9.8 整式乘法与因式分解全章八类必考压轴题（苏科版）（教师版）.docx

1、专题9.8 整式乘法与因式分解全章八类必考压轴题【苏科版】1已知4x=a,2y=b,8z=ab，那么x，y，z满足的等量关系是（）A2x+y=zBxy=3zC2x+y=3zD2xy=z【分析】根据题意得出22x=a,2y=b，则23z=22x2y=22x+y即可求解【详解】解：4x=a,2y=b,8z=ab22x=a,2y=b，23z=22x2y=22x+y3z=2x+y，故选：C2已知100a=20，1000b=50，则a+32b-32的值是（）A0B52C3D92【分析】利用同底数幂乘法、幂的乘方等法则进行计算，即可得出答案【详解】解：100a=20，1000b=50，(102)a(103

2、)b=2050，102a103b=1000，102a+3b=103，2a+3b=3，a+32b=32，a+32b-32=0，故选：A3若x，y均为实数，43x=2021,47y=2021，则x+yxy=_【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则得出43xy47xy=2021x+y，再根据积的乘方法则得出43xy47xy=(4347)xy=2021xy，得出xy=x+y，从而求出答案【详解】解：43x=2021,47y=2021，43xy47xy=(43x)y(47y)x=2021y2021x=2021x+y；又43xy47xy=(4347)xy=2021xy，2021x+y=2021xyxy=

3、x+y，x+yxy=14我们知道下面的结论，若am=an (a0，且a1)，则m=n，利用这个结论解决下列问题：设2m=3，2n=6，2p=24，现给出m，n，p三者之间的三个关系式：m+p=2n+1，p+n=2m+4，m2-mp+3n=0，其中正确的是_（填编号）【分析】由2n=6=23=22m=2m+1，得出n=m+1，由2p=24=233=232m=2m+3，得出p=m+3，进而得出p=n+2，进一步对m+p，p+n，m2-mp+3n代入计算，即可得出答案【详解】解：2n=6=23=22m=2m+1，n=m+1，2p=24=233=232m=2m+3，p=m+3，p=n+2，m+p=m+

4、n+2=n+n+1=2n+1，符合题意；p+n=m+3+m+1=2m+4，符合题意；m2-mp+3n=n-12-n-1n+2+3n=4n-1，不符合题意，故答案为：5比较下列各题中幂的大小：（1）已知a=8131,b=2741,c=961，比较a、b、c的大小关系;（2）比较255,344,533,622这4个数的大小关系;（3）已知P=999999,Q=119990，比较P、Q的大小关系;（4）(-2)234_5100（填“”“125335=5100易得结果.【详解】（1)因为a=(34)31=3124，b=(33)41=3123，c=(32)61=3122，所以abc(2)因为255=(2

5、5)11=3211，344=(34)11=8111，533=(53)11=12511，622=(62)11=3611，32113611811112511，所以255622344125335=5100，所以(-2)23451006由幂的运算法则逆向思维可以得到am+n=aman，amn=(am)n，ambm=(ab)m，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解，收到事半功倍的效果请解决以下问题：(1)计算：52020(15)2018；(2)若39m27m=311，求m的值；(3)比较大小：a=255，b=344，c=533，d=622，请确定

6、a，b，c，d的大小关系【分析】（1）根据积的乘方公式，进行逆运算，即可解答；（2）转化为同底数幂进行计算，即可解答；（3）转化为指数相同，再比较底数的大小，即可解答【详解】（1）解： 52020152018=5201852152018=515201825=125=25故答案为：25；（2）39m27m=311，332m33m=311，332m33m=311，即31+2m+3m=311，1+2m+3m=11，解得m=2；（3）由题可得：a=255=2511=3211，b=344=3411=8111，c=533=5311=12511，d=622=6211=3611，323681125，32113

7、611811112511，即adb0,a1,M0,N0)（3）log32+log318-log34= log3（2184）= log39=2.故答案为：2.1关于x的三次三项式A=5x3-6x2+10=a(x-1)3+b(x-1)2+c(x-1)+d（其中a，b，c，d均为常数），关于x的二次三项式B=x2+ex+f（e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（）当A+B为关于x的三次三项式时，则f=-10；当多项式A与B的乘积中不含x项时，则e=6；a+b+c=9；A0个B1个C2个D3个【分析】根据整式的加减混合运算即可判断，根据整式的乘法运算即可判断，将x=1和x=2代入即可判断【详解

8、】解：A=5x3-6x2+10，B=x2+ex+f，A+B=4x3-6x6+10+x2+ex+f=5x6-5x2+ex+f+10，A+B为关于x的三次三项式，且e为非零常数，f+10=8，解得：f=-10，说法正确；AB=(5x3-7x2+10)(x2+ex+f)=6x5+5ex5+5fx3-3x4-6ex4-6fx2+10x3+10ex+10f=5x5+(2e-6)x4+(3f-6e)x3+(10-3f)x2+10ex+10f，多项式A与B的乘积中不含x项，5e-3=0，解得e=1.7，说法错误；A=5x3-6x2+10=a(x-1)3+b(x-1)2+c(x-1)+d，当x=1时，d=5-

9、5+10=9，当x=2时，a+b+c+d=423-422+10=26，则a+b+c=17，说法错误故选：B2已知x2-ax2+bx+22x2-3x+5的展开式中不含三次项和四次项，则展开式中二次项和一次项的系数之和为_【分析】利用多项式乘多项式法则将原式展开，根据题意展开式中不含三次项和四次项，可得2-2a=0，-3+3a+2b=0，求解即可得a,b的值，然后代入求值可确定展开式中二次项和一次项的系数，求和即可得答案【详解】解：x2-ax2+bx+22x2-3x+5=2x4-3x3+5x2-2ax4+3ax3-5ax2+2bx3-3bx2+5bx+4x2-6x+10 =(2-2a)x4+(-3

10、+3a+2b)x3+(5-5a-3b+4)x2+(5b-6)x+10根据题意，展开式中不含三次项和四次项，2-2a=0，-3+3a+2b=0，解得 a=1，b=0，5-5a-3b+4=5-51-30+4=4，5b-6=50-6=-6，即展开式中二次项系数为4，一次项的系数为-6，展开式中二次项和一次项的系数之和为4+(-6)=-23若x2+px-13x2-3x+q的积中不含x项与x3项，(1)求p、q的值；(2)求代数式-2p2q2+3pq3+p2022q2024的值【分析】（1）将原式根据多项式乘以多项式法则展开后合并同类项，由积中不含x项与x3项可知x项与x3项的系数均等于0，可得关于p、

