量，则22设点是正三角形的中心，则向量，是（）A相同的向量B模相等的向量C共线向量D共起点的向量23下列结论中正确的是（）若且，则；若，则且；若与方向相同且，则；若，则与方向相反且.ABCD二、多选题24如图，在中，分别是的中点，则（）A与共线B与共线C与共线D与共线25下列结论中正确的是（）A若，则B若，则C若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充

8、要条件D“”的充要条件是“且”26下面关于向量的说法正确的是（）A单位向量：模为的向量B零向量：模为的向量C平行共线向量：方向相同或相反的向量D相等向量：模相等，方向相同的向量27下列说法正确的是（）A两条有公共终点的有向线段表示的向量是平行向量B若任意两个非零向量相等，则表示它们的有向线段的起点与终点是一平行四边形的四个顶点C若向量与不共线，则与都是非零向量D若，则28下列说法中正确的是（）A零向量与任一向量平行B方向相反的两个非零向量不一定共线C零向量的长度为0D方向相反的两个非零向量必不相等29若非零向量，下列命题正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则30下列命题中，不正确的是（）

9、A有相同起点的两个非零向量不共线B向量与不共线，则与都是非零向量C若与共线，与共线，则与共线D“”的充要条件是且三、填空题31下列各量中，向量有：_（填写序号）浓度；年龄；风力；面积；位移；人造卫星的速度；电量；向心力；盈利；加速度32已知O是正方形ABCD的中心，则向量是_.（填序号）平行向量；相等向量；有相同终点的向量；模都相等的向量.33若为任一非零向量，为单位向量，给出下列说法：；若是与同向的单位向量，则.其中正确的说法有_个.34给出下列命题：若，则与的方向相同或相反；若，则；若两个模相等的向量互相平行，则这两个向量相等；若，则，其中正确的是_(填序号)35给出下列各命题：（1）零向

10、量没有方向； （2）若|，则； （3）单位向量都相等；（4）向量就是有向线段； （5）两相等向量若其起点相同，则终点也相同；（6）若，则；（7）若，则；（8）若四边形ABCD是平行四边形，则，.其中正确命题的序号是_.36若为任一非零向量，为单位向量，下列各式：（1）；（2）；（3）|0；（4）|1；（5）若是与同向的单位向量，则.其中正确的是_.(填序号)四、解答题37如图，多边形ABCDEF为正六边形，在以此六边形各顶点和中心为起点、终点的向量中：(1)写出与相等的向量；(2)写出的负向量；(3)写出与平行的向量；(4)写出与长度相等的向量38如图，设O是ABCD对角线的交点，则(1)与的

11、模相等的向量有多少个？(2)与的模相等，方向相反的向量有哪些？(3)写出与共线的向量39如图，O是正六边形ABCDEF的中心，且，在以A，B，C，D，E，F，O这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：（1）与相等的向量有哪些？（2）的相反向量有哪些？（3）与共线的向量有哪些？40如图所示，ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.（1）写出与共线的向量；（2）写出与的模大小相等的向量；（3）写出与相等的向量.【答案详解】1A【分析】根据向量相等与共线的概念即可解决.【详解】两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A正确；两个有公共终点的向量，可能方

12、向不同，也可能模长不同，故B错误；两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C错误；与是共线向量，也可能是AB平行于CD，故D错误.故选：A2B【分析】由向量的定义、有关性质逐项判定可得答案.【详解】对于，表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，正确；对于，若也有可能，长度不等，但方向相同或相反，即共线，错误；对于，若，则，不一定相等，所以四边形不一定是平行四边形，错误；对于，若，则，正确；对于，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，错误.综上，错误的是，共3个.故选：B.3D【分析】根据向量的基本概念辨析可知.【详解】解：对于A，向量与向

13、量是相反向量，所以A错误；对于B，因为向量是有方向和大小的量，所以两个向量不能比较大小，所以B错误；对于C，当两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线平行或共线，所以C错误；对于D，由共线向量的定义可知，当两个向量是共线向量时，有向量所在的直线可以平行，也可以重合，所以D正确.故选：D4C【分析】由向量、单位向量、零向量、相等向量的定义对选项一一判断，即可得出答案.【详解】对于A，任何单位向量的模长都相等，但它们不全共线，故A错；对于B，两个向量的模可以比较大小，但是两向量之间不能比较大小，故B错；对于C，由知，的方向相同，长度相等，故共线即平行，故C正确；对于D，0为数量，为向量，向量与

