9.2.2 向量的数乘-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第二册）.docx

1、9.2.2向量的数乘【考点梳理】考点一向量数乘的定义实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，其长度与方向规定如下：(1)|a|a|.(2)a (a0)的方向特别地，当0时，a0.，当1时，(1)aa.考点二向量数乘的运算律1 .(1)(a)()a.(2)()aaa.(3)(ab)ab.特别地，()aa(a)，(ab)ab.2.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数，1，2，恒有(1a2b)1a2b.考点三向量共线定理向量a (a0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使ba.【题型归纳】题型一：向量数乘的运算1（202

2、2春陕西咸阳高一校考期末）若AD是ABC的中线，已知，则等于（）ABCD2（2022高一）计算：(1)；(2).3（2022高一）化简：(1)；(2)；(3)；(4).题型二：平面向量的混合运算4（2022全国高一假期作业）如图所示，在ABC中，D为AB的中点，则（）ABCD5（2022春黑龙江哈尔滨高一哈九中校考阶段练习）已知D为所在平面内一点，且，则（）ABCD6（2022全国高一专题练习）化简（1）；（2）题型三：向量的线性运算的几何应用7（2022春四川甘孜高一统考期末）在中，若分别为的中点，则（）ABCD8（2022春广西百色高一统考期末）在中，P为AB上的一点，且，则（）A，B，C

3、，D，9（2021春高一课时练习）如图，在中，D，E为边的两个三等分点，求题型四：三角形的心的向量表示10（2020春河北衡水高一校考阶段练习）已知O为内一点，若分别满足；(其中为中，角所对的边).则O依次是的A内心、重心、垂心、外心B外心、垂心、重心、内心C外心、内心、重心、垂心D内心、垂心、外心、重心11（2022春湖南永州高一永州市第四中学校考阶段练习）已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足R.则P点的轨迹一定通过三角形ABC的（）A内心B外心C重心D垂心12（2022全国高一专题练习）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离

4、是重心到垂心距离的一半此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理设点，分别是的外心、垂心，且为中点，则 （）ABCD【双基达标】一、 单选题13（2023秋北京昌平高一统考期末）如图，在矩形中，对角线交于点，则下列各式一定成立的是（）ABCD14（2022春山东聊城高一山东聊城一中校考阶段练习）已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的（）A垂心B内心C外心D重心15（2022全国高一假期作业）下列各式化简正确的是（）ABCD16（2022春吉林长春高一长春市实验中学校考阶段练习）在中，设，又，则（）ABCD17（2023高一课时练习）计算：_18（2022春

5、黑龙江齐齐哈尔高一阶段练习）若，则_19（2022春高一）化简：(1)(2)【高分突破】一、单选题20（2022春新疆巴音郭楞高一校考期末）在中，是边上的中点，则（）ABCD21（2022春河南驻马店高一统考期末）平行四边形ABCD的对角线的交点为O，则（）ABCD22（2022春浙江台州高一统考期末）的化简结果为（）ABCD23（2022全国高一假期作业）已知点在所在的平面内，满足，则动点的轨迹一定通过的（）A内心B垂心C外心D重心24（2022春湖南高一校联考阶段练习）如图，在平行四边形中，相交于点，点在线段上，且，若，则（）ABCD25（2022春河北石家庄高一石家庄市第十五中学校考期中

6、）如图，在平行四边形中，E是的中点，则（）ABCD26（2022春广东广州高一执信）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，已知，则（）ABCD二、多选题27（2022春安徽安庆）在中，D，E，F分别是边的中点，点G为的重心，则下列结论中正确的是（）ABCD28（2022高一单元测试）设是两个非零向量，则下列命题中正确的有（）A若，则存在实数使得B若，则C若，则在方向上的投影向量为D若存在实数使得，则29（2022高一课时练习）在中，记，则下列结论中正确

7、的是（）ABCD30（2022春广东珠海高一统考期末）设是所在平面内的一点，且，则下列结论不正确的是（）ABCD31（2022春黑龙江大庆高一铁人中学校考阶段练习）数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点、分别的外心、重心、垂心，且为的中点，则（）ABCD32（2022春江苏无锡高一江苏省江阴市第一中学校考阶段练习）（多选题）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且，下列关系中正确的是（）AB

8、CD33（2022全国高一专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E在线段DC上，且满足，则下列结论中正确的有（）ABCD34（2022春新疆巴音郭楞高一）对于非零向量，下列说法正确的是（）A的长度是的长度的2倍，且与方向相同B的长度是的长度的，且与方向相反C若，则等于零D若，则是与同向的单位向量三、填空题35（2022高一单元测试）平行四边形的对角线交于O点，P为平面内任意一点，化简_36（2022春北京丰台高一统考期中）如图，在中，向量，且，则_.37（2022春上海宝山高一上海交大附中校考期中）正五角星是一个与黄金分割有着密切联系的优美集合图形，在如图所示的正五角星中，A、B、C、D、