11、q的方程组，解方程组即可；（2）由（1）中p、q的值得pq=-1，将原式整理变形成-2ppq2+3pq3+pq2022q2，再将p、q、pq的值代入计算即可【详解】（1）解：x2+px-13x2-3x+q=x4+p-3x3+q-3p-13x2+1+pqx-13q，积中不含x项与x3项，1+pq=0p-3=0，p=3q=-13（2）解：由（1）得pq=-1，-2p2q2+3pq3+p2022q2024=-2ppq2+3pq3+pq2022q2=232+-33+-12022-132=36-27+19=9194（1）试说明代数式(s-2t)(s+2t+1)+4tt+12的值与s、t的值取值有无关系；

12、（2）已知多项式ax-b与2x2-x+2的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为-4，试求ab的值；（3）已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是(2x-5)，求另一个因式以及k的值【分析】（1）先算多项式乘多项式以及单项式乘多项式，再合并同类项，即可得到结论；（2）先算多项式乘多项式，从而得到2a+b=0，-2b=-4，进而即可求解；（3）由题意得2x2+3x-k=(2x-5) (x+m)，进而即可求解【详解】解：（1）(s-2t)(s+2t+1)+4tt+12s22sts2st4t22t4t22ts2s故代数式(s-2t)(s+2t+1)+4tt+12的值与s的取值有关系，与t的取值无关

13、系；（2）（ax-b）（2x2-x+2）=2ax3-ax2+2ax-2bx2+bx-2b，又多项式ax-b与2x2-x+2的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为-4，2a+b=0，-2b=-4，a=-1，b=2，ab=-12=1；（3）二次三项式2x2+3x-k有一个因式是(2x-5)，2x2+3x-k=(2x-5) (x+m)=2x2+2mx-5x-5m，2m-5=3，5m=k，m=4，k=20，另一个因式为：x+45给出如下定义：我们把有序实数对a，b，c叫做关于x的二次多项式ax2+bx+c的附属系数对，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对a，b，c的附属多项式(1)关于

14、x的二次多项式3x2+2x-1的附属系数对为_；(2)有序实数对2，a，1的附属多项式与有序实数对1，-2，4的附属多项式的差中不含一次项，求a的值【分析】（1）根据新定义进行求解即可；（2）根据新定义先表示出两个多项式，再根据题意进行计算即可【详解】（1）根据题意可得，多项式3x2+2x-1的附属系数对为3，2，-1，故答案为：3，2，-1；（2）根据题意得，有序实数对2，a，1所对应的多项式为2x2+ax+1，有序实数对1，-2，4所对应的多项式为x2-2x+4，两个多项式的差中不含一次项，2x2+ax+1-x2-2x+4=2x2+ax+1-x2+2x-4=x2+a+2x-3，a+2=0，

15、a=-21若一个只含a字母的多项式的项数是偶数，用该多项式去乘(a+1)，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘(a-1)，称这为第一次操作；若第一次操作后所得多项式的项数是偶数，用该多项式去乘(a+1)，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘(a-1)称这为第二此操作，以此类推将多项式(a2-1)以上述方式进行2次操作后所得多项式项数是5；将多项式(a2+2a)以上述方式进行3次操作后，多项式的所有系数和为0；将多项式(a2+2a+1)以上述方式进行4次操作后，当a=2时，所得多项式的值为243；将多项式(a-1)以上述方式进行n次操作后所得多项式为(a-1)(a+1)n-1；四个结论错

16、误的有（）A0B1C2D3【分析】根据题意，计算出(a2-1)进行2次操作后所得多项式，即可判定；根据题意，计算出(a2+2a)以上述方式进行3次操作后所得多项式，即可判定；根据题意，计算出(a2+2a+1)进行4次操作后所得多项式，再把a=2代入计算即可判定；根据题意，总结归纳出(a-1)进行n次操作后所得多项式规律，即可判定【详解】解：(a2-1)第1次操作后，得(a2-1)a+1=a3+a2-a-1，(a2-1)第2次操作后，得a3+a2-a-1a+1=a4+2a3-2a-1，(a2-1)第2次操作后所得多项式项数是4， 故错误；(a2+2a)第1次操作后，得(a2+2a)a+1=a3+

17、3a2+2a，(a2+2a)第2次操作后，得a3+3a2+2aa-1=a4+2a3-a2-2a，(a2+2a)第3次操作后，得a4+2a3-a2-2aa+1=a5+3a4+a3-3a2-2a，将多项式(a2+2a)以上述方式进行3次操作后，多项式的所有系数和为1+3+1-3-2=0故正确；(a2+2a+1)第1次操作后，得(a2+2a+1)a-1=a3+a2-a-1，(a2+2a+1)第2次操作后，得a3+a2-a-1a+1=a4+2a3-2a-1，(a2+2a+1)第3次操作后，得a4+2a3-2a-1a+1=a5+3a4+2a3-2a2-3a-1，(a2+2a+1)第4次操作后，得a5+3

18、a4+2a3-2a2-3a-1a+1=a6+4a5+5a4-5a2-4a-1，当a=2时，a6+4a5+5a4-5a2-4a-1=26+425+524-522-42-1=243，故正确；(a-1)第1次操作后，得(a-1)a+1，(a-1)第2次操作后，得(a-1)a+1a+1=a-1a+12，(a-1)第3次操作后，得a-1a+12a+1=a-1a+13(a-1)第4次操作后，得a-1a+13a+1=a-1a+14(a-1)第n次操作后，得a-1a+1n，故错误；综上，错误的有共2个，故选：C2我国宋代数学家杨辉所著详解九章算法中记载了用如图所示的三角形解释了二项式的乘方展开式中的系数规律，

19、我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算(a+b)6的展开式中，从左起第四项是_(a+b)0=11(a+b)1=a+b11(a+b)2=a2+2ab+b2121(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b31331(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b414641【分析】通过观察可知“杨辉三角”的规律：每个数等于上方两数之和；每行数字左右对称，由1开始逐渐变大；a的指数从左向右逐渐变小，b的指数由左向右逐渐变大；依据此规律，可得出最后答案【详解】解：由题意可知：每个数等于上方两数之和，a+b5的展开式中系数从左向右分别是1，5，10，10，5，1，a+b6的展

20、开式中系数从左向右分别是1，6，15，20，15，6，1，又a的指数从左向右逐渐变小，b的指数由左向右逐渐变大，a+b6展开式左起第四项是20a3b3故答案为：20a3b33观察下列各式及其展开式：a+b2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，a+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，a+b5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5， 请你猜想(2x-1)8的展开式中含x2项的系数是（）A224B180C112D48【分析】由材料可知，括号里的前项的指数从高到底的排列，括号里的后项的指数从低到高的排列，首位系数都是1，中间数字分别为