14、数量之间不相等，故D不正确.故选：C5B【分析】由零向量的定义、向量的模、共线向量的定义，即可得出结果.【详解】由零向量的定义，可知正确；由向量的模定义，可知不正确；由向量共线可知不正确.故选：B6B【分析】根据相等向量的定义判断的真假；根据共线向量的定义判断的真假；根据共线向量的等价条件判断的真假；根据相等向量的定义判断的真假；取判断的真假.【详解】相等向量是大小相等、方向相同的向量，如果两个相等向量起点相同，则由定义知终点必相同，命题是假命题；共线向量是基线平行或重合的向量，若非零向量与共线且直线与平行时，、四点不共线，命题是假命题；若非零向量与共线，则存在非零实数，使得，命题是假命题；四

15、边形是平行四边形，则，由相等向量的定义可知，命题是真命题；若为非零向量，则、方向无法确定，命题是假命题.故选：B.【点睛】本题考查相等向量、共线向量的有关知识，需掌握相等向量、共线向量的定义和特点，属简单题.7A【分析】根据相等向量、共线向量、零向量的定义判断即可；【详解】解：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若，则，故错误，正确，模为的向量叫做零向量，故正确，方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也称为共线向量，规定零向量和任意向量平行，故错误；故选：A8D【分析】由向量的基本概念对选项逐一判断【详解】单位向量的模长为1，故，D正确，题中分别与同向，而方向不确定，故A，B，C错误

16、，故选：D9D【分析】按照向量的概念及共线向量依次判断四个选项即可.【详解】选项A中单位向量方向可以不同，故不一定成立；选项B中A、B、C、D四点可能共线，不能组成四边形；选项C中当时，、为任意向量；选项D正确，相反向量是一对平行向量.故选：D.10B【分析】利用两向量相等：大小相等、方向相同，即可判断A错误; 对于B选项：由两向量共线定理判断即可；与非零向量共线的单位向量方向可与其相同也可相反即可判断C错误;当时，D错误.【详解】对于A选项：都是单位向量，即，但方向可能不一样.故A错误;对于B选项：，为非零实数，若，即，由两向量共线定理可知与共线.故B正确;对于C选项：与非零向量共线的单位向

17、量有两个：与.故C错误.对于D选项：当时，错误.故选：B.11B【分析】表示与同向的单位向量，共线可能同向共线、也可能反向共线，再由充分性、必要性的定义可求出答案.【详解】依题意为非零向量， 表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，则表示与同向的单位向量，所以能推出共线，所以充分性成立；共线可能同向共线、也可能反向共线，所以共线得不出，所以必要性不成立.故选：B.12A【分析】根据向量相等与共线定义即可判断结果【详解】单位向量的长度，则A正确，两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，B错；当时，与可能不共线，则C错；两个单位向量平行也可能反向，则不相等，故

18、D错，故选：A.13B【分析】根据单位向量，共线向量及向量的基本概念逐项分析即得.【详解】对于A，单位向量的模长相等，方向不一定相同，故A错误；对于B，相等向量一定是共线向量，故B正确；对于C，若，而与不一定平行，故C错误；对于D，零向量的模长是，故D错误故选：B.14C【分析】根据向量共线定义判断；根据向量相等的定义和平行四边形的定义判断；根据两向量不能比较大小判断；举反例否定.【详解】不正确当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线；正确，|且；又是不共线的四点，四边形是平行四边形反之，若四边形是平行四边形，则且与方向相同，因此；不正确两向量不能比较大小不正确当时，与可以为任意向量

19、，满足，但与不一定共线故选：.15C【分析】对于A：由方向不一定相同否定结论；对于B：单位向量.否定结论；对于C：零向量与任意向量平行.即可判断；对于D：，的方向可以是任意的. 否定结论.【详解】对于A：单位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A错误；对于B：单位向量.故B错误；对于C：零向量与任意向量平行.正确；对于D：若向量，满足，但是，的方向可以是任意的.故选：C16D【分析】根据向量的基本概念和共线定理，逐项判断，即可得到结果.【详解】单位向量的方向不一定相同，故A错误；当时，显然与不一定平行，故B错误；非零向量共线的单位向量有，故C错误；由共线定理可知，若存在非零实数，使得，则与共线