9、E是正五边形的五个顶点，且，若，则_38（2022春江苏扬州高一扬州中学校考期中）已知在平面直角坐标系中，点点（其中为常数，且），点为坐标原点.如图，设点是线段的等分点，则当时，=_.（用含的式子表示）四、解答题39（2022春河北邢台高一邢台市第二中学校考开学考试）在平行四边形中，设，(1)用，表示；(2)用，表示40（2022高一单元测试）如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设，.(1)用向量与表示向量，；(2)若，求证：三点共线.41（2022全国高一）如图，在中，C是AB的中点设，试用，表示42（2022春重庆酉阳高一校考阶段练习）（1）化简：（2）已知向量为，未知向量为向

10、量，满足关系式，求向量【答案详解】1D【分析】由向量的加法法则即可求解【详解】因为是的中点，由向量的平行四边形法则可得：，故选：D2(1)(2)【分析】（1）利用平面向量线性运算的运算律进行计算.（2）利用平面向量线性运算的运算律进行计算.【详解】（1）原式=.（2）原式=.3(1)；(2)；(3)；(4).【分析】根据平面向量数乘运算的运算律，对每个小问进行逐一运算，即可求得结果.【详解】（1）（2）（3）（4）4A【分析】根据向量的线性运算法则计算可得【详解】在ABC中，D为AB的中点，故选：A5C【分析】利用向量加减法公式，化简已知条件，即可判断结果.【详解】由条件可知，得.故选：C6（

11、1）；（2）.【分析】结合平面向量的线性运算化简整理即可求出结果.【详解】（1）；（2）.7C【分析】根据平面向量的数乘，由分别为的中点，根据平面向量的加法，可得答案.【详解】因为是的中点，所以.因为是的中点，所以.所以，故选：C.8A【分析】由，可得，化简后，再与比较可求出的值【详解】因为在中，P为AB上的一点，且，所以，所以，因为，所以，故选：A9，【分析】由各向量对应线段的几何关系，结合向量加减、数乘的几何意义有，再根据、求关于的表达式.【详解】，又D，E为边的两个三等分点，10B【解析】对，易得点O到点的距离相等即可判断.对，根据向量的数量积运算可求得， ，即可判断.对，根据重心的性质

12、与数量积的运算判断即可.对，根据平面向量的线性运算可得，进而可知在三个角的角平分线上即可证明.【详解】对于，因为，所以点O到点的距离相等，即点O为的外心;对于，因为，所以，所以，即，同理，即点O为的垂心;对于，因为，所以，设D为的中点，则，即点O为的重心;对于，因为，故，整理得.又，所以.因为分别为，方向的单位向量，故与的角平分线共线.同理与的角平分线共线，与的角平分线共线.故点O为的内心.故选：B【点睛】本题主要考查了根据根据平面向量的关系分析三角形四心的问题，需要根据题意结合四心的性质，利用平面向量的运算以及性质求证.属于中档题.11C【解析】利用正弦定理化简已知条件，由此判断出的轨迹经过

13、重心.【详解】设三角形外接圆的半径为，由正弦定理得，所以，根据向量加法的几何意义可知：表示以为邻边的平行四边形的对角线，此对角线与三角形中线重合，所以在三角形的中线上，也即点的轨迹一定通过三角形的重心.故选：C【点睛】本小题主要考查正弦定理的运用，考查向量加法的几何意义，属于中档题.12D【解析】构造符合题意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的线性运算法则进行计算即可得解【详解】解：如图所示的，其中角为直角，则垂心与重合，为的外心，即为斜边的中点，又为中点，为中点，故选：【点睛】本题考查平面向量的线性运算，以及三角形的三心问题，同时考查学生分析问题的能力和推理论证能力13D【分析

14、】由矩形的几何性质，结合各线段对应向量的关系判断各项的正误.【详解】由图知：，故A错误；不相等，即，故B错误；，故C错误；，故D正确.故选：D14D【分析】直接利用平面向量的线性运算和三角形重心的定义，即可判断点G是ABC的重心.【详解】因为，所以.以GA、GB为邻边作平行四边形GADB，连接GD交AB于点O.如图所示:则，所以，CO是AB边上的中线，所以G点是ABC的重心.故选：D15D【分析】根据向量加减法运算法则计算即可【详解】对于A，故错误；对于B，故错误；对于C，故错误；对于D，故正确；故选：D16A【分析】根据向量的加法、数乘运算化简求解即可.【详解】，, ，故选：A17【分析】根

