9.4 抛物线（精讲）（教师版）.docx

1、9.4抛物线（精讲）一抛物线的概念(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹(2)焦点：点F叫做抛物线的焦点(3)准线：直线l叫做抛物线的准线2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y22px (p0)y22px (p0)x22py (p0)x22py (p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下一抛物线的定义及标准方程1.由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可相互转化2.求抛物线标准方程的常用方法是待

2、定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程二与抛物线有关的最值问题1.将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决2.将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决三常用的结论1与焦点弦有关的常用结论如图，倾斜角为的直线AB与抛物线y22px(p0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有(1)x1x2.(2)y1y2p2.(3)|AB|x1

3、x2p(是直线AB的倾斜角).(4)为定值(F是抛物线的焦点).（5）以弦AB为直径的圆与准线相切；以AF或BF为直径的圆与y轴相切（6）若A，B为抛物线y22px(p0)上两点，且OAOB，则直线AB过定点(2p，0)考点一 抛物线的定义及标准方程【例1-1】（2023秋北京丰台高三北京丰台二中开学考试）已知抛物线的焦点为，点在上若到直线的距离为3，则（）A4B5C6D7【答案】A【解析】如下图所示：根据题意可得抛物线的准线方程为，若到直线的距离为，则到抛物线的准线的距离为，利用抛物线定义可知.故选：A【例1-2】（2023新疆统考三模）已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，

4、则抛物线的标准方程为（）ABCD【答案】C【解析】由题意抛物线上任意一点到焦点F的距离与它到直线的距离相，因此，抛物线方程为故选：C【一隅三反】1（2023秋福建福州高三统考开学考试）已知点在抛物线C：上，则P到C的准线的距离为（）A4B3C2D1【答案】C【解析】抛物线的准线为，将代入得，故P到准线的距离为2，故选：C2（2023秋山东青岛高三统考开学考试）设抛物线：的焦点为，在上，则的方程为（）ABCD【答案】A【解析】抛物线的开口向上，由于在上，且，根据抛物线的定义可知，所以抛物线的方程为.故选：A3（2023四川成都校联考模拟预测）已知点是抛物线C：的焦点，点M在抛物线C上，点，且，则

5、点M到y轴的距离为（）A6B8C10D12【答案】B【解析】因为点是抛物线C：的焦点，所以，又因为，所以，设，则，所以，故点M到y轴的距离为8故选：B考点二 抛物线有关的最值问题【例2-1】（2023四川成都校联考二模）已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为（）A5B6C7D8【答案】C【解析】因为点是抛物线的焦点，所以，解得，所以抛物线的方程为：由抛物线的定义知：点到点的距离等于点到准线的距离，结合点与抛物线的位置关系可知，的最小值是点到准线的距离，故的最小值为7故选：C.【例2-2】（2022秋广东东莞高三校考阶段练习）抛物线的顶点为原点，焦点为，则点到抛物线上动点

6、的距离最小值为（）ABCD【答案】B【解析】抛物线的焦点为，所以抛物线的方程为，且，所以抛物线的方程为，设，则，所以当时，取得最小值为.故选：B【一隅三反】1（2023全国 专题练习）已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（）A13B12C10D8【答案】A【解析】，故,记抛物线的准线为，则：，记点到的距离为，点到的距离为，则.故选：A.2（2023江西南昌校联考模拟预测）已知抛物线，圆，P为E上一点，Q为C上一点，则的最小值为（）A2BCD3【答案】B【解析】由题意知,设，则,所以当时,，又因为圆的半径为1，所以.故选：B.3（2023春四川南充 ）已知是抛物线上的一个动点

7、，则点到直线和的距离之和的最小值是（）A3B4CD6【答案】B【解析】由消去得，因为，所以方程无解，即直线与抛物线无交点；过点作于点，于点，记抛物线的焦点为，连接，因为点到直线的距离为,为抛物线的准线，根据抛物的定义可得，则到直线和的距离之和为，若，三点不共线，则有，当，三点共线，且位于之间时，则，又，所以，即所求距离和的最小值为.故选：.4（2023广东深圳深圳中学校考模拟预测）已知为抛物线的焦点，直线与交于，两点，则的最小值是（）A10B9C8D5【答案】B【解析】设，联立得，则.所以.当且仅当，即，时，上式取等号，故.故选：B考点三 直线与抛物线的位置关系【例3-1】（2023秋课时练习

8、）（多选）已知直线l过定点，则与抛物线有且只有一个公共点的直线l的方程为（）ABCD【答案】ABC【解析】（1）当过点的直线l的斜率存在时，设其方程为，由方程组消去y得，若，则，解得，此时直线与抛物线只有一个交点，直线l的方程为，A正确；若，令，解得，此时直线与抛物线相切，只有一个交点，直线l的方程为，即，B正确.（2）当过点的直线l的斜率不存在时，方程为，与抛物线相切，只有一个交点，C正确综上，直线l的方程为，或.故选：ABC.【一隅三反】1（2023秋课时练习）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（）A相交B相切C相离D相交或相切【答案】D【解析】直线与抛物线的对称轴