20、，故D正确.故选：D.17B【分析】根据向量的基本概念和定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对：时间和距离没有方向，不是向量，故错误；对：两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同，故正确；对：所有的单位向量，模长都相等，但方向不一定相同，故错误；对：共线向量可以在同一直线上，也可以不在同一直线上，故错误.故选：B.18B【分析】根据平行向量的定义，当时，即可判断A；根据单位向量的定义即可判断B；根据相等向量的定义即可判断C；根据向量的定义即可判断D.【详解】解：当时，与不一定平行，A错误；长度等于1个单位长度的向量叫作单位向量，B正确；相等向量的起点不一定相同，C错误；向量

21、不能比较大小，D错误故选：B.19D【分析】根据相等向量的定义直接判断即可.【详解】与方向不同，与均不相等；与方向相同，长度相等，.故选：D.20D【分析】根据相等向量的概念，即可得到结果.【详解】由于，所以与的大小相等，方向相同，故D正确.故选：D.21D【分析】由相等向量、相反向量、模长相等的向量的定义依次判断各个选项即可.【详解】对于A，单位向量方向不同时并不相等，A错误；对于B，的相反向量为，B错误；对于C，则与的长度相等，与方向无关，C错误；对于D，相反向量是模长相等，方向相反的向量，D正确.故选：D.22B【分析】根据正三角形的中心到三个顶点的距离相等，得到这三个向量的模长相等，而

22、这三个向量的方向不同，起点不同，所以它们只有模长相等的一个条件成立.【详解】是正的中心，向量，分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的，是正三角形的中心，到三个顶点的距离相等，即，故选：B.23B【分析】根据向量相等定义判断即可【详解】若且，则或，则错；若，则且，正确；若与方向相同且，则，正确；若，则与方向不定，且与大小也不定，则错故选：B24BD【分析】根据向量共线概念即可求解结果【详解】对于A，因为与不平行，且不在同一条直线上，所以与不共线，A错；对于B，因为D，E分别是AB，AC的中点，则与平行，故与共线，B正确；对于C，因为与不平行，且不在同一条直线上，所以与不共线，C错；对于D，因为

23、D是AB的中点，所以，所以与不共线，D正确故选：BD25BC【分析】根据平面向量的性质、平行的性质与充分必要条件的定义逐个辨析即可.【详解】对于A，两个向量的长度相等.但它们的方向不一定相同；对于B，由平面向量相等可得B正确；对于C，若A，B，C，D是不共线的四点，则当时，且，故四边形ABCD为平行四边形；当四边形ABCD为平行四边形时，且，故且同向，故，故C正确；对于D，当且方向相反时，即使，也不能得到，故D错误；故选：BC26ABCD【分析】根据平面向量的基本定义逐个辨析即可.【详解】根据向量的定义可得，模为的向量为单位向量，模为的向量为零向量，方向相同或相反的向量为共线向量，模相等，方向

24、相同的向量为相等向量，ABCD均正确，故选：ABCD27CD【分析】由平行向量的定义判断选项A不正确；由相等向量可得B不正确；由反证法可得C正确；由相等的传递性可得D正确【详解】有公共终点的有向线段的方向不一定相同或相反，故A不正确两个相等的非零向量可以在同一直线上，故B不正确若向量与不共线，则与都是非零向量，否则不妨设为零向量，则与共线，这与与不共线矛盾，故C正确若，则，的长度相等且方向相同；若，则，的长度相等且方向相同，所以，的长度相等且方向相同，故，故D正确故选：CD28ACD【分析】利用零向量的定义及性质判断选项A和选项C，利用共线向量的定义判断选项B，利用相等向量的定义判断选项D.【

25、详解】解：零向量与任一向量平行，零向量的方向不确定，但模确定为0，故A与C都是正确的；根据共线向量的定义，方向相反的两个非零向量一定共线，故B错误；对于D，因为向量相等的定义是长度相等且方向相同的向量，所以方向相反的两个非零向量必不相等，故D正确故选：ACD29BD【分析】根据向量是具有大小和方向的量，对AB选项作出判断，根据的概念，对CD选项作出判断.【详解】向量是具有方向的量，方向不同时，A错误；若，则一定有，B正确；若，则只能说明非零向量，共线，大小不同或方向相反，都有，C错误；若，则，共线且方向相同，所以，D正确.故选：BD30ACD【分析】根据共线向量的定义分析可知.【详解】有相同起