15、据向量的数乘运算法则即可得出结果.【详解】易知，故答案为：181【分析】由，得到，又，代入后即可求解.【详解】，又，解得，故答案为：119(1)(2)【分析】根据向量的线性运算，即可得到答案；(1)原式(2)原式20C【分析】根据平面向量的线性运算可得答案.【详解】因为是边上的中点，所以，故选：C21C【分析】根据向量的平行四边形法则求解即可【详解】根据向量的平行四边形法则可得故选：C22B【分析】由平面向量的线性运算方法即可求得答案.【详解】由题意，.故选：B.23D【分析】由给定条件可得，由表示出即可判断作答.【详解】令边BC上的高为h，则有，令边BC的中点为D，则，因此，即，所以动点的轨

16、迹一定通过的重心.故选：D24B【分析】由平面向量的运算法则求解【详解】平行四边形中，因为，所以，又因为，所以，又因为，所以，则，故选：B25C【分析】利用平面向量的线性运算求得正确答案.【详解】.故选：C26A【分析】根据正五边形的性质以及平面向量的线性运算可求出结果.【详解】设，则，所以，所以.故选：A27BCD【分析】由向量的线性运算结合三角形的重心的性质求解即可【详解】解：如图：对于选项A，即选项A错误；对于选项B，点为的重心，则，即选项B正确；对于选项C，即选项C正确；对于选项D，即，即选项D正确，故选：BCD28ABC【分析】根据平面向量的模、及线性运算的概念即可判断.【详解】当时

17、，的方向相反且，则存在负实数，使得，故A正确D错误；若，则以为邻边的平行四边形为矩形，且和是这个矩形的两条对角线长，所以，故B正确；若则的方向相同在方向上的投影向量为，故C正确故选：ABC.29AC【分析】利用图形关系进行平面向量的加法运算、减法运算及数乘运算即可.【详解】解：因为，所以，所以，.故选：AC.30ACD【分析】由题设知为中点，数形结合并根据向量加法、数乘的几何意义判断各项的正误即可.【详解】由知：为中点，故，B正确，A、D错误；，C错误；故选：ACD31BCD【分析】利用重心的几何性质可判断A选项；由可得，利用平面向量的线性运算可得出，再结合可判断B选项；利用可判断C选项；利用

18、三角形外心的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，因为为的重心，则且，所以，故，A错；对于B选项，由题意可知，因为，则，B对；对于C选项，C对；对于D选项，因为为的外心，则，D对.故选：BCD.32AC【分析】结合平面向量的线性运算对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且在A中，故A正确； 在B中，故B错误；在C中，故C正确；在D中，若，则，不合题意，故D错误故选：AC33ABD【分析】应用几何图形进行向量加减运算，结合向量的概念、三角形及平行四边形法则，即可判断各项正误【详解】因为四边形ABCD为平行四边形，所以，故A正确，根据向量加法

19、的平行四边形法则可得：，故B正确，根据向量的减法法则可得：，故C错误，由图知，故D正确，故选：ABD【点睛】本题考查了平面向量的加法、减法、数乘运算在几何图形的应用，考查了学生综合分析，数形结合的能力，属于简单题34ABD【分析】对于选项ABD可以直接利用向量和数乘向量的定义判断，对于选项C，等于零向量，不是零，故C错误.【详解】解：对于A： 的长度是的长度的2倍，且与方向相同，故A正确；对于B：的长度是的长度的，且与方向相反，故B正确；对于C：若，则等于零向量，不是零，故C错误；对于D：若，则是与同向的单位向量，故D正确.故选：ABD35【分析】根据平面向量的运算法则计算即可.【详解】如图所

20、示，所故答案为：361【分析】利用图形关系进行平面向量的线性运算求出，即可得出结果.【详解】由题意知，所以，所以，则，故.故答案为：1.37【分析】利用黄金分割，得出，再根据向量的线性运算及相反向量定义即可求解.【详解】由题意可知，即，又，所以，所以.故答案为：.38【分析】根据对称性以及向量加法的平行四边形法则，将式子化简，再求模长即可.【详解】设AB的中点为M,则当时，由对称性可知:.故答案为:.39(1)(2)【分析】（1）利用向量加减法化简得便可得答案.（2）利用向量加减法化简得便可求出答案.(1)解：，且四边形是平行四边形(2)40(1)，(2)证明见解析【分析】（1）由平面向量基本定理即可写出答案；（2）由，即可写出，结合，可知，由此即可说明三点共线.（1），；（2）证明：，与平行，又与有公共点，三点共线.41【分析】根据向量的加法、减法及数乘运算，求解即可.【详解】根据向量的加法，减法及数乘运算法则可得：42（1） ；（2） ，【分析】（1）利用向量的加减、数乘运算化简即可.（2）联立题设向量的线性关系式，可得关于的线性表达式，进而求关于的线性表达式.【详解】（1）（2）由，+，得，代入得，即，