21、上一组数据相邻两数之和，由此即可求解【详解】解：根据材料可知，系数的关系如下，二次幂时的系数：121三次幂时的系数：1331四次幂时的系数：14641五次幂时的系数：15101051六次幂时的系数：1615201561七次幂时的系数：172135352171八次幂时的系数：18285670562881含x2项的系数是2822(-1)6=2841=112，故选：C4阅读下列材料，完成相应任务杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列在欧洲，这个表叫做“帕斯卡三角形”帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年杨辉三角是我国古代数学的杰出研究成果之一，他把二项式乘方展

22、开式系数图形化，如下图所示：a+b1=a+ba+b2=a2+2ab+b2a+b3=a3+3a2b+3ab2+b2a+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4完成下列任务：(1)写出a+b5的展开式(2)计算：75+574-6+1073-62+1072-63+57-64+-65【分析】（1）根据前面4个等式的提示，归纳出系数与指数的规律，从而可得a+b5的展开式；（2）利用（1）中展开式，设a=7，b=-6，从而可得答案【详解】（1）解：a+b1=a+ba+b2=a2+2ab+b2a+b3=a3+3a2b+3ab2+b2a+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(a+b)5=a

23、5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，令a=7，b=-6，75+574-6+1073-62+1072-63+57-64+-65=7-65 =15观察下列各式：x-1x+1=x2-1x-1x2+x+1=x3-1x-1x3+x2+x+1=x4-1(1)根据以上规律，则x-1x6+x5+x4+x3+x3+x+1=_(2)你能否由此归纳出一般规律x-1xn+xn-1+x+1=_(3)根据以上规律求32022+32021+32020+32+3+1的值【分析】（1）根据给出式子的规律书写即可；（2）根据给出

24、式子的规律即可得出结果；（3）根据（2）中的规律计算即可；【详解】（1）x-1x+1=x2-1，x-1x2+x+1=x3-1，x-1x3+x2+x+1=x4-1，x-1x6+x5+x4+x3+x2+x+1= x7-1；故答案是：x7-1（2）根据题意得：x-1xn+xn-1+x+1=xn+1-1；故答案是：xn+1-1；（3）3-132022+32021+32020+32+3+1=32023-1，32022+32021+32020+32+3+1=32023-126（1）计算并观察下列各式：第1个：a-ba+b=；第2个：a-ba2+ab+b2=；第3个：a-ba3+a2b+ab2+b3=；这些

25、等式反映出多项式乘法的某种运算规律（2）猜想：若n为大于1的正整数，则a-ban-1+an-2b+an-3b2+a2bn-3+abn-2+bn-1=；（3）利用（2）的猜想计算：2n-1+2n-2+2n-3+23+2+1=（4）拓广与应用：3n-1+3n-2+3n-3+33+3+1=【分析】（1）根据平方差公式及多项式乘法的计算求解即可；（2）由（1）中计算得出相应规律即可；（3）利用（2）中所得规律求解即可；（4）根据（2）中所得规律计算即可【详解】解：（1）a-ba+b=a2-b2；a-ba2+ab+b2=a3-b3；a-ba3+a2b+ab2+b3=a4-b4；故答案为：a2-b2，a3

26、-b3，a4-b4；（2）根据（1）中规律得：a-ban-1+an-2b+an-3b2+a2bn-3+abn-2+bn-1=an-bn，故答案为：an-bn； （3）2n-1+2n-2+2n-3+23+2+1=(2-1)(2n-1+2n-2+2n-3+23+2+1)=2n-1n=2n-1故答案为：2n-1 （4）3n-1+3n-2+3n-3+33+3+1=12(3-1)(3n-1+3n-2+3n-3+33+3+1)=12(3n-1n)=3n-12，故答案为：3n-121已知：x+y2=12，x-y2=4，则x2+3xy+y2的值为_【分析】利用完全平方公式将已知等式展开，然后将其相加即可求得x

27、2+y2的值，将其相减得到代xy的值，继而代入x2+3xy+y2，即可得解【详解】解： x+y2=12，x-y2=4，x2+2xy+y2=12x2-2xy+y2=4，得：x2+y2=8，得：xy=2， x2+3xy+y2=(x2+y2)+3xy=8+32=14，故答案为：142已知1b-1a=8-cab，ab+bc+2b+c2+25=0，则ba的值为_【分析】由1b-1a=8-cab可得a+c=8+b，将ab+bc+2b+c2+25=0转化后再代入计算可求解a，b，c的值，进而可求解【详解】1b-1a=8-cab，a+c=8+b，ab+bc+2b+c2+25=0，b(a+c)+2b+c2+25

28、=0，b(8+b)+2b+c2+25=0，b2+10b+25+c2=0，(b+5)2+c2=0，b+5=0，c=0，b=-5，a=3，ba=-53，故答案为：-533已知a，b，c满足：a2+2b=7，b2-2c=-1，c2-6a=-17，则13a+b+3c的值等于_【分析】将已知等式左右两边分别相加，再配方成非负数的和为0，求出a、b、c的值，代入即可求出式子的值【详解】解：a2+2b=7，b2-2c=-1，c2-6a=-17，a2+2b+b2-2c+c2-6a=-11，a2-6a+9+b2+2b+1+c2-2c+1=0，a-32+b+12+c-12=0，a-3=0，b+1=0，c-1=0，

29、a=3，b=-1，c=1，13a+b+3c=133-1+31=3，故答案为：34已知a-b=4时，多项式ab+c2的值为-4，则aba2+b2+c2的值为()A-1B-12C-13D0【分析】根据已知条件得出b+220，又b+220，进而得出b=-2，a =2,c=0，进而即可求解【详解】解：a-b=4时，多项式ab+c2的值为-4，a=b+4，ab+4=-c2ab+40即b+4b+40b2+4b+40即b+220，又b+220b=-2a=-2+4=2，ab=-4，c=0aba2+b2+c2=-44+4=-12，故选：B5已知有理数a，b，c满足a-b+c-3=0，a2+b2+c2-3=0，则

30、a3+b3+c3-2022=（）A-2019B-2020C-2021D-2022【分析】由(a-b+c)2=a2+b2+c2-2ab+2ac-2bc得2ab-2ac+2bc=-6，再求得(a+b)2+(b+c)2+(a-c)2=0得a=-b=c，进一步求出a=1，b=-1，c=1即可求解【详解】解：a-b+c-3=0，a2+b2+c2-3=0，a-b+c=3，a2+b2+c2=3，(a-b+c)2=a2+b2+c2-2ab+2ac-2bc，9=3-2ab+2ac-2bc，整理，得2ab-2ac+2bc=-6，(a+b)2+(b+c)2+(a-c)2=2(a2+b2+c2)+(2ab-2ac+2