26、点的两个非零向量，若方向相同或相反，则两向量共线，故A不正确；因为零向量与任何向量都平行，所以B正确；当为零向量时，与不一定共线，故C不正确；当与互为相反向量时，显然由“且”推不出“”，故D不正确.故选：ACD31【分析】根据向量的概念判断即可.【详解】解：向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，人造卫星的速度，向心力，加速度.故答案为：.32【分析】根据向量的有关概念及正方形的性质即可求解.【详解】解：根据向量的有关概念及正方形的性质，可得向量是模都相等的向量.故答案为：.331【分析】根据平面向量的模的概念和零向量、单位向量的概念判断，根据平行向量的概念即可判断.【详解】由题意知，

27、对，当时，不一定有，故错误；对，与方向不一定相同或相反，所以与不一定平行，故错误；对，非零向量的模必大于0，即，故正确；对，向量的模非负，故错误；对，与方向不一定相同，所以与方向不一定相同，故错误.综上可知，只有正确，正确的说法只有1个.故答案为：134【分析】利用平行向量、相等向量的定义依次判断各个命题作答.【详解】因零向量的方向是任意的，且零向量与任意向量平行，则当，对于任意的向量，都有，错误；当时，对于任意的向量，都有，而，不一定共线，错误；两个模相等的向量互相平行，其方向可能相反，错误；由两个向量相等的定义及性质得正确故答案为：35（5），（6）【分析】依据零向量定义判断（1）；依据向

28、量定义判断（4）；依据向量相等的定义去判断（2）、（3）、（5）、（6）、（8）；依据向量共线定义判断（7）.【详解】（1）零向量的方向任意.说法错误；（2）若|，则向量，长度相等，但方向不一定相同.说法错误；（3）单位向量长度相等，但是方向不一定相同.说法错误；（4）向量可以用有向线段表示.向量平移后与原向量相等, 有向线段则没有这一性质.说法错误；（5）相等向量方向相同，长度相等，故相等向量若起点相同，终点必相同.说法正确；（6）依据等量代换，若，则.说法正确；（7）当时，若，则与不一定平行.说法错误；（8）若四边形ABCD是平行四边形，则，.说法错误.故答案为：（5），（6）36（3）【

29、分析】根据平面向量的模的概念和零向量、单位向量的概念判断(1)(3)(4)，根据平行向量的概念即可判断(2)(5).【详解】由题意知，对（1），当时，不一定有，故(1)错误；对（2），与方向不一定相同或相反，所以与不一定平行，故(2)错误；对（3），非零向量的模必大于0，即，故(3)正确；对（4），向量的模非负，故(4)错误；对(5)，与方向不一定相同，所以与方向不一定相同，故(5)错误.综上可知（3）正确.故答案：（3）37(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】（1）（2）（3）（4）由相等向量，负向量，平行向量，长度相等向量定义可得答案.【详解】（1）两向量相等是指两向量方向相同，长度相

30、等，由图可得与相等的向量为：，；（2）向量的负向量是指与方向相反，长度相等的向量，由图可得的负向量为：，；（3）两向量平行，是指两向量方向相同或相反，由图可得平行的向量为：，.（4）由图，因图形为正六边形，则，故与长度相等的向量为：，.38(1)三个(2)，(3)，【分析】（1）（2）（3）根据平行四边形的性质、共线向量、向量的模的定义判断即可；(1)解：在平行四边形中，为对角线的交点，所以，且，所以与的模相等的向量有，三个向量(2)解：与的模相等且方向相反的向量为，.(3)解：与共线的向量有，.39(1)(2)(3)【分析】根据相等向量、相反向量、平行向量的概念结合图形进行分析求解.【详解】（1）与长度相同，方向相同的向量有：；（2）与长度相同，方向相反的向量有：；（3）与方向相同或相反的向量有：.40（1），；（2），；（3）与.【分析】（1）利用共线向量的定义，结合中位线的性质，得到答案；（2）利用中位线的性质结合点是的中点，得到答案；（3）结合相等向量的定义，得到答案.【详解】（1）因为E，F分别是AC，AB的中点，所以.所以与共线的向量有：，；（2）由（1）知且，又D是BC的中点，故与模相等的向量有： ，；（3）与相等的向量有：与.