9.4 抛物线（精练）（教师版）.docx

1、9.4抛物线（精练）1（2023安徽亳州蒙城第一中学校联考模拟预测）图1是世界上单口半径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为156.25米，它的一个轴截面开口向上的抛物线C的一部分，放入如图2所示的平面直角坐标系内，已知该抛物线上点P到底部水平线（x轴）距离为，则点到该抛物线焦点F的距离为（）ABCD【答案】A【解析】令抛物线方程为且，由题设在抛物线上，则，得，又且，则P到该抛物线焦点F的距离为米.故选：A2（2023春河北廊坊 ）已知抛物线，过点的直线l交C于A，B两点，

2、则直线，（O为坐标原点）的斜率之积为（）AB8C4D【答案】A【解析】设l的方程为，联立，得，则，所以，所以故选：A3（2023秋海南高三海南中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，若直线与交于，两点，且，则（）A4B5C6D7【答案】B【解析】令，则，故，所以，所以，故准线为，则.故选：B4（2023四川资阳统考三模）已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则直线l的斜率是（）AB4CD【答案】A【解析】设，则作差得.因为，所以P是线段AB的中点，所以，则直线l的斜率.故选：A5（2023春河南新乡高三校联考开学考试）已知直线l交抛物线于M，N两点，且MN的中点为，则直线l的

3、斜率为（）ABC3D【答案】C【解析】易知直线l的斜率存在，设直线的斜率为k，则，两式相减得，整理得，因为MN的中点为，则，所以，即直线l的斜率为3故选：C6（2023四川成都树德中学校考模拟预测）为：的焦点，点在曲线上，且在第一象限，若，且直线斜率为，则的面积（）A1BC2D【答案】B【解析】如图，设点，所以，由题意，所以，得，或（舍去），所以，故选：B7（2023春广东汕头高三校联考阶段练习）（多选）设抛物线的焦点为，准线为为上一动点，则下列结论正确的是（）A当时，的值为4B当时，抛物线在点处的切线方程为C的最小值为3D的最大值为【答案】ACD【解析】对于A，当时，故，故A正确；对于B，当

4、时，由可得，所以，所以抛物线在点处的切线方程为，整理得：，故B错误；对于C，如图，过点作准线于点，则由抛物线定义可知：，则，当三点共线时，和最小，最小值为，故C正确；对于D，由题意得：，连接并延长，交抛物线于点，此点即取最大值的点，此时，其他位置的点，由三角形两边之差小于第三边得：，故的最大值为，故D正确.故选：ACD8（2023河北校联考一模）（多选）抛物线的焦点为，为抛物线上的动点，若点不在抛物线上，且满足的最小值为，则的值可以为（）AB3CD【答案】ABC【解析】如上图所示，若A在抛物线内，易知，抛物线的准线为，过P作PE垂直于抛物线准线，垂足为E，过A作AB垂直于抛物线准线，垂足为B，

5、交抛物线于，由抛物线的定义知，当且仅当A、P、B三点共线时，即重合时取得最小值，又A在抛物线内，故，所以，即；若A在抛物线外，连接AF交抛物线于G点，则，当且仅当重合时取得最小值，此时即.综上.故选：ABC9（2023江苏南通统考模拟预测）（多选）已知O为坐标原点，过抛物线的焦点F（2，0）作斜率为的弦AB，其中点A在第一象限，则（）ABCD【答案】BD【解析】抛物线方程为，设直线的方程，代入得，设，则，对A：显然不关于轴对称，故，A错误；对B： ，所以，B正确；对C：，C错误；对D：，D正确.故选：BD10（2023秋河南高三校联考开学考试）抛物线焦点为，准线上有点是抛物线上一点，为等边三角

