❤第二章 方程与不等式（测试）（解析版）.docx

1、第二章 方程与不等式（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）一选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势某地号汽油价格三月底是元/升，五月底是元/升设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（）ABCD【答案】A【分析】设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据三月底和五月底92号汽油价格，得出关于x的一元二次方程即可【详解】解：依题意，得故选：A【点睛】本题主要考查了一元二次方程解决实际问题的知识，找准数量关系，正确列出一元二次方程式解题关键2某体育比赛的门票分A票和B票两种，A票每张x元，B票每张y元已

2、知10张A票的总价与19张B票的总价相差320元，则（）ABCD【答案】C【分析】根据题中数量关系列出方程即可解题；【详解】解：由10张A票的总价与19张B票的总价相差320元可知，或，故选：C【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键在于能根据实际情况对题目全面分析3为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分小红一共得70分，则小红答对的个数为（）A14B15C16D17【答案】B【分析】设小红答对的个数为x个，根据抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个

3、扣1分，列出方程求解即可【详解】解：设小红答对的个数为x个，由题意得，解得，故选B【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是列出方程求解是解题的关键4上学期某班的学生都是双人同桌，其中男生与女生同桌，这些女生占全班女生的，本学期该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多，设上学期该班有男生x人，女生y人，根据题意可得方程组为（）ABCD【答案】A【分析】设上学期该班有男生x人，女生y人，则本学期男生有（x+4）人，根据题意，列出方程组，即可求解【详解】解：设上学期该班有男生x人，女生y人，则本学期男生有（x+4）人，根据题意得：故选：A【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确

4、题意，准确得到等量关系是解题的关键5【原创题】在解一元二次方程x2+px+q0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是3，1小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，4，则原来的方程是（）Ax2+2x30Bx2+2x200Cx22x200Dx22x30【答案】B【分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案.【详解】解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是3，1，所以此时方程为： 即： 小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，4，所以此时方程为： 即： 从而正确的方程是： 故选：【点睛】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一

5、元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键.6满足的整数的值可能是（）A3B2C1D0【答案】A【分析】先化简并估算的范围，再确定m的范围即可确定答案【详解】，故选：A【点睛】本题考查了绝对值的化简，无理数的估算和不等式的求解，熟练掌握知识点是解题的关键7定义新运算“”：对于实数，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（）A且BC且D【答案】C【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决【详解】解：x2+1，x52k，k=0，整理得，方程有两个实数根，判别式且由得，解得，k的取值范围是且故选

6、：C【点睛】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视8若关于x的分式方程有正数解，求m的取值范围甲解得的答案是：，乙解得的答案是：，则正确的是（）A只有甲答案对B只有乙答案对C甲、乙答案合在一起才正确D甲、乙答案合在一起也不正确【答案】D【分析】先解分式方程，得出，根据关于x的分式方程有正数解，得出，解不等式组即可得出答案【详解】解：，去分母得：，移项，合并同类项得：，解得：，关于x的分式方程有正数解，

7、解得：或，且，甲、乙答案合在一起也不正确，故D正确故选：D【点睛】本题主要考查了解分式方程，解不等式组，解题的关键是根据关于x的分式方程有正数解，列出关于m的不等式组9【原创题】设为实数，则x、y、z中至少有一个值（）A大于B等于C不大于D小于【答案】A【分析】先计算x+y+z，再利用配方法得到x+y+z，根据非负数的性质和3得到x+y+z0，根据有理数的性质得到x、y、z中至少有一个正数【详解】解：x+y+z，0，0，0，0，x+y+z0，x、y、z中至少有一个大于0故选：A【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键10【创新题】已知多项式，多项式若，则代数式的值为；当，时，

8、代数式的最小值为；当时，若，则关于x的方程有两个实数根；当时，若，则x的取值范围是以上结论正确的个数是（）A0个B1个C2个D3个【答案】B【分析】把代入解方程即可求解；把代入，再配方求最小值即可；把代入解方程即可求解；根据绝对值的意义求解即可【详解】解：若，则，解得，或，的值为；故错误；当时，当时，代数式的最小值为；故错误；由题意得，或，解得，或；解，即，没有实数解，关于x的方程有两个实数根，故正确；当时，解得；故错误；综上，只有正确；故选：B【点睛】本题考查了配方法的应用，解一元二次方程、解不等式组、绝对值的意义，理解绝对值的性质和一元二次方程的解法是解题的关键二填空题（共6小题，满分18