31、bc)=6-6=0，(a+b)20，(b+c)20，(a-c)20，a+b=0，b+c=0，a-c=0，a=-b=c，a-b+c=a+a+a=3，a=1，b=-1，c=1，把a=1，b=-1，c=1代入a3+b3+c3-2022得：原式=13+-13+13-2022=1-1+1-2022=-2021，故选：C6已知a=2020m+2021n+2020，b=2020m+2021n+2021，c=2020m+2021n+2022，那么a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为（）A1B3C6D1010【分析】分别求出a-b、b-c、c-a的值，然后利用完全平方公式将题目中的式子变形，再整体代入即可完

32、成【详解】解：a=2020m+2021n+2020，b=2020m+2021n+2021，c=2020m+2021n+2022，a-b=-1，b-c=-1，c-a=2，a2+b2+c2-ab-bc-ca=122a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=12a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ca+a2=12a-b2+b-c2+c-a2=12-12+-12+22=3故选：B7已知：x+y=5，xy=3求：x2+5xy+y2；x4+y4【分析】利用完全平方公式的变形将所求的式子变形为x2+5xy+y2=x+y2+3xy进行求解即可；先根据完全平方公式的变形和积的乘方计算法则得到x2

33、+y2=19，x2y2=9，再根据x4+y4=x2+y22-2x2y2进行求解即可【详解】解：x+y=5，xy=3，x2+5xy+y2=x+y2+3xy=52+33=34；x+y=5，xy=3，x2+y2=x+y2-2xy=52-23=19，x2y2=xy2=9x4+y4=x2+y22-2x2y2=192-29=3438阅读下列材料，完成后面的任务完全平方公式的变形及其应用我们知道，完全平方公式有：a+b2=a2+2ab+b2；a-b2=a2-2ab+b2在解题过程中，根据题意，若将公式进行变形，则可以达到快速求解的目的，其变形主要有下列几种情形：a2+b2=a+b2-2ab；a2+b2=a-

34、b2+2ab；a2+b2=12a+b2+a-b2；ab=14a+b2-a-b2根据上述公式的变形，可以迅速地解决相关问题例如：已知x+y=3，x-y=1，求x2+y2的值解：x2+y2=12x+y2+x-y2=1232+12=5任务：(1)已知x+y=5，x-y=3，则xy=_(2)已知x+y=7，x2+y2=25，求x-y2的值【分析】（1）根据已知ab=14a+b2-a-b2，即可解得（2）根据已知a2+b2=12a+b2+a-b2，即可解得【详解】（1）ab=14a+b2+a-b2，xy=x2+y2=14x+y2-x-y2=1452-32=4（2）x2+y2=12x+y2+x-y2，25

35、=1272+x-y2，50=49+x-y2，x-y2=11数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形(1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和方法1：_；方法2：_(2)请你直接写出三个代数式：a+b2，a2+b2，ab之间的等量关系(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知m+n=5，m2+n2=20，求mn和m-n2的值已知x-20212+x-20232=34，求x-20222的值【分析】（1）利用阴影两部分直接求和与用总面积减去空白部分面积两种方法即可求解；（2）由图2中阴影部分面积的表示即可得到答案；（3）由（2）的关系可得

36、(m+n)2=m2+n2+2mm，进而求解即可；设x-2021=a，则x-2023=a-2，x-2022=a-1，依题意，得a2+(a-2)2=34，a2+a2-4a+4=34，利用整体思想求解即可【详解】（1）阴影两部分求和为：a2+b2；用总面积减去空白部分面积为：(a+b)2-2ab，故答案为：a2+b2；(a+b)2-2ab；（2）由题意得，(a+b)2=a2+b2+2ab；（3）由（2）得(m+n)2=m2+n2+2mm，25=20+2mn，解得mn=2.5，(m-n)2=m2+n2-2mn=15，设x-2021=a，则x-2023=a-2，x-2022=a-1，依题意，得a2+(a

37、-2)2=34，a2+a2-4a+4=34，可求得a2-2a=15.由整体思想，得(x-2022)2=(a-1)2=a2-2a+1=15+1=162两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2（1）用含a、b的代数式分别表示S1、S2；（2）若a-b=8，ab=13，求S1+S2的值；（3）用a、b的代数式表示S3；并当S1+S2=34时，求出图中阴影部分的面积S3【分析】（1）由图中正方形和长方形的面积关系，可得答案；（2）根据S1+S2=a2-b2+2b2-a

38、b=a2+b2-ab，将a-b8，ab13代入进行计算即可；（3）根据S3=a2+b2-12ba+b-12a2=12a2+b2-ab和 S1+S2=a2+b2-ab=34，可求得图 中阴影部分的面积 S3【详解】解：（1）由图可得，S1=a2-b2， S2=2b2-ab（2）a-b=8，ab=13S1+S2=a2-b2+2b2-ab=a2+b2-ab=a-b2+ab=82+13=64+13=77所以S1+S2的值为77（3）由图可得：S3=a2+b2-12ba+b-12a2=12a2+b2-abS1+S2=a2+b2-ab=34S3=1234=17所以图中阴影部分的面积S3为173阅读理解，解

39、答下列问题：利用平面图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式（1）例如，根据下图，我们可以得到两数和的平方公式：（ab）2a22abb2根据图能得到的数学公式是_（2）如图，请写出（ab）、（ab）、ab之间的等量关系是_（3）利用（2）的结论，解决问题：已知xy8，xy2，求（xy）2的值（4）根据图，写出一个等式：_（5）小明同学用图中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片，用这些纸片恰好拼出一个面积为（3ab）（a3b）长方形，请画出图形，并指出xyz的值类似地，利用立体图形中体积的等量关系也可以得到某些数学公式（6）根据图，写出一个等式：_【分析

40、】(1)由图中各个部分面积之间的关系可得答案；(2)根据图中，大正方形的面积为（ab）2，小正方形的面积为（ab）2，每个长方形的面积为ab，由各个部分的面积之间的关系可得出答案；(3)由公式变形x-y2=x+y2-4xy，再整体代入计算即可；(4)大正方形的面积可表示为（abc）2，在分别表示出大正方形中9块的面积，可得答案；(5)根据拼出一个面积为（3ab）（a3b），即为3a23b210ab，因此x3，y3，z10，进而拼图即可；(6)根据大正方体的体积为（ab）3，以及8个“小块”的体积之间的关系得出结果即可【详解】（1）根据图各个部分面积之间的关系可得：（ab）2a22abb2，故答

41、案为：（ab）2a22abb2；（2）图中，大正方形的面积为（ab）2，小正方形的面积为（ab）2，每个长方形的面积为ab，a+b2=a-b2+4ab，故答案为：a+b2=a-b2+4ab；（3）利用（2）的结论，可知x-y2=x+y2-4xy，xy8，xy2， （xy）2（xy）24xy64856；（4）根据图，大正方形的面积可表示为（abc）2，内部9块的面积分别为：a2,b2,c2,ab,ab,ac,ac,bc,bc，（abc）2a2b2c22ab2ac2bc故答案为：（abc）2a2b2c22ab2ac2bc；（5）（3ab）（a3b）3a23b210ab，x=3,y=3,z=10，即