6、形，则点坐标为 【答案】【解析】抛物线焦点为，点在准线上，在等边中，因此长等于点到准线的距离，即有与抛物线准线垂直，令抛物线准线与x轴交于点，则，由轴，得，于是，令，则，解得，所以点坐标为.故答案为：11（2022秋广东梅州高三统考阶段练习）设抛物线C：的焦点为F，点M在C上，若以MF为直径的圆过点，则C的方程为 .【答案】或.【解析】由题意得，设，则由抛物线的定义得，则，所以圆心的横坐标为，其半径也为，所以圆与y轴相切，又因为以MF为直径的圆过点，所以切点为，所以圆心为，则，又因为点M在抛物线上，所以，即，解得或，所以抛物线方程为：或.故答案为：或.12（2023春广东广州 ）已知点为拋物线

7、上的动点，点为圆上的动点，则点到轴的距离与点到点的距离之和最小值为 .【答案】【解析】由题可知，抛物线的准线方程为，焦点坐标为，过点作轴交轴于点，由抛物线的定义可知点到轴的距离即为，圆的圆心坐标为，半径为，故点到轴的距离与点到点的距离之和，根据圆的性质可知点到轴的距离与点到点的距离之和最小值为，当且仅当、四点共线（、在之间）时取等号.故答案为：.13（2023福建）已如，是抛物线上的动点（异于顶点），过作圆的切线，切点为，则的最小值为 .【答案】3【解析】依题意，设，有，圆的圆心，半径，于是，因此，表示抛物线上的点到y轴距离与到定点的距离的和，而点在抛物线内，当且仅当是过点垂直于y轴的直线与抛

8、物线的交点时，取得最小值3，所以的最小值为3.故答案为：3.14（2023辽宁大连育明高中校考一模）已知是抛物线上一点，则的最小值为 .【答案】/【解析】由题可知， 过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点.由，得，所以，如图所示 则动点到轴的距离为所以,当且仅当三点共线时，有最小值，即,( 为点到直线的距离).所以到直线的距离为所以，所以.所以的最小值为.故答案为：.15（2024秋内蒙古呼和浩特高三统考开学考试）已知点在抛物线C：上，则A到焦点F的距离为 【答案】4【解析】因为在上，故，A到准线的距离为，故A到焦点F的距离为4.故答案为：416（

9、2024秋内蒙古呼和浩特高三统考开学考试）已知点在抛物线C：上，则点A到抛物线C的准线的距离为 【答案】2【解析】因为在抛物线C：上，所以，解得，故抛物线C的准线为，所以点A到抛物线C的准线的距离为.故答案为：.17（2022秋陕西渭南 ）设抛物线的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点E到y轴的距离为3，则弦AB的长为 【答案】10【解析】设，则，由抛物线方程可知，由线段的中点E到y轴的距离为3得，故答案为：.18（2023秋安徽高三安徽省宿松中学校联考开学考试）过抛物线的焦点的直线与交于、两点，且，为坐标原点，则的面积为 .【答案】【解析】易知，抛物线的焦点为，若直

10、线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，联立可得，则，故，又，即，即，所以，可得，解得.此时，又因为原点到直线的距离为，故的面积为.故答案为：.19（2023贵州遵义统考三模）已知抛物线上两点A，B关于点对称，则直线AB的斜率为 .【答案】2【解析】设，代入抛物线，得，则，因为两点A，B关于点对称，则，所以由得，直线AB的斜率为2.则直线AB：与代入抛物线联立，得，解得.所以直线AB的斜率为2.故答案为：2.20（2023陕西咸阳统考二模）过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若l的倾斜角为，则线段AB的中点到x轴的距离是 【

11、答案】3【解析】由题意，抛物线为，则，即直线为，将直线方程代入抛物线整理得：，设，则，故线段的中点的横坐标为代入直线，得，线段的中点到轴的距离是.故答案为：3.21（2023秋广东深圳高三校联考开学考试）过抛物线C：焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，且，若M为AB的中点，则M到y轴的距离为 .【答案】【解析】作出抛物线的准线，设、在上的射影分别是、，连接、，过作于，设，则，由点、分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得，因此，中，得所以，直线的倾斜角，得直线的斜率直线的方程为，代入，可得，或，为的中点，到轴的距离为，故答案为：22（2023人大附中校考三模）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与