9、分，每小题3分）11【原创题】已知关于x的一元一次方程12024x+3=2x+b的解为x=2，则关于y的一元一次方程12024y+1=2y-1+b的解为 【答案】y=1【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解是解题的关键；所以由题意易得12024y+1+3=2y+1+b，然后可得y+1=2，进而求解即可【详解】解：由方程12024y+1=2y-1+b可变形为12024y+1+3=2y+1+b，因为关于x的一元一次方程12024x+3=2x+b的解为x=2，所以把y+1看作一个整体，则方程12024y+1+3=2y+1+b的解为y+1=2，解得：y=1，故答案为y=112如

10、图的解题过程中，第步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的的值是 先化简，再求值：，其中解：原式【答案】5【分析】根据题意得到方程，解方程即可求解【详解】解：依题意得：，即，去分母得：3-x+2(x-4)=0，去括号得：3-x+2x-8=0，解得：x=5，经检验，x=5是方程的解，故答案为：5【点睛】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验13关于x的方程ax22bx30(ab0)两根为m，n，且(2am24bm2a)(3an26bn2a)54，则a的值为 【答案】/1.5/【分析】根据方程根的定义得到，然后把(2am24bm2a)(3an26bn2a)54变形后，利用整体

11、代入，得到关于a的一元二次方程，解方程后去掉不合题意的解即可【详解】解：关于x的方程ax22bx30(ab0)两根为m，n，(2am24bm2a)(3an26bn2a)54，2（am22bma） 3(an22bn)2a54 解得或 ab0a，b均为非零实数，故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义和整体代入的方法，熟练掌握整体代入的方法是解题的关键14点Q的横坐标为一元一次方程的解，纵坐标为的值，其中a，b满足二元一次方程组，则点Q关于y轴对称点的坐标为 【答案】【分析】先分别解一元一次方程和二元一次方程组，求得点Q的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解【详解】解：，移项合并

12、同类项得，系数化为1得，点Q的横坐标为5，由得，解得：，把代入得，解得：，点Q的纵坐标为，点Q的坐标为，点Q关于y轴对称点的坐标为，故答案为：【点睛】本题考查了坐标与图形变化轴对称，解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q的坐标是解题的关键【新考法】 信息题15我国古代天文学和数学著作周髀算经中提到：一年有二十四个节气，每个节气的晷（u）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气如图所示从冬至到夏至晷长逐渐变小，从夏至到冬至晷长逐渐变大，相邻两个节气晷长减少或增加的量均相

13、同，周而复始若冬至的晷长为13.5尺，夏至的晷长为1.5尺，则相邻两个节气晷长减少或增加的量为 尺，立夏的晷长为 尺【答案】 1 4.5【分析】设相邻两个节气晷长减少的量为尺，由题意知，计算求出相邻两个节气晷长减少或增加的量；根据立夏到夏至的减少量求解立夏的晷长即可【详解】解：设相邻两个节气晷长减少的量为尺，由题意知，解得，相邻两个节气晷长减少或增加的量为1尺；，立夏的晷长为4.5尺；故答案为：1；4.5【点睛】本题考查了一元一次方程的应用解题的关键在于根据题意列方程【新考法】 与一元二次方程有关的新定义问题16将两个关于x的一元二次方程整理成（，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同

14、，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”已知关于x的一元二次方程（）与方程是“同源二次方程”，且方程（）有两个根为、，则b2c ，的最大值是 【答案】 4； -3【分析】利用（）与方程是“同源二次方程”得出，即可求出；利用一元二次方程根与系数的关系可得，进而得出，设（），得，根据方程有正数解可知，求出t的取值范围即可求出的最大值【详解】解：根据新的定义可知，方程（）可变形为，展开，可得，；，方程（）有两个根为、，且，设（），得，方程有正数解，解得，即，故答案为：4，-3【点睛】本题考查新定义、一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，由根与系数的关系得到是解题的关键三解答题（共

15、9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23题9分，24题10分，25题13分）17由工业和信息化部人才交流中心和国际公开赛组委会共同主办的睿抗机器人开发者大赛，年月日在线上召开赛季启动大会为备战机器人大赛，某校对机器人进行米比赛，“冲锋”和“东风”两个机器人进入了决赛比赛中，“冲锋”先出发秒后，“东风”从同一起始位置出发，结果“东风”迟到秒到达终点已知“东风”是“冲锋”的平均速度的倍，求“冲锋”的平均速度【答案】“冲锋”的平均速度米秒【分析】设“冲锋”的平均速度为米秒，则“东风”的平均速度的米秒，根据“冲锋”从起点出发秒后，“东风”才从起点出发

