[32644869]解密24不等式选讲(讲义)-【高频考点解密】2022年高考数学（理）二轮复习讲义 分层训练（全国通用）.docx

1、解密24 不等式选讲考点热度 内容索引核心考点1 含绝对值不等式的解集及其应用核心考点2 不等式的证明 高考考点三年高考探源预测含绝对值不等式的解集及其应用2021年全国甲卷文理232021年全国甲卷文理232020新课标全国 232020新课标全国 232019新课标全国 232019新课标全国 23从近三年高考情况来看，主要考查绝对值不等式的求解、恒成立问题、存在性问题以及不等式的证明，多以解答题的形式呈现，难度中等不等式的证明2019新课标全国 232020新课标全国 23 核心考点一 含绝对值不等式的解集及其应用考法 含绝对值不等式的解集及其应用1、（四川省大数据精准教学联盟2022届

2、高三第一次统一检测文科数学试题）已知函数，M为不等式的解集(1)求M；(2)若a，且，证明：【答案】(1)； (2)证明见解析【解析】(1)分类讨论去绝对值符号求解不等式即可；(2)由得，则(a，b)表示以原点为圆心，半径为的圆内部的点，故可设(a，b)为(，)，代入即可求出其范围.(1)由已知得当时，由得(舍去)；当时，由得，；当时，由得，综上可得的解集(2)由，即，令，由，由，2、（四川省成都市蓉城名校联盟2021-2022学年高三第二次联考数学（理）试题）已知函数，(1)若，解不等式；(2)设，均为正数，的最大值为，求的最小值【答案】(1) (2)5【解析】（1）零点分段法求解绝对值不等

3、式；（2）由柯西不等式求出，再由绝对值三角不等式求出的最小值.(1)时，不等式为当时，不等式化为，解得，此时解集为；当时，不等式化为，解得，此时解集为；当时，不等式化为，解得，此时无解综上所述，不等式的解集为(2)由柯西不等式得，则当且仅当，即号时等号成立则的最大值为由已知得：，故当且仅当，即时等号成立的最小值为53、（2022黑龙江哈九中高三开学考试（文）已知函数.(1)画出的图象；(2)求不等式的解集.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】（1）将函数解析式化简为分段函数形式，再作出分段函数的图像；（2）将不等式转化为求解或，再结合函数图像求解不等式即可.(1)由题意，作出函数图像如图

4、所示，(2)，即或，由图可知，当时，；当时，即或，所以的解集为.4、（2022黑龙江铁力市第一中学校高三开学考试（文）已知.(1)解不等式；(2)若，关于的不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】（1）用分类讨论思想去绝对值符号化简不等式求解；（2）利用绝对值值三角不等式求得的最大值，然后解相应不等式可得(1)依题意，所以或或解得，所以不等式的解集为.(2)因为，所以（当且仅当时等号成立），因为对关于的不等式成立，所以，解得或.所以满足条件的实数的取值范围是.技巧点拨含绝对值不等式的解法1公式法：对于形如|f(x)|g(x)或|f(x)|g(x)，利用公式|x|aax0)和

5、|x|axa或x0)直接求解不等式；2平方法：对于形如|f(x)|g(x)|，利用不等式两边平方的技巧,去掉绝对值,需保证不等式两边同正或同负，即|f(x)|g(x)|f(x)2g2(x)；3零点分段法：对于形如|f(x)|g(x)|a,|f(x)|g(x)|a，利用零点分区间法脱去绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解；4几何法：对于形如|xa|xb|c,|xa|xb|c，利用绝对值三角不等式的性质求解，即（1）定理1:如果a,b是实数,则|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立.（2）定理2:如果a,b,c是实数,那么|ac|ab|+|bc|,当且仅当(

6、ab)(bc)0时,等号成立.（3）推论1:|a|b|a+b|.（4）推论2:|a|b|ab|.5图象法：对于形如|f(x)|+|g(x)|a可构造y=|f(x)|+|g(x)|a或y=|f(x)|+|g(x)|与y=a，在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象,利用函数图象求解或通过移项构造一个函数.核心考点二 不等式的证明考法 不等式的证明1、（2022河南南阳高三期末（理）已知函数.(1)若，求不等式的解集；(2)若，记函数，且的最大值为M，若，求证：.【答案】(1)； (2)证明见解析.【解析】（1）利用零点分段法去掉绝对值即可求出不等式的解集；（2）将代入函数中，根据绝对值

7、的几何意义求出，再结合不等式的性即可求解.(1)当时，由不等式，可得或，解得，所以不等式的解集为.(2)当时，所以，当且仅当时等号成立，可得的最大值为，所以，当且仅当，即时取等号，即证.2、（2021全国高三阶段练习（文）已知函数(1)解不等式；(2)若，且，证明：【答案】(1) (2)证明见解析【解析】（1）首先将函数转化为分段函数，再分类讨论，即可求出不等式的解集；（2）由（1）可得的函数图象，即可得到，再将展开，利用基本不等式得到，即可得证；(1)解：由题意，当时，即，得；当时，即，得；当时，即，得综上，不等式的解集为(2)解：由（1）得函数的图象如下所示：所以在时取得最大值为1，所以因

8、为，且，所以，又，当且仅当时，等号成立，所以，故，又，所以3、（2022安徽省宣城中学高三开学考试（文）已知函数.(1)求不等式的解集；(2)设，且，求证：.【答案】(1)或；(2)证明见解析.【解析】(1)分类讨论去绝对值即可求解；(2)根据绝对值得几何意义确定f(x)的最小值，用基本不等式求的最大值，证明左边的最大值小于右边的最小值即可.(1)由题意得，当时，不等式化为，解得，；当时，不等式化为，无解；当时，不等式化为，解得，则不等式的解集为或.(2)由(1)知，当时，取得最小值，且，即.，当且仅当时等号成立，即.4、（2022云南昭通高三期末（理）已知函数，且的解集为.(1)求m的值；(

9、2)若是正实数，且，求证：.【答案】(1) (2)证明见解析【解析】（1）由得，求出可得答案；（2）由柯西不等式可得答案.(1)依题意，即，.(2)由（1）知，由柯西不等式得，所以，当且仅当，即时取等号.5、（2022贵州贵阳高三期末（文）已知函数.(1)当时，求的最小值；(2)若均为正实数，且的最小值为5，求证：.【答案】(1)3 (2)证明见解析【解析】（1）根据x的范围分段讨论，去掉绝对值符号，即可求得f(x)的最小值；（2）根据的最小值为5，可得到a+b=5,将变为,展开后利用基本不等式即可证明.(1)当时，当时，当时，综上，的最小值为3(2)证明：均为正实数，且的最小值为5，即，（当且仅当且时，即，取“=”）技巧点拨不等式证明的常用方法（1）作差比较.作差比较的步骤：作差：对要比较大小的两个数（或式）作差.变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和.判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号.注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小.（2）分析法：执果索因.基本步骤：要证只需证，只需证“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件.“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达.（3）利用基本不等式求最值：若a，b为正实数，则.