12、该抛物线交于A，B两点，AB的中点横坐标为4，则 【答案】【解析】由抛物线定义知：，而AB的中点横坐标为4，即，所以，即.故答案为：23（2023秋 课时练习）已知抛物线的焦点为，则 ，若点在抛物线上，点，则的最小值为 .【答案】 【解析】抛物线的焦点为，可得，即，抛物线方程为，则抛物线的准线方程为，过作直线的垂线，垂足为，则当三点共线时，取得最小值，且最小值为（即到准线的距离）.故答案为：；24（2023江苏 ）设点P是抛物线上的一个动点.(1)求点到的距离与点到直线的距离之和的最小值；(2)若，求的最小值.【答案】(1)(2)4【解析】（1）如图，易知抛物线的焦点为，准线为，由抛物线的定义

13、知点到直线的距离等于点到焦点的距离.于是，问题转化为在曲线上求一点，使点到点的距离与点到的距离之和最小.显然，连接与抛物线的交点即为所求点，故最小值为.（2）如图，过点作垂直于准线于点，过点作垂直准线于点，交抛物线于点，此时，那么,即最小值为4.25（2023江苏 ）若位于轴右侧的动点到的距离比它到轴的距离大，点，求的最小值，并求出点的坐标.【答案】最小值为,【解析】由题意可知，动点到的距离与它到直线的距离相等，所以点的轨迹是以点为焦点的抛物线，抛物线方程为，由于点M在抛物线上，所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|，过点作垂直于准线于点，于是.当，三点共线时，取得最小值，即取最小值，这

14、时的纵坐标为2，可设，代入抛物线方程得，即.26（2023秋课时练习）当k为何值时，直线与抛物线有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？【答案】答案见解析【解析】由，得.当时，方程化为一次方程，该方程只有一解，原方程组只有一组解，直线与抛物线只有一个公共点；当时，二次方程的判别式，当时，得，当或时，直线与抛物线有两个公共点；由得，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点；由得或，此时直线与抛物线无公共点综上，当或时，直线与抛物线仅有一个公共点；当或时，直线与抛物线有两个公共点；当或时，直线与抛物线无公共点27（2023秋湖北随州高三随州市曾都区第一中学校考开学考试）在平面直角坐标系中，已知圆心为C

15、的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为曲线E(1)求E的方程；(2)已知及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为，且，求证：直线BD经过定点【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）设圆心，半径为，因为圆心为C的动圆过点，所以，因为圆心为C的动圆在轴上截得的弦长为4，所以，所以，即，所以曲线E是抛物线.（2）证明：由题意点坐标适合，即点A在E上，由题意可知BD斜率不会为0，设直线：，联立，消去并整理得，需满足，即，设，则，因为，所以，所以，将，代入得，即，所以直线：，即，所以直线BD经过定点.1（2023河南模拟预测）P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点如下图，的最小值

16、为5若直线与抛物线交于点N，则外接圆的面积为（）ABCD【答案】D【解析】依题意，抛物线的焦点，准线，过点作于，过作于，交抛物线于，连接，如图，则，当且仅当点与重合时取等号，所以的最小值为，解得，即有，由得点，因此，在中，由余弦定理得，则，令外接圆半径为，由正弦定理得，则，所以外接圆的面积为.故选：D2（2023秋河南郑州高三校考开学考试）（多选）已知O为坐标原点，抛物线的焦点F为，过点的直线l交抛物线C于A，B两点，点P为抛物线C上的动点，则（）A的最小值为3BC的准线方程为CD当时，点P到直线l的距离的最大值为【答案】ABD【解析】如图：对于A,B，由抛物线的焦点为，则，即，其准线方程为，