16、，结果“东风”迟到秒到达终点，可得方程，解出即可【详解】解：设“冲锋”的平均速度为米秒，则“东风”的平均速度的米秒，由题意得，解得：，经检验是原方程的解答：“冲锋”的平均速度米秒【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系18已知一元二次方程，其中系数“”印刷不清(1)嘉嘉把“”猜成是2，请你解方程；(2)淇淇说：“我看答案该方程有两个相同的根”请你通过计算说明“”是几？【答案】(1)，(2)【分析】本题考查一元二次方程的解法、一元二次方程的根的判别式，解题的关键是公式法解一元二次方程（1）利用公式法解一元二次方程即可；（2）根据方程有两个相同的根可得，代入计算解题

17、即可【详解】（1）解：，方程有两个不相等的实数根，解得：，；（2）设“”里的数为，该方程有两个相同的根，即,解得：，“”里的数为19整式的值为P(1)当m2时，求P的值；(2)若P的取值范围如图所示，求m的负整数值【答案】(1)(2)【分析】（1）将m2代入代数式求解即可，（2）根据题意，根据不等式，然后求不等式的负整数解【详解】（1）解：当时，；（2），由数轴可知，即，解得，的负整数值为【点睛】本题考查了代数式求值，解不等式，求不等式的整数解，正确的计算是解题的关键20下面是小辉和小莹两位同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务解：令小辉：由得，第一步将代入得，第二步整理得，第三步解得第

18、四步将代入，解得第五步原方程组的解为第六步小莹：得，第一步解得，第二步将代入得，第三步整理得，第四步解得第五步原方程组的解为第六步任务一：请你从中选择一位同学的解题过程并解答下列问题我选择_同学的解题过程，该同学第一步变形的依据是_；该同学从第_开始出现错误，这一步错误的原因是_；任务二：直接写出该方程组的正确解；任务三：除以上两位同学的方法，请你再写出一种方法（不用求解）【答案】小辉；等式的基本性质1（或等式的两边同时加（或减）同一个代数法，所得结果仍是等式）；三；去括号时，括号外是“”号，去年括号后未给 括号内的第二项进行变号；任务二：；任务三：【详解】任务一：小辉； 等式的基本性质1（或

19、等式的两边同时加（或减）同一个代数法，所得结果仍是等式）； 三； 去括号时，括号外是“”号，去年括号后未给 括号内的第二项进行变号； 或小莹；等式的基本性质1（或等式的两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式）； 四； 移项未变号； 任务二：令得，解得：将代入得，解得：正确的解为 任务三：得解得：，代入得，解得：【点睛】本题考查了负整数指数幂，有理数的乘方以及特殊角的三角函数值，解二元一次方程组，熟练掌握以上知识是解题的关键【新考法】 数学与规律探究图形规律规律21为美化市容，某广场要在人行雨道上用1020的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示观察思考图1灰砖

20、有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推(1)规律总结图4灰砖有_块，白砖有_块；图n灰砖有_块时，白砖有_块；(2)问题解决是否存在白砖数恰好比灰砖数少1的情形，请通过计算说明你的理由【答案】(1)16，20；，4n4(2)存在，见解析【分析】（1）根据图形算出图3白砖和灰砖的数量，再根据图形规律算出图4白砖和灰砖的数量，通过图1到图4的数字规律得出图n白砖和灰砖的数量；（2）假设存在图n白砖数恰好比灰砖数少1的情形，根据白砖和灰砖的数量建立方程，方程有解证明假设成立【详解】（1）图3的灰砖数量应为1+2+3+2+1=9图3的白砖数量为12+4=16图4的灰砖数量应为1+2

21、+3+4+3+2+1=16图4的白砖应比图3上下各多一行得图4白砖的数量为：16+4=20图1灰砖的数量为1图2灰砖的数量为4图3灰砖的数量为9图4灰砖的数量为16得图灰砖的数量为图1白砖的数量为8=图2白砖的数量为12=图3白砖的数量为16=图4白砖的数量为20=得图白砖的数量为故答案为：16，20；，4n4（2）假设存在，设图n白砖数恰好比灰砖数少1白砖数量为，灰砖数量为=，或（舍去）故当时，白砖的数量为24，灰砖的数量为25，白砖比灰砖少1故答案为：存在【点睛】本题考查数字规律和一元二次方程的相关知识，解题的关键是掌握数字规律的分析方法和一元二次方程的性质22某水果经营户从水果批发市场批