42、需要3张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，10张宽、长分别为a、b的长方形纸片，画图如下：xyz16；（6）根据图，大正方体的体积为（ab）3，分割成8个“小块”的体积分别为：a3,b3,a2b,a2b,a2b,ab2,ab2,ab2，（ab）3a2b23a2b3ab2故答案为：（ab）3a2b23a2b3ab24（1）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式例如：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形如图1，然后将剩余部分拼成一个长方形如图2图1中阴影部分面积为_，图2中阴影部分面积为_，请写出这个乘法公式_（2）【知识应用】应用（1）中的公式，完成

43、下面任务：若m是不为0的有理数，已知P=m2+2m+1m2-2m+1，Q=m2+m+1m2-m+1，比较P、Q大小（3）【知识迁移】事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：_【分析】（1）分别用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可；（2）利用平方差公式，计算P-Q的差即可；（3）分别用代数式表示图3中左图、右图的体积即可【详解】解：（1）图1中阴影部分的面积可以看作是两个正方形的面积差，即a2-b2，图2是长为a+b，宽为a-b的长方形，因此面积为（a+

44、b）（a-b），因此有a2-b2=（a+b）（a-b），故答案为：a2-b2，（a+b）（a-b），a2-b2=（a+b）（a-b）；（2）P-Q=（m2+2m+1）（m2-2m+1）-（m2+m+1）（m2-m+1）=（m2+1）2-4m2-（m2+1）2+m2=-3m2，m是不为0的有理数，-3m20，即P-Q0，PQ；（3）图3左图的体积为xxx-11x=x3-x，图3右图是长为x+1，宽为x，高为x-1的长方体，因此体积为（x+1）x（x-1），因此有x3-x=x（x+1）（x-1），故答案为：x3-x=x（x+1）（x-1）5若x满足(7-x)(x-4)=2，求(x-7)2+(4-x

45、)2的值：解：设7-x=a,x-4=b，则(7-x)(x-4)=ab=2，a+b=(7-x)+(x-4)=3所以(x-7)2+(4-x)2=(7-x)2+(x-4)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=32-22=5请仿照上面的方法求解下面的问题（1）若x满足(8-x)(x-3)=3，求(8-x)2+(x-3)2的值；（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE=2，CF=5，长方形EMFD的面积是28，分别以MF、DF为边作正方形，求阴影部分的面积【分析】（1）设8-x=a,x-3=b，从而可得ab=3,a+b=5，再利用完全平方公式进行变形运算即可得；（2）先根

46、据线段的和差、长方形的面积公式可得(x-2)(x-5)=28，再利用正方形MFRN的面积减去正方形DFGH的面积可得阴影部分的面积，然后仿照（1）的方法思路、结合平方差公式进行变形求解即可得【详解】（1）设8-x=a,x-3=b，则ab=3,a+b=5，所以(8-x)2+(x-3)2=a2+b2，=(a+b)2-2ab，=52-23，=19；（2）由题意得：MF=DE=x-2,DF=x-5，DEDF=(x-2)(x-5)=28，因为阴影部分的面积等于正方形MFRN的面积减去正方形DFGH的面积，所以阴影部分的面积为MF2-DF2=(x-2)2-(x-5)2，设x-2=m,x-5=n，则mn=2

47、8,m-n=3，所以(m+n)2=(m-n)2+4mn=32+428=121，由平方根的性质得：m+n=11或m+n=-110（不符题意，舍去），所以(x-2)2-(x-5)2=m2-n2，=(m+n)(m-n)，=113，=33，故阴影部分的面积为336对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2，请解答下列问题（1）写出图2中所表示的数学等式 （2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c=10,ab+ac+bc=35，则a2+b2+c2= （4）小明同学

48、用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a,b的长方形纸片拼出一个面积为(5a+7b)(9a+4b)长方形，则x+y+z= 【分析】（1）利用整体法求解正方形的面积为(a+b+c)2，利用分割法求解正方形的面积为：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，从而可得答案；（2）利用多项式乘以多项式的法则把左边通过计算展开，合并同类项后可得结论；（3）利用变形公式：a2+b2+c2=(a+b+c)2-2ab-2ac-2bc，再整体代入即可得到答案；（4）由题意可得，所拼图形的面积为:xa2+yb2+zab，再利用整式的乘法运算法则计算：(5a+7b)(9a+4b)，由面积相

49、等可得x,y,z的值，从而可得答案【详解】解：（1）正方形的面积=(a+b+c)2;正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.故答案为:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.（2）证明：(a+b+c)(a+b+c)=a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2,=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.（3）a+b+c=10,ab+ac+bc=35a2+b2+c2=(a+b+c)2-2ab-2ac-2bc=102-2(ab+ac+bc)=100-235,=30.故答案为:30（4）由题可知，

50、所拼图形的面积为:xa2+yb2+zab(5a+7b)(9a+4b)=45a2+20ab+63ab+28b2=45a2+28b2+83abx=45,y=28,z=83x+y+z=45+28+83=156故答案为：1567问题发现：若x满足（9x）（x4）2，求（9x）2+（x4）2的值小明在解决该问题时，采用了以下解法：解：设（9x）a，（x4）b，则ab（9x）（x4） ，a+b（9x）+（x4） 所以（9x）2+（x4）2a2+b2（a+b）22ab (1)请补全小明的解法；(2)已知（30x）（x20）10，则（30x）2+（x20）2的值为 类比研究(3)若x满足（2023x）2+（x

51、2021）22022，求（2023x）（x2021）的值拓伸延伸(4)如图，正方形ABCD的边长为x，AE1，CG3，长方形EFGD的面积是10，分别以DE、DG为边长作正方形MEDQ和NGDH，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积为 （结果必须是一个具体数值）【分析】（1）根据题干步骤进行求解即可；（2）由（1）的步骤进行求解即可；（3）根据题干的步骤反向求解即可；（4）先表示出相应的量，再按照题干方法步骤求解即可；【详解】（1）解：设（9x）a，（x4）b，则ab（9x）（x4）2，a+b（9x）+（x4）5所以（9x）2+（x4）2a2+b2（a+b）22ab21（2）设（30x）m，

52、（x20）n，则mn（30x）（x20）-10，m+n（30x）+（x20）10所以（30x）2+（x20）2m2+n2（m+n）22mn120（3）设（2023x）t，（x2021）h，则（2023x）2+（x2021）2t2+h2（t+h）22th2022因为t+h（2023x）+（x2021）2所以th（2023x）（x2021）(22-2022)2=-1009（4）DE=x-1，DG=x-3S四边形MEDQ=DE2=x-12，S四边形NGDH=DG2=x-32，S四边形PQDH=DEDG=x-3x-1=10x-31-x=-10，x-3+1-x=-2S四边形MEDQ+S四边形NGDH=x