17、设点到准线的距离为，则，设点到准线的距离为，易知，故选项A正确，B正确；由题意可知，过点的直线的方程可设为，代入抛物线,可得，则直线始终与抛物线图象有两个交点，设,则，当时，取到最小值，故选项C错误；由C可得直线的方程为，由，可知到直线的距离等于到直线的距离，点到直线的距离，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增，由当时，当时,，则当时，所以，故选项D正确.故选：ABD.3（2023秋湖北高三校联考阶段练习）（多选）已知O为抛物线的顶点，直线l交抛物线于M，N两点，过点M，N分别向准线作垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是（）A若直线l过焦点F，则N，O，P三点不共线B若直线l过焦点F，

18、则C若直线l过焦点F，则抛物线C在M，N处的两条切线的交点在某定直线上D若，则直线l恒过点【答案】BCD【解析】设直线，联立方程，得设，则选项A，若直线l过焦点F，则，又，三点共线，A错；选项B，由抛物线的定义和平行线的性质知：，又，所以B对；选项C，设与抛物线相切的切线方程为，则化简得由，可得，即，所以与抛物线相切的切线方程为，将点坐标代入方程可得，则，所以过的切线方程为同理，过的切线方程为，联立，得：抛物线在点M，N处的切线的交点在定直线上，所以C对；选项D，因为，将韦达定理代入得：.所以直线l恒过点，所以D对.故选：BCD.4（2023山东泰安统考模拟预测）（多选）已知抛物线：的焦点为，

19、过的直线交抛物线于、两点，直线左边的抛物线上存在一点，则（）ABC若点，则D当的面积最大时，面积为【答案】ACD【解析】对于A，设直线的方程为，联立抛物线方程，消去x化简得：，代入抛物线方程得：，A正确；对于B，解得，所以，B错误；对于C：分别做、于、点，弦的中点于，所以，所以，所以以为直径的圆与准线相切，由选项B得，时，得，时，得，所以圆心，所以与准线的切点为，所以点在圆外，所以是锐角，即，C正确；对于D：直线方程为，斜率为，当过点的切线与直线平行时，点到直线的距离最大，当时，所以，设，所以，得，所以点，此时，所以面积的最大值为，当斜率为时，同理求得面积为，D正确.故选：ACD.5（2023

20、全国镇海中学校联考模拟预测）（多选）已知抛物线的准线方程为，圆，直线与交于两点，与交于两点在第一象限），为坐标原点，则下列说法中正确的是（）ABC若，则D为定值【答案】BD【解析】对于A，因为抛物线的准线方程为，所以，得，所以A错误，对于B，设，由，得，则，所以，因为直线恒过圆心，所以，所以，所以，所以B正确，对于C，因为直线过抛物线的焦点，所以，因为，所以，解得，所以C错误，对于D，因为直线过抛物线的焦点，所以，所以为定值，所以D正确，故选：BD6（2023秋安徽高三宿城一中校联考阶段练习）（多选）已知抛物线C的标准方程为，O为坐标原点，直线l为其准线，点A，B是C上的两个动点（不是原点O）

21、，线段与x轴交于点M，连接并延长交准线于点D，则（）A若点M为C的焦点，则直线平行于x轴B若点M为C的焦点，则线段的长度的最小值为4C若，则点M为C的焦点D若与的面积之积为定值，则点M为C的焦点【答案】AB【解析】直线的斜率不为0，设点，设直线的方程为，设，因为点M在线段上，所以，联立直线和抛物线方程得，则，所以，直线的方程为，得，又因为，故，对于A，若为焦点，则，因为，所以，A选项正确；对于B，若为焦点，则，则，B选项正确；对于C，若，有，即，所以，解得或0（舍去），C选项错误；对于D，只需M横坐标为定值即可，故D错误.故选：AB7（2023秋河北唐山 ）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于

