9.3 因式分解【九大题型】（举一反三）（苏科版）（学生版）.docx

1、专题9.3 因式分解【九大题型】【苏科版】【题型1 因式分解的意义】1【题型2 利用因式分解求系数的值】2【题型3 利用公式法进行因式分解求代数式的值】2【题型4 利用平方差公式进行因式分解确定整除问题】3【题型5 因式分解】3【题型6 利用添项进行因式分解】4【题型7 利用拆项进行因式分解】4【题型8 利用因式分解确定三角形的形状】4【题型9 因式分解在阅读理解中的运用】4【知识点1 因式分解】定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法：提公因式法：pa+pb+pc

2、=p(a+b+c)；公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。【题型1

3、因式分解的意义】【例1】（2022济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）Ax2x1x（x1）1Bx21（x1）2Cx2x6（x3）（x+2）Dx（x1）x2x【变式1-1】（2022秋儋州校级期末）下列各式不能因式分解的是（）Aa2b2Ba22a+1CabaDa2+b2【变式1-2】（2022春青川县期末）下列各式因式分解正确的是（）A12a2+a+12=a2+2a+1（a+1）2Ba2+ab6b2a（a+b）6b2Ca2b2ab（a+b）（ab）abDa2a2+a3a（12a+a2）a（1a）2【变式1-3】（2022秋德惠市期末）给出六个多项式：x2+y2；x2+y2；x2+2

4、xy+y2；x41；x（x+1）2（x+1）；m2mn+14n2其中，能够分解因式的是 （填上序号）【题型2 利用因式分解求系数的值】【例2】（2022攀枝花模拟）若关于x的多项式x2px6含有因式x2，则实数p的值为（）A5B5C1D1【变式2-1】（2022春聊城期末）如果100x2+kxy+49y2能分解为（10x7y）2，那么k【变式2-2】（2022春南山区校级期中如果x3+ax2+bx+4有两个因式（x+1）和（x+2），则a+b的值为 【变式2-3】（2022秋青羊区校级期中）已知x2+x6是多项式2x4+x3ax2+bx+a+b1的因式，则a；b【题型3 利用公式法进行因式分解

5、求代数式的值】【例3】（2022春渠县校级期中）若a1999x+2000，b1999x+2001，c1999x+2002，则多项式a2+b2+c2abacbc的值为（）A0B1C2D3【变式3-1】（2022春新吴区校级期中）（1）已知x+y4，xy2，求2x3y+4x2y2+2xy3的值；（2）已知x=112，化简并计算：（12x）2（2x+1）2（3+2x）2（32x）2【变式3-2】（2022春洪泽区期中）一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为6，则m2n+mn2的值为【变式3-3】（2022安顺模拟）已知m24n+a，n24m+a，mn，则m2+2mn+n2的值为（）A16

6、B12C10D无法确定【题型4 利用平方差公式进行因式分解确定整除问题】【例4】（2022秋新泰市月考）两个连续的奇数的平方差总可以被k整除，则k等于（）A6B8C6的倍数D8的倍数【变式4-1】（2022秋河北区期末）对于任意整数n，多项式（n+7）2n2都能被（）A2整除Bn整除C7整除Dn+7整除【变式4-2】（2022秋荔城区校级期中）对于任意的正整数n，能整除代数式（3n+1）（3n1）（3n）（3+n）的整数是（）A3B6C10D9【变式4-3】（2022春招远市期末）已知4241可以被6070之间的某两个整数整除，则这两个数是（）A61，63B63，65C65，67D63，64【

7、题型5 因式分解】【例5】（2022秋梅里斯区期末）因式分解（1）3x3y2+6x2y33xy4；（2）3x（ab）6y（ba）【变式5-1】（2022春聊城期末）把下列各式分解因式：（1）9xy215x3y；（2）9x2y+3xy26xyz；（3）3m2n6mn+3m；（4）24a2b8ab2+28ab3【变式5-2】（2022碑林区校级开学）把下列各式分解因式：（1）4xyz4x2yx12xy2z；（2）20am+1b2m+412a2m+1bm+2；（3）20c（ab）225（ba）3；（4）x（x2）x+2【变式5-3】（2022寻乌县模拟）把下列各式分解因式：（1）6（ab）2+3（a