53、-12+x-32=1-x2+x-32=1-x+x-32-2x-31-x=-22-2-10=22阴影部分的面积为：S四边形MEDQ+S四边形NGDH+2S四边形PQDH=x-12+x-32+2x-3x-1=24+20=44必考点6利用因式分解探究三角形形状1（2022秋四川内江八年级四川省隆昌市第一中学校考阶段练习）若a、b、c是ABC的三边，且满足b2+bc-ba-ca=0，a2+ab-cb-ac=0，则ABC的形状为（）A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等边三角形【答案】D【分析】根据b2+bc-ba-ca=0，a2+ab-cb-ac=0，分别提取公因式即可得到(b+c)(b-a)=

54、0，(a+b)(a-c)=0，再根据b+c0，a+b0，得到b-a=0，a-c=0，据此即可判定该三角形的形状【详解】解：b2+bc-ba-ca=0，a2+ab-cb-ac=0，(b+c)(b-a)=0，(a+b)(a-c)=0，又a、b、c是ABC的三边，b+c0，a+b0，b-a=0，a-c=0，b=a，a=c，a=b=c，该三角形是等边三角形，故选：D【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是能够对题目提供的式子进行因式分解2（2018秋江西八年级校考阶段练习）先阅读下面的材料，再解决问题：要把多项式am+an+bm+bn因式分解，可以先把它的前两项分成一组，并提出a；把它的后两项分

55、成一组，并提出b，从而得到am+n+bm+n.这时，由于am+n+bm+n，又有因式m+n，于是可提公因式m+n，从而得到a+bm+n.因此有am+an+bm+bn=am+n+bm+n =a+bm+n.这种因式分解的方法叫做分组分解法.在三角形中，若任意两条边的差均为0，则这个三角形是等边三角形；若只有两条边的差为0，则这个三角形是等腰三角形；若有两条边的平方和与第三边的平方的差为0，则这个三角形是直角三角形。请用上面材料中提供的方法解决问题：（1）将多项式ab-ac+b2-bc分解因式；（2）若ABC的三边a、b、c满足条件：a4-b4+a2c2+b2c2=0，试判断ABC的形状.【答案】（

56、1）（a+b）（b-c）；（2）直角三角形【分析】（1）将前两项以及后两项重新分组进而分解因式得出答案；（2）利用分组分解法将原式分解进而得出答案【详解】解：（1）ab-ac+b2-bc=（ab-ac）+（b2-bc）=a（b-c）+b（b-c）=（a+b）（b-c）； （2）由已知，得（a2-b2）（a2+b2）+c2（a2+b2）=0即（a2+b2）（a2-b2+c2）=0a2+b20a2-b2+c2=0即a2+c2=b2ABC是直角三角形【点睛】本题主要考查了分组分解法分解因式以及勾股定理逆定理，正确分组是解题关键3（2022秋八年级课时练习）（1）若a、b、c是三角形的三条边，求证：a

57、2-b2-c2-2bc0且ab+ca+b+ca-b-c0即a2-b2-c2-2bc0（2）ABC是等边三角形，理由如下：a+b+c=322，a+b+c2=92a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=92又a2+b2+c2=32，2ab+2bc+2ac=32ab+2bc+2ac=2a2+2b2+2c22a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0a-b2+b-c2+a-c2=0a-b20，b-c20，a-c20，a-b=0，b-c=0，a-c=0a=b=cABC是等边三角形（3）ABC是等腰三角形，理由如下：a2b-c+b2c-a+c2a-b=a2b-c+b2c-ab2+ac2-bc2=a

58、2b-c+b2c-bc2-ab2-ac2=a2b-c+bcb-c-ab+cb-c=b-ca2+bc-ab-ac=b-caa-b-ca-b=b-ca-ba-ca2b-c+b2c-a+c2a-b=0b-ca-ba-c=0b=c或b=a或a=cABC是等腰三角形【点睛】本题考查了因式分解的应用，灵活运用提公因式法、公式法、分组分解法进行因式分解是解题的关键.4（2022秋山东滨州八年级统考期中）求解下列问题：(1)若x2+2y2-2xy+8y+16=0，求yx的值；(2)已知ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2-6a-8b+25+4-c=0，请问ABC是什么形状的三角形？请说明理由【

59、答案】(1)1256(2)等腰三角形，理由见解析【分析】（1）根据完全平方公式因式分解，然后根据非负数的性质得出x,y的值，代入计算即可求解；（2）根据完全平方公式运算法，然后根据非负数的性质得出a=3,b=4,c=4，即可判断三角形的形状【详解】（1）解：x2+2y2-2xy+8y+16=0,(x2-2xy+y2)+(y2+8y+16)=0. (x-y)2+(y+4)2=0.(x-y)20,(y+4)20,x-y=0,y+4=0, x=y=-4.yx=(-4)-4=1256.（2）a2+b2-6a-8b+25+4-c=0(a2-6a+9)+(b2-8b+16)+4-c=0, (a-3)2+(

60、b-4)2+4-c=0, (a-3)20,(b-4)20,4-c0,a-3=0,b-4=0,4-c=0,a=3,b=4,c=4.c=ba.a、b、c是ABC的三边长，ABC是等腰三角形【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式，等腰三角形的定义，非负数的性质，负整数指数幂是解题的关键5（2022秋福建福州八年级校考期中）若ABC的三边长分别为a，b，c，且满足等式3a2+b2+c2=a+b+c2，试确定该三角形的形状.【答案】等边三角形【分析】将已知等式化为a-b2+b-c2+a-c2=0，根据非负数的性质得出a=b=c，即可求解【详解】解：3a2+b2+c2=a+b+c2，3a2+3

61、b2+3c2-a2-b2-c2-2ab-2ac-2bc=0即2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0即a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=0a-b2+b-c2+a-c2=0，a-b2=0，b-c2=0，a-c2=0a-b=0，b-c=0，a-c=0，即a=b=cABC的三边长分别为a，b，c，该三角形是等边三角形【点睛】本题考查了因式分解的应用，等边三角形的判定，得出a=b=c是解题的关键6（2023秋湖北孝感八年级统考期末）阅读材料，要将多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而

62、得到：am+an+bm+bn=am+n+bm+n，这时am+n+bm+n中又有公因式m+n，于是可以提出m+n，从而得到m+na+b，因此有am+an+bm+bn=am+n+bm+n=m+na+b，这种方法称为分组法请回答下列问题：(1)尝试填空：ac-bc+ab-a2=_；(2)解决问题：因式分解2x-18+xy-9y；(3)拓展应用：已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2+2b2+c2-2ab-2bc=0，试判断这个三角形的形状，并说明理由【答案】(1)a-bc-a；(2)2+yx-9(3)ABC是等边三角形，理由见解析【分析】（1）利用分组分解法因式分解即可；（2）利用分组分解法

