广东省湛江市中学2024届高三上学期开学考试数学试题.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司湛江第一中学 2024 届高三级开学考试数学全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用 2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：高考范围.一单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

2、题目要求的.1.已知集合12e1,20 xMxNx xx=的焦点为 F，准线为l，点()()00,10P xx 在抛物线C 上，过 P 作l 的垂学科网（北京）股份有限公司线，垂足为Q，若 POPQ=（O 为坐标原点），则0 x=（）A.2 2 B.3 C.3 2 D.4 7.已知 为钝角，2cos2sin2cos=，则 tan3 的值为（）A.43 B.-2 C.83 D.211 8.已知函数()2sin(0)3f xx=+且满足236fxfx=，则 的最小值为（）A.12 B.23 C.1 D.2 二多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符

3、合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9.一组数据：0,1,5,6,7,11,12，则（）A.这组数据的平均数为 6 B.这组数据的方差为 16 C.这组数据的极差为 11 D.这组数据的第 70 百分位数为 7 10.已知函数()2lnf xxxx x=，则（）A.()f x 有两个零点 B.()f x 有两个极值点 C.()0f x 恒成立 D.()0fx 恒成立 11.已知圆22:(3)(1)1Cxy+=与圆222:()(2)(,0)Mxmymrmr+=R相交于,A B 两点，则（）A.圆C 的圆心坐标为()3,1 B.当2r=时，2 52 5115

4、5m的左，右焦点分别为12,F F，右支上有一点 M，满足121290,F MFF MF=的内切圆与 y 轴相切，则双曲线C 的离心率为_.四解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明证明过程及演算步骤.17.（本小题满分 10 分）在 ABC中，内角,A B C 所对的边分别为,a b c，已知3cos2A=.（1）若3,2bc=，求a 的值；学科网（北京）股份有限公司（2）若223abc=，求角,B C 的大小.18.（本小题满分 12 分）已知数列 na满足1111,13nnaaan+=+.（1）求数列 na的通项公式；（2）求数列 na的前n 项和nS.19.（本

5、小题满分 12 分）如图，直三棱柱111ABCA B C中，平面1A BC 平面11ABB A.（1）证明：ABBC；（2）若12,AAACBC E=为1BB 上一点，且13BEEB=，求二面角1EACB的余弦值.20.（本小题满分 12 分）2023 年的高考已经结束，考试前一周，某高中进行了一场关于高三学生课余学习时间的调查问卷，现从高三12 个班级每个班随机抽取 10 名同学进行问卷，统计数据如下表：课余学习时间超过两小时 课余学习时间不超过两小时 200 名以前 40 10 x+200 名以后 310 x 40（1）求 x 的值；（2）依据上表，根据小概率值0.001=的独立性检验，分

6、析学生成绩与课余学习超过两个小时是否有关系；（3）学校在成绩 200 名以前的学生中，采用分层抽样，按课余学习时间是否超过两小时抽取 6 人，再从这 6人中随机抽取 3 人，记这 3 人中课余学习时间超过两小时的学生人数为 X，求 X 的分布列和数学期望.附：参考公式：()()()()22()n adbcabcdacbd=+，其中nabcd=+.a 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 学科网（北京）股份有限公司ax 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 21.（本小题满分 12 分）已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的右焦点为 F，上顶点为

7、,2B BF=，离心率为 12.（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）若直线():20l yxm m=与椭圆 E 相交于,A C 两点，且点()0,Nm，当 ACN的面积最大时，求直线l 的方程.22.（本小题满分 12 分）已知函数()1elnxf xx=.（1）求函数()f x 的最小值；（2）求证：()()1ee1 lne02xxf xxx+.湛江第一中学 2024 届高三级开学考试数学参考答案提示及评分细则 1.B 由1e1x 得10eex，函数exy=在 R 上单调递增，则10 x ，即1Mx x=，又由220 xx得02x，即 02Nxx=.故选 B.2.A ()()()()2i 1

