[28872723]2022届高考数学沪教版一轮复习-讲义专题18空间直线与平面复习与检测.docx

1、专题18空间直线与平面复习与检测学习目标1.掌握画空间图形的基本技能，培养空间想象能力，2.理解异面直线所成角的概念，3.会画简单图形中的异面直线所成角的大小。知识梳理重点1直线的对称式（点向式）方程空间给定了一点与一个非零向量,那么通过点且与向量平行的直线就被唯一确定,向量叫直线的方向向量. 任何一个与直线平行的非零向量都可以作为直线的方向向量.重点2直线一般方程与标准方程的互化 标准方程化为一般方程.(方向数不全为零) 一般方程化为标准方程一般方程(1) 确定直线的两平面法向量的向量积为直线的一个方向 向量.（2）取方程组的一组特解得直线上一点化得直线标准方程: 重点3 空间平面的一般方程

2、 一个平面I是由垂直它的非零向量n和平面上的一个点M唯一决定的。设n=（A,B,C）（不为零向量）表示垂直I的方向，称n为I的法向量 由于n为平面I的法向量，M0(x0,y0,z0)为I上一点，则对于空间中任意一点M（x,y,z），M在I上当且仅当 或 （3.1.21）用坐标来表示，化为 令，则得到平面的方程 （3.1.22）这样，任何一张平面都可以用一个三元一次方程来表示。反之，对于任何一个三元一次方程 不全为0，不妨设，则该方程又可写成 作过点，垂直于方向的平面，则这个平面的方程就是所给出的方程，即一个三元一次方程表示一个平面。由此可以看出，经由坐标系，空间中的平面与一个四元数组相对应。但

3、是，这种对应不是一对一的，对于所有的，对应同一平面。由（3.1.22）表示的方程称为平面的一般方程。重点4空间中直线与平面的位置关系 已知直线和平面的方程为 现在我们来讨论，在上的充要条件。因为直线的方向向量与直线平行，平面的法向量与平面垂直，所以有 如果时，和又有公共点，则就整个落在上了.因此有 在上空间直线与平面的交角设直线和平面的交角为.当时，；当时，；其他情况下，等于与它在上的射影直线所交的锐角.设是的方向向量与的法向量之间的夹角，则有 或或因此在这两种情况下，都有.已知直线和平面的方程为 设和的交角为，则 例题分析例1如图，矩形中，已知为的中点将沿着向上翻折至得到四棱锥平面与平面所成

4、锐二面角为，直线与平面所成角为，则下列说法错误的是（ ）A若为中点，则无论翻折到哪个位置都有平面平面B若为中点，则无论翻折到哪个位置都有平面CD存在某一翻折位置，使【答案】C【详解】若为中点，连接交于点，则面，又面，所以平面平面，故A正确；取中点，则，又，所以四边形PECQ是平行四边形，又平面，平面，所以平面，故B正确；过作平面，则在上，所以平面与平面所成锐二面角为（或其补角），故C错误；若，又，则，故D正确，故选：C例2如图，在正方体中，M、N分别为，的中点，则异面直线与所成角为（ ）ABCD【答案】C【详解】如图，在正方体中，连接交于，连接，M、N分别为，的中点，所以，所以异面直线与所成角

5、即与所成角，易知，故选：C.跟踪练习1已知直线l平行于平面，平面垂直于平面，则以下关于直线l与平面的位置关系的表述，正确的是（ ）Al与垂直Bl与无公共点Cl与至少有一个公共点D在内，l与平行，l与相交都有可能2设正四棱柱的底面边长为1，高为2，平面经过顶点，且与棱所在直线所成的角都相等，则满足条件的平面共有（ ）个A1B2C3D43如图，面，为矩形，连接，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（ ）A与B与C与D与4下列命题为真命题的是（ ）A若直线l与平面上的两条直线垂直，则直线l与平面垂直B若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行C若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直D若