9、平行或与抛物线相切时有一个公共点，所以D选项正确.故选：D2（2023秋课时练习）（多选）设抛物线的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率可以是（）ABC1D2【答案】BC【解析】抛物线的准线与x轴交于点Q，准线为，Q点的坐标，又直线l过点Q，且斜率必存在，可设l：，联立，可得，当时，得，即交点为，当时，由得，即，解得，或，综上，k的取值范围是故选：BC.3（2023秋课时练习）过点与抛物线只有一个公共点的直线有 条【答案】3【解析】当斜率不存在时，过点的直线为y轴，显然符合题意当斜率存在时，设直线方程为联立得，当时，解得，此时方程有唯一实数解，符合题意；当时，由

10、解得，此时方程有唯一实数解，符合题意综上共有3条直线故答案为：34（2023秋云南）已知抛物线方程为，若过点的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 .【答案】【解析】依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，由消去并化简得，当时，可化为，此时，即直线与抛物线相交于.当时，由于有解，所以，即，解得且.综上所述，直线l的斜率的取值范围是.故答案为：考点四 弦长【例4-1】（2023北京大兴校考三模）已知抛物线顶点在原点，焦点为，过作直线交抛物线于、两点，若线段的中点横坐标为2，则线段的长为 【答案】6【解析】是抛物线的焦点，准线方程， 设，线段的中点横坐标为2, .，线段的长为6.故

11、答案为：6.【例4-2】（2023秋辽宁鞍山高三统考阶段练习）（多选）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于、两点，则下列说法正确的是（）A若，则B若，则弦最短长度为4C存在以为直径的圆与相交D若直线，且点在轴的上方，则【答案】BD【解析】对于A，若，则，故，故A错误，对于B，若，则，则抛物线方程为，设过点的直线方程为，联立其与抛物线的方程可得，设，则故，故当时，此时弦最短长度为4，故B正确，对于C， 设的中点为，设过点的直线方程为，联立其与抛物线的方程可得，设，因为，故，则点到准线的距离为，而，故以为直径的圆与相切，故C错误，对于D，联立与抛物线方程可得，解得或，由于点在轴的上方，

12、所以故，又，则，所以，D正确，故选：BD【一隅三反】1（2023湖南郴州安仁县第一中学校联考模拟预测）经过抛物线的焦点，作斜率为的直线与抛物线交于两点，若，则（）AB或3C或2D3【答案】C【解析】由题意可知直线的方程为，由，可得，解得或，或者.故选：C.2（2023云南昭通校联考模拟预测）（多选）已知A，B是抛物线：上两动点，为抛物线的焦点，则（）A直线AB过焦点F时，最小值为4B直线AB过焦点F且倾斜角为时，C若AB中点M的横坐标为2，则最大值为5D【答案】BC【解析】对于A项，过点分别作准线的垂线，垂足分别为，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，准线与轴的交点为，设直线的倾斜角为，画图为：根

13、据抛物线的定义：，从图可知，在中，所以，同理，则，故当时，故最小值为，此时垂直于轴，所以A不正确；对于B项，由A可知，故B正确；对于C项，当且仅当直线过焦点时等号成立，所以最大值为5，故C正确；当直线过焦点时，当直线不过焦点时，不是定值，举例当时，此时，即，故D错误；故选：BC.3（2023江西九江统考一模）已知点分别是抛物线和圆上的动点，点到直线的距离为，则的最小值为 【答案】【解析】如图所示：由圆的标准方程为可知圆心，半径为，抛物线的焦点为，准线方程为，由抛物线定义可知，圆外一点到圆上点的距离满足，即；所以，当且仅当三点共线时，等号成立；即的最小值为故答案为：考点五 直线与抛物线的综合问题

14、【例5】（2023秋湖南高三临澧县第一中学校联考开学考试）已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，且(1)求的值；(2)若直线l与交于M，N两点，与交于P，Q两点，M，P在第一象限，N，Q在第四象限，且，证明：为定值【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）由题意知，所以，解得（2）由（1）知，设直线，根据题意结合图形可知，且联立，得，则，同理联立，得，则由可得，又，所以，即，化简得，即，又因为，所以，再由，得联立，解得，所以，故，所以为定值.【一隅三反】1（2023秋湖北高三孝感高中校联考开学考试）直角坐标系中，已知动点到定点的距离比动点到定直线的距离小1，记动点的轨迹为.(1)求轨迹的方程；

15、(2)点是曲线上位于直线的上方的点，过点作曲线的切线交于点，若，证明：为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）由题意，动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，满足抛物线定义，则，得，则的方程为；（2）设，则，则. 即，由，有，过点的切线的斜率为，则切线的方程为，同理切线的方程为，联立方程组解得，由点是曲线上位于直线的上方的点，可知，则，则代入，得，即为定值.2（2023秋广东深圳高三校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在上，(1)求；(2)过点作直线，与交于，两点，关于轴的对称点为判断直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理出【答案】(1)(2)过定点【解析】（1）因为

16、点在上，所以 ，因为，所以由焦半径公式得 ，由解得 （负值舍去），所以.（2）由（1）知抛物线的方程为，依题意直线的斜率存在，设直线的方程为，则，由消去得，则，所以， 所以，则直线的方程为，即，即，即，令，可得，所以直线恒过定点.3（2023全国高三专题练习）设抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E交于A，B两点，且(1)求抛物线E的方程；(2)设为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN的斜率分别为和求证：为定值【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）由题意，直线l的方程为，代入，得于是，焦点弦，解得p2故抛物线E的方程为（2）因在E上，m2设E在P处的切线方程为，代入，得由，解得t1，P处的切线方程为yx1，从而得易知直线MN的斜率存在，设其方程为，设，将代入，得于是，且，故为定值2