22、发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表：水果品种梨子菠萝苹果车厘子批发价格（元/kg）45640零售价格（元/kg）56850请解答下列问题：(1)第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？(2)第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？【答案】(1)500元；(2)方案一购进88kg菠萝，210kg苹果

23、；方案二购进94kg菠萝，205kg苹果【分析】（1）设第一天，该经营户批发了菠萝xkg，苹果ykg，根据该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用总利润=每千克的销售利润销售数量（购进数量），即可求出结论；（2）设购进菠萝mkg，则购进苹果，根据“菠梦的进货量不低于88kg，且这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m，均为正整数，即可得出各进货方案【详解】（1）解：设第一天，该经营户批发菠萝xkg，苹果ykg，根据题意得：，解得：，

24、元，答：这两种水果获得的总利润为500元；（2）解：设购进菠萝mkg，则购进苹果，根据题意：，解得：，m，均为正整数，m取88，94，该经营户第二天共有2种批发水果的方案，方案一购进88kg菠萝，210kg苹果；方案二购进94kg菠萝，205kg苹果【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组23某公司生产的一种营养品信息如下表已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克营养品信息表营养成分每千克含铁42毫克配料表原料每

25、千克含铁甲食材50毫克乙食材10毫克规格每包食材含量每包单价A包装1千克45元B包装0.25千克12元（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？【答案】（1）甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元；（2）每日购进甲食材400千克，乙食材100千克；当为400包时，总利润最大最大总利润为2800元【分析】（1）设乙食材每千克进价为元，根据用80元购买的甲

26、食材比用20元购买的乙食材多1千克列分式方程即可求解；（2）设每日购进甲食材千克，乙食材千克根据每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，利用进货总金额为180000元，含铁量一定列出二元一次方程组即可求解；设为包，根据题意，可以得到每日所获总利润与m的函数关系式，再根据A的数量不低于B的数量，可以得到m的取值范围，从而可以求得总利润的最大值【详解】解：（1）设乙食材每千克进价为元，则甲食材每千克进价为元，由题意得，解得经检验，是所列方程的根，且符合题意（元）答：甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元（2）设每日购进甲食材千克，乙食材千克由题意得，解得答：每日购进甲食材400千

27、克，乙食材100千克设为包，则为包记总利润为元，则的数量不低于的数量，随的增大而减小。当时，的最大值为2800元答：当为400包时，总利润最大最大总利润为2800元【点睛】本题主要考查了一次函数的应用、分式方程、二元一次方程的应用，解答本题时要明确题意、弄清表格数据的意义及各种量之间关系，利用方程的求未知量和一次函数的性质解答，注意分式方程要检验24【创新题】阅读理解以下内容，解决问题：解方程：解：，方程即为：，设，原方程转化为：解得，当时，即，；当时，即，不成立综上所述，原方程的解是，以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的

28、方法叫做“换元法”（“元”即未知数）(1)已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是_；(2)仿照上述方法，解方程：【答案】(1)(2)【分析】（1）根据完全平方公式由，得，再变形原方程便可；（2）设，则，得，再解一元二次方程，最后代入所设代数式解方程便可【详解】（1）设，则，可化为：，即，故答案为：；（2）设，则，原方程可化为：，整理得，或，或，当时，解得，当时，无解，检验，当时，左边右边，是原方程的解，故原方程的解为：【点睛】本题主要考查了换元法，无理方程，关键掌握换元法的思想方法【新考法】 利用整体代换思想求解25阅读材料，解答问题：材料1为了解方程，如果我们把看作一个

29、整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法材料2已知实数m，n满足，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，根据上述材料，解决以下问题：(1)直接应用：方程的解为_；(2)间接应用：已知实数a，b满足：，且，求的值；(3)拓展应用：已知实数x，y满足：，且，求的值【答案】(1)，(2)或(3)15【分析】（1）利用换元法降次解决问题；（2）模仿例题解决问题即可；（3）令=a，-n=b，则+a-7=0， +b=0，再模仿例题解决问题【详解】（1）解：令y=，则有-5y+6=0，（y-2）（y-3）=0，=2，=3，=2或3，故答案为：，；（2）解：，或当时，令，则，是方程的两个不相等的实数根，此时；当时，此时；综上：或（3）解：令，则，即，是方程的两个不相等的实数根，故【点睛】本题考查了根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法，解一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题