63、因式分解即可；（3）利用分组分解法因式分解，再利用非负数的性质证明a=b=c即可【详解】（1）解：ac-bc+ab-a2=ac-bc-a2-ab=ca-b-aa-b=a-bc-a；故答案为：a-bc-a；（2）2x-18+xy-9y=2x-9+yx-9=2+yx-9；（3）结论：ABC是等边三角形理由：a2+2b2+c2-2ab-2bc=0，a2-2ab+b2+c2-2bc+b2=0，即：a-b2+c-b2=0a-b20，c-b20，a-b=0，c-b=0，a=b=cABC是等边三角形【点睛】本题考查了分组分解法，非负数的性质，等边三角形的判定等知识，解题的关键是根据范例熟练掌握分组分解7（2

64、022春山东青岛八年级校考期中）数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式(1)探究一：将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式_(2)探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为a的大正方体进行以下探索：在大正方体一角截去一个棱长为b(ba)的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为_；(3)将图3中的几何体分割成三个长方体、，如图4、图5所示，BC=a，AB=a-b，CF=b，长方体的体积为ab(a-b

65、)类似地，长方体的体积为_，长方体的体积为_；（结果不需要化简）(4)用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为_(5)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a-b=6，ab=2，求a3-b3的值(6)类比以上探究，尝试因式分解：a3+b3= 【答案】(1)a2-b2=a+ba-b(2)a3-b3(3)b2a-b，a2a-b(4)a3-b3=a-ba2+ab+b2(5)252(6)a+ba2-ab+b2【分析】（1）图1中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，图2中阴影部分的面积等于长为a+b、宽为a-b的长方形的面积，由此即可得；（2）直接

66、利用大正方体的体积减去小正方体的体积即可得出答案；（3）根据长方体的体积公式即可得；（4）根据（2）和（3）的结论可得a3-b3=aba-b+b2a-b+a2a-b，再将等号右边利用提取公因式分解因式即可得出答案；（5）先利用完全平方公式求出a2+b2=40，再根据（4）的结论即可得；（6）将a3+b3改写成a3-b3，再根据（4）的结论进行因式分解即可得（1）解：图1中阴影部分的面积为a2-b2，图2中阴影部分的面积为a+ba-b，拼图前后图形的面积不变，a2-b2=a+ba-b，可得一个多项式的分解因式为a2-b2=a+ba-b，故答案为：a2-b2=a+ba-b（2）解：由题意，得到的几

67、何体的体积为a3-b3，故答案为：a3-b3（3）解：EN=b,DE=b,DM=a-b，长方体的体积为b2a-b，GH=a,FG=a-b,HR=a，长方体的体积为a2a-b，故答案为：b2a-b，a2a-b（4）解：由（2）和（3）得：a3-b3=aba-b+b2a-b+a2a-b，则可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为a3-b3=a-ba2+ab+b2，故答案为：a3-b3=a-ba2+ab+b2（5）解：a-b=6,ab=2，a2+b2=a-b2+2ab=62+22=40，a3-b3=a-ba2+ab+b2=640+2=252（6）解：由（4）可知，a3-b3=a-ba2+ab+b2

68、，则a3+b3=a3-b3=a-ba2+a-b+-b2=a+ba2-ab+b2，故答案为：a+ba2-ab+b2【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积、利用完全平方公式变形求值、利用提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式是解题关键8（2020秋湖南衡阳八年级校考阶段练习）阅读材料：若m2-2mn+2n2-8n+16=0，求m、n的值m2-2mn+2n2-8n+16=0,m2-2mn+n2+(n2-8n+16)=0,m-n2+n-42=0,n=4,m=4.根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知一个不等边三角形的三边长分别为a、b、c，且a、b、c

69、都是正整数，并满足a2+b2-4a-6b+13=0,求c的值（2）已知a、b、c是ABC的三边长，且满足a2+c2+2bb-a-c=0，试判断ABC的形状（3）试探究关于x、y的代数式5x2-4xy+y2+6x+25是否有最小值，若存在，求出最小值及此时x、y的值；若不存在，说明理由【答案】（1）4；（2）等边三角形；（3）最小值为16，此时x=-3，y=-6【分析】（1）首先根据a2+b2-4a-6b+13=0，应用因式分解的方法，判断出（a-2）2+（b-3）2=0，求出a、b的值各是多少；然后根据三角形的三条边的长度的关系，求出c的值是多少即可；（2）先把原式化为（a-b）2+（b-c）

70、2=0，再利用非负数的性质得出a=b=c，那么ABC是等边三角形；（3）将原式变形为x+32+2x-y2+16，利用偶次方的非负性，可得最小值以及此时x和y的值【详解】解：（1）a2+b2-4a-6b+13=0，a-22+b-32=0，a=2，b=3，1c5，c=4；（2）a2+c2+2bb-a-c=0，a2+c2+2b2-2ab-2bc=0，a2+b2-2ab+c2+b2-2bc=0，a-b2+b-c2=0，a-b=0且b-c=0，即a=b且b=c，a=b=c，ABC是等边三角形；（3）有最小值，5x2-4xy+y2+6x+25=x2+6x+9+4x2-4xy+y2+16=x+32+2x-y

71、2+16x+320，2x-y20，原式16，此时x=-3，y=-6【点睛】本题考查因式分解的应用，非负数的性质，三角形的三条边之间的关系，等边三角形的判定，解题的关键是明确题目中的材料，可以将问题中方程转化为材料中的形式9（2021春全国八年级专题练习）在平面直角坐标系，点A（a，0），点B（0，b），已知a，b满足a2+b2+8a+8b+32=0（1）求点A、B的坐标；（2）如图1，点E为线段OB上一点，连接AE，过点A作AFAE，且AF=AE，连接BF交x轴于点D，若点F的坐标为（-2，c），求c的值及OE的长；（3）在（2）的条件下，如图2，过点E作EGAB于点G，过点B作BC/x轴交E

72、G的延长线于点C，连接OC、AC，试判断AOC的形状，并说明理由【答案】（1）A-4,0、B0,-4；（2）c=4，OE的长为2；（3）AOC是以C为顶点的等腰三角形【分析】（1）把a2+b2+8a+8b+32=0进行配方得a+42+b+42=0，可得a=b=-4，进而可求得点A、B的坐标；（2）如详解图：过点F作FMAO于M，利用角度的等量代换可得MFA=OAE，AMF=AOE=90，从而可证AMFEOA，可得AM=OE,OA=MF，进而可得答案；（3）根据点A、B的坐标，求出直线AB的解析式为：y=-x-4，再利用EGAB，设CE所在直线的解析式为：y=x+b，根据E点坐标可求CE所在直线