8、 2i2i5i1111 i12i12i 1 2i5z+=+=+=+=+，则2z=.故选 A.3.C ()111131311,222444442BMBABDABACABABACmnmn=+=+=+=+=.故选 C.4.A 令231,3uuxxy=+=，又3uy=在R 上单调递增，231uxx=+的增区间为 3,2+，所以()f x 的增区间为 3,2+.故选 A.5.D ()454445141411,2.32,22aaaadad adaadd aad=+=+=.学科网（北京）股份有限公司()()()199541414929499444aaSadSaaaad+=+.故选 D.6.A 因为 POPQ

9、PF=，所以1 22p=，即2204,8,8 1pxy x=，又000,2 2xx=.7.D 由2cos2sin2cos=得22sin cossin=，化简得 2cossin,tan2=，则22tan4tan2tan2tan2,tan31tan31tan2 tan11+=.故选 D.8.B 由236fxfx=可知：()f x 关于4x=对称，故2,4,04323kkk+=+=+=时，取最小值为 23.故选 B.9.AD A：()10 1 567 11 1267+=，故 A 正确；B：()22222221124651015677+=，故 B 错误；C:12012=，故 C 错误；D:7 70%4

10、.9=，故 70 百分位数是第 5 个数 7.故 D 正确.故选 AD.10.BC ():01 ln0,1 lnA f xxxxx=，当且仅当1x=时取等号，故 A 错误，C 正确；B：()()12122ln,2xfxxx fxxx=，在10,2上，()()0,fxfx，()fx为增函数，又()2110,0,10e2fff，所以有22(3)(21)3MCmm=+，解得2 52 51155m0，故()()10g xg=符合题意，当2a 时，()()120,1,gam=+，在()1,m 上，()0g x，根据小概率值0.001=的独立性检验，我们认为学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩有关，此推断

11、犯错误概率不大于 0.001；（3）这 6 人中课余学习时间超过两小时的人数为40644020=+，课余学习时间不超过两小时的人数为 2，X 的取值为1,2,3，有()124236C C11C5P X=；()214236C C32;C5P X=()3436C13C5P X=.故 X 的分布列为：X 1 2 3 P153515()1311232555E X=+=.学科网（北京）股份有限公司21.解：（1）由题意可知22212,e,1,32cBFacbaca=，所以椭圆 E 的方程为22143xy+=；（2）由直线l 的方程为2yxm=，则点()0,Nm 到直线l 的距离为3 22dm=，联立方程

12、组221,432,xyyxm+=整理可得2271616120 xmxm+=，由判别式()222564 7 16120mm=，解得77,00,22m，设()()1122,A x yC xy，则21212161612,77mmxxxx+=，可得()()()()()()2222221212121212121222224ACxxyyxxxmxmxxxxx x=+=+=+()224 16122562497mm=24 221 127m=，所以2114 23 221 122272ACNSAC dmm=()22223 33 37443 37447722mmmm+=（当且仅当1477,00,422m=时，等号成

13、立），所以所求直线的方程为142yx=+或142yx=.22.（1）解：()1elnxf xx=，()11exfxx=，设()()11211e,e0 xxxxxx=+=，()x在()0,+上为单调递增函数，()()10,10f=，当()0,1x时，()0fx=时，()f x 取得最小值，()min()11f xf=；（2）证明：()()1ee1 lne02xxf xxx+，只需证()()11eelne1 lne02xxxxxx+，即()11 eln02xxx+，令()()11 eln2xg xxx=+，则()1e(0)xgxxxx=，当0 x 时，令()()1exh xgxxx=，则()()(

14、)211 e0,xh xxh xx=+在()0,+上单调递增，即()1exgxxx=在()0,+上为增函数，又因为222333223227ee0,(1)e 1033238gg=，所以存在02,13x，使得()00gx=，由()00200000e11e0 xxxgxxxx=，得020e1xx=，即0201exx=，即002lnxx=，所以当()00,xx时，()()1e0,xgxxg xx=单调递增，所以()()03200000min000220012211()1 eln2222xxxxxxg xg xxxxx+=+=+=，令()3222213xxxxx=+，所以()x在 2,13上单调递增，所以()0220327x=，学科网（北京）股份有限公司所以()()()002002xg xg xx=，所以()11 eln02xxx+，即()()1ee1 lne0.2xxf xxx+