8、b）；（2）x（x1）3x+4；（3）x2（y21）+2x（y21）+（y21）；（4）a5-12a3b2+116ab4【题型6 利用添项进行因式分解】【例6】（2022秋河北区期末）因式分解：x4+4y4【变式6-1】（2022寻乌县模拟）因式分解：x22axb22ab【变式6-2】（2022春永定区期中）把多项式x4+324因式分解【变式6-3】（2022柳南区二模）分解多项式a51的结果是 【题型7 利用拆项进行因式分解】【例7】（2022秋江油市期末）分解因式：m2+6m+8【变式7-1】（2022秋微山县月考）分解因式：a26a+8【变式7-2】（2022寻乌县模拟）把x24x+3因

9、式分解【变式7-3】（2022秋微山县月考）分解因式：a4+10a2b2+9b4【题型8 利用因式分解确定三角形的形状】【例8】（2022秋鱼台县期末）已知：a，b，c为ABC的三边长，且2a2+2b2+2c22ab+2ac+2bc，试判断ABC的形状，并证明你的结论【变式8-1】（2022春市中区期末）ABC三边a，b，c满足2a2+b2+c22a（b+c），判断ABC的形状，并说明理由【变式8-2】（2022春乐平市期末）ABC三边a，b，c满足a2abac+bc0，判断ABC的形状【变式8-3】（2022秋临沂期末）已知a，b，c为ABC的三边，且b2+2abc2+2ac，试判断ABC的

10、形状并说明理由【题型9 因式分解在阅读理解中的运用】【例9】（2022春市中区期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2（1+x）1+x+x（x+1）（1+x）2（1+x）（1+x）3（1）上述分解因式的方法是 ，共用了次（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）2021，则结果是 （3）依照上述方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）n（n为正整数）【变式9-1】（2022秋徐闻县期末）阅读下列材料：材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足qmn且pm+n，则可以把x2+px+q

11、因式分解成（x+m）（x+n）（1）x2+4x+3（x+1）（x+3）（2）x24x12（x6）（x+2）材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1解：将“x+y”看成一个整体，令x+yA，则原式A2+2A+1（A+1）2再将“A”还原，得：原式（x+y+1）2上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x26x+8分解因式（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：分解因式：（xy）2+4（xy）+3；分解因式：m（m+2）（m2+2m2）3【变式9-2】（2022春盱眙县期末）（1）学习“完全平方公式”时，小明遇到课本上一道题目

12、“计算（a+b+c）2”，他联系所学过的知识和方法，想到两种解决思路；可以用“整体思想”把三项式转化为两部分：（a+b）+c2或a+（b+c）2，然后可以利用完全平方公式解决，请你选择一种变形方法写出计算过程；可以用“数形结合”的方法，画出表示（a+b+c）2的图形，根据面积关系得到结果请你在下面方框中画出图形，并作适当标注（2）利用（1）的结论分解因式：x2+y2+42xy+4x4y；（3）小明根据“任意一个数的平方不小于0”，利用配方法求出了一些二次多项式的最大值或最小值，方法如下：x26x+7x26x+92（x3）22（x3）20（x3）222故当x3时代数式x26x+7的最小值为2x2

13、2x+3（x2+2x+1）+4（x+1）2+4（x+1）20（x+1）2+44故当x1时代数式x22x+3的最大值为4请你参考小明的方法，求当x，y取何值时代数式2x2+y22xy2x+20有最小值，并确定它的最小值【变式9-3】（2022秋丰台区校级期中）阅读下列材料在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，使于观察如何进行因式分解我们把这种因式分解的方法称为“换元法”下面是小涵同学用换元法对多项式（x2+4x+1）（x2+4x+7）+9进行因式分解的过程解：设x2+4xy原式（y+1）（y+7）+9（第一步）y2+8y+16（第二步）（y+4）2（第三步）（x2+4x+4）2（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的A提取公因式法B平方差公式法C完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：（3）请你用换元法对多项式（x22x）（x22x+2）+1进行因式分解（4）当x时，多项式（x22x）（x22x+2）1存在最值（填“大”或“小”）请你求出这个最值