22、两点，连接并延长，交抛物线于点，若中点的纵坐标为，则当最大时， 【答案】16【解析】由题可得抛物线焦点为，准线为.设，则由抛物线定义可得，又由题可得中点的纵坐标为，则.则.则，当且仅当取等号，则为等边三角形，即直线AD斜率为或.如图，设此时AD方程为，将其与抛物线联立有.设D，则由韦达定理有.再由抛物线定义有.故答案为：.8（2023江苏南通统考模拟预测）已知点是抛物线上的动点，则的最小值为 .【答案】/【解析】由题可知，过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点，由，得，所以，如图所示 则动点到轴的距离为所以，当且仅当三点共线时，有最小值，即(此时为

23、点到直线的距离)，所以到直线的距离为，所以，所以.所以的最小值为.故答案为：9（2023秋陕西西安高三校联考开学考试）已知点为抛物线的焦点，点，且.(1)求抛物线的标准方程；(2)若斜率存在的直线过点且交抛物线于，两点，若直线，交抛物线于，两点（、与、不重合），求证：直线过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）由题设，则，又，故，整理得，解得.所以抛物线的标准方程为；（2）若直线不过点，如图，设，由题意可知直线的斜率存在且不为0，则直线的斜率，所以直线的方程为，即， 由直线过定点，可得同理直线的方程为，过焦点，可得， 的方程，过焦点，可得. 直线的方程为， 由，得，所以，即. 又因

24、为，所以.令，解得，故直线恒过定点. 若直线过点，直线即为直线，其方程为，即，显然直线过点.综上，直线过定点.10（2024秋内蒙古呼和浩特高三统考开学考试）已知抛物线C：焦点为，直线l与抛物线C交于，两点，且，（O为坐标原点）(1)求抛物线C的方程；(2)求证：直线l过定点【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）由题设，则，所以抛物线方程为.（2）令l：，联立得：，则，解得或，由得：，故，l：过定点.11（2023宁夏银川校考模拟预测）已知抛物线和圆，倾斜角为的直线过焦点，且与相切.(1)求抛物线的方程；(2)动点在的准线上，动点在上，若在点处的切线交轴于点，设，证明点在定直线上，并求该

25、定直线的方程.【答案】(1)；(2)证明见解析，.【解析】（1）依题意得，物线的焦点坐标为，设直线的方程为，而圆的圆心，半径，由直线与圆相切，得，又，解得，所以抛物线的方程为.（2）由（1）知抛物线：的准线为，设，由，求导得，设，则以为切点的切线的斜率为，于是切线的方程为，令，得，即交y轴于点，因此，则，设N点坐标为，从而，所以点N在定直线上.12（2022秋重庆沙坪坝高三重庆一中校考阶段练习）已知的焦点为，且经过的直线被圆截得的线段长度的最小值为4(1)求抛物线的方程；(2)设坐标原点为，若过点作直线与抛物线相交于不同的两点，过点，作抛物线的切线分别与直线，相交于点，请问直线是否经过定点？若

26、是，请求出此定点坐标，若不是，请说明理由【答案】(1)(2)直线经过定点【解析】（1）因为抛物线的焦点为，圆的圆心，而经过的直线被圆截得的线段长度，其中为圆心到直线的距离，则，所以，显然，的最大值为焦点到圆心的距离，即，所以，又，解得或（舍），故抛物线的方程为（2）设点，由，即，得，则点处的切线方程为，直线的方程为：，则点，同理点，可得：，直线的方程为：，注意到点，满足，直线的方程为注意令，则，直线经过定点13（2023海南省直辖县级单位文昌中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点（M在第一象限），垂足为，直线交轴于点，(1)求的值.(2)若斜率不为0的直线与抛物线相切，切点为，平行于的直线交抛物线于两点，且，点到直线与到直线的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)是，3【解析】（1）如图所示，过点作，垂足为交轴于点，由题得，所以，因为，所以是等边三角形，因为是的中点，所以，故，所以，所以，所以，即.（2）由（1）可知抛物线的方程是，设直线的方程为，因为，所以，即，即.又，所以，故.联立，消去，得，其中，则，所以，所以.设点到直线和直线的距离分别为，则由得，所以点到直线与到直线的距离之比是定值，定值为3.