6、直线l上的不同两点到平面的距离相等，则直线l与平面平行5设直线l与平面平行，直线m在平面上，那么（ ）A直线l平行于直线mB直线l与直线m异面C直线l与直线m没有公共点D直线l与直线m不垂直6已知空间直线和平面，则“直线在平面外”是“直线平面”的（ ）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D非充分非必要条件7如图，已知四棱锥中，底面是边长为2的正方形，M是的中点.（1）证明：；（2）求点B到平面的距离.8已知如图，在菱形中，且为的中点，将沿折起使，得到如图所示的四棱锥，在四棱锥中求解下列问题：（1）求证：平面；（2）若为的中点，求直线与平面所成的角.9如图，已知正三棱柱的体积为，底面边长为

7、3，求异面直线与所成的角的大小.10如图，在几何体中，已知平面，且四边形为直角梯形，（1）求证：平面；（2）若PC与平面所成的角为，求点A到平面的距离参考答案1D【详解】因平面垂直于平面，令，当时满足条件，从而选项A，B都不正确；过直线a作平面，与平面，平面都不重合，直线l在内与a平行时满足条件，此时，即C选项不正确；在平面内作一直线b与直线a相交，直线l与b平行时满足条件，此时l与相交，选项D正确.故选：D2D【详解】解：第一类：在平面的一边在另一边，有一个平面符合条件；在平面的一边在另一边，有一个平面符合条件；在平面的一边在另一边，有一个平面符合条件；第二类：都在平面的同侧，有一个平面符合

8、条件综上所述，满足条件的平面共有4个故选：D3A【详解】由面，为矩形，A：面，则，而与不一定垂直，不一定有面，故不一定与垂直，所以与数量积不一定为0，符合题意；B：由A知，又且，则面，又面，所以，即与数量积为0，不合题意；C：由上易知，又 且，则面，又面，所以，即与数量积为0，不合题意；D：由上知，而，所以，即与数量积为0，不合题意；故选：A.4B【详解】A. 若直线l与平面上的两条直线垂直，当平面内两条直线平行时，直线l与平面不一定垂直，A错；B. 若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行，这是线面垂直的性质定理，B正确；C. 若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直，这两个平

9、面可以相交，也可以平行，C错；D. 若直线l上的不同两点到平面的距离相等，直线l与平面可能相交也可能平行，D错故选：B5C【详解】若直线l与平面平行，直线m在平面上，则直线l平行于直线m或直线l与直线m异面，所以直线l与直线m没有公共点故选：C6B【详解】直线在平面外，包括直线与平面平行和相交，不充分，但直线平面，一定有直线在平面外，必要的，因此是必要不充分条件故选：B7（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）底面是边长为2的正方形，M是的中点，平面，平面，.（2）平面，过于点，(设B到面的距离为h)，.8（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）在图中，连接，如图所示.因为四边形为菱形，所以是

10、等边三角形.因为为的中点，所以又，所以.在图中，所以，即.因为所以又均在平面内，所以平面（2）由（1）知，因为在平面内，所以平面以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则设平面的一个法向量为.因为，由得令，得，又设直线与平面所成的角为，则.故，所以直线与平面所成的角为.9异面直线与与所成的角的大小为【详解】设正三棱柱的高为h，则，由，得.因为，所以与所成的角等于与所成的角.连接，在中，由，得故异面直线与与所成的角的大小为.10（1）证明见解析；（2）点A到平面PCD的距离为【详解】（1）连接AC,AB=BC=1,ABC为直角，AC=,BAC=,又BAD=，CAD=,又AD=2,ACD为等腰直角三角形，ACBC,又PA底面ABCD,PACD，又PAAC=A,PA,AC平面PAC，CD平面PAC;（2）PA平面ABCD,PCA是PC与平面ABCD所成的角，故由已知得PCA=,在PAC中，过A作AHPC,垂足为H,则A到斜边PC的距离AH=ACsin,CD平面PAC,CD平面PCD,平面PAC平面PCD,又平面PAC平面PCD=PC,AHPC,AH平面PAC,AH平面PCD,即AH就是A到平面PCD的距离，A到平面PCD的距离为.