73、的解析式为：y=x-2，根据点B、C纵坐标相同，即可求出点C坐标，利用两点间距离公式即可分别求出AC、OC、AO的长即可得到结论【详解】（1） a2+b2+8a+8b+32=0， a+42+b+42=0， a+4=0,b+4=0， a=b=-4，A-4,0,B0,-4，（2）如图：过点F作FMAO于M，AFAE,FAE=90, OAE+FAO=90, FMAO，FMA=AOE=90，AFM+FAO=90， AFM=OAE，在AMF和AOE中FMA=AOEAFM=OAEAF=AE AMFEOA，AM=EO,FM=AO=4，c=4点F的横坐标为：-2，点A的横坐标为：-4AM=OE=-2-4=2,

74、OE的长为2，（3）设AB所在直线的解析式为：y=kx+b，将点A-4,0,B0,-4代入可得，-4k+b=0b=-4，解得k=-1b=-4，直线AB的解析式为：y=-x-4，设CE所在直线的解析式为：y=x+m，将E0,-2代入可得，-2=0+m，解得：m=-2 CE所在直线的解析式为：y=x-2， BC/ x轴，C点的纵坐标为-4，将y=-4，代入y=x-2得：x=-2，C点坐标为-2,-4， OC2=BC2+OB2=22+42=4+16=20,AC2=xC-xA2+yC2=22+42=4+16=20，OA2=42=16，OC=ACAOC是以C为顶点的等腰三角形【点睛】本题主要考查了一次函

75、数，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，以及配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握这些性质是解题关键必考点7利用拆项或添项进行因式分解1阅读材料：我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值， 最小值等例分解因式：x2+2x-3=x2+2x+1-4=(x+1)2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x

76、+3)(x-1)；又例如：求代数式2x2+4x-6的最小值：2x2+4x-6=2x2+2x-3=2(x+1)2-8；又(x+1)20；当x=-1时，2x2+4x-6有最小值，最小值是-8根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：(1)分解因式：a2-4a-5=_；(2)已知ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2-4a+b2-12b+40=0求边长c的最小值；(3)当x、y为何值时，多项式-x2+2xy-2y2+6y+7有最大值？并求出这个最大值【答案】(1)(a+1)(a-5)(2)5(3)x=y=3时，最大值为16【分析】（1）根据阅读材料，先将a2-4a-5变形为a2-4a+4-

77、9，再根据完全平方公式写成a-22-9，然后利用平方差公式分解即可；（2）根据配方法得出两个完全平方式，再根据两个非负数的和为0时，每一部分为0可得a，b的值，最后根据三角形三边的关系，可得c的取值范围和最小值；（3）根据题目中的例子，先将所求式子配方，再根据完全平方式的非负性即可得到当x、y为何值时，所求式子取得最大值，并求出这个最大值；【详解】（1）解：原式= a2-4a+4-9= a-22-9= a-2+3a-2-3=(a+1)(a-5)；故答案为：(a+1)(a-5)（2）a2+b2-4a-12b+40=0，a2-4a+4+b2-12b+36=0，(a-2)2+(b-6)2=0，a-2

78、=0b-6=0 解得：a=2b=6，a、b、c是 ABC的三边长，4c0,a+b+c0,a-b+c0,a-b-c0，原式y，Ex,y0，例如，24=46，15=35，则E24,15=24-15=9若“半平分数”x的“半平分数”为s，“半平分数”y的“半平分点”为t，当Ex,y=40时，求ts的值【答案】(1)8；3；-2或-1或1或5(2)ts的值为45或13【分析】（1）直接应用新定义的运算规则，即可求解（2）运用新定义的运算规则，先得出关系式：s2+2s-t2-2t=40，应用因式分解，运用分类讨论思想，求出ts【详解】（1）解：80=810，k=8；a=11+2=3，a=3；kx+a=8

79、x+3为正整数，x+3=1或2或4或8，整数x=-2或-1或1或5；故答案为：8；3；-2或-1或1或5；（2）解：x=ss+2=s2+2s，y=tt+2=t2+2t，Ex,y=40，x-y=40，s2+2s-t2-2t=s+ts-t+2s-t=40，即s-ts+t+2=40，s、t都是正整数，s-t、s+t+2都是正整数，40=140=220=410=58，s-t=1s+t+2=40或s-t=2s+t+2=20或s-t=4s+t+2=10或s-t=5s+t+2=8，解得s=19.5t=18.5(舍) 或s=10t=8或s=6t=2或s=5.5t=0.5(舍)，ts的值为45或13【点睛】本题

80、考查了因式分解的应用，涉及知识点有：因式分解、解二元一次方程组等，考查学生的阅读素养、计算能力、推理能力、应用能力等，体现了数学的分类讨论思想，本题第一问较简单，第二问关键在于能将式子s2+2s-t2-2t=40的左右两边分别进行因式分解，得出四种情况进行分类讨论6阅读理解应用:要想比较a和b的大小关系，可以进行作差法，结果如下:若a-bu，则ab;若a-b0，则ab;若a-b=0，则a=b. (1)比较2a2与a2-1的大小，并说明理由. (2)比较a2+b2与2ab的大小，并说明理由. (3)直接利用(2)的结论解决:求a2+1a2+3的最小值. (4)已知如图，直线ab于O，在a,b上各

81、有两点B,D和A,C, AO=4,BO=9,CO=x2,DO=y2，且xy=3，求四边形ABCD面积的最小值.【答案】（1）2a2a2-1（2）a2+b22ab，（3）a2+1a2+3的最小值是5.（4）最小值为18+22.5=40.5【分析】（1）（2）直接利用作差法，进一步分解因式，利用非负数的性质判定即可；（3）利用（2）的结论得出答案即可；（4）利用四边形ABCD面积等于三角形ABD的面积加上三角形BCD的面积列出式子，利用（3）的结论解决问题【详解】解：（1）2a2-（a2-1）=2a2-a2+1=a2+10 ,2a2a2-1.（2）a2+b22ab， 理由：a2+b2-2ab=（a-b）20， （3）a2+1a2+32a1a+3=2+3=5 a2+1a2+3的最小值是5.（4）AO=4，BO=9，CO=x2，DO=y2，且xy=3 ,S四边形ABCD=12（9+y2）4+12x2（9+y2） =92x2+2y2+12x2y2+18=92x2+2y2+22.5=12（9x2+4y2）+22.51223x2y+22.5即：最小值为18+22.5=40.5【点睛】此题考查因式分解的实际运用，非负数的性质，作差法是比较两个式子大小常用的方法，掌握完全平方公式